九年级数学期中考试试卷2

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2024-2025学年江苏盐城盐都区九年级五校联考11月期中数学试题及答案

2024年秋学期九年级数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，计24分）1．下列方程，属于一元二次方程的是（）A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C．D．2（x+1）＝x2．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣33．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．4．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3(1+x)=18 B．3(1+x)2=18 C．3+3(1+x)2=18 D．3+3(1+x)+3(1+x)2=185．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弦相等D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．105°7．如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）A．B．C．4 D．68．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A ．13B ．14C ．12D ．28二、填空题（每题3分，计30分）9．写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根：（写出一个即可）．10．关于x 的方程x 2+kx +1＝0有两个相等的实数根，则k 值为．11．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则4m 2﹣6m +2022的值为．12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝8，EB ＝2，则⊙O 的半径为． 13．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是．14．为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 .（填“小洋”或“小亮”）．第12题第14题15．如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=°，则ABI ∠=．16．如图，60BAC ∠=°，45ABC ∠=°，AB =，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画O 分别交AB 、AC 于E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为______．17．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n 行有n 个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．当三角点阵中点数之和是300时，则三角点阵点的行数为．18．如图，在矩形ABCD 中，12AB =，16BC =，点E F 、分别是边AB BC 、上的动点，且10EF =，点G 是EF 的中点，连接AG CG 、，则四边形AGCD 面积的最小值为．第15题第16题第17题第18题三、解答题（共9题，计96分）19．解方程：（1）36x 2﹣1＝0；（2）x 2+10x +21＝0；20．初一某班16名男生在体检时测量了身高．以160cm 为基准，记录男生们的身高，超过160cm 记为正，不足160cm 记为负．前15名男生的相对身高（单位：cm ）记录如表，第16名男生身高为171cm ．序号1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高7− 4+ 0 16+ 2+ 3− 1+ 5− 序号9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 9− 3+ 4− 7+ 1+ 2− 1+ m(1)表格中m ＝；(2)该班最高的男生与最矮的男生身高相差 cm ；(3)计算该班男生的平均身高．21．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出人，建造时，在BC 上用其它材料做了宽为2米的两扇小门，在EF 上用其它材料做了宽为1米的一扇小门．（1）设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD 的长为___________米；（2）若此时花圃的面积刚好为254m ，求此时花圃的长与宽．22．如图，在四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点E ，且AB AC AD ==，经过A ，C ，D 三点的O 交BD 于点F ，连接CF ．(1)求证：CF BF =；(2)若CD CB =，求证：CB 是O 的切线．23．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+10＝0的两实数根．（1）求m 的取值范围；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求m 的值和△ABC 的周长．24．定义：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若根的判别式24b ac −是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”．(1)判断下列方程一定是“完美方程”的是；（直接填序号）①2430x x −−=；②220x mx m ++−=；③()210x b x b +++=；(2)若关于x 的一元二次方程222(1)20x m x m m −−+−=①证明：此方程一定是“完美方程”；②设方程的两个实数根分别为1x ，()212x x x <，是否存在实数k ，使得()12,P x x 始终在函数3y kx k =−+的图像上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25．某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．(1)这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？(2)为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a 元（0,a >）．要使每天捐款后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，求a 的取值范围．26.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：点D 是边BC 的中点．（2）记的度数为α，∠C 的度数为β．探究α与β的数量关系．27．如图①，在四边形ABCD 中，9086BAD D AD CD AB m ∠=∠=°===，，，．过A B C ，，三点的O 的圆心位置和半径，随着m 的变化而变化．解决下列问题：【特殊情形】（1）如图②，当0m =时，圆心O 在AD 上，求O 的半径．【一般情形】（2）（Ⅰ）当2m =时，求O 的半径；（Ⅱ）当0m >时，随着m 的增大，点O 的运动路径是；（填写序号）①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线【深入研究】（3）如图③，连接AC ，以O 为圆心，作出与CD 边相切的圆，记为小O ．当小O 与AC 相交且与BC 相离时，直接写出m 的取值范围．参考答案1-4BAAD 5-8DACD9.x 2+2x +1＝0（答案不唯一） 10.±2 11.2023 12.5 13.½ 14.小亮 15.50° 16.18.14219.解：（1）36x 2﹣1＝0，36x 2＝1，，解得，；（2）x 2+10x +21＝0，x 2+10x ＝﹣21，x 2+10x +25＝﹣21+25，即（x +5）2＝4，x +5＝±2，解得x 1＝﹣3，x 2＝﹣7；20.（1）解：由题意得，17116011m =−=+，故答案为：11+；（2）解：16(9)16925cm +−−=+=，即该班最高的男生与最矮的男生身高相差25cm ，故答案为：25；（3）解：1(740162315934712111)16016×−++++−+−−+−++−+++ 11616016=×+ 161cm =答：该班男生的平均身高为161cm ．21.1）()273x −（2）长为9米，宽为6米22.（1）证明：AB AC = ，ACB ABC ∴∠=，AB AD = ，ADB ABD ∴∠=∠，又ADB ACF ∠=∠ ， ACF ABD ∴∠=∠，ACB ACF ABC ABD ∴∠−∠=−∠，即：BCF CBF ∠=∠， CF BF ∴=；（2）证明：连接CO 并延长交O 于G 点，再连接GF ，CG 为O 直径，90GFC ∴∠=°，90G GCF ∴∠+∠=°，CDB G ∠=∠ ，90CDB GCF ∴∠+∠=°，CD CB = ，CDB CBD ∴∠=∠，CF BF = ，BCF CBD ∴∠=∠，BCF CDB ∴∠=∠，90BCF GCF ∴∠+∠=°，90BCG ∴∠=°，CG BC ∴⊥，CB ∴是O 的切线．23.解：（1）根据题意得Δ＝4（m +1）﹣4（m 2+10）≥0，解得；（2）当腰长为7时，则x ＝7是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+10＝0的一个解，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+10＝0，整理得m 2﹣14m +45＝0，解得m 1＝9，m 2＝5，当m ＝9时，x 1+x 2＝2（m +1）＝20，解得x 2＝13，则三角形周长为13+7+7＝27；当m ＝5时，x 1+x 2＝2（m +1）＝12，解得x 2＝5，则三角形周长为5+7+7＝19；当7为等腰三角形的底边时，则x 1＝x 2，所以，方程化为4x 2﹣44x +121＝0，解得，三边长为，其周长为，综上所述，m 的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18． 24.（1）解：①2430x x −−=，()()224441328b ac −=−−××−= ，不是完全平方数，2430x x ∴−−=不是“完美方程”； ②220x mx m ++−=， ()()22224424824b ac m m m m m −=−−=−+=−+ ，不是完全平方式，220x mx m ∴++−=不是“完美方程”；③()210x b x b +++=， ()()2222414211b ac b b b b b −+−−+− ，是完全平方式，()210x b x b ∴+++=是“完美方程”；故答案为：③；（2）解：①证明：222(1)20x m x m m −−+−=()()2222242142484484b ac m m m m m m m −=−−−=−+−+= ，且4是完全平方数， ∴此方程一定是“完美方程”；②存在，理由如下：222(1)20x m x m m −−+−= ，()()20x m x m ∴−−−=， 0x m ∴−=或()20x m −−=， x m ∴=或2x m =−，设方程222(1)20x m x m m −−+−=的两个实数根分别为1x 、()212x x x <，12x m ∴=−，2x m =，()12,P x x 始终在函数3y kx k =−+的图像上，()23m k m k ∴=−−+，313m k m −∴==−，即存在实数k ，使得PP (xx 1,xx 2)始终在函数3y kx k =−+的图像上，k 的值为1 25.解：（1）设销售利润为w 元，销售时间为x 天，由题意可知，(11040)(420),wx x =−−+ 242601400x x =−++24(32.5)5625,x =−−+∵50,a =−< ∴函数有最大值，∴当30x =时，w 取最大值为24302603014005600w =−×+×+=元， ∴第30天的利润最大，最大利润是5600元；（2）设未来30天每天获得的利润为y ，时间为t 天，根据题意，得(11040)(204)(204),y t t t a =−−+−+化简，得24(2604)140020,y t a t a =−+−+− 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大， ∴260429.5,2(4)a −−>×− 解得，6,a又∵0,a >即a 的取值范围是：06a <<．26.（1）证明：如图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，点D 在圆上，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，即点D 是BC 的中点；（2）解：β﹣α＝45°；如图，连接OE ，∵的度数为α，∴∠AOE ＝α，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠OAE ＝45°﹣α， ∵∠CAD +∠C ＝90°，∴45°﹣α+β＝90°即β﹣α＝45°．27.（1）解：连接OC ，在O 中，设OA O =C r =，则8OD r =−．在Rt OCD 中，90D ∠=︒，∴222OD CD OC +=，即222(8)6r r −+=．解得254r =．（2）（I ）解：过点O 分别作,OF AB OE CD ⊥⊥，连接,OC OB ，∵OF 过圆心，OF AB ⊥， ∴1AF BF ==．∵90A D OFA ∠=∠=∠=°， ∴四边形AFED 是矩形．∴1AF DE ==．∴5CE CD DE =−=．设OE x =，则8OF x =−，在Rt COE 中222OE CE OC +=，在Rt BOF 中222OF BF OB +=， ∴2222OE CE OF BF +=+，即2225(8)x x +=−21+．解得52x =，∴2221254OC OE CE =+=，即r OC == （II ）过点O 分别作,OF AB OE CD ⊥⊥，连接,OC OB ，如图：由（I ）知：1,82BFAF DE m EF AD =====， 16,2CE CD DE m ∴=−=− 设OE x =，则8OF x =−，∵OC OB =，∴2222OE CE OF BF +=+，即2222116(8)24x m x m +−=−+ ，整理得：1438m x +=， ∵0,m O >到AD 的距离12DEm =，类比平面直角坐标系内xy 的几何意义， ∴O 的轨迹是一条射线，故答案为：①；（3）过O 作EF CD ⊥，交CD 于E ，交AB 于F ，过O 作OM AC ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接O ,C OB ，过B 作BG CD ⊥于G ，如图：由（II ）知，1438m OE +=， ()222225420,64OC CE OE m m ∴+−+ 8,6,AD CD ==10,AC ∴= 15,2CM AC ∴== ()22222525420256464OM OC CM m m ∴=−=−+−=()2444,m m −− ,,,BG CD AD CD DG AB ⊥⊥∥ ∴四边形ABGD 是矩形，,8,DG AB m BG AD ∴====6,CG m ∴=−222212100,BC CG BG m m ∴=+=−+()2221112100,24CN BC m m ∴==−+ ()22221992900,64ON OC CN m m ∴=−=+− 小O 与AC 相交且与BC 相离， ,OM OE ON ∴<<222,OM OE ON ∴<< 即()()222251431444992900,64864m m m m m + −−<<+− 解得：1123m <<．。

江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。

2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。

3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。

精品人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷(二)解析版

人教版2019-2020学年九年级数学上册期中模拟试卷（二）一．选择题（共8小题，满分6分）1．一元二次方程x2＝3x的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝0 且x＝32．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2D．y＝﹣3（x+1）2+24．（3分）如图，∠CAB＝25°，CA、CB是等腰△ABC的两腰，将△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．当点B恰好在DE的延长线时，则∠EAB的度数为（）A．155°B．130°C．105°D．75°5．在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（2，﹣3）6．如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°7．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（共8小题，满分18分）9．（3分）当a＝时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程．10．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是．11．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的最大值是．12．（3分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝．13．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝﹣1，则另一根为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．15．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，∠APC的平分线交AC于点D．若∠APC＝40°，则∠CDP＝．16．如图，已知点C是的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB＝度．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．（8分）解方程与不等式：（1）（x﹣3）（x﹣2）+33＝（x+9）（x+1）（2）（2x+3）（2x﹣3）＜4（x﹣2）（x+3）18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．四．解答题（共2小题）19．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O也在格点上．（1）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于直线OP成轴对称，点A的对应点是A'；（2）画△A''B''C''，使△A''B''C''与△A'B'C'关于点O成中心对称，点A'的对应点是A''．20．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，0），点B（0，），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．如图，若α＝90°，求AA′的长．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．（10分）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D 的直线于F，且∠BDF＝∠CDB，BD与CG交于点N．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连结MN，猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？24．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？七．解答题（共1小题）25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是对角线BD上一动点．（1）如图1，当CE⊥BD时，求DE的长；（2）如图2，作EM⊥EN分别交边BC于M，交边CD于N，连MN．①若，求tan∠ENM；②若E运动到矩形中心O，连CO．当CO将△OMN分成两部分面积比为1：2时，直接写出CN的长．八．解答题（共1小题）26．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分6分）1．【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：C．2．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2；再向下平移2个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣2，即y＝﹣3（x+1）2﹣2．故选：C．4．【解答】解：∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝25°，∵△ABC绕点A顺时针进行旋转，得到△ADE．点B恰好在DE的延长线上，∴∠D＝∠ABC＝25°，∠DAE＝∠BAC＝25°，AD＝AB，∴∠ABD＝25°，∴∠ABD＝∠CAB，∴AC∥BD，∴∠D+∠DAC＝180°，∴∠EAB＝180°﹣25°﹣25°﹣25°＝105°．故选：C．5．【解答】解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠P AO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′，即P′B＝P A＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故选：B．6．【解答】解：当点C在优弧上时，∠AC′B＝∠AOB＝×100°＝50°，当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝×（360°﹣100°）＝130°．故选：D．7．【解答】解：由题意得∠A＝∠BOC＝×100°＝50°．故选：B．8．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．二．填空题（共8小题，满分18分）9．【解答】解：∵（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得：a＝﹣3，即当a＝﹣3时，（a﹣3）x|a|﹣1﹣x＝5是关于x的一元二次方程，故答案为：﹣3．10．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．11．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴当x＝﹣1时，y取得最大值4，故答案为：4．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），∴a﹣1+c＝0，∴a+c＝1，故答案为1．13．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则﹣1×x2＝﹣3，解得：x2＝3，故答案为：3．14．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，∴AB＝2，OA＝＝4，∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，∴CO＝CD﹣DO＝2，在RT△COE中，OE＝CO•cos∠COE＝2×＝1，CE＝CO•sin∠COE＝2×＝，∴点C的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．15．【解答】解：如图，连接OC，∵PC为圆O的切线，∴PC⊥OC，即∠PCO＝90°，∴∠CPO+∠COP＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠COP，∵PD为∠APC的平分线，∴∠APD＝∠CPD＝∠CPO，∴∠CDP＝∠APD+∠A＝（∠CPO+∠COP）＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠ACB＝125°，∴∠ADB＝180°﹣125°＝55°，∴∠AOB＝110°，故答案为：110．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．【解答】解：（1）x2﹣5x+6+33＝x2+10x+9，x2﹣5x﹣x2﹣10x＝9﹣6﹣33，﹣15x＝﹣30，x＝2；（2）4x2﹣9＜4（x2+x﹣6），4x2﹣9＜4x2+4x﹣24，4x2﹣4x2﹣4x＜﹣24+9，﹣4x＜﹣15，x＞．18．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．四．解答题（共2小题）19．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'为所求三角形；（2）如图所示，△A''B''C''为所求三角形．20．【解答】解：∵点A（2，0），点B（0，），∴OA＝2，OB＝．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝．根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转900得到的，由旋转是性质可得：∠A′BA＝90°，A′B＝AB＝，∴AA′＝＝．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）21．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3（2）令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．22．【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，．∴∠BOD＝2∠CDB．∵∠BDF＝∠CDB，∴∠BOD＝∠CDF，∵∠BOD+∠ODE＝90°，∴∠ODE+∠CDF＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）猜想：MN∥AB．证明：连结CB．∵直径AB经过弦CD的中点E，∴，．∴∠CBA＝∠DBA，CB＝BD．∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB．∴∠AOD＝∠DBA+∠ODB＝2∠DBA＝∠CBD，∵∠BCG＝∠BAG，∴△CBN∽△AOM，∴．∵AO＝OD，CB＝BD，∴，∴，∵∠ODB＝∠MDN，∴△MDN∽△ODB，∴∠DMN＝∠DOB，∴MN∥AB．六．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．24．【解答】解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．七．解答题（共1小题）25．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6∴BD＝＝10∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BCD＝90°∵∠CDE＝∠BDC∴△CDE∽△BDC∴∴DE＝（2）①如图1，过点M作MF⊥BD于点F，过点N作NG⊥BD于点G∵，BD＝10∴BD＝BE+DE＝3DE+DE＝4DE＝10∴DE＝，BE＝设MF＝a，NG＝b∵∠BFM＝∠C＝90°，∠FBM＝∠CBD∴△FBM∽△CBD∴∴BF＝＝a∴EF＝BE﹣BF＝a同理可证：△GDN∽△CDB∴∴DG＝＝b∴EG＝DE﹣DG＝b∵EM⊥EN∴∠MEN＝∠MFE＝∠NGE＝90°∴∠MEF+∠NEG＝∠MEF+∠EMF＝90°∴∠EMF＝∠NEG∴△EMF∽△NEG∴∴EF•EG＝NG•MF∴（a）（b）＝ba整理得：16a＝90﹣27b∴在Rt△MEN中，tan∠ENM＝＝②如图2，过点M作MF⊥BD于点F，MP⊥OC于点P，过点N作NG⊥BD于点G，NQ⊥OC于点Q，设OC 与MN交点为H∵点O为矩形中心，BD＝10∴OB＝OD＝OC＝BD＝5由①可得，设MF＝a，NG＝b，则BF＝＝a，DG＝＝b，OF•OG＝NG•MF∴OF＝OB﹣BF＝5﹣a，OG＝OD﹣DG＝5﹣b∴（5﹣a）（5﹣b）＝ab整理得：16a＝60﹣9b∴＝设CN＝5x∵∠NCQ＝∠BDC，∠NQC＝∠BCD＝90°∴△NCQ∽△BDC∴＝∴CQ＝CN＝3x，NQ＝CN＝4x∴OQ＝OC﹣CQ＝5﹣3x∵∠MPO＝∠MON＝∠OQN＝90°∴∠MOP+∠NOQ＝∠NOQ+∠ONQ＝90°∴∠MOP＝∠ONQ∴△MOP∽△ONQ∴i）若S△OMH＝2S△ONH，且两三角形都以OH为底∴MP＝2NQ＝8x∴解得：x＝∴CN＝ii）若2S△OMH＝S△ONH，则MP＝NQ＝2x∴解得：x＝∴CN＝综上所述，CN的长为或．八．解答题（共1小题）26．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得1分∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，当CP∥AB时，∵PD⊥AB，∴CP⊥PD，∴PD＝OC＝3，∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，∴x＝，此时P（，3）．∴线段BM上存在点P（，3）使△PCD为直角三角形．当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2＝CO•P′D′，即9+m2＝3（﹣2m+6），∴m2+6m﹣9＝0，解得：m＝﹣3±3，∵1≤m＜3，∴m＝3（﹣1），∴P′（3﹣3，12﹣6）综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．。

