【培优训练人教版八年级数学上册】专训2 分式运算的八种技巧 (共18张PPT)

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人教版八年级上册分式的乘除

人教版八年级上册分式的乘除知识点包括：
1. 分式的乘法法则：分式相乘，分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新的分母，能
约分先约分。

2. 分式的除法法则：分式相除，把除式分子分母颠倒，并与被除式相乘。

3. 分式的乘方法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。

4. 分式的混合运算：按运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），从左至右依次进
行。

5. 分式约分的意义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

6. 分式约分的方法：先确定公因式，再约去公因式。

通常选择分子和分母中的最高次项的
公因式约分。

7. 最简分式的概念：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。

8. 分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式转化为同分母的分式，叫
做分式的通分。

9. 最小公倍数：两个或几个数公有的倍数叫做这几个数的最小公倍数。

10. 约分的依据：分式的基本性质。

11. 约分的方法：用分子和分母的公因式去除分子和分母，得到最简分式或一般分式的过程
叫做约分。

12. 通分的依据：分式的基本性质。

13. 通分的方法：根据两个分式的最小公倍数，将一个分式的分子与另一个分式的分母都乘
以适当的同一个非零整式，使两个分式的分母相同，这样的过程叫做通分。

分式运算的八种技巧

分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。

3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。

4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。

请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。

6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。

7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。

10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。

11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。

12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。

13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组且x 为整数，求A 的值。

分式运算的八种技巧

分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。

下面将介绍分式运算的八种技巧。

一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。

通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。

二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。

化简后的分式通常更简洁、易于计算。

三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。

约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。

四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。

当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。

五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。

通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。

最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。

六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。

将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。

七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。

通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。

八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。

若分子相同，再比较分母的大小。

通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。

同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。

分式运算技巧知识点总结

分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。

在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。

本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。

一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。

若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。

例子1：计算1/2 + 1/3。

解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。

将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。

例子2：计算2/5 + 3/5。

解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。

这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。

例子3：计算3/10 + 2/5。

解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。

例子4：计算2/3 × 4/5。

解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。

2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。

例子5：计算2/3 ÷ 4/5。

解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。

三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。

人教版八年级数学上册阶段方法技巧训练专训2 分式运算的八种技巧(共18张PPT)

= 4x3 ＋ 4x3 x4 1 x4＋1
4x3 x4＋1＋4x3 x4 1 =
x4 1 x4＋1
8x7
=
.
x8 1
此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
技巧 3 整体通分法
3．化简：a－b－
a＋ b 2 .
ab
解：原式
a =
b2
ab
a＋b 2 ab
a b 2 a＋b 2 =
ab
= 4ab . ab
本题将a－b看成一个整体进行通分，使解题简捷．
技巧 4 换元通分法
3m 2n 3
4．计算：(3m－2n) ＋ 3m
2 n＋ 1 －(3m－2n)2
＋ 2n 3m .
3m 2n 1
解：设3m－2n＝x，则原式＝ x＋xx＋ 31 x2
x x1
xx2 1＋ x3 x1 x2 x2 1 xx ＋ 1
=
x ＋ 1x 1
=x ＋ 12x x
22n3m 1=3m2n ＋ 13m2n1.
技巧 4
裂项相消法
即 n
1 n＋1
=1 n
1 n＋1
5．计算：
1＋ 1 ＋ 1 aa＋ 1 a＋ 1a＋ 2 a＋ 2a＋ 3
＋
＋ a＋99
1 a＋100
1＋1＋1 2 1＋1＋1,
abc
6 9 15
所以1＋1＋1 31. a b c 180
易知abc≠0，所以 abc = 1
ab＋bc＋ac 1＋1＋1 cab
180. 31
技巧 7 倒数求值法
x 7．已知 x2－3x＋1

