辽宁省沈阳二中高二数学上学期12月月考试题 理

沈阳二中2015—2016学年度上学期12月月考
高二（17届）数学试题（理科）
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1. 集合{|lg 0}M x x =>，2
{|4}N x x =≤，则M N =I （ ） A ． (1,2) B ． [1,2) C ． (1,2] D ．[1,2]
2. 复数)()2(2
为虚数单位i i
i z -=,则=||z （ ）
A ．25
B ．错误!未找到引用源。

C ．5
D ．错误!未找到引用源。

3. 已知2log 3log a =+2log 9log b =-3log 2c =则错误!未找到引用源。

的大小关系是
A ． a b c =<
B ．a b c =>
C ．a b c <<
D ． a b c >> （ ）
4. 已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则l ∥m 是l ∥α的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5. 已知A 、B 、C 是圆O ： x 2
＋y 2
＝r 2
上三点，且错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

等于（ ）
A ．0 B.12 C.32 D ．－3
2
6. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x
·f (x )>e x
＋1
的
解
集
为
（ ）
A ．{x |x >0}
B ．{x |x <0}
C ．{x |x <－1，或x >1}
D ．{x |x <－1，或0<x <1} 7. 函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
8.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于511
3，若从中去掉一项a m ，剩下的
8项的平均值等于1437
8
，则m 等于 （ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9. 存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD
为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为 （ ）
A ．(1，2)
B ．(1，3)
C ．(2，＋∞)
D ．(3，＋∞) 10.已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝5
11，则数列{a n }的通项公式为（ ）
A ．a n ＝2n －1
B ． a n ＝2n
C ．a n ＝2n ＋1
D ．a n ＝2n －3
11. 若抛物线y 2
＝4x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F 和
M (4,4)且与l 相切的圆共有 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
12. 已知双曲线
22
1916
x y -=，过其右焦点F 的直线交双曲线于,P Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则
MF
PQ
的值为 （ ） A ．
53 B ．56 C ．54 D ．58
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若关于x 的不等式m (x －1)>x 2
－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________． 14.已知
2＋23
＝2
23
，3＋38
＝338
，4＋415
＝44
15
，…，若7＋a t ＝7
a t
， (a 、t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、t 的值，a ＋t ＝________.
15.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋
f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．
16.已知函数22(2)e ,0,
()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩
≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，
则实数k 的取值范围为 ．
三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）
若函数2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y m =（m>0）相切，并且切点的横坐标依次成公差为2
π
的等差数列。

(Ⅰ)求m 的值；
(Ⅱ)若点0,0()A x y 是()y f x =图象的对称中心，且0[0,]2
x π
∈,求点A 的坐标。

18.（本小题满分12分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *
+=--∈且2514
,,a a a 构成等比数列. (1) 证明
:2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式; 19.（本小题满分12分）
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：BN 11C B N ⊥平面；
（2）11C N θθ设为直线与平面CNB 所成的角,求sin 的值；
4
主视图
侧视图
俯视图
1
N
（3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点P ，使MP//平面CNB 1 求BP
PC
的值
20.（本小题满分12分）
已知3x =是函数2
()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为2，短轴端点到焦点的距离为2。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点A,B 是椭圆C 上的任意两点， O 是坐标原点，且OA ⊥OB ①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值；
②任取以椭圆C 的长轴为直径的圆上一点P ，求P ∆AB 面积的最大值
22（本小题满分12分）
已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1
,ln 1
,)(23x x a x c bx x x x f 的图象过坐标原点O,且在点))1(,1(--f 处
的切线的斜率是5-. （Ⅰ）求实数c b 、的值；
（Ⅱ）求)(x f 在区间[]2,1-上的最大值；
(Ⅲ)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由。