福建省厦门双十中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

福建省厦门双十中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷一、单选题1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线212y x =相同，顶点为()2,1，则此抛物线的解析式为（）A ．()21212y x =-+B ．()21212y x =+-C ．()21212y x =++D ．()21122x y --=2．如图将ABC V 绕点A 顺时针旋转90︒到ADE V ，若50DAE ∠=︒，则CAD ∠等于（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒3．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =(x -5)2，下列平移方法正确的是（）A ．向左平移5个单位B ．向右平移5个单位C ．向上平移5个单位D ．向下平移5个单位5．已知关于x 的一元二次方程22590x x k ++-=的常数项为0，则k 的值为（）A ．9B ．3C ．3-D ．3±6．若2x =是关于x 的一元二次方程220ax bx -+=的解，则代数式20242a b +-的值为（）．A ．2022B ．2023C ．2024D ．20257．平面直角坐标系中，已知□ABCD 的三个顶点坐标分别是A （m ，n ），B (2，－l )，C （－m ，－n ），则点D 的坐标是（）A ．（－2，l )B ．（－2，－l )C ．（－1，－2)D ．（－1，2)8．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD 为14的奖杯，杯体轴截面ABC 是抛物线2459y x =+的一部分，则杯口的口径AC 为（）A ．7B ．8C ．9D ．109．如图，在ABC V 中，90308C A AC ∠=︒∠=︒=，，，点O 为AC 的中点，将ABC V 绕点O 按逆时针方向旋转得到A B C ''' ，点A ，B ，C 的对应点分别为A B C '''，，．当A '落在AB 边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（）A ．833B ．4C ．D ．10．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且（a ＋m ）（a ＋n ）=2，（b ＋m ）（b ＋n ）=2，则ab-mn 的值为（）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1二、填空题11．已知抛物线()2221y x =--+，当2x >时，y 随x 的增大而．12．请写出一个关于x 的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是．13．如图，用48m 长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是2300m 的长方形鸡场，鸡场有一个2m 的门，设与墙垂直的边长为m x ，所列方程是．14．若抛物线28y x x k =-+与x 轴只有一个公共点，则k 的值为．15．二次函数²y ax bx c =++自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x 的不等式．²50ax bx c ++-≤的解集为x 4-3-2-1-012y13854581316．如图，一段抛物线：(3)(03)y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ；L ，如此进行下去，直至得2024C ，若(,2)P m -在第2024段抛物线2024C 上，则m =．三、解答题17．解方程：x 2+4x+1=0．18．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．19．如图，在ABC V 中，2AB =， 3.6BC =，=60B ∠︒，将ABC V 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到ADE V ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时．(1)作出ADE V ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)求CD 的长．20．如图，x 轴上依次有A B C D E F ，，，，，六个点，且AB BC CD DE EF =====2，从点A 处向右上方沿抛物线．2412y x x =-++．发出一个带光的点P ．(1)求抛物线顶点坐标；并在图中补画出y 轴；(2)若抛物线上点(,)P m n ，若06m <<，直接写出n 的取值范围为．21．已知关于x 的一元二次方程()()220a b x cx b a +++-=，其中a ，b ，c 分别为ABC V 三边的长．(1)如果1x =-是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果ABC V 是等腰直角三角形，c 为斜边，解这个一元二次方程．22．综合与实践数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A 点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t （单位：s ）、运动速度v （单位：/s cm ）、滑行距离y （单位：cm ）的数据．【收集数据】记录的数据如下：运动时间t /s 03691215…运动速度V /（/s cm ）108.57 5.54 2.5…运动距离y /cm27.755169.758493.75…【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v 与t 的函数关系，用二次函数近似地表示y 与t 的函数关系．请直接写．．．．出v 与t 的函数关系式和y 与t 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．①当黑球在水平木板上滚动了64cm 时，运动速度是多少？②若黑球到达木板A 点处的同时，在前方70cm 处有一辆电动小车，以2/s cm 的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由．23．在平面直角坐标系中，设二次函数()21232y x m m =--+-(m 是实数)．(1)当2m =时，若点()8,A n 在该函数图象上，求n 的值．(2)小明说二次函数图象的顶点在直线132y x =-+上，你认为他的说法对吗?为什么?(3)已知点()1,P a c +，()45,Q m a c -+都在该二次函数图象上，是否存在m ，使得c 存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．24．综合与实践：问题情景：如图1、正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB ，()AE AB AE <在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE ，DG ．(1)操作发现：当正方形AEFG 旋转至如图2所示的位置时，求证：BE DG =；(2)操作发现：如图3，当点E 在BC 延长线上时，连接FC ，求FCE ∠的度数；(3)问题解决：如图4，如果45α=︒，2AB =，AE =G 到BE 的距离．25．已知抛物线22y ax bx =+-的顶点是P ，且交x 轴于()2,0A -，()2,0B 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)过原点O 的直线与抛物线交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴的左侧．①若直线CD 的表达式为y x =，求PCD △的面积；②若C ，E 两点关于y 轴对称，O ，Q 两点关于P 对称，求证：D ，E ，Q 三点共线．。

2023-2024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)

20232024学年全国初中九年级上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列选项中，哪个是方程的正确表示形式？A. 2x + 3 = 7B. x + y = 5C. 3x 4yD. 2(x + 1) = 62. 下列哪个选项是二元一次方程组？A. 3x + 4y = 7B. 2x y = 5C. 4x + 3y = 8D. 3x + 2y = 6, 2x y = 43. 下列哪个选项是二次方程？A. x^2 5x + 6 = 0B. 2x + 3 = 7C. x^2 + 3x + 2D. 3x^2 4x4. 下列哪个选项是一次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = x^3D. y = 1/x5. 下列哪个选项是反比例函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^36. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^37. 下列哪个选项是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n 1)dB. a_n = a_1 + ndC. a_n = a_1 + (n + 1)dD. a_n = a_1 + (n 2)d8. 下列哪个选项是等比数列的通项公式？A. a_n = a_1 r^(n 1)B. a_n = a_1 r^nC. a_n = a_1 r^(n + 1)D. a_n = a_1 r^(n 2)9. 下列哪个选项是概率的基本性质？A. 0 <= P(A) <= 1B. P(A) > 1C. P(A) < 0D. P(A) = 210. 下列哪个选项是勾股定理的表述？A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 c^2 = b^2二、填空题（每题2分，共20分）1. 一元一次方程的解是________。

安徽省安庆市大观区安庆市第四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

安庆四中2024-2025学年第一学期九年级数学期中考试试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）C．D．y＝（x﹣1）2﹣x22．如果，那么的值是（）A．B．C．D．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1，1，2，3B．3，6，4，7C．5，6，7，8D．2，3，6，9 4．对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣1，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．有最大值，最大值是﹣1C．抛物线的顶点坐标是（1，1）D．当x＞3时，y随x的增大而增大5．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）A．1.4B．1.1C．1.2D．1.36．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（）7．在反比例函数的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y18．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣2，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（）A．m＝n B．m＜n C．m＞n D．n﹣m＜39．如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD＝1：5，连接CF并延长交AB 于E，则AE：EB等于（）A．1：6B．1：8C．1：9D．1：1010．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（）A．﹣3＜n≤﹣1或B．﹣3＜n＜﹣1或C．n≤﹣1或D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若点C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝2，AC＞BC，则AC的长为12．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为．14．如图，矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交BC、AB于点D、E，连接DE并延长交x轴于点F，连接AC．下列结论：①DE∥CA；②S四边形ACDF＝k；③若BD＝2CD，则AE＝2BE；④若点E为DF的中点，且S△AEF＝3，则k＝12；其中正确的有．（填写所有正确结论的序号）三．解答题（本大题共9小题，满分90分）15．（本题8分）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42．（1）求线段a、b的长；（2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．16．（本题8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF＝9cm，求EF和FC的长．17．（本题8分）综合与实践：【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．【实践探究】（1）求部分双曲线BC的函数表达式；【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上20：00喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上9：00能否驾车出行？请说明理由．18．（本题8分）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是CA 延长线上一点，点F是AB上一点，且∠EDF＝45°．（1）求证：△BFD∽△CDE；（2）若BF＝3，CE＝8，求AB的长．19．（本题10分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，＝；（填两数字之比）（2）如图②，在线段AB上找一点P，使＝（利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）；（3）如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形．20．（本题10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+3﹣2a．（1）当抛物线过点（2，1），①求该抛物线的表达式．②当﹣1＜x＜4时，求y的范围．（2）若函数图象上有两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1+x2＝﹣2，求证：y1+y2＞8．21．（本题12分）综合与实践：利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子四边形ABCD是边长均为30cm的正方形硬纸片，“睿智小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②、图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计、折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察、操作、验证并思考完成该小组提出的问题．设计方案一：如图①，将正方形硬纸片ABCD的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形MNQP的包装盒（如图②所示）．（1）若底面积MNQP为162cm2，求MG的长．设计方案二：如图③，将正方形硬纸板ABCD切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在AB上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形GHMN的包装盒，设GF＝x cm．（2）请直接写出线段BF的长（用含x的代数式表示）；（3）求长方体盒子的侧面积为S（cm2）与x的函数关系式．22．（本题12分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．23．（本题14分）如图，抛物线y＝ax2+bx÷4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD+∠CAO＝90°的点E的坐标；（3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，是否存在点N使四边形CMPN为菱形，如果存在，请直接写出点N的坐标．如果不存在，请说明理由．。

河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷[含答案]