八年级数学上册解题技巧专题分式运算中的技巧(新版)新人教版

x －y 的结果是() x A ．－ y 6 ．先化简，再求值： x 2－2x ＋1÷ 1－ 3 ⎫ ⎪，其中 x ＝0.C .2x －y 2 ．化简 m2⎛ 2x x －1⎫ 1 7．计算 2 ⎪÷ 2⎝x －1 x ＋1⎭ x －1的结果是 A .18 ．化简： 2 － 1 ⎫ ⎝a －1 a ＋1⎭·(a － 1) ＝ 9 ．先化简，再求值：1a解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算1 11．计算－2x ＋yx （x －y ） B .x （x －y ）⎝ x ＋1⎭x 2－1x （x －y ）D.yx （x －y ）6 2 m ＋3 ＋ m 2－9 ÷ m －3 的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中 )先2a ＋1 a 2－2a ＋1 1化简，再求值： a 2－1 · a 2－a －a ＋1，1其中 a ＝－ .◆类型二先约分再化简a 2－1 a 2－a4．化简： 2＋2a ＋1÷ a ＋1 ＝________．9－a 25 ．化简求值： (a －3)· a 2－6a ＋9 ＝________，当 a ＝－3 时，该代数式的值为________．◆类型三混合运算中灵活运用分配律＋( )1x 2＋1 B .x 2－1 C ．x 2＋1 D ．x 2－12________．2x－· x 2－y 2＋x ＋y ⎫ 2x ⎭x ＋y ⎝ 10．若 xy －x ＋y ＝0 且 xy≠0，则分式1y A . 1a 12．先化简，再求值： ⎛x －1 x －2⎫ ⎝ x －x ＋1⎭1 ⎛ ⎪，其中 x ＝2，y ＝3.◆类型四分式化简求值注意整体代入x1－的值为( )xy B ．xy C ．1 D ．－1111．已知：a 2－3a ＋1＝0，则 a ＋－2的值为( )A . 5＋1B ．1C ．－1D ．－5⎪ 2x 2－x ÷x 2＋2x ＋1，其中 x 满足 x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.1 3 ．解：原式＝2a ＋1 （a －1）2 1（a ＋1）（a －1） · a （a －1）－ a ＋1 ＝a （a ＋1） a ＋1 a （a ＋1） a 当 a ＝－时，原式＝－2.4. 5.－a －3 06．解：原式＝ ÷ ＝ .当 x2 2x x ＋y 2x x （x ＋1） x （2x －1） x 22a ＋1 1 a ＋1 1－＝＝ .121ax －1 x －2 x －1x ＋1 x ＋1 x －21＝0 时，原式＝ .7．C 8.a ＋31 x 2－y2 19．解：原式＝－－＝－x ＋y .当 x ＝2，y ＝3 时，原式＝1.10．D 11.B12 ．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x （x ＋1）2 x ＋1· ＝ x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1..∵x 2 －。

人教版八年级数学上解题技巧专题：分式运算中的技巧.docx

桑水初中数学试卷桑水出品解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ） 2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中)先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－1桑水8．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a. 当a ＝－12时，原式＝－2.桑水4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x ＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1.。

八年级数学上册 15.2《分式的运算》分式运算中的常用技巧与方法素材新人教版(2021学年)

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分式运算中的常用技巧与方法在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、整体通分法例1．化简:21a a -—a —１分析将后两项看作一个整体,则可以整体通分,简捷求解.解:21a a --a －1=21a a -—(a+1)＝ 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2.计算1a b --1a b +－222b a b +—3444b a b- 分析：注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法解:1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +---—222b a b +—3444b a b- ＝222b a b -—222b a b +—3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b-=0 三、先约分，后通分例3.计算:2262a a a a ++＋22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算解：2262a a a a +++22444a a a -++＝(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+＝62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4.已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y-+++的值解法１：∵1x +1y＝５∴ｘy≠0,. 所以2522x xy y x xy y -+++＝225112y x y x-+++=112()5112x y x y +-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x ＋1y =5得,x y xy +=5, x+y=5ｘy ∴2522x xy y x xy y -+++＝2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+＝57xy xy =57 五、运用公式变形法例5.已知a 2—5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a≠０,∴ａ+1a =5∴a ４+41a =（ａ2+21a )２-2＝［(a+1a)2-2]２—２=(５2—2)2—２=527 六、设辅助参数法例６．已知b c a +＝ a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b ＋c=ａk;a+c=bk;a ＋b=ｃk; 把这3个等式相加得2（a+ｂ+c)= (ａ＋ｂ+c ）ｋ若ａ+ｂ+ｃ＝0,a+b ＝ —c,则k ＝－1若a+b+ｃ≠0,则k=2()()()a b b c c a abc+++=ak bk ck abc ⋅⋅=k ３当ｋ=—1时，原式＝ -１当ｋ=2时,原式= 8七、应用倒数变换法例７．已知21a a a -+＝7,求2421a a a ++的值解:由条件知a≠0,∴21a a a-+=17，即a ＋1a =87∴4221a a a++=a ２+21a +1＝(a+1a )2-１＝1549 ∴2421a a a ++＝4915八、取常数值法例8．已知：ｘyz≠0,ｘ＋y+z=0，计算y z x ++x z y++x y z + 解:根据条件可设x=1,y ＝１,z=-2。