12月月考数学答案（理科）
1. C
2. C
3. B
4. D
5. A
6.A
7. C
8. B
9. C 10. A 11.C 12. B
13. 2 14. 55 15.(1，2) 16.
73,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭U
17．解：(Ⅰ) 21cos 211()sin sin cos sin 2)2242ax f x ax ax ax ax ax π-=-=-=++
由题意知，m 为()f x 的最大值，所以m . ………5 (Ⅱ)由题设知，函数()f x 的周期为2
π
，∴2a = (7)
∴1())42f x x π=++.令sin(4)04x π+=,得4 ()4x k k Z ππ+=∈,∴ ()416
k x k Z ππ
=-∈,
由0 ()4162k k Z πππ≤
-≤∈，得1k =或2k =，因此点A 的坐标为31(,)162π或71
(,)162
π.-----10
18.(1)当1n =时,22
122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=Q (2)当2n ≥时,()2
14411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--
()2
221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+Q
∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.
2514,,a a a Q 构成等比数列,2
5
214a a a ∴=⋅,()()2
222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(1)可知,2
12145=4,1a a a =-∴=
21312a a -=-=Q ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.
∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. -------------------------------12
(数学归纳法也可) 19．解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC ，BB 1两两垂直。

……………2分
以BA ，BC ，BB 1分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则N （4,4,0），B 1（0, 8,0），C 1（0,8,4），C （0,0,4）
∵11NB BN ⋅=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0
11C B ⋅=（4,4,0）·（0,0,4）=0
∴BN⊥NB 1，BN⊥B 1C 1且NB 1与B 1C 1相交于B 1，
∴BN⊥平面C 1B 1N ； ……………4分 （II ）设),,(2z y x n =为平面1NCB 的一个法向量，
则2210
(,,)(4,4,4)0(,,)(4,4,0)00n CN x y z x y z n NB ⎧⋅=⋅-=⎧⎪⇒⎨⎨⋅-=⋅=⎩
⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r
210,(1,1,2),(4,4,4)0x y z n C N x y +-=⎧⇒==--⎨-+=⎩
u
u r u u u u r 取
则sin |
|3θ== ……………8分
（III ）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a )为BC 上一点, 则),0,2(a -=, ∵MP//平面CNB 1,
∴ .1022)2,1,1(),0,2(22=⇒=+-=⋅-=⋅⇒⊥a a a n n 又11//,CNB MP CNB PM 平面平面∴⊄, ∴当PB =1时MP //平面CNB 1 1
3
BP PC ∴= ……………12分
20.解析：（Ⅰ）2
()ln(1)10f x a x x x =++-，()2101a
f x x x
'=
+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
()044
3=-=
'a
f 16a = ------- 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2
()ln(1)10f x a x x x =++-，(1,)x ∈-+∞
()()()1
31216821021162+--=++-=-++='x x x x x x x x x f 令()0f x '=，得1,3x x == -- 6分
()f x '和()f x 随x 的变化情况如下：
--------------1
2
22.解：（Ⅰ）当1<x 时，c bx x x x f +++-=23)(，则b x x x f ++-='23)(2。

依题意得：⎩⎨
⎧-=-'=5)1(0)0(f f ，即⎩⎨⎧-=+--=5
230
b c 解得0==c b …………….3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⎩
⎨⎧≥<+-=1,ln 1
,)(23x x a x x x x f
①当11<≤-x 时，)32
(323)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f 得3
20==x x 或 又2)1(=-f ，27
4
)32(=
f ，0)0(=f 。

∴)(x f 在)1,1[-上的最大值为2. ②当21≤≤x 时, x a x f ln )(=.当0≤a 时, 0)(≤x f ,)(x f 最大值为0； 当0>a 时, )(x f 在]2,1[上单调递增。

∴)(x f 在]2,1[最大值为2ln a 。

综上，当22ln ≤a 时，即时2ln 2
≤
a ，)(x f 在区间[]2,1-上的最大值为2； 当22ln >a 时，即2
ln 2
>a 时，)(x f 在区间[]2,1-上的最大值为2ln a 。

……..7分
(Ⅲ)假设曲线)(x f y =上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧。

不妨设)0))((,(>t t f t P ，则),(2
3
t t t Q +-，显然1≠t
POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0=⋅即0))((2
3
2
=++-t t t f t （*） 若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q.
若10<<t ，则2
3
)(t t t f +-=代入（*）式得：0))((2
3
2
3
2
=++-+-t t t t t 即0124=+-t t ，而此方程无解，因此1>t 。

此时t a t f ln )(=， 代入（*）式得： 0))(ln (2
3
2
=++-t t t a t 即t t a
ln )1(1
+= （**） 令x x x h ln )1()(+= )1(≥x ，则011
ln )(>++
='x
x x h ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增， ∵ 1>t ∴0)1()(=>h t h ,∴)(t h 的取值范围是
),0(+∞。

∴对于0>a ，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

-----------------------------12。