2024-2025学年上期九年级期中考试数学试题考试范围：九年级上册考试时间：100分钟，试卷满分：120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为（）A ．210x x+=B ． 20x xy -=C ． 221x x +=D ． 20ax bx +=（a 、b 为常数）2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖．如图所示.下列图形是“斗”的俯视图的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知线段a 、b 、c ，作线段x ，使b ：a ＝x ：c ，则正确的作法是（）A ．B ．C ．D ．4．将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．185．若把方程2410x x --=化为2()x m n +=的形式，则n 的值是（）A ．5B ．2C ．2-D ．5-6．如图，已知矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，DF AE ^于点F ，且6AB =，12AD =，10AE =，则DF 的长为（）A ．5B ．113C ．365D ．87．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为22m ．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为2520m ，求车道的宽度（单位：m ）．设停车场内车道的宽度为m x ，根据题意所列方程为（）A ．(402)(22)520x x --=B ．(40)(22)520x x --=C ．(40)(222)520x x --=D ．(40)(22)520x x -+=8．下列给出的条件不能得出ABD ACB ∽△△的是（）A ．AD BDAB BC=B ．ABD ACB Ð=ÐC ．2AB AD AC=×D ．ADB ABCÐ=Ð9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则D 点坐标为（）A ．1,22æöç÷èøB ．1,13æöç÷èøC ．()1,2D ．1,24æöç÷èø10．如图（1），正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM ，过点O 作OM 的垂线交CD 于点N ，点M 从点B 出发匀速运动到点C ，设BM x =，PN y =，y 随x 变化的图象如图（2）所示，图中m 的值为（）A B ．1C D ．2二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．若1x =是关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根，则m 的值为．12．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB CD =、EF GH =；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学原理是：．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝度．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上一点，连结AC DE 、交于点F ．若23AE EB =，则ADF AEF S S =△△ ．15．如图，在矩形纸片ABCD中，2AD AB ==，点P 是AB 的中点，点Q 是BC 边上的一个动点，将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，连接DE CE ，，则当DEC V 是以DE 为腰的等腰三角形时，BQ 的长是．三、解答题（共8小题，共75分）16．解方程：(1)2630x x -+=；(2)23210x x --=．17．在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1002003005008001000摸到黑球的次数m 65118189310482602摸到黑球的频m na0.590.630.620.6030.602(1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近（精确到0.1）；(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．18．一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：AF //CE ；（2）当∠BAC ＝度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．19．已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x -=，求a 的值；20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？21．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A 'B ′，∠A ′（∠A ′=∠A ），以线段A ′B ′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A 'B ′C ′，使得△A 'B ′C ′∽△ABC ，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．22．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C 处放一面平面镜，从点C 处后退1m 到点D 处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像；再将平面镜向后移动4m （即4m FC =）放在F 处．从点F 处向后退1.5m 到点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像，测得的眼睛距地面的高度ED 、GH 为1.5m ，已知点B ，C ，D ，F ，H 在同一水平线上，且GH FH ^，ED CD ^，AB BH^（平面镜的大小忽略不计）．方案二：利用标杆CD 测量灯柱的高度，已知标杆CD 高1.5m ，测得2m DE =，2.5m CE =．方案三：利用自制三角板的边CE 保持水平，并且边CE 与点M 在同一直线上，已知两条边0.4m CE =，0.2m EF =，测得边CE 离地面距离0.3m DC =．三种方案中，方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．23．在ABC V 中，AB AC =，BAC a Ð=，点D 为线段CA 延长线上一动点，连接DB ，将线段DB 绕点D 逆时针旋转，旋转角为a ，得到线段DE ，连接BE ，CE ．(1)如图1，当60a =°时，ADCE的值是______；DCE Ð的度数为______°；(2)如图2，当90a =°时，请写出ADCE的值和DCE Ð的度数，并就图2的情形说明理由；(3)如图3，当120a =°时，若8AB =，7BD =，请直接写出点E 到CD 的距离．1．C【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 为常数且0a ¹）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可．【详解】解：A ．关于x 的方程210x x+=不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B ．20x xy -=，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C ．221x x +=是一元二次方程，符合题意．D ．20ax bx +=（a 、b 为常数），当0a =时，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C ．2．D【分析】根据三视图解答即可．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的作法是解题的关键．【详解】解：“斗”的俯视图是，故选D ．3．B【分析】把已知比例式化为等积式，再根据平行线分线段成比例先写出比例式，再化为等积式，比较后可得结论.【详解】解：Q b ：a ＝x ：c ，,ax bc \=由平行线分线段成比例可得：选项A ：,b ac x= 可得：,ac bx = 故A 不符合题意；选项B ：,b ax c= 可得：,ax bc = 故B 符合题意；选项C ：,b xc a= 可得：,ab cx = 故C 不符合题意；选项D ：,a xb c= 可得：,ac bx = 故D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“平行线分线段成比例，把比例式化为等积式”是解题的关键.4．D【分析】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键．先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．【详解】从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球等可能的结果如下：最美河南最最最最美最河最南美最美美美河美南河最河美河河河河南南最南美南河南南南一共16种结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种，∴摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是21168=，故选D ．5．A【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：将2410x x --=配方得，2(2)5x -=，则5n =，故选A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．6．C【分析】通过证明ADF EAB V V ∽，可得DF ADAB AE=，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B Ð=°，AD BC ∥，∴DAE AEB ÐÐ=，∵DF AF ^，∴90DFA B ÐÐ==°，∴ADF EAB V V ∽，∴DF ADAB AE =，∴12610DF =，∴DF =365，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．7．B【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x 的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为2520m 列方程即可．【详解】解：设停车场内车道的宽度为m x ，将两个停车位合在一起，则长为()40m x -，宽为()22m x -，因此(40)(22)520x x --=，故选B ．8．A【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键．【详解】解：A. A A Ð=Ð，AD BDAB BC=，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到ABD ACB ∽△△，故符合题意；B.A A Ð=Ð，ABD ACB Ð=Ð，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；C.A A Ð=Ð，2AB AD AC =×即AB ACAD AB=，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；D.A A Ð=Ð，ADB ABC Ð=Ð，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；故选A ．9．C【分析】根据位似图形的性质结合相似比得出AD 的长和//AD BG ，得到OAD OBG ∽△△，得出AO 的长，进而求出D 点坐标．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13AD BG =，//AD BG ，∵6BG =，∴2AB AD ==，∵//AD BG ，∴OAD OBG ∽△△，∴13==OA AD OB BG ，即123==++OA OA OA AB OA ，解得：1OA =，∴D 点坐标为()1,2．故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换以及相似三角形的判定与性质．正确得出OA 的长是解题的关键．10．B【分析】当点M 与点B 重合时，可得m PN CP ==；当点M 与点C 重合时，可得PN PD ==．在Rt POD V 中，求解CP 即可．【详解】解：当点M 与点B 重合时，如图：∵四边形ABCD 是正方形∴AC BD^此时，点N 与点C 重合m PN CP\==当点M 与点C 重合时，如图：∵四边形ABCD 是正方形∴,AC BD OD OC^=此时，点N 与点D 重合结合图2可知：PN PD ==设OD OC a==∵点P 为OC 的中点12OP CP a \==在Rt POD V 中，2222221,2PD OP OD a a æö=+=+ç÷èø解得：122,2a a ==-（舍去）∴1CP =，即1m =故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键．11．5【分析】：把1x =代入方程260x mx +-= ，求出关于m 的方程的解即可．【详解】把1x =代入方程260x mx +-= ，得160m +-=，解得5m =．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．矩有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可．【详解】因为AB CD =、EF GH =，所以窗框是平行四边形，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．24【分析】由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH ＝12BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°，∵DH ⊥AB ，∴OH ＝12BD ＝OB ，∴∠OHB ＝∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH ＝∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，∴∠DHO ＝∠DCO ＝12∠DCB ＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．14．52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则,AB CD AB CD =P ，可证明EAF DCF V V ∽，得到DF CD AB EF AE AE==，由23AE EB =进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AEF CDF EAF DCF Ð=ÐÐ=Ð，∴EAF DCF V V ∽，∴DF CD AB EF AE AE ==,∵23AE EB =，∴52AB AE =，∴52ADF AEF S DF AB S EF AE ===△△．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明EAF DCF V V ∽是解题的关键．151【分析】存在两种情况：当DE DC =，连接DP DQ ，，勾股定理求得DP 的长，可判断P ，E ，D 三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当DE EC =，证明BPEQ 是正方形，可得到结论．【详解】解：①当DE DC =时，如图1，连接DP DQ ，，∵点P 是AB的中点，2AB AD ==，ABCD 是矩形，∴901A AP PB Ð=°==，，∴3DP ===，∵将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，∴1PE PB ==，∵2DE DC AB ===，∴123PE DE +=+=，∴点P ，E ，D 三点共线，∵90B DCB Ð=Ð=°，∴90DEQ DCQ Ð=Ð=°，设BQ x =，则QE x CQ x ==，，在Rt DEQ △和Rt DCQ △中，根据勾股定理得：22222DQ DE EQ DC CQ =+=+，∴()222222x x +=+，解得：x =，∴BQ =②当DE EC =时，如图2，∵DE EC =，∴点E 在线段CD 的垂直平分线上，∴点E 在线段AB 的垂直平分线上，∵点P 是AB 的中点，∴EP 是AB 的垂直平分线，∴90BPE Ð=°，∵将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，∴90B PEQ PB PE Ð=Ð=°=，，∴四边形BPEQ 是正方形，∴1BQ PB ==，综上所述：BQ 或1．1．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．16．(1)1233x x ==；(2)113x =-，21x =．【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）2630x x -+=，2696x x -+=，∴()236x -=，即3x -=解得：1233x x ==；（2）23210x x --=，∴()()3110x x +-=，解得：113x =-，21x =．17．(1)0.6；(2)12【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率；（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6，故答案为：0.6；（2）列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为61 122=18．（1）见解析；（2）30，理由见解析．【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF//CE；（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠DAC＝∠BCA，由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝12∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝12∠BCA，∴∠HAF＝∠MCE，∴AF//CE；（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AB//CD，由（1）得：AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝60°．∴∠ACD＝30°，由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，∴∠HAF＝∠ACD，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：30．【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．(1)见解析(2)5a =或1a =-【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系．（1）根据根的判别式24b ac D =-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出12x x +，12x x ×，即()2212121249x x x x x x -=+-=，从而列出关于a 的方程，解出即得出结果．【详解】（1）证明：∵()()()222414420a a a a a =---=-+=-³V ，\该方程总有两个实数根；（2）解：Q 方程的两个实数根1x ，2x ，由根与系数关系可知，12x x a +=，121x x a ×=-，123x x -=Q 2129x x \-=()()2212121249x x x x x x \-=+-=，∴24(1)9a a \--=即2(2)9a -=，23a \-=或23a -=-，∴5a =或1a =-．20．40元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价应定为x 元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设售价应定为x 元，由题意可得：()()1002050030800010x x éù---=êúëû，整理得：210024000x x -+=，解得：140x =，260x =，∵更大优惠让利消费者，∴40x =，答：售价应定为40元．21．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作∠A 'B 'C =∠ABC ，即可得到△A 'B ′C ′；（2）依据D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，即可得到A D AB AD AB ¢¢¢¢=，根据△ABC ∽△A 'B 'C '，即可得到A B A C AB AC ¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，进而得出△A 'C 'D '∽△ACD ，可得C D A C k CD AC¢¢¢¢==．【详解】（1）如图所示，△A 'B ′C ′即为所求；（2）已知，如图，△ABC ∽△A 'B 'C '，A B B C A C AB BC AC¢¢¢¢¢¢===k ，D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，求证：C D CD ¢¢=k ．证明：∵D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，∴AD =12AB ，A 'D '=12A 'B '，∴1212A B A D A B AD AB AB ¢¢¢¢¢¢==，∵△ABC ∽△A 'B 'C '，∴A B A C AB AC ¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，∵A D A C AD AC¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，∴△A 'C 'D '∽△ACD ，∴C D A C CD AC¢¢¢¢==k ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．22．二、三，12米【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中ABE V 缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及90EDC ABC Ð=Ð=°，进而证明ABC EDC V V ∽，同理可得ABF GHF △∽△，根据方案一的数据计算即可【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中ABE V 缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中AMC V 缺少边长的条件，故方案三不可行，故答案为：二，三选方案一,ECD ACB EDC ABC Ð=ÐÐ=ÐQ ，ABC EDC \V V ∽，AB BC ED CD\=，∵1CD =，1.5 1.51BC ED BC AB BC CD ´\===，设BC x =，则 1.5AB x =，同理可得ABF GHF △∽△，AB BF GH FH=，1.5,4, 1.5, 1.5AB x BF BC CF x GH FH ==+=+==Q ，1.541.5 1.5x x +\=，解得8x =．1.512AB x ==米．23．(1)160(2)45AD DCE CE =Ð=°，理由见解析【分析】（1）当60a =°时，ABC V 和BDE V 为等边三角形，证明ABD CBE V V ≌即可求解；（2）当60a =°时，ABC V 和BDE V 为等腰直角三角形，证明ABD CBE ∽△△即可求解；（3）过点A 作AH BC ^于H ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为120°，得到线段DE ，连接BE ，CE ．过点B 作BM AC ^于点E ，过点E 作EN AC ^于点N ，则点E 到CD 的距离就是EN 的长度，分两种情况进行讨论，当当D 在线段AM 上时或当D 在线段AM 延长线上时，类似（2）构造相似三角形求解即可．【详解】（1）解：当60a =°时，∵AB AC =，∴ABC V 为等边三角形，∴AB BC =，60ABC ACB Ð=Ð=°，120BAD Ð=°，由旋转的性质可得：60BDE Ð=°，BD ED =，∴BDE V 为等边三角形，∴BD BE =，60EBD Ð=°，∴60DBE ABC Ð=Ð=°，∴DBA EBCÐ=Ð在ABD △和CBE △中DB EB DBA EBCAB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴ABD CBEV V ≌∴=AD CE ，120BAD BCE Ð=Ð=°，∴1AD CE=，60DCE BCE ACB Ð=Ð-Ð=°．故答案为：1，60；（2）解：45AD DCE CE =Ð=°，理由如下：当90a =°时，∵AB AC =，∴ABC V 为等腰直角三角形，∴AB BC =，45ABC ACB Ð=Ð=°，90BAD Ð=°，由旋转的性质可得：90BDE Ð=°，BD ED =，∴BDE V 为等腰直角三角形，∴BD BE =45EBD Ð=°，∴45DBE ABC Ð=Ð=°，∴DBA EBC Ð=Ð，又AB BD BC BE ==∴ABD CBE∽△△∴AD AB CE BC ===90BAD BCE Ð=Ð=°，∴45DCE BCE ACB Ð=Ð-Ð=°；（3）解：过点A 作AH BC ^于H ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为120°，得到线段DE ，连接BE ，CE ．过点B 作BM AC ^于点E ，过点E 作EN AC ^于点N ，则点E 到CD 的距离就是EN 的长度，当D 在线段AM 上时，如下图：由题意可得：8AB AC ==∵120a =°，∴60MAB Ð=°，30ABC ACB Ð=Ð=°，2BC BH =，∴4AH =，BH =∴AB BC =，同理BD BE =30EBD Ð=°，∴AB BD BC BE ==EBD ABC Ð=Ð，∴ABD CBE Ð=Ð，∴ABD CBE ∽△△，∴AD AB CE BC =，60BAD BCE Ð=Ð=°，∴CE ，30ECN ECB ACB Ð=Ð-Ð=°，在Rt ABM V 中，8AB =，60MAB Ð=°，∴4AM =，=BM在Rt BDM V 中，=BM 7BD =，∴1MD =，∴3AD AM DM =-=，∴ CE =∵30ECN Ð=°，EN AC ^，∴12EN EC =当D 在线段AM 延长线上，如下图：同理：CE =，30ECN Ð=°，5AD AM DM =+=，∴CE ∴12EN EC =综上所述：点E 到CD 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．。

湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。

天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

天津市和平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．若1x =是方程210x mx ++=的一个解，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．已知O 的半径为3，平面内有一个点P ，若点P 在O 外，则在OP 的长可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（）度．A ．60B ．120C ．180D ．2705．若12,x x 是方程22231x x x -+=+的两个根，则（）A ．122x x +=B ．121x x =+C ．1212x x =-D ．121x x =6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则下列结论不正确的是（）A ．第一轮后共有()1x +个人患了流感B ．第二轮后又增加()1x x +个人患流感C ．依题意可以列方程()11121x x x +++=D ．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1000人患流感7．将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）A ．()213y x =+-B ．()=+-2y x 12C ．()213y x =--D ．()212y x =--8．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-，下列说法正确的是（）A ．小球的飞行高度为15m 时，小球飞行的时间是1sB ．小球从飞出到落地要用4sC ．小球飞行3s 时飞行高度为15m ，并将继续上升D ．小球的飞行高度可以达到25m9．在“探索二次函数()20y ax bx c a =++≠的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：()()()()01,21,41,32A B C D ，，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式2y ax bx c =++，则a b c ++的最大值等于（）A ．5-B ．23C ．2D ．510．如图，四边形ABCD 内接于O ，F 是AD 延长线上一点，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，分别以点B 和点E 为圆心，大于12BE 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于点M ，连接CM ，若25ECM ∠=︒，则CDF ∠的度数为（）A ．50︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒11．如图，已知ABC V 中，20CAB ∠=︒，30ABC ∠=︒，将ABC V 绕点A 逆时针旋转50°得到AB C ''△，以下结论中错误的是（）A ．CB BB '''⊥B ．BC B C ''=C ．AC C B ''D ．ABB ACC ''∠=∠12．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0,1a c ≠>）的图象与x 轴的一个交点坐标为()2,0-，对称轴为直线1x =．有下列结论：①<0a b c -+；②若点()()()1233,,2,,6,y y y -均在该二次函数图象上，则132y y y <<；③方程210ax bx c ++-=的两个实数根为12,x x ，且12x x <，则1224x x -<<<；④若m 为任意实数，则29am bm c a ++≤-．其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．点()5,1A 与点A '关于原点对称，则点A '的坐标是．14．已知抛物线()2211y x =++，图象的开口向，顶点坐标为，当x 时，y 随x 的增大而减小．15．关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．16．如图，AB 是O 的直径， BCCD DE ==，35COD ∠=︒，则AOE ∠=︒．17．如图，O 是等边ABC V 内一点，6,8,10OA OB OC ===，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，连接AO '．（I ）线段AO '的长为；（II ）BOC 的面积为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，线段DE 与圆相交于点F ．（I ）线段DE 是将线段AB 绕点C 顺时针旋转（度）得到的；（II ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，在线段A 上画出点P ，使BP EF =，并简要说明点Р的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．解下列方程：(1)22x x =﹔(2)()2458x x x-=-20．用一条长40cm 的绳子围成一个矩形．(1)若围成的矩形面积为275cm ，求该矩形的长和宽．(2)能围成一个面积为2101cm 的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积．21．已知AB 是O 的直径，50CAB ∠=︒，E 是AB 上一点，延长CE 交O 于点D ．(1)如图①，当点E 是弦CD 的中点时，求CDO ∠的大小；(2)如图②，当AC AE =时，求CDO ∠的大小．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，BC 是O 的直径，OA CD ∥．(1)若65ABC ∠=︒，求BAD ∠的大小；(2)若1,4AB BC ==，求CD 的长．23．如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：x 012m 4567…y 07261528152n 72…(1)①m =______，n =______；②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =-+．①小球飞行的最大高度为______米；②求v 的值．24．已知ABC V ，90,3,4C BC AC ∠=︒==，将ABC V 绕点B 旋转得到A BC ''△，点A 的对应点为A '，点C 的对应点为C '，连接AA '．(1)如图，将ABC V 绕点B 逆时针旋转90︒，求AA '的长；(2)当点C '落直线AB 上时，求AA '的长；(3)连接C C '，直线C C '与直线AA '相交于点D ，在旋转过程中，线段C D '的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒25．抛物线23y ax bx =++（a ，b 为常数，0a >）的顶点为()2,1P --，与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线上的点M 的横坐标为m （m 是常数）．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)若直线()31x m m =-<<-与AC 相交于点N ，当2MN =时，求点M 的坐标；(3)若将点M 绕着原点O 顺时针旋转45︒得到点M '，点()D ，当ODM ' 面积最小时，求点M 的坐标．。

人教版九年级上学期期中考试数学试卷及答案(共6套)

人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）满分120分，考试时间120分钟。

一、精心选一选(每小题3分,共30分，将答案填在相应的括号内) 1. 下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（） A. 1 B. 1- C.1或1- D. 123.在抛物线y ＝－x 2＋1 上的一个点是 ( )A ．(1,0)B ．(0,0)C ．(0，－1)D ．(1,1) 4.抛物线y ＝x 2－2x ＋1 的顶点坐标是 ( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(－2,1)D ．(2，－1) 5.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（） A. 方程两根和是1 B. 方程两根积是2 C. 方程两根和是1- D.方程两根积比两根和大26.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=10007. 若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是 ( ) A ．abx -=B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝38.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（）A.x(5+x)=6B. x(5-x)=6C. x(10-x)=6D. x(10-2x)=6 9.一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是 ( ) A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米10．二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点（） A. (-1,-1) B. (1,-1) C. (-1,1) D. (1,1) 二、细心填一填（每小题4分，共32分） 11. 方程x 2+x=0的根是 .12.请你写出以2和-2为根的一元二次方程 .（只写一个即可）13. 抛物线y ＝－x 2＋3的对称轴是，顶点坐标是 . 14.函数y=x 2+x-2的图象与y 轴的交点坐标是 .15.已知x ＝－1是方程x 2＋bx －5＝0的一个根，则b ＝________，方程的另一根为________．16.若x 1、x 2是方程x 2+4x-6=0的两根，则x 12+x 22= .17. 抛物线22y x x m =-+，若其顶点在x 轴上，则m=_________.18. 若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝__ _.三、解答题（要求：写出必要的解题步骤和说理过程）．19.(满分9分)请画出二次函数2-2-3y x x =的图象，并结合所画图象回答问题： (1) 当x 取何值时，y=0; (2) 当x 取何值时，y ＜0.20.（满分6分）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2﹣3a +b . 如：3★5=32﹣3×3+5，若x ★2=6，试求实数x 的值.21. （满分8分）已知△ABC 的一条边BC 的长为5，另两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223 320x k x k k -++++=的两个实数根． (1)求证：无论k 为何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2) 当k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．22. （满分9分）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号. ①abc ；②b 2-4ac.；③a +b +c ；④a ﹣b +c .23.（满分6分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示. ①求这个二次函数的表达式； ②当x 为何值时，y=3.24.（满分7分）如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25．（满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y=x 2﹣3向右平移1个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M 、A 、B 坐标；（2）若顶点为M 的抛物线与x 轴的两个交点为B 、C ，试求线段BC 的长.参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分） 1-5小题 BBAAC 6-10小题 DDBCD 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 0或-1 12.答案不唯一，如x 2-4=0等. 13. 直线x=0（或y 轴）（0，3） 14. （0，-2） 15. -4， 516. 28 17. -1 18. 1 19.用描点法正确画出函数图象得3分；（1）因为抛物线与x 轴交于（-1，0）、（3，0），所以当x=-1或3时，y=0; …………(3分) (2) 由图象知，当-1＜x ＜3时，y ＜0; …………(6分) 20. x 2-3x+2=6 …………(4分) 解得：x=﹣1或4 ………… (6分) 21. （1）证明：∵ △=[]22(23)4(32)10k k k -+-++=>∴ 无论k 为何值方程总有两个不相等的实数根。

九年级数学上册九上浙教版期中模拟试卷(二)

九上浙教版期中模拟卷（二）1031．下列四条线段不成比例的是（）A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=，b=8，c=5，d=15C．a=，b=2，c=3，d=D．a=1，b=，c=，d=2．函数y=x2+1与y=x2+2的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状3．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③4．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+35．四张完全相同的卡片分别画有平行四边形、矩形、等边三角形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形不是中心对称图形的概率为（）A．1 B．C．D．6．抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）A．0种B．1种C．2种D．3种8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（）A．2πB．4πC．5πD．6π9．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c=0；③2b+c+3=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．110．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时，y＞0D．当x＜时，y随x的增大而减小二、填空题（共6小题，每题3分）11．某扇形的弧长为8πcm，圆心角为120°，则此扇形的面积为．12．甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是．13．已知抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+c=0的根为．14．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．15．已知如图，矩形OCBD如图所示，OD=2，OC=3，反比例函数的图象经过点B，点A为第一象限双曲线上的动点（点A的横坐标大于2），过点A作AF⊥BD于点F，AE⊥x轴于点E，连接OB，AD，若△OBD∽△DAE，则点A的坐标是．16．如图，小明从二次函数y=ax2+bx+c图象中看出这样四条结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④△＞0；其中正确的有个．三、解答题（共8题，共72分，17-18每题7分，19-22每题9分，23-24题每题11分）17．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，∠A=30°，AO=1．（1）求∠C度数；（2）求阴影部分的面积．18．一天，小华和小夏玩掷骰子游戏，他们约定：他们用同一枚质地均匀的骰子各掷一次，如果两次掷的骰子的点数相同则小华获胜：如果两次掷的骰子的点数的和是6则小夏获胜．（1）请您列表或画树状图列举出所有可能出现的结果；（2）请你判断这个游戏对他们是否公平并说明理由．19．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE 交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1，并直接写出点B1、C1的坐标．（2）求线段AB所扫过的图形的面积．21．一座拱型桥，桥下水面宽度AB是8米，拱高CD是2米．（1）若把看作是抛物线拱型桥，按如图（1），建立平面直角坐标系，当水面上升1.5米后，求水面EF的宽度．（2）若把看作是一座圆弧形拱型桥，如图（2），现有一艘宽4.3米，船舱顶部为长方形并高出水面1.5米的货船能顺利通过这座拱桥吗？22．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）求函数图象的对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．23．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C﹣D﹣A 向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A﹣C﹣B 的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当AM=0.5时，求线段QM的长；（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围．24．如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于B（﹣4，0），C（1，0）两点，与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，且位于第二象限，在P点运动过程中，△PAB也随之变化，当△PAB的面积最大时，求出P点坐标，并求出此时△PAB的面积．一．选择题（共10小题）1．【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．【解答】解：A、从小到大排列，由于2×6=3×4，所以成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于×15=5×8，所以成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于×3≠×2，所以不成比例，符合题意；D、从小到大排列，由于1×=×，所以成比例，不符合题意．故选：C．2．【分析】根据a相同，可得函数图象的形状相同，开口方向相同，根据a、b相同，可得函数图象的对称轴相同．【解答】解：由y=x2+1与y=x2+2中a、b相同，得对称轴相同，开口方向相同，形状相同，故选：C．3．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP=∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC=∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP=AP•CB，即=，而∠PAC=∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．4．【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y=x2﹣6x+21=（x2﹣12x）+21=[（x﹣6）2﹣36]+21=（x﹣6）2+3，故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．故选：D．5．【分析】先找出卡片上所画的图形不是中心对称图形的个数，再除以总数即可．【解答】解：∵四张卡片中不是中心对称图形只有等边三角形这1个，∴卡片上所画图形不是中心对称图形的概率为，故选：D．6．【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．7．【分析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．【解答】解：∵两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时，则另两边的和为27cm，27＜45，不能构成三角形，∴必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，设另外两边长分别为x、y，则（1）若27cm与24cm相对应时，==，解得：x=33.75cm，y=40.5cm，x+y=33.75+40.5=74.25cm＞45cm，故不成立；（2）若27cm与36cm相对应时，==，解得：x=22.5cm，y=18cm，x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm，成立；（3）若27cm与30cm相对应时，==，解得：x=32.4cm，y=21.6cm，x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm，故不成立；故只有一种截法．故选：B．8．【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．【解答】解：连接OA、OC，∵∠ADC=60°，∴∠AOC=2∠ADC=120°，则劣弧AC的长为：=4π．故选：B．9．【分析】①根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号；②当x=1时，y=1，判断b+c+1的符号，由b+c+1=1，可得b+c=0；③根据对称轴求b的值，由b+c=0，代入可作判定；④由抛物线和直线所处的位置判断x2+bx+c＜x，得出x2+（b﹣1）x+c＜0．【解答】解：①∵函数y=x2+bx+c与x轴没交点，∴△=b2﹣4ac＜0，∵a=1，∴△=b2﹣4c＜0，故①错误；②∵函数y=x2+bx+c与y=x的交点的横坐标为1，∴交点为：（1，1），（3，3），∴b+c+1=1，∴b+c=0；故②正确；③由图象得：抛物线的对称轴是：x=，且a=1，∴﹣=，∴b=﹣3，∴2b+c+3=b+0+3=0，故③正确；④由图象可知：当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0，故④正确．故选：B．10．【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；由抛物线与y轴的交点，可判断c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；故选：C．二．填空题（共6小题）11．【分析】首先设此扇形的半径是R，根据扇形的弧长为8πcm，圆心角为120°，求出扇形的半径是多少；然后根据S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），求出此扇形的面积为多少即可．【解答】解：设此扇形的半径是R，则×2πR=8π，解得R=12，∴此扇形的面积为：lR=×8π×12=48π（cm2）．故答案为：48πcm2．12．【分析】根据概率公式计算可得．【解答】解：∵甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲这6种等可能结果，而甲排在中间的只有2种结果，∴甲排在中间的概率为，故答案为：13．【分析】将x=﹣1，y=0代入抛物线的解析式可得到c=﹣3a，然后将c=﹣3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【解答】解法一：将x=﹣1，y=0代入y=ax2﹣2ax+c得：a+2a+c=0．解得：c=﹣3a．将c=﹣3a代入方程得：ax2﹣2ax﹣3a=0．∴a（x2﹣2x﹣3）=0．∴a（x+1）（x﹣3）=0．∴x1=﹣1，x2=3．解法二：已知抛物线的对称轴为x==1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax2﹣2ax+c=0的两个根为﹣1，3故答案为：﹣1，3．14．【分析】根据题意知，该扇形的圆心角是90°．根据勾股定理可以求得OA=OB=，由扇形面积公式可得出结论．【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴OA=OB==，∴S扇形OAB===．故答案为：．15．【分析】分AF与BC为对应边和AF与OC为对应边两种情况讨论，先求出反比例函数的解析式，再根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：AF与BC为对应边，设AE=3y，则AF=DE=2y，∵OD=2，OC=3，∴反比例函数的解析式为：y=，由题意得，2+2y=，整理得，y2+y﹣1=0，解得，y1=（舍去），y2=，∴点A的坐标是（+1，），故答案为：（+1，）．16．【分析】由开口方向可判断①，结合对称轴的位置可判断②，由与y轴的交点可判断③，由图象与x轴的交点个数可判断④，则可求得答案．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，故①正确；∵对称轴在y轴的左侧，∴﹣＜0，且a＞0，∴b＞0，故②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，故③不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确；综上可知正确的有3个，故答案为3．三．解答题（共8小题）17．【分析】（1）根据垂径定理可得=，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S﹣S△OAB，即可得出答案．扇形OAB【解答】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴=，∴∠C=∠AOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE，∵∠A=30°，AO⊥BC，∴∠C=30°．（2）连接OB，由（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=，∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××=π﹣．18．【分析】（1）根据题意列表即可；（2）根据根据表格可以求得得分情况，比较其大小，即可得出结论．【解答】解：（1）列表得：（2）这个游戏对他们不公平，理由：由上表可知，所有可能的结果有36种，并且它们出现的可能性相等，而P（两次掷的骰子的点数相同）==；P（两次掷的骰子的点数的和是6）=，∴不公平．19．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△ADF∽△EDA，再利用相似三角形的性质得出∠F=∠DAE，进而证明△BFD∽△CAD即可；（2）由（1）得出，再证明，进而解答即可．【解答】证明：（1）∵AD2=DE•DF，∴，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F=∠DAE，又∵∠ADB=∠CDE，∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴，∴BF•DE=AB•AD．20．【分析】（1）分别作出点B、C绕着点A顺时针旋转90°所得对应点，再顺次连接可得；（2）根据扇形的面积公式计算可得．【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；由图可知点B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（1，﹣3）；（2）∵AB==3，且∠BAB1=90°，∴线段AB所扫过的图形的面积为=π．21．【分析】（1）直接将A（﹣4，0）代入函数解析式，进而得出a的值，再将y=1.5代入函数解析式即可得出x的值，进而得出EF的长；（2）设圆弧的半径为r，利用勾股定理得出（r﹣2）2+42=r2，即可得出r的值，再利用CO=3，长方形并高出水面1.5米的货船，得出弦心距为4.5m时，对应弦长进而比较即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+2，把A（﹣4，0），代入得：0=16a+2，解得：a=﹣，∴y=﹣x2+2，把y=1.5代入得：1.5=﹣x2+2，解得：x=±2，∴EF=4（m）；（2）由垂径定理得：BC=AB=4（m），设圆弧的半径为r，∴（r﹣2）2+42=r2，解得：r=5，当弦心距为4.5时，弦长=2=（m），∵＞4.3，∴货船能顺利通过这座拱桥．22.【分析】（1）根据二次函数解析式确定出顶点坐标，与两坐标轴的交点坐标，画出函数图象即可；（2）由函数图象，利用数形结合的方法确定出x的范围即可．【解答】解：（1）二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，顶点为（2，﹣1），对称轴为直线x=2，与x轴交点为（1，0）和（3，0），与y轴交点为（0，3），画出图象，如图所示，（2）由图象得：当y＜0时，1＜x＜3．23．【分析】（1）利用直线平行得出Rt△AQM∽Rt△CAD，再利用对应边的比值相等求出即可；（2）点M在线段AB上运动时，以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出；（3）分当0≤t≤2时与当6≥t＞2时，进行讨论得出符合要求的答案．【解答】解：（1）∵AB∥DC，∴Rt△AQM∽Rt△CAD．∴．即，∴QM=1．（2）∵根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：①当∠CPQ=90°时，点P与点E重合，此时DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，②当∠PQC=90°时，如备用图1，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴，由（1）知，EQ=EM﹣QM=4﹣2t，而PE=PC﹣CE=PC﹣（DC﹣DE）=t﹣（2﹣t）=2t﹣2，∴，∴；③当2＜t≤6时，可得CD=DP=2时，∠DCP=45°，可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，此时t=4，综上所述，t=1或或4；（3）如图1，当0≤t≤2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E 由（1）可得．即，∴QM=2t．∴QE=4﹣2t．∴S△PQC=PC•QE=﹣t2+2t，即y=﹣t2+2t，当6≥t＞2时，如图3，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H．PA=DA﹣DP=4﹣（t﹣2）=6﹣t．由题意得，BF=AB﹣AF=4．∴CF=BF，∴∠CBF=45°，∴QM=MB=6﹣t，∴QM=PA．∴四边形AMQP为矩形．∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6﹣t∴CH=AD﹣HF=t﹣2，∴S△PQC=PQ•CH=，即y=，综上所述y=﹣t2+2t（0＜t≤2），或y=（2＜t≤6）．24．【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过P作PH⊥x轴于H，与AB交于E，则S△PAB=PE•OB，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，设点P 的坐标为（t，﹣t2﹣3t+4），则点E的坐标为（t，t+4），进而可得出S△PAB=﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）将点B（﹣4，0）、C（1，0）代入y=ax2+bx+4，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x+4．（2）过P作PH⊥x轴于H，与AB交于E，如图所示．∵S△PEB=PE•BH，S△PEA=PE•OH，∴S△PAB=S△PEB+S△PEA=PE•OB．当x=0时，y=﹣x2﹣3x+4=4，∴点A的坐标为（0，4）．设直线AB的解析式为y=kx+m，将B（﹣4，0）、A（0，4）代入y=kx+m，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+4．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣3t+4），则点E的坐标为（t，t+4），∴PE=﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）=﹣t2﹣4t，∴S△PAB=PE•OB=﹣2t2﹣8t=﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴当t=﹣2时，S△PAB最大，∴当S△PAB最大时，点P的坐标为（﹣2，6），S△PAB最大值为8．。