分式的运算技巧

分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。

无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

人教版八年级数学培优竞赛

目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC ED B 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A E第1题图A BC DE BCDO第2题图A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFB （E ）OC F 图③DAAFECB D03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQEFB ACDG第2题图21ABCPQE FD【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的DA C .Q P.BAA E FB DC 中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长. 13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么A EB F DC情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .F第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图ABCDA 1B 1C 1D 1AE FC DB AE B DC ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .ABE D CAB C DE⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

分式的运算技巧

分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。

无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳

AB＝AC
即∠QAB＝∠PAC
∴△AQB≌△APC
另由旋转得AQ＝AP
∴BQ＝CP
三、翻折
如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，则∠θ的度数是_________.
A
E
D
1
2
B
C
在求三角形内外角时，经常遇到与直角三角形、平行线、折叠相关的问题，此时需要根据直角三角形的性质、平行线的性质、折叠的性质推导出与三角形相关的角，再根据三角形内角和定理、外角性质得出相关的角的度数.
三角形全等证明的解题思路⑴
AD
BE
CF
AD
C
B
B
C
E
D
A
D D
E
全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等.
⑵∠A＝80°，∠B＝∠C；
解: ⑵设∠B＝x°,则∠C＝x°, 根据三角形内角和定理得80＋x＋x＝180, 解得x＝50,所以∠B＝∠C＝50°.
例 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
⑶∠A:∠B:∠C＝2:3:4
解:⑶因为∠A＋∠B＋∠C＝180°, 所以∠A＝180°× 2 ＝40°, 234 ∠B＝180°× 3 ＝60°, 234 ∠C＝180°× 4 ＝80°. 234
⑴求证：MB＝MD，ME＝MF； ⑵当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由.
B
B
A E MF C A

人教版八年级数学上册专题(十四) 分式的运算技巧

解：2a－4 (4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋2016·益阳)先化简，再求值：(x＋1 1－1－1 x)÷1－x2x2，其中 x＝－12.
解：原式＝－2x，当 x＝－12时，原式＝4
9．(2016·娄底)先化简，再求值：(1－x－2 1)·x2－x2－ 6xx＋9，其中 x 是从 1，2，3 中选取一个合适的数．解：原式＝x－x 3，易知 x＝1 或 3 时无意义，当 x＝2 时，原式＝－2
6．已知 x＋1x＝3，求x4＋xx22＋1的值．
解：∵x4＋xx22＋1＝(x＋1x)2－1＝32－1＝8，∴x4＋xx22＋1＝18
类型二：分式的混合运算 7．计算： (1)(a2－a b2－a＋1 b)÷b－b a；
(3)(2016·泸州)(a＋1－a－3 1)·2aa＋－22；
解：－a＋1 b (2)(x＋1)÷(2＋1＋x x2)；解：x＋x 1
八年级上册人教版数学第十五章分式
专题(十四) 分式的运算技巧
类型一：条件分式求值技法技法 1 整体代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值． 1．已知1x－1y＝5，求3yx＋－53xxyy－－3xy的值．
解：显然 xy≠0.将待求式的分子、分母同时除以 xy，
得3yx－＋35xxyy－－x3y＝－3（1x－1x－1y－1y）3 ＋5＝－35×－53＋5＝－5
x
－x≤1，的值从不等式组2x－1＜4的整数解中选取．
解：原式＝1－x x，解不等式组－2xx－≤11＜，4，得－1≤x＜52，当 x＝2 时，原式＝1－2 2＝－2
12．先化简，再求值：(1－x＋3 2)÷xx2＋－21x－x＋x 1，其中 x 满足 x2－x－1＝0.

