任意性与存在性问题

任意性与存在性问题
一、相关知识准备
1、两个函数，两个变量，不等关系
(1)若12[,],[,]x a b x m n ∀∈∀∈，有12()()f x g x <成立，则1max 2min ()()f x g x <； (2)若12[,],[,]x a b x m n ∃∈∀∈，有12()()f x g x <成立，则1min 2min ()()f x g x <； (3)若12[,],[,]x a b x m n ∀∈∃∈，有12()()f x g x <成立，则1max 2max ()()f x g x <； (4)若12[,],[,]x a b x m n ∃∈∃∈，有12()()f x g x <成立，则1min 2max ()()f x g x <； 2、两个函数，两个变量，相等关系
(1)若12[,],[,]x a b x m n ∃∈∃∈，有12()()f x g x =成立，则{|()}{|()}y y f x y y g x =⋂=≠；(值域有交集)
(2)若12[,],[,]x a b x m n ∀∈∃∈，有12()()f x g x =成立，则{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=；(值域构成包含关系)
(3)若12[,],[,]x a b x m n ∃∈∀∈，有12()()f x g x =成立，则{|()}{|()}y y f x y y g x =⊇=.(值域构成包含关系) 二、练习题
1．已知()2
1()ln 1,()2x
f x x
g x m ⎛⎫
=+=- ⎪⎝⎭
，若12[0,3],[1,2]x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
B ．1,4
⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
C ．1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2
⎛⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
2．已知函数2e (),()212x
f x
g x x x a x
==-++-，若12,(0,)x x ∀∈+∞，都有()()12f x g x ≥恒成立，则
实数a 的取值范围为（ ） A ．(,)e -∞ B ．(,e]-∞
C ．,2e ⎛
⎤-∞
⎥⎝⎦ D ．,2e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
3．已知函数()32cos f x x x =+，()()2()15x x g x e e =--，若1(,0]x ∀∈-∞，
2x ∀∈R ，()()12f x a g x +≤，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．40,27
⎛⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
C ．(,3]-∞-
D ．,27
94⎛⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
4．设函数22()ln ,()f x x x x g x x a x =-=+
+，对任意的11
[,2]4
x ∈，存在2[2,4]x ∈，使12()()1f x g x -<成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．7(4ln 2,)2
--+∞ B ．9(,)2
-+∞ C ．211
(ln 2,)48
-++∞ D ．(3,)-+∞
5．已知函数32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤
∀∈-≥⎢⎥⎣⎦
，则实数a 的
取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．[3,)+∞ C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞
6．已知函数1()1k f x x x =
+-，4ln ()x e x g x x
-=（e 是自然对数的底数），若对1(0,1)x ∀∈，2[1,3]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则正数k 的最小值为（ ）
A
．1
2
B ．1
C ．4-
D ．4+
7．已知函数()331f x x x =--，若对于区间[]3,2-上的任意12,x x ，都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18 C ．3 D ．0
8．设函数22()ln ,()f x x x x g x x a x =-=+
+，对任意的11
[,2]4
x ∈，存在2[2,4]x ∈，使12()()1f x g x -<成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(3,4ln 2)--
B ．9
(,4ln 2)2-- C ．971(,ln 2)248--+ D ．71(3,ln 2)48
--+
9．已知函数()x x f x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，
，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（）
A ．21
[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3
e D ．1[,)3
+∞
10．已知函数()22x f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R g x mx m =+∈，若对于任意的
[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞
B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦
C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞
D ．22
1,1e e --⎡⎤--⎣⎦
参考答案
1．A
解：由题可得：“若[][]120,3,1,2x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥” 等价于：“()()min min f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦” 当[]0,3x ∈时，()2
201
x
f x x +'=
≥，所以()f x 在[]0,3单调递增， 所以()()()2
min 0ln 010f x f ==+=
当[]1,2x ∈时，()()2min 122g x g m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2
102m ⎛⎫
≥- ⎪⎝⎭
，解得：14m ≥，故选A
2．C
解：2(),()(1)2x
e f x g x x a x
==--+，
若12,(0,)x x ∀∈+∞，都有()()12f x g x ≥恒成立，则min max ()()((0,))f x g x x ∈+∞≥.
2
(1)
()2x e x f x x
-'=，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 故
()f x 的最小值为(1)2e f =
.又max ()g x a =，所以2e a ≤.故实数a 的取值范围为,2e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 故选C 3．D
解：因为()32sin 0f x x '=->，所以()f x 在(,0]-∞上为增函数，所以max ()(0)2f x f ==.