四川省达州市高级中学校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：（每小题4分，共40分；每小题选出正确答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑．否则不得分．）1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++= C.()()121x x -+= D.223250x xy y --=答案：C 解析：详解：解：A 、2210x x+=是分式方程，选项说法错误，不符合题意；B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．2.已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列结论中不正确的是（）A.当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B.当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C.当OA OB =时，四边形ABCD 是矩形D.当ABD CBD ∠=∠时，四边形ABCD 是矩形答案：D 解析：详解：解：如图：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；A 选项正确；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；B 选项正确；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，又∵OA OB =，∴OA OB OC OD ===，∴四边形ABCD 是矩形；C 选项正确；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，又∵ABD CBD ∠=∠，∴BDC CBD ∠=∠，∴BC CD =，∴四边形ABCD 是菱形；不能证明四边形ABCD 是矩形，D 选项错误，故选：D ．3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A.110B.15C.13D.12答案：B 解析：详解：解：根据概率的定义，一共有10只粽子，其中红豆粽有2个，所以吃到红豆粽的概率是21105=．故选B ．4.如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（）A.2B.4C.D.答案：C 解析：详解：作D 关于AE 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD 于P′，∵DD′⊥AE ，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF ，∠DAE=∠CAE ，∴△DAF ≌△D′AF ，∴D′是D 关于AE 的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ 的最小值，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt △AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴，即DQ+PQ 的最小值为2，故答案为C ．5.已知ABC 如图，则下列4个三角形中，与ABC 相似的是（）A. B. C. D.答案：D 解析：详解：∵由图可知，675AB AC B ==∠=︒，，∴75C ∠=︒，18030A B C ∠=︒-∠-∠=︒，A ．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为60︒，不与ABC 相似；B ．选项中三角形各角的度数分别是52.5︒，52.5︒，75︒，不与ABC 相似；C ．选项中三角形各角的度数分别为40︒，70︒，70︒，不与ABC 相似；D ．选项中三角形各角的度数分别为30，︒75︒，75︒，与ABC 相似；故选：D ．6.若578a b ck ===且323a b c -+=，则243a b c +-的值是（）A.14 B.42C.7D.143答案：D 解析：详解：解：578a b ck ===，5,7,8a k b k c k ∴===，323a b c -+= ，352783k k k ∴⨯-⨯+=，解，得13k =，578,333a b c ∴===578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=，故选：D ．7.某市2020年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化、绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（）A.()3001363x +=B.()23001363x +=C.()30012363x += D.()23631300x -=答案：B 解析：详解：解：设绿化面积平均每年的增长率为x ，根据题意得，()23001363x +=故选：B ．8.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1x x +（0x >）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x，矩形的周长是12x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有1x x=（0x >），解得1x =，这时矩形的周长124x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此1x x +（0x >）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子225x x+（0x >）的最小值是（）A.10B.5C.15D.20答案：A 解析：详解：解：∵0x >，∴在原式中分母分子同除以x ，即22525x x x x+=+；在面积是25的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是25x，矩形的周长是252x x ⎛⎫+⎪⎝⎭；当矩形成为正方形时，就有25x x=（0x >），解得：5x =，这时矩形的周长25220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭最小，因此225x x+（0x >）的最小值是10．故选：A ．9.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC BC >），下列结论错误的是（）A.AC BCAB AC= B.2•BC AC AB =C.12AC AB -= D.0.618≈BCAC答案：B 解析：详解：解：∵AC ＞BC ，∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意；AC 2=AB•BC ，故B 错误，12AC AB -=，故C 正确，不符合题意；0.618≈BCAC，故D 正确，不符合题意．故选B ．10.如图，在ABC 中60A ∠=︒，BM AC ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM PN ，，则下列结论：①PM PN =；②AM ANAB AC=；③PMN 为等边三角形；④当=45ABC ∠︒时，BN =．其中正确个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D 解析：详解：解：①∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BC ==，故①正确；②∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，∴90AMB ANC ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，∴AMB ANC ∽ ，∴AM ANAB AC=，故②正确；③∵BM AC ⊥于点M ，CN AC ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，∴点P 是Rt MBC 和Rt NBC 的斜边的中点，∴12MP NP BP CP BC ====，∴点M ，N ，B ，C 共圆，∴2NPM ABM ∠=∠，在Rt ABM 中，60A ∠=︒，∴30ABM ∠=︒，∴60NPM ∠=︒，∵PN PM =，∴PMN 是等边三角形，故③正确；④当=45ABC ∠︒时，BNC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴22BN BC =，故④正确；故选：D ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，满分24分，请把答案填写在答题卷上，否则不得分．）11.菱形的两条对角线长分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为______．答案：24解析：详解：解：x 2﹣14x +48=0，则有（x -6）(x -8)=0解得：x =6或x =8．所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为：24．12.已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m =___，另一个根是___．答案：①.1②.-3解析：详解：根据题意，得4+2m −6=0，即2m −2=0，解得，m =1，由韦达定理，知：12x x m +=-，∴221x +=-，解得：2 3.x =-故答案为：1，−3.13.关于x 的方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_____．答案：k ＜1且k ≠0．解析：详解：解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，∴k ≠0且△＞0，即(﹣2）2﹣4×k ×1＞0，解得k ＜1且k ≠0．∴k 的取值范围为k ＜1且k ≠0．故答案为：k ＜1且k ≠0．14.如图，△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为______答案：18.解析：详解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵23 DEBC=，∴2224()(39 ADEABCS DES BC===，∴9184ABC ADES S==．故选：18．15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则AEED的值是_______．答案：33133解析：详解：解：90BAC ACD∠=∠=︒，∴AB CD，∴30BAE EDC∠=∠=︒，45ABE ECD∠=∠=︒，∴ABE DCE∽，∴AE ABED CD=，∵AC AB=，∴AE ACED CD=，∵3tan 3AC D CD ∠==，∴3AE ED =，故答案为：33．16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C 1…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为______答案：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭解析：详解：解：∵正方形ABCD 的点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．∴1OA =，2OD =，由勾股定理得，AD =12OA OD =，∵90ADO DAO ∠+=︒，190DAO BAA ∠+=︒，∴1ADO BAA ∠=，由题意得190DOA ABA ∠==︒，则1DOA ABA ∽，∴112A B OA AB OD ==，∵AD AB ==∴152A B =，则第二个正方形的面积为2221153522S A C ⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭⎭，同理可得第三个正方形的面积为2422215135352222S A C ⎛⎫⎛⎫==+⨯=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依此类推，第n 个正方形的面积为()21352n n S -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则第2014个正方形的面积为：40262014352S ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．故答案为：4026352⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭．第Ⅱ卷三、解答题：（本大题4个小题，共86分）解答时每小题需给出必要的演算过程或推理步骤．17.解方程：（1）22210x x --=（2）()()22320x x ---=答案：（1）112x +=，212x =（2）12x =，25x =解析：小问1详解：原方程变形为212x x -=配方得21344x x -+=，即21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴12x -=，∴1132x +=，2132x =．小问2详解：原方程可以变形为()()2230x x ---=，∴20x -=或230x --=，∴12x =，25x =．18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2），B （﹣3，4）C （﹣2，6）.（1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2．答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：详解：（1）如图：△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图：△A 2B 2C 2即为所求.19.已知关于x 的一元二次方程()22110x k x k +---=．（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根x 1和x 2，且满足12111x x +=，求k 的值．答案：（1）有两个不相等的实数根（2）2k =解析：小问1详解：解：()()222Δ214144144450k k k k k k =----=-+++=+> ，()22110x k x k ∴+---=有两个不相等的实数根；小问2详解：由一元二次方程根与系数的关系可知：1212x x k +=-，121x x k ⋅=--，121212111x x x x x x ++==⋅ ，1211k k -∴=--，解得：2k =．20.第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．答案：见解析解析：详解：解：根据题意，用A 表示红球，B 表示绿球，列表如下：A A BAA A A AB A AA A A AB A B A B A B B B由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，(P ∴都是红球)=49，(1P 红1绿球)=49．(P 都是红球)(1P =红1绿球)，∴这个规则对双方是公平的．21.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）若商场只要求保证每天的盈利为4320元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？（2）若该商场经理想让这种水果每天的盈利为4600元，商场经理的想法能实现吗？如果能请求出每千克应涨价多少元，如果不能请说明理由．答案：（1）2元（2）不能，见解析解析：小问1详解：设每千克应涨价x 元，则()()10400204320x x =＋－，解得2x =或8x =，为了使顾客得到实惠，所以2x =，所以每千克应涨价2元．小问2详解：该商场经理想法不能实现．设每千克应涨价x 元，则()()10400204600x x =＋－，整理，得210300x x -+=，∵()2104130200∆=--⨯⨯=-<，∴该方程无解，∴不可能．22.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，连接AE ，BE ，（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）当∠BAC =90°时，矩形AEBD 是正方形．理由见解析．解析：详解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC =90°时，理由如下：∵∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD =BD =CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．23.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的平分线，BE AE ⊥，垂足为点E ．求证：2BE DE AE =⋅．答案：见详解解析：详解：证明：∵AD 是CAB ∠的平分线，∴CAD BAD ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒，又∵BE AE ⊥，∴90E ∠=︒，∴90EBD BDE ∠+∠=︒，而ADC BDE ∠=∠，∴CAD DBE BAE ∠=∠=∠，∴BDE ABE ∽△△，∴::BE AE DE BE =，∴2BE DE AE =⋅．24.阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2在矩形ABCD 中，52AB BC ==，，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，当BC =时，试求出AB 的值．答案：（1）是，理由见解析；（2）见解析；（3）2解析：详解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：55A ∠=︒ ，125ADE DEA ∴∠∠=︒＋，55DEC ∠=︒ ，125BEC DEA ∴∠∠=︒＋．ADE BEC ∴∠=∠，A B ∠=∠ ，ADE BEC ∴∽V V ，∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）作图如下：点E 即为所求（下图中二选其一即可）（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，AEM BCE ECM ∴∽∽ ，BCE ECM AEM ∴∠=∠=∠,由折叠可知ECM DCM ：≌， ECM DCM CE CD ∴∠=∠=，，1303BCE BCD ∴∠=∠=︒，111222BE CE DC AB ∴===．在Rt BCE 中，设BE 为x ，CE 为2x ，根据勾股定理，222BC BE EC +=，可得2234x x +=，解得1x =±，0x >，1x ∴=，2CE =∴，即2AB =．25.如图，在平面直角坐标系内，已知点()0,6A 、点()8,0B ，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t秒．（1）求直线AB 的解析式；（2）当t 为何值时，APQ △与AOB 相似．（3）当t 为何值时，APQ △的面积为165个平方单位．答案：（1）y ＝－34x ＋6（2）3011秒或5013秒（3）1秒或4秒解析：小问1详解：解：设直线AB 的解析式为y kx b=+由题意，得680b k b =⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线AB 的解析式为364y x =-+．小问2详解：解：由68AO BO ==，得10AB =，∴102AP t AQ t ==-，，①当APQ AOB ∠=∠时，APQ AOB ∽．∴102610t t -=，解得3011t =②当AQP AOB ∠=∠时，AQP AOB ∽．∴102106t t -=，解得5013t =∴当t 为3011秒或5013秒时，APQ △与AOB 相似；小问3详解：解：过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．在Rt AOB △中，4sin 5BO BAO AB ∠==在Rt AEQ △中，()48·sin 102855QE AQ BAO t t =∠=-=-，21184168422555APQ S AP QE t t t t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+= ⎪⎝⎭ 解得，1t =（秒）或4t =（秒）∴当1t =秒或4t =秒时，APQ △的面积为165个平方单位．。