人教版八年级上册数学期末提分练案技巧训练分式运算中的十二种常用技巧 (2)

10．已知1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115，求ab＋abbcc＋ac的值．
解：1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115. 上面各式两边分别相加，得(1a＋1b＋1c)×2＝16＋19＋115， ∴1a＋1b＋1c＝13810.
易知 abc≠0， ∴ab＋abbcc＋ac ＝（ab＋abbcc＋÷aabcc）÷abc ＝1c＋11a＋1b ＝13810.
11．已知x2－3xx＋1＝－1，求x4－9xx2 2＋1的值．
【点拨】本题借助条件及所求分式，巧取倒数，再利用整 x≠0，所以x2－3xx＋1＝－1.
所以 x－3＋1x＝－1，即 x＋1x＝2. 所以x4－9xx2 2＋1＝x2－9＋x12＝x＋1x2－11＝－7. 所以x4－9xx2 2＋1＝－17.
7．计算：1x－x（x1＋1）－（x＋1）1（x＋2）－…－ 1
（x＋2 021）（x＋2 022）.
解：1x－x（x1＋1）－（x＋1）1（x＋2）－…－
（x＋2
1 021）（x＋2
022）＝1x－1x－x＋1 1－(x＋1 1－x＋1 2)－…－
(x＋21021－x＋21022)＝1x－1x＋x＋1 1－x＋1 1＋x＋1 2－…－
＝（x＋1）1（x＋2）－（x－3）1（x－4）＝（（xx－＋31））（（xx－＋4）2）－（（x－x＋3）1）（（x－x＋4）2）＝（x＋1x）2－（7xx＋＋21）2－（xx2－－33）x－（2x－4）＝（x＋1）（x＋－21）0x（＋x1－0 3）（x－4）.
6．解计：算设：3m(3－m－2n2＝n)x＋，（则3m3原m－式－2n＝2＋nx）1＋3－x＋x(331m－－x22－n)x2＋－x 31m2n－－2n3m－1. ＝x（x2－1）＋x3（（xx－＋11））－（xx2（－x12）－1）－x（x＋1）＝（x＋1）－（2xx－1）＝（3m－2n2＋（12）n－（33mm）－2n－1）.

2024年湘教版八年级上册数学期末培优训练第1招分式运算的十种技巧

湘教版八年级上
第1招
分式运算的十种技巧
CONTENTS
目
录
01
典例剖析
02
分类训练
教你一招
分式的加减运算中起关键作用的就是通分.但对某些较
复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太
大，容易出错，甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵
活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与
技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果.
−
−
+
+
−
+

( +)+( −)

＝
＋＝＋＝
+
( −)( +)
+
−
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( +)+ ( −)

＝ .
( −)( +)
−
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+
+
＋
· ，其中 x
−
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·
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+

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·
+
+
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(+)
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·
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，
−

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当 x ＝6时，原式＝2.
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分类训练
活用公式法
7. 已知 x2＋ y2＝3 xy ，试求：
＋

八年级数学上册期末专题复习例谈分式运算过程中的常用技巧(,含解析变式和课外选练)

例谈分式运算中的一些常用技巧赵化中学郑宗平在数式的相关运算中，分式的运算是同学们感到比较头疼的，含分式的综合解答题的正确率也比较低；其实分式的运算涵盖知识点多，技巧性强，是很能考查数学素养的.分式的运算之所以容易计算错误，除了知识上原因，方法技巧也很重要；我觉得除了要掌握常规的计算方法，有必要掌握一些计算的技巧，下面我精选一部分含分式的解答题，让我们共同来探究.1、先约分、再计算：例.计算：444242222++-+++x x x x x x x分析：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷.解：原式=()()()()()2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2++-+-++=+=++++ 变式训练：2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分：例.计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x +-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x+-+ 2221x 