北大金秋营试题-10份,正反精编版

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 2016年北大金秋营试题
1、在ABC ∆内部有一点P 满足4
C A P CB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ∆的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠.
2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=1
1112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中，
),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值.
3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立.
4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足12
2=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(m od 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价：
（1）p 为模q 的二次剩余；
（2）同余方程存在一个解；
（3）同余方程存在四个互不相同的解.
5、记函数∑==
40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值.
6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值.
7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方.
8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.。