2024-2025学年上海市宝山区上学期九年级期中考试数学试卷含详解

2024学年第一学期九年级数学期中试卷（满分150分时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题．2．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸,本试卷上答题一律无效．3．除第一,二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一．选择题：（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应高之比是（）A.1∶2,B.1∶4,C.1∶6,D.1∶8．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A.两个等边三角形B.两个矩形C.两个菱形D.两个等腰三角形3.如图,DE ∥AB ,如果CE ∶AE =1∶2,DE =3,那么AB 等于（）A.6,B.9,C.12,D.13．4.已知非零向量a ,b ,且有2a b =- ,下列说法中,不正确的是（）A.2a b=B.a b∥C.a与b 方向相反D.0a b += 5.如图,点D ,E 分别在ABC V 的两边BA ,CA 的延长线上,下列条件能判定ED BC ∥的是（）．A.AD DEAB BC= B.AD AEAC AB= C.AD AEAB AC= D.AD AB DE BC⋅=⋅6.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是（）A.AE CF AB CD =, B.AE DF EB FC=, C.=EG FGBD AC , D.=AE ADAG AB．二．填空题：（本大题共12小题,每小题4分,满分48分）7.如果tan a =α的度数是_______8.如果()230a b b =≠,那么ab=__________________．9.已知在Rt ABC 中,90C ∠=︒,1cot 3B =,2BC =,那么AC =_____________.10.已知线段2AB =,如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,那么AP 的值为_____．11.已知向量m 与单位向量e方向相反,且3a =,那么m =______（用向量e的式子表示）12.如图,已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l ,2l 于点A ,B ,C 和点D ,E ,F ．如果23=AB BC ,DF=15,那么线段DE 的长是__．13.如图,ABC V 的中线AD ,CE 交于点G ,点G 是ABC V 的重心,点F 在边AC 上,GF BC ∥,那么GF BC =∶______．14.如图,ABC V 是边长为3的等边三角形,,D E 分别是边,BC AC 上的点,60ADE ∠= ,如果1BD =,那么CE =_________15.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513,那么该矩形的面积为___.16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点E 是AD 的中点,联结OE ．如果3AB =,4AC =,那么cos AOE ∠=_________．17.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中,49AD BC AD BC ==∥，，,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,如果EF 是梯形ABCD 的“比例中线”,那么DFDC的值为__________．18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tanB=32,点D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为_____．三．解答题：（本大题共7题,满分78分）19.计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-20.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,且2AE ED =,联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ,设,,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示,,BE DF .（2）先化简,再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法,但要写明结论）21.如图,在ABC V 中,45B ∠=︒,AD 是边BC 上的中线,3sin 5DAB ∠=,32BD =求：（1）AB 的长.（2）CAB ∠的余切值．22.如图,在ABC V 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且3AD =,6AC =,4AE =,8AB =．（1）如果7BC =,求线段DE 的长.（2）设DEC 的面积为2,求BDC 的面积．23.如图,平行四边形ABCD 中,AFBC ⊥,垂足为点F ,点E 是边AB 中点,连接DE 交线段AF 于点G ,2AE EG ED =⋅,连接EF ．（1）求证：DE EF ⊥.（2）连接DF ,求证：22CD DF BF =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中,放置一个矩形OABC ,使矩形的一个顶点O 和坐标原点重合,点C 和点A 分别在第一和第四象限内,若点C 和点A 的纵坐标满足“C A y y m -=”,则称矩形OABC 具有“条件m ”．如图,矩形OABC 中,15OC =,10BC =．（1）当矩形OABC 具有“条件0”,求此时点C 坐标.（2）当矩形OABC 具有“条件1”,求此时OC 与x 轴正半轴所夹角的正弦值.（3）若矩形OABC 具有“条件m ”,当点B 在第一象限内,连接CB 并延长交x 轴正半轴于点F ,连接AC ,AF ,若OAC 与ABF △相似,直接写出此时m 的值．25.如图1,在ABC V 中,C ∠是锐角,AB AD =交边BC 于点D ,点F 是边AC 上一点,连接BF 且满足FBC C ∠=∠,BF 交边AD 于点E ．（1）如图2,当点E 是边AD 中点时,求证：AF BDFC BC=.（2）当:1:8FE BE =,且ABE 是直角三角形时,求此时ACB ∠的正切值.（3）记AEF △的面积为1S ,ABF △的面积为2S ,ABC V 的面积为3S ,若2S 是1S 和3S 的比例中项,求:BD DC 的值．2024学年第一学期九年级数学期中试卷一．选择题：（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2,那么它们的对应高之比是（）A.1∶2,B.1∶4,C.1∶6,D.1∶8．【答案】A【分析】根据相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比作答即可．【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2.又∵相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比.∴它们的对应高之比是：1∶2.故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比,中线,角平分线的比都等于相似比．2.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A.两个等边三角形B.两个矩形C.两个菱形D.两个等腰三角形【答案】A【分析】本题考查的是相似图形的判断,掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．根据相似图形的概念进行判断即可．【详解】解：A,两个等边三角形,三个角都是60︒∴它们是相似图形,符合题意.B,两个矩形四个角都是90︒,但对应边的比不一定相等∴它们不是相似图形,不符合题意.C,两个菱形角不一定相等∴它们不是相似图形,不符合题意.D,两个等腰三角形对应边的比不一定相等.∴它们不是相似图形.故选：A．3.如图,DE∥AB,如果CE∶AE=1∶2,DE=3,那么AB等于（）A.6,B.9,C.12,D.13．【答案】B【分析】根据比例的性质得CE ∶CA =1∶3,根据平行线分线段成比例定理的推论,即可求得答案.【详解】∵CE ∶AE =1∶2.∴CE ∶CA =1∶3.∵DE ∥AB .∴13DE CE AB CA ==∵DE =3.∴AB=3DE =9故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质,熟练运用“平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键.4.已知非零向量a ,b ,且有2a b =- ,下列说法中,不正确的是（）A.2a b =B.a b∥ C.a与b 方向相反D.0a b +=【答案】D【分析】本题考查了平面向量的性质,解题的关键是熟练掌握平面向量的性质根据平面向量的性质进行分析判断．【详解】解∶2a b =-.||2||a b ∴= ,a b ∥, 20a b +=.故A ,B ,C 正确,D 错误.故选∶D ．5.如图,点D ,E 分别在ABC V 的两边BA ,CA 的延长线上,下列条件能判定ED BC ∥的是（）．A.AD DE AB BC= B.AD AEAC AB= C.AD AEAB AC= D.AD AB DE BC⋅=⋅【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用,主要考查学生的推理和辨析能力,注意：有两组对应边的比相等,且这两边的夹角相等的两三角形相似．根据选项选出能推出ADE ABC △△∽,推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A,∵AD DEAB BC=,EAD BAC ∠=∠,不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理,无法判断ADE V 与ABC V 相似,即不能推出DE BC ∥,故本选项错误.B,AD AEAC AB=,EAD BAC ∠=∠.ADE ACB ∴ ∽.E B ∴∠=∠,D C ∠=∠.即不能推出DE BC ∥,故本选项错误.C,∵AD AEAB AC=,EAD BAC ∠=∠.DAE BAC ∴△∽△.D B ∴∠=∠.DE BC ∴∥,故本选项正确.D ,由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD=,不能推出DAE BAC △∽△,即不能推出D B ∠=∠,即不能推出两直线平行,故本选项错误.故选：C ．6.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,点G 在线段AD 上,GE ∥BD ,且交AB 于点E ,GF ∥AC ,且交CD 于点F ,则下列结论一定正确的是（）A.AE CFAB CD=, B.AE DFEB FC=, C.=EG FGBD AC, D.=AE ADAG AB．【答案】A【分析】抓住已知条件：GE ∥BD ,GF ∥AC ,利用平行线分线段成比例以及中间比代换,对各选项一一判断即可求解.【详解】∵GE ∥BD ,∴AE AGAB AD=∵GF ∥AC ,∴CF AGCD AD=∴AE CFAB CD=,A 选项正确.∵GE ∥BD ,∴AE AGEB GD =∵GF ∥AC ,∴AG CFGD FD=∴AE CFEB FD=,B 选项错误.∵GE ∥BD ,∴EG AGBD AD =∵GF ∥AC ,∴GF DGAC AD=∴EG GFBD AC≠,C 选项错误.∵GE ∥BD ,∴AE ABAG AD=,D 选项错误.故选：A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,灵活运用中间比是解题的关键.二．填空题：（本大题共12小题,每小题4分,满分48分）7.如果tan a =α的度数是_______【答案】60︒##60度【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角α的度数．【详解】解：∵tan a =tan 60︒=∴锐角α的度数为60︒．故答案为：60︒．8.如果()230a b b =≠,那么ab=__________________．【答案】32【分析】本题考查比例的性质,根据比例的性质,求解即可．【详解】解：∵()230a b b =≠.∴32a b =．故答案为：32．9.已知在Rt ABC 中,90C ∠=︒,1cot 3B =,2BC =,那么AC =_____________.【答案】6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BCAC,∴AC=13BC BCcotB==3BC=6．故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用,解题关键在于掌握在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,余切为邻边比对边．10.已知线段2AB =,如果点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,那么AP 的值为_____．1##1-+【分析】本题考查了黄金分割的定义,把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值即为黄金分割,根据黄金分割点的定义求解,即可解题．【详解】解：点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP BP >,2AB =.BP AP AP AB∴=.即AB AP APAP AB -=.∴22AP AP AP -=.整理得1AP =-+1AP =--（不合题意,舍去）1AP ∴=-故答案为：1-+．11.已知向量m 与单位向量e方向相反,且3a =,那么m =______（用向量e的式子表示）【答案】-3e．【详解】试卷分析：由向量a 与单位向量e 方向相反,且|a|＝3,根据单位向量与相反向量的知识,即可求得答案．∵向量a 与单位向量e 方向相反,且|a |＝3.∴a =-3e ．故答案为-3e．考点：平面向量．12.如图,已知AD ∥BE ∥CF ,它们依次交直线1l ,2l 于点A ,B ,C 和点D ,E ,F ．如果23=AB BC ,DF=15,那么线段DE 的长是__．【答案】6【分析】由平行得比例,求出DE 的长即可．【详解】解：////AD BE FC .23AB DE BC EF ∴==.15DF = .2153DE DE ∴=-.解得：DE 6=.故答案为：6.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．13.如图,ABC V 的中线AD ,CE 交于点G ,点G 是ABC V 的重心,点F 在边AC 上,GF BC ∥,那么GF BC =∶______．【答案】13∶##13【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质,相似三角形的判定和性质,由三角形中线性质可得2BC CD =,由重心的性质可得23AG AD =,再根据相似三角形的性质可得23GF AG DC AD ==,进而即可求解,掌握重心的性质是解题的关键．【详解】解：∵A 是ABC V 的中线.∴2BC CD =.∵点G 是ABC V 的重心.∴23AG AD =.∵GF BC ∥.∴AFG ACD △∽△.∴23GF AG DC AD ==.∴2613GF BC ==∶∶∶.故答案为：13∶．14.如图,ABC V 是边长为3的等边三角形,,D E 分别是边,BC AC 上的点,60ADE ∠= ,如果1BD =,那么CE =_________【答案】23【分析】由等边三角形的性质得出∠B ＝∠C ＝60°,证明△ABD ∽△DCE ,由相似三角形的性质得出AB BD DC CE=则可求出答案．【详解】解：∵ABC V 是边长为3的等边三角形.∴60,3B C AB BC AC ∠=∠=︒===.∴120BAD BDA ∠+∠=︒.∵60ADE ∠= .∴120BDA EDC ∠+∠=︒.∴BAD EDC ∠=∠.∴ABD DCE ∠ .∴AB BD DC CE=.∵1BD =.∴2CD BC BD =-=.∴31=2CE.∴23CE =.故答案为：23．【点睛】本题考查了等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.矩形的一条对角线长为26,这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513,那么该矩形的面积为___.【答案】240【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB ,由勾股定理求出AD ,即可得出矩形的面积．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形.∴∠BAD=90°,AC=BD=26.∵5sin 13AB ADB BD ∠==.∴5261013AB =⨯=.∴24AD ===.∴该矩形的面积为：2410240⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角函数,熟练掌握矩形的性质,由勾股定理求出AB 和AD 是解决问题的关键．16.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,点E 是AD 的中点,联结OE ．如果3AB =,4AC =,那么cos AOE ∠=_________．【答案】23【分析】本题考查了求角的余弦根据O ,E 分别是AC ,A 的中点,知OE 是中位线得AOE ACD ∠=∠,连接BD ,根据菱形的性质知AC 与BD 垂直平分,根据余弦的定义,即可求解.【详解】解：在菱形ABCD 中,O 是AC 的中点.O ∴也是对角线的交点,且AC 与BD 垂直平分.O ,E 分别是AC ,A 的中点.∴ OE CD .∴AOE ACD∠=∠在Rt OCD △中,114222OC AC ==⨯=,3CD AB ==.∴2cos cos 3OC AOE ACD CD ∠∠===故答案为：2317.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰,当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时,称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中,49AD BC AD BC ==∥，，,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,如果EF 是梯形ABCD 的“比例中线”,那么DF DC的值为__________．