(完整版)2013年高考理科数学湖北卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(湖北卷)

本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i

=

1i

z +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D

解析：∵2i 2i 1i =

1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i

=1i

z +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．

2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112x

A x ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩

＝( )．

A ．{x |x ≤0}

B ．{x |2≤x ≤4}

C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}

D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C

解析：由题意知集合112x

A x ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

＝{x |x ≥0}，

集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，

＝{x |x ＜2或x ＞4}．

因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．

3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．

A ．(⌝p )∨(⌝q )

B ．p ∨(⌝q )

C ．(⌝p )∧(⌝q )

D ．p ∨q 答案：A

解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．

4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).

A ．

π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6

答案：B

解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛

⎫

+ ⎪⎝

⎭

，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫

+

+ ⎪⎝

⎭

的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有

π3＋m ＝k π＋π

2

，k ∈Z ， ∴m ＝π

π6

k +，k ∈Z .

∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为

π6

. 5．(2013湖北，理5)已知π

0<<4

θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222

=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等

C ．焦距相等

D ．离心率相等 答案：D

解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22

222

=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22

2

22

sin sin sin 1cos cos θθθθθ

⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4

k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝2

2c ， 而π

0<<

4

θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则21

2

1cos e θ

=，22

222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．

6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuu

r 方向上的投影为( )．

A ．2

B

C ．2-

D ．

答案：A

解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为

2AB CD CD

⋅=

=u u u r u u u r

u u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t

-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．

A ．1＋25ln 5

B ．118+25ln

3

C ．4＋25ln 5

D ．4＋50ln 2