令(0)x t e t =>，()2()(1)5h t t t =--，()(1)(35)h t t t '=+-.当5
03
t <<时，()0h t '<；当5
3
t >时，
()0h t '>.所以min 552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而max
40()27g x =-.依题意可得40227a +≤-，即9427
a ≤-
. 故选：D 4．B
解：因为对任意的11
[,2]4x ∈，存在2[2,4]x ∈，都有1
2
()()1f x g x -<，即1
2
()()1f x g x <+，所以
max max ()()1f x g x <+.当[2,4]x ∈时，函数()g x 在[2,4]为增函数，则max 29
()442
g x a a =+
+=+，
又因为'
()12ln f x x x x =--，设()12ln h x x x x =--，1[,2]4
x ∈，
所以'()2ln 3h x x =--，又'()h x 在1
[,2]4
单调递减，则''11()()2ln 34ln 23044
h x h ≤=--=-<，所以'()
f x 在1[,2]4
单调递减，由于'(1)0f =，所以()f x 在1
[,1)4
单调递增，(1,2]单调递减，max ()(1)1f x f ==，于是9
112
a <++，所以9(,)2a ∈-+∞，故选：B.
5．D
解：由题意，对于()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤
∀∈-≥⎢⎥⎣⎦
，
可得()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值不小于()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值，
由()32
g x x x =-，则()22323()3
g x x x x x '=-=-，
可得当12[,)33时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2
(,2]3
时，()0g x '>，()g x 单调递减，
又由12(),(2)4327g g =-
=，即()g x 在区间1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为4， 所以()ln 34a f x x x x =+
+≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2ln a x x x ≥-在1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 令()2
1ln ,,23h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦
，则()12ln h x x x x '=--， 令()12ln p x x x x =--，则()32ln p x x '=--，
当1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()0p x '<，函数()p x 单调递减，即()h x '在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，
又由()10h '=，所以()h x '在1
[,1)3
为正，在(1,2]上为负，
所以()h x 在1
[,1)3为单调递增，在(1,2]上单调递减，所以()h x 在1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为()11h =，
所以1a ≥． 故选：D ．
解：“()10,1x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立”等价于()()min min f x g x ≥
()11k f x x x =+- ()()()()2
22
2212111k x kx k k f x x
x x x -+-⇒=-=--'
当01k <<时，令()0f x '=，解得：
1x =，2x =
()
f x ∴在(]20,x 上单调递减，[)2,1x 上单调递增 ()())
2
2min 1f x f x ⇒==
当1k =时，令()0f x '=，解得：12x =
，()f x ∴在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增
())
2
min
1412f x f ⎛⎫
⇒===
⎪⎝⎭
当1k >时，此时()f x 在(]20,x 上单调递增，[)2,1x 上单调递增减
()0lim x f x →=+∞，()1
lim x f x →=+∞，()f x 无最小值，不合题意
综上所述：())
2
min 1f x =
，(]0,1k ∈
()4ln ln 4x e x e x
g x x x -=
=- ()()2
ln 1e x g x x
-⇒='，令()0g x '=，解得：x e = ()g x ∴在[)1,e 上单调递减，在(],3e 上单调递增 ()()min 3g x g e ⇒==
)
2
13∴
≥ 4k ⇒≥- 本题正确选项：C
7．A
解：对于区间[3,2]-上的任意12,x x 都有12|()()|f x f x t -≤， 等价于对于区间[3,2]-上的任意x ，都有max min ()()f x f x t -≤， ∵3()31f x x x =--，∴2()33f x x '=-，
∵[3,2]x ∈-，∴函数在[3,1],[1,2]--上单调递增，在[1,1]-上单调递减， ∴max min ()(2)(1)1,()(3)19f x f f f x f ==-==-=-，
∴max min ()()20f x f x -=，∴20t ≥，∴实数t 的最小值是20，故答案为A
由
12()()1f x g x -<可得212()1()()1g x f x g x -<<+，因为对任意的11
[,2]4
x ∈，存在2[2,4]x ∈，都有
212()1()()1g x f x g x -<<+，所以()()()()max max min min 11
f x f x f x f x ⎧<+⎪⎨>-⎪⎩.当[2,4]x ∈时，min max 9
()3,()2g x a g x a =+=+.
'()1ln f x x x x =--，''()2ln 3f x x =--，''()f x 在1[,2]4
单调递减，11
''()''()2ln 34ln 23044f x f ≤=--=-<，
所以'()f x 在1[,2]4单调递减，由于'(1)0f =，所以()f x 在1
[,1)4单调递增，(1,2]单调递减，
max ()(1)1f x f ==，
因为111()ln 2,(2)24ln 2448f f =+=-，1
33733ln 214
()(2)ln 204848
f f --=
-=>，min ()24ln 2f x =- 于是9
11224ln 231
a a ⎧<++⎪⎨⎪->+-⎩，所以9
(,4ln 2)2
a ∈-- 故选：B 9．B
由题意，函数()(1)x f x e x =-的导数为()x
f x xe '=，
当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，
又由()22
23,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，
由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，
可得2
[1,][3,]e m m -⊆-，即为2
31m m e
-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 10．A 解
，
在区间
上为增函数，在区间上为减函数.，
，又
，则函数
在区
间
上的值域为
.
当时，函数在区间上的值域为.
依题意有，则有，得.
当时，函数在区间上的值域为，不符合题意. 当时，函数在区间上的值域为.
依题意有，则有，得.
综合有实数的取值范围为.选A.。