【答案】25##0.4【分析】先根据EF 是AD BC 、的比例中项可求得EF ,再过点D 作AB 的平行线构造平行四边形,可求得MF NC 、的长度,然后再利用DMF DNC △∽△即可求得DF DC 的值．【详解】如图,过点D 作AB 的平行线,交EF BC 、于点M ,N ．∵,AB EF BC DN AB∥∥∥∴四边形AEMD ,四边形EBNM ,四边形ABND 均为平行四边形．∴4EM BN AD ===.∵EF 是梯形ABCD 的比例中项.∴496EF AD BC =×´=．∴2,945MF EF EM NC BC BN =-==-=-=由EF BC ∥得,,DMF DNC DFM DCN==∠∠∠∠∴DMF DNC△∽△∴25DF MF DC NC ==故答案为：25．【点睛】本题考查了比例中项,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解题的关键是作AB 的平行线构造平行四边形与相似三角形．18.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,tanB=32,点D 是AB 的中点,如果把△BCD 沿直线CD 翻折,使得点B 落在同一平面内的B′处,联结A B′,那么A B′的长为_____．255【详解】分析：如图,作AE ⊥BC 于E,DK ⊥BC 于K ,联结BB′交CD 于H ．只要证明∠AB′B=90°,求出AB,BB′,理由勾股定理即可解决问题.详解：如图,作AE ⊥BC 于E,DK ⊥BC 于K ,联结BB′交CD 于H ．∵AB=AC,AE ⊥BC.∴BE=EC=4.在Rt △ABE 中,∵tanB=3=2AE BE.∴2246+13∵DK ∥AE,BD=AD.∴BK=EK=2.∴DK=12AE=3.在Rt △CDK 中,223635+=.∵B,B′关于CD 对称.∴BB′⊥CD,BH=HB′∵S △BDC =12•BC•DK=12•CD•BH.∴BH=855.∴BB′=1655.∵BD=AD=DB′.∴∠AB′B=90°.∴22255AB BB -'=.故答案为:255点睛：本题考查翻折变换,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．三．解答题：（本大题共7题,满分78分）19.计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-【答案】52+【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解.【详解】解：原式22332331222+⨯⎛=+- ⎪⎝⎭⨯132=+-52=+【点睛】此题主要考查实数的运算,解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,且2AE ED =,联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ,设,,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示,,BE DF .（2）先化简,再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法,但要写明结论）【答案】（1）23BE a b =+ ,12DF a = ;（2）原式12a b =- ,作图见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行,再根据向量,平行向量的概念,性质及向量的运算进行求解.（2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行,再根据向量的运算进行化简,根据化简结果的运算性质作图.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB=CD,AB ∥CD,AD=BC,AD ∥BC ∴AB AE DF ED=.∵AE=2ED.∴DF=12AB,AE=23AD.∵,BA a BC b == .∴12DF a =,23AE b =.∴23BEAB AE a b += =+.（2）32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭3222a b a b = -++-.21a b = -;如图,平行四边形ABCD ,取AB 的中点,则12BM a =,CB b =-.∴1122CM CB BM b a a b =+=-+=-.∴12CM a b =-【点睛】本题考查向量的性质及运算,根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键.21.如图,在ABC V 中,45B ∠=︒,AD 是边BC 上的中线,3sin 5DAB ∠=,32BD =求：（1）AB 的长.（2）CAB ∠的余切值．【答案】（1）7（2）16【分析】本题考查的是解直角三角形的应用,勾股定理的应用.（1）过点D 作DE AB ⊥于点E ,先求解3BE DE ==,再求解5AD =,4AE=即可.（2）作CH AB ⊥,垂足为H ．求解62BC =,2262BH CH ===,可得761AH =-=,在Rt CHA △中,利用余切的定义求解即可．【小问1详解】解：过点D 作DE AB ⊥于点E .在Rt BDE △中,DE AB ⊥,BD =45B ∠=︒.232∴===BE DE .在Rt ADE 中,3sin 5DAB ∠=,3DE =.∴35DE AD =,则5AD =.4AE ∴==.437AB AE BE ∴=+=+=．【小问2详解】作CH AB ⊥,垂足为H ．AD 是BC 边上的中线,BD =BC ∴=45ABC ∠=︒ .62BH CH ∴===.761AH ∴=-=.即在Rt CHA △中,1cot 6AH CAB CH Ð==．22.如图,在ABC V 中,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且3AD =,6AC =,4AE =,8AB =．（1）如果7BC =,求线段DE 的长.（2）设DEC 的面积为2,求BDC 的面积．【答案】（1）72（2）10【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）通过证明ADE ACB ∽,即可得到答案.（2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案．【小问1详解】解：3162AD AC == ,4182AE AB ==.AE AD AB AC ∴=.且DAE BAC ∠=∠ .ADE ACB ∴ ∽.12AD DE AC BC ∴==.1177222DE BC ∴==⨯=.【小问2详解】解：4,6AE AC == .123EC AC ∴==.3326ACD DEC S S ∴==⨯= .3AD = .8AB =.553BD AD ∴==.5561033BDC ADC S S ∴==⨯= ．23.如图,平行四边形ABCD 中,AF BC ⊥,垂足为点F ,点E 是边AB 中点,连接DE 交线段AF 于点G ,2AE EG ED =⋅,连接EF ．（1）求证：DE EF ⊥.（2）连接DF ,求证：22CD DF BF =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EAF EFA ∠=∠,由题意推出AED GEA ∽,以及平行四边形的性质得到90ADE AGD ∠+∠=︒,证明90DEF ∠=︒,即可得到结论.（2）根据题意证明BAF FDE ∽,再根据相似三角形的性质得到对应线段成比例即可证明结论．【小问1详解】证明： AF BC ⊥,点E 是边AB 中点.12EF AB AE BE ∴===.EAF EFA ∴∠=∠.2AE EG ED =⋅.AE ED EG AE∴=.AED AEG∠=∠ AED GEA ∴ ∽.ADE EAF ∴∠=∠.平行四边形ABCD 中.AD BC ∴∥.180DAF AFC ∴∠+∠=︒.90DAF AFC ∴∠=∠=︒90ADE AGD ∴∠+∠=︒.EAF EFA ∠=∠ .ADE EAF ∠=∠ .ADE EFA ∴∠=∠.,ADE EFA AGD EGF ∠=∠∠=∠ .90EGF EFG ∴∠+∠=︒.90DEF ∴∠=︒.DE EF ∴⊥.【小问2详解】证明：由（1）得90DEF ∠=︒.AF BC⊥Q 90AFB ∴∠=︒DEF AFB ∴∠=∠.2AE EG ED =⋅且AE EF =.2EF EG ED ∴=⋅.EF ED EG EF∴=GEF FED∠=∠ GEF FED ∴ ∽.EFG EDF ∴∠=∠.BAF FDE ∴∠=∠.BAF FDE ∴ ∽.AB BF DF EF ∴=,即12BFDF AB AB =.22AB DF BF ∴=⋅.ABCD 是平行四边形.AB CD ∴=.22CD DF BF ∴=⋅.24.在平面直角坐标系xOy 中,放置一个矩形OABC ,使矩形的一个顶点O 和坐标原点重合,点C 和点A 分别在第一和第四象限内,若点C 和点A 的纵坐标满足“C A y y m -=”,则称矩形OABC 具有“条件m ”．如图,矩形OABC 中,15OC =,10BC =．（1）当矩形OABC 具有“条件0”,求此时点C 坐标.（2）当矩形OABC 具有“条件1”,求此时OC 与x 轴正半轴所夹角的正弦值.（3）若矩形OABC 具有“条件m ”,当点B 在第一象限内,连接CB 并延长交x 轴正半轴于点F ,连接AC ,AF ,若OAC 与ABF △相似,直接写出此时m 的值．【答案】（1）1313,1313⎛ ⎝⎭（2）35（3）6m =或20541【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴,过点C 作CD x ⊥轴,可证得△∽△AOE OCD ,得23AE OE OD CD ==,由题意可知0C A y y -=,即CD AE =,则23CD OD =,令3OD k =,2CD k =,由勾股定理即可求解.（2）由题意可得1CD AE -=,即1AE CD =-,则123AE CD OD OD -==,设CD a =,则332a OD -=,由勾股定理可得22233152a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得9a =（9913a =-舍去）,即9CD =,再根据正弦的定义即可求解.（3）由题意可知90AOC ABF ∠=∠=︒,分别两种情况：当OA OC BF AB =时,则,AOC FBA △∽△,当OA OC AB BF=时,则AOC BAF △∽△,分别求出sin CFO ∠即可求解．【小问1详解】解：过点A 作AE x ⊥轴,过点C 作CD x ⊥轴,则90ODC AEO ∠=∠=︒.在矩形OABC 中,15==OC AB ,10OA BC ==,=90AOC ∠︒.则90AOE COD ∠+∠=︒,而90∠∠+=︒COD OCD .∴AOE OCD ∠=∠.∴△∽△AOE OCD .∴OA AE OE OC OD CD ==,即：23AE OE OD CD ==.当矩形OABC 具有“条件0”时,即：0C A y y -=.∴C A y y =,即CD AE =.则23CD OD =,令3OD k =,2CD k =.由勾股定理可得：222OD CD OC +=,即：()()2223215k k +=.解得：13k =（负值舍去）.∴OD =,CD =.则此时点C 的坐标为,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】当矩形OABC 具有“条件1”时,即：1C A y y -=.∴1CD AE -=,即1AE CD =-,则123AE CD OD OD -==.设CD a =,则332a OD -=.由勾股定理可得：222OD CD OC +=,即：22233152a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭.解得：9a =（9913a =-舍去）,即9CD =.∴93sin 155CD COD OC ∠===.则此时OC 与x 轴正半轴所夹角COD ∠的正弦值为35.【小问3详解】由题意可知：90AOC ABF ∠=∠=︒.当OA OC BF AB =时,则,AOC FBA △∽△.此时101515BF =,则10BF BC ==.∴20CF =,则25OF =.∴153sin 255OC CFO OF ∠===,则3sin 20125CD CF CFO =⋅∠=⨯=.∵OA BC ∥.∴AOE CFO ∠=∠,则3sin sin 5AOE CFO ∠=∠=.∴3sin 1065AE OA AOE =⋅∠=⨯=.∴6C A m y y CD AE =-=-=.当OA OC AB BF=时,则AOC BAF △∽△.此时101515BF =,则22545102BF ==.∴652CF BC BF =+=,则52052OF =.∴sin 52052OC CFO OF ∠==,则656205sin 2205CD CF CFO =⋅∠=⨯.∵OA BC ∥.∴AOE CFO ∠=∠,则6205sin sin 205AOE CFO ∠=∠=.∴6205sin 10205AE OA AOE =⋅∠=⨯.∴6545102205205220541C A m y y =-=⨯-⨯=⨯=.综上,当OAC 与ABF △时,6m =或41．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理,解一元二次方程,添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键．25.如图1,在ABC V 中,C ∠是锐角,AB AD =交边BC 于点D ,点F 是边AC 上一点,连接BF 且满足FBC C ∠=∠,BF 交边AD 于点E ．（1）如图2,当点E 是边AD 中点时,求证：AF BD FC BC=.（2）当:1:8FE BE =,且ABE 是直角三角形时,求此时ACB ∠的正切值.（3）记AEF △的面积为1S ,ABF △的面积为2S ,ABC V 的面积为3S ,若2S 是1S 和3S 的比例中项,求:BD DC 的值．【答案】（1）见解析（2）ACB ∠的正切值为22或12（3）512-【分析】（1）过点D 作DG EF ∥,由平行线分线段成比例可得AE AF DE GF =,BD FG CD CG =,利用比例的性质可得FG BD FC BC=,结合题意得AE DE =,则AF GF =,进而可证明结论.（2）先证ABF EAF ∠=∠,BF CF =,即可证明ABF EAF △∽△,得BF AF AB AF EF AE ==,则2AF EF BF =⋅,由:1:8FE BE =,设FE a =,8BE a =,则9BF CF a ==,求得3AF a =,则12AC AF CF a =+=,3AB AE =,再分两种情况：当90AEB ∠=︒时,则90AEF ∠=︒,当90BAE ∠=︒时,分别解直角三角形求解即可.（3）由（2）可知ABF EAF △∽△,BF AF AB AF EF AE ==,BF CF =,可知221S BF S AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭,设BCF V 的面积为4S ,则42S CF BF S AF AF ==,由题意可知,3224412221S S S S S S S S S +===+,令BF t AF=,则21t t =+,21t t -=,求得t 的值,用1S 表示出,221S t S =,431S t S =,211ABE S S S tS =-=△,21ABD ABE S tS t S ==△,则331ADC ABD S S S t S =-=△△,结合ABD ADC S BD DC S =△△即可求解．【小问1详解】证明：过点D 作DG EF ∥.∴AE AF DE GF =,BD FG CD CG =.∴FG CG FG CG FC BD CD BD CD BC +===+∴FG BD FC BC=.∵点E 是AD 的中点.∴AE DE =.∴AF GF =.∴AF BD FC BC=.【小问2详解】解：∵AB AD =.∴ABD ADB ∠=∠,则ABF FBC EAF C ∠+∠=∠+∠.∵FBC C ∠=∠.∴ABF EAF ∠=∠,BF CF =.∵AFB EFA ∠=∠.∴ABF EAF △∽△.∴BF AF AB AF EF AE==,则2AF EF BF =⋅.由:1:8FE BE =,设FE a =,8BE a =,则9BF CF a ==.∴3AF a =,则12AC AF CF a =+=.∴33AB AF a AE EF a===,即：3AB AE =.当90AEB ∠=︒时,则90AEF ∠=︒.∵ABF EAF △∽△.∴90BAF AEF ∠=∠=︒.由勾股定理得：AB ===.∴622tan 122AB ACB AC a ∠===.当90BAE ∠=︒时,过点B 作BH 垂直于CA 的延长线于H .则90ABH BAH BAH EAF ∠+∠=∠+∠=︒.∴ABH EAF ABF α∠=∠=∠=.∵3AB AE =,8BE a =,222AE AB BE +=.∴AE =,AB =.则5sin 810AE BE a α===,5cos 810AB BE a α===.∴12sin 5AH AB a α=⋅=⨯,36cos 5BH AB a α=⋅=⨯.则12721255CH AC AH a a a =+=+=.∴3615tan 7225a BH ACB CH a ∠===.综上,当ABE 是直角三角形时,ACB ∠的正切值为22或12.【小问3详解】由（2）可知ABF EAF △∽△,BF AF AB AF EF AE==,BF CF =.∴221S BF S AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设BCF V 的面积为4S ,则42S CF BF S AF AF ==.由题意可知,3224412221S S S S S S S S S +===+.∴21BF BF AF AF ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令BF t AF =,则21t t =+,21t t -=解得：512t +=（负值舍去）,即：BF AF AB t AF EF AE ===.∴223221S S BF t S S AF ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,AB t AE =,则221S t S =,431S t S =.∴()222111111ABE S S S t S S t S tS =-=-=-= .∵AB AD =.∴AD AB t AE AE ==,则ABD ABE S AD t S AE ==△△.∴21ABD ABE S tS t S ==△.则()42223311111ADC ABD S S S t S t S t S t t S =-=-=-= .∴21311512ABD ADC S t S BD DC S t S t -====△△．【点睛】本题考查平行线分线段成比例,相似三角形的判定及性质,解直角三角形,勾股定理等知识点,添加辅助线构造直角三角形,利用线段比转化面积比是解决问题的关键．。

2023～2024学年第一学期期中九年级数学期中练习卷【含答案】

2023－2024学年度第一学期期中练习卷九年级数学（本试卷共6页．全卷满分120分．时间为120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在括号内） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A ． 2x －y ＝5B ．x ＋1x＝0C ．5x 2＝1D ．y 2－x ＋3＝02．一元二次方程x 2－4x ＝－4的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3．已知1是关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋k 2－3k －6＝0的一个实数根，则实数k 的值是（） A ．4或－1 B ．－4或1C ．－1D ．4 4．甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）：甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩596 ？910如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（） A ．6环 B ．7环 C ．8环 D ．9环5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BCD ＝110°，则∠BOD 的度数是（） A ．70° B ．120° C ．140°D ．160°6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝6，DC ＝4．则AB 的长（）A ．6 2B ．10C ．12D ．6 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．数据2、4、3、－4、1的极差是 .8．已知x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2＝0的实数根，则x 1＋x 2－ x 1x 2= ．（第6题）（第5题）C9．已知⊙O 的半径为6cm ，点P 在⊙O 内，则线段OP 的长 6cm (填“＜”、“＝”或“＞”）.10．某公司决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分708090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．11．如图，AB 是半圆的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切半圆于点C ，若∠CAB=31°，则∠P ＝ °．12．在⊙O 中，弦AB 的长为4，OC ⊥AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，OD ∶CD ＝3∶2，则⊙O 半径长．13．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是．14．某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x ，根据题意，可列出方程．15．如图，AE 是正八边形ABCDEFGH 的一条对角线，则∠BAE ＝ °．16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长．P（第11题）D EABC（第15题） FG H（第16题）（第12题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）x 2＋2x －3＝0；（2）(x －2)2＝3x －6． 18．（8分）关于x 的一元二次方程x 2－4x －k －6＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1 ＝3x 2，求k 的值．19．（6分）如图，在⊙O 中，AB 是非直径的弦，CD 是直径，且CD 平分AB ，并交AB 于点M ，求证：CD ⊥AB ，AC ⌒＝BC ⌒，AD ⌒＝BD ⌒．（第20题）20．（9分）甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示．（1）甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是分、分；（2）利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性；（3）结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论．21．（6分）要建一个面积为150 m 2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为35 m ．若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？（第19题）甲乙（第21题）墙22．（8分）用直尺和圆规完成下列作图：（不写作法，保留作图的痕迹）（1）如图①，经过A 、B 、C 三点作⊙P ；（2）如图②，已知M 是直线l 外一点．作⊙O ，使⊙O 过M 点，且与直线l 相切．23.（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A ，C 的⊙O 与BC ，AB 分别交于点D ，E ，连接DE ．（1）求证DB ＝DE ；（2）延长ED ，AC 相交于点P ，若∠P ＝33°，则∠A 的度数为▲________°．B（第23题）AED CO（第22题） BAClM①②24.（7分）某商店将进价为30元的商品按售价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得12000元的利润，且尽量减少库存，应涨价为多少元？25．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C是直径BA延长线上的一点，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E．若BC＝12，AC＝4，求BE的长．C（第25题）26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2－4x＋3＝0，1－4＋3＝0，则这个方程就是“美好方程”．（1）下列方程是“美好方程”的是▲ ；①x2＋2x－3＝0 ②x2－3x＝0 ③x2＋1＝0 ④x(x－1)＝2(x－1)（2）求证：“美好方程”ax2＋bx＋c＝0总有两个实数根；（3）若美好方程(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，求证：a＋c＝2 b．27．（10分）（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补．已知：如图①，四边形ABCD 内接于⊙O ．求证：∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°．（2）逆命题证明：若四边形的一组对角∠A ＋∠C ＝180°，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）可以用反证法证明如下：在图②中，经过点A ，B ，D 画⊙O ．假设点C 落在⊙O 外，BC 交⊙O 于点E ，连接DE ， ∵四边形ABED 内接于⊙O∴可得＝180°， ∵∠A ＋∠C ＝180°，∴∠BED ＝，与∠BED ＞∠C 得出矛盾；同理点C 也不会落在⊙O 内， ∴A ，B ，C ，D 共圆．（3）结论运用：如图∠BAC ＝120°，线段AB ＝83，点D ，E 分别在射线AC 和线段AB 上运动，以DE 为边在∠BAC 内部作等边△DEF ，则BF 的最小值为．②DCBAO①FCAEBD③2023～2024学年度第一学期期中练习卷九年级数学数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（每小题2分，共20分） 7．8 8． 1 9．＜10．77 11．28° 12．5213．12π14．3000(1＋x )2＝366215．67.5°16．π三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）（1）解：x 2＋2x －3＝0x 2＋2x ＋1＝3＋1 ···················································································· 1分 (x ＋1)2＝4 ····························································································· 2分 x ＋1＝±2 ····························································································· 3分 ∴x 1＝1， x 2＝－3 ················································································ 4分（2）解：(x －2)2－3(x －2)＝0 ············································································ 5分(x －2) (x －2－3)＝0 ··············································································· 6分 ∴x 1＝2， x 2＝5． ·················································································· 8分18．（8分）（1）∵x 2－4x －k －6＝0有两个不相等的实数根 ∴(－4)2－4(－k －6) ＞0…………… …………… 2分 ∴k ＞－10………………………………………………4分（2）∵x 1，x 2是方程两个实数根∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－k －6…………………………………………5分 ∵x 1 ＝3x 2∴4x 2＝4∴x 2＝1…………………………………………6分 ∴x 1 ＝3…………………………………7分 ∴x 1x 2＝3＝－k －6∴k ＝－9………………………………………8分题号 1 2 3 4 5 6 答案CAABCD19．（6分）证明：连接OA ，OB ， ∵OA ＝OB,CD 平分AB∴∠AMO ＝∠BMO ＝90°，…………………2分 ∴CD ⊥AB ，…………………………3分 ∵CD 是直径，∴AC ⌒＝BC ⌒，AD ⌒＝BD ⌒． (6)20．（9分）（1）80，80 ··················································································· 2分（2）方差分别是：s 2甲＝(80－80)2＋(90－80) 2＋(80－80)2＋(70－80)2＋(80－80)25＝40分2 ···································· 4分 s 2乙＝(60－80)2＋(70－80) 2＋ (90－80)2＋(80－80)2＋(100－80)25＝200分2 ································ 6分由s 2甲＜s 2乙可知，甲同学的成绩更加稳定． ·························································· 7分（3）甲同学的成绩在70，80，90间上下波动，而乙的成绩从60分到100分，呈现上升趋势，越来越好，进步明显． ·················································································· 9分21．（6分）解：设养鸡场的宽为x m ，则长为（35-2x ）m ，由题意得： x （35-2x ）＝150…………………………………2分整理得：2x 2－35x ＋150＝0…………………………………3分解得：x 1＝10，x 2＝152．…………………………………4分当x 1＝10时，35－2 x 1＝15；当x 2＝152时，35－2 x 2＝20．……………………5分答：养鸡场长为15 m ，宽为10 m 或长为20 m ，宽为152………………………6分 22．（本题8（1）（4分）（2）（lD（第20题）23．（本题8分）（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠C＝180°，∵∠BED＋∠AED＝180°，∴∠BED＝∠C∴∠BED＝∠B∴DB＝DE．··························································································6分（2）38° ·······························································································8分24．（7分）解：设涨价x元，根据题意得：（50－30＋x)(500－10x)＝12000．…………………………3分解得：x1＝10，x2＝20． …………………………5分∵要尽量减少库存，∴x2＝20（舍）． …………………………6分答：涨价10元．…………………………7分25．（8分）证明：（1）连接OD．∴∠ADO＝∠OAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDO＝∠CDA＋∠ADO＝90°，即CD⊥OD． ················································································ 3分分（43．∵BE2＋BC2＝EC∴x 2＋122＝(x＋42．∴x＝43．即BE的长为43．·········································································· 8分26．（10分）（1）①④…………………………………2分（2）证明：∵ax2＋bx＋c＝0是“美好方程”∴a＋b＋c＝0………………3分∴b＝－a－c………………4分判别式b 2－4 ac＝(－a－c)2－4 ac＝c2－2 a c＋a2＝(c－a)2≥0………………5分∴“美好方程”ax2＋bx＋c＝0总有两个实数根．………………6分（3）证明：方法一：∵美好方程(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根∴(c－a)2－4(b－c) (a－b) ＝0…………………………………7分∴c2－2 a c＋a2－4 ab＋4 b2＋4 a c－4 b c＝0∴c2＋2 a c＋a2－4 ab－4 b c＋4 b2＝0…………………………………8分∴(c＋a)2－4(a＋c) b＋4 b2＝0∴(c＋a－2 b)2＝0…………………………………9分∴c＋a－2 b＝0,即a＋c＝2 b．…………………………………10分方法二：将x＝1代入美好方程(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0左右两边，左边＝右边从而得出x＝1是方程的解。

北京市北京理工大学附属中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

北京市北京理工大学附属中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．一元二次方程2310x x +-=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A ．1，3，1B ．0，3，1-C ．1，3，1-D ．1，3-，1-2．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知()12,A y -，()21,B y ，()34,C y 三点都在二次函数25y x =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y <<4．用配方法解一元二次方程241x x -=时，变形后的结果正确的是（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)3x -=-5．将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是（）A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-6．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,54)A ，(20,57.9)B ，(40,46.2)C 三点，下面四个结论中正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．当20x =时，y 取最大值57.9C ．该抛物线的对称轴x h =的取值范围是1020h <<D ．当54m >时，一元二次方程2ax bx c m ++=总有两个不相等的实数根8．如图，已知正方形ABCD 的中心为O ．将正方形ABCD 绕点O 逆时针旋转60︒得到正方形A B C D ''''，两个正方形的公共点为G ，H ，I ，J ，K ，L ，M ，N ．对八边形GHIJKLMN 给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．①③C ．②④D ．①②③④二、填空题9．写出一个根为2-的一元二次方程．．10．请写出一个开口向上，顶点坐标是(1,2)的抛物线表达式．11．已知一元二次方程2620x x +-=的两个根为12x x 、，则()()1211x x ++=．12．已知关于x 的一元二次方程2610x x m ++-=有两个相等的实数根，那么m =．13．如图，在ABC V 中，65CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC V 绕点A 旋转到AB C '' 的位置，使得CC AB '∥，则BAB ∠'的度数为．14．如图，是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知关于x 的不等式22ax bx c ++>的解集为．15．如图，在正方形网格中，将ABC V 绕某一点旋转某一角度得到了A B C ''' ，则旋转中心可能是点（填1P ，2P ，3P，4P 之—）16．下表记录了二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中两个变量x 与y 的三组对应值：xL 2-28L y L n 1n L点()11,P x y ，()22,Q x y 在该函数图象上．若当122x x <<时，121y y <<，下列四个结论：①0a <；②126x x +>；③25510a b c ++->；④若记二次函数()218,0y ax bx c x x a =++<<≠的图象为图形G ，存在直线y k =与图形G 有两个交点，则123x <<．上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题17．解方程：(1)25x x =；(2)2680x x -+=．18．已知m 是方程2240x x +-=的一个根，求代数式2(2)(3)(3)m m m +++-的值．19．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，BE DF =，连接EF 与对角线AC 相交于点O ．(1)求证：OE OF =；(2)连接CE ，G 为CE 的中点，连接OG ．若2OG =，求AE 的长．20．已知关于x 的方程2(2)20mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数m 的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A ，(1,3)B -，(1,3)D ，点B 与点C 关于原点对称．(1)点C 的坐标是______；(2)在图中画出ABD △绕着点A 顺时针旋转90︒后的11AB D ；(3)在x 轴上是否存在点E ，使得ADE V 的面积等于ABC V 的面积．若存在，直接写出点E 的坐标，若不存在，说明理由．22．已知二次函数223y x x =+-．(1)将二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；(2)在平面直角坐标系中画出223y x x =+-的图象．步骤一：列表xL L y L L步骤二：根据表中数值描点，画图．(3)当22x -<<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围______．23．如图，用一条长60m 的绳子围成矩形ABCD ，设边AB 的长为m x ．(1)边BC 的长为______m ，矩形ABCD 的面积为______2m （均用含x 的代数式表示）；(2)矩形ABCD 的面积是否可以是2230m ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．24．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-．(1)求该二次函数的解析式；(2)直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ．①当1m =-时，CD =______；②结合函数的图象，直接写出4CD ≥时m 的取值范围______．25．跳水运动是一项以高度、技术和美感为特点的水上运动项目．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落水的过程中，运动员离水面OB 的竖直高度y （单位：m ）与离起跳点A 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()y a x h k =-+．(1)运动员第一次跳水时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/mx 00.250.50.75 1.5竖直高度/m y 10.0010.7511.0010.757.00①根据上述数据，运动员第一次跳水的竖直高度的最大值为______m ：②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在第一次跳水时在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点A 的水平距离为1.7米，那么判断他是否会失误？请说明理由．(2)进水角度是指运动员跳入水中时身体与水平面的夹角，如图中所示α∠．通常情况下，跳水运动员努力控制身体与水面的角度接近垂直，是减小水花的关键因素之一．在第二次跳水时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系式：28(0.5)12y x =--+，则此时的水花相比第一次跳水的水花______（填“变大”“不变”或“变小”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)M m ，(3,)N n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，抛物线的对称轴为直线x t=(1)若m n =，则t =______；(2)若2t >，比较m ，n 的大小，并说明理由；(3)已知点()0,P x p 也在该抛物线上，若010x -<<，都有m p n <<，求t 的取值范围．27．已知：在ABC V 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，E 是ABC V 内的一点，135AEB ∠=︒．(1)如图1，请写出ABE ∠与CAE ∠的大小关系，并证明．(2)如图2，点F 为AB 的中点，连接EF ，EC ．用等式表示EF ，EC 之间的数量关系并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形P 给出如下定义：图形P 绕点()(),M a b x a ≠顺时针旋转90︒得到的图形记为图形Q ，对于图形Q 上任意一点(),x y ，存在实数k 满足0k x a y b ---=，则称满足条件的k 的最大值为图形P 关于点M “旋转最大值”(1)若M 为原点，()0,4B ，()1,5C ，线段BC 绕点M 顺时针旋转90︒的图形记为线段B C ''．①画出线段B C ''；②直接写出线段BC 关于点M 的“旋转最大值”______；(2)若M 为原点，(),4B m ，()1,5C m +，02m ≤≤，直接写出线段BC 关于点M 的“旋转最大值”______．(3)若点(),M t t ，图形P 是顺次连接()2,1E t -，()2,1F t --，()2,1G t +-，()2,1H t +所组成的四边形，图形P 关于点M 的“旋转最大值”t 的取值范围是______．。

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CD
Hale Waihona Puke 三解答题（每小题 10 分，共计 40 分） 1 如图示，抛物线经过原点 O.A，顶点坐标 B(2,2)， (1)求出抛物线解析式。 (2)求点 A 的坐标及三角形 OAB 的面积。
B(2,2)
O
A
2 如图示，已知 DE∥BC (1)求证：△ADE~△ABC (2)若 AD=1,AB=3,那么的值是多少？ A D E
二．选择题（每小题 3 分，共计 24 分） 1 下列哪个点不在抛物线 y=2x²+x-3 上() A(0,-3)B(1,0)C(2,7)D(-1,-1) 2 抛物线 y=(x²-1)+1 与 x 轴的关系是() A 有两个交点 B 无交点 C 有一个交点 D 无法确定 3 直角三角形中，一个锐角的正弦值与余弦值关系是() A 平方差等于 1B 平方和等于 1 C 无关系 D 不能确定 4 二次函数 y=x²+x-2 的论述正确的是() A 开口方向向下 B 与 y 轴交点是(0,-2) C 与 x 轴交点是(2,0),(-1,0)D 对称轴 y 轴 5 计算 2cos60゜+sin30゜tan45゜的值是() A1.5B2C1D2.5 6 能判断两个图形一定相似的是() A 两个等腰三角形 B 两个直角三角形 C 两个等边三角形 D 两个长方形 7 一个角的正切值是 1，那么它的余弦值是() A 2B 2/2 C 3D 3/2 8 如图示，圆锥体的体积是() AB
九年级数学期中考试试卷班级姓名一．填空题（每小题 3 分，共计 39 分） 1 二次函数 y=(x²+1)-2 化为一般式是。 2 二次函数 y=x²-1 的图象是。 3 函数 y=3x²+1 的对称轴是，顶点众标是，开口方向是。 4 把函数 y=2x²向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度可得抛物线。 5 函数 y=-2x²+x-1 与 x 轴交点是，与 y 轴交点是。 6 二次函数经过点(0,1).(1,1).(2,3)三点，它的解析式为。 7 三角形全等的判定法，三角形相似的判定方法。 8 在一份地图上量得甲、乙两地距离为 7cm，比例尺为 1:1000000，那么两地实际距离 km。 9 两个图形相似，它们大小，形状。 10 一个三角形各边长扩大 2 倍，那么它们面积与周长之比。 11 直角三角形两边长是 4 和 5，那么最小边所对角的佘弦值是。 121-2sin30゜tan60゜的值是。 13 长方体上底面放置一个小球，它们的俯视图是。
B
C
3 当 x 取何值时，函数 y=2x²-4x+3 有最大或最小值？是多少？
4 如图示，在 B 点测得高山的仰角为 30゜，在 D 点测得高山仰角为 45゜，量得 BD=250（ 3 − 1）m,求山的高度 AC 的值是多少？
A
B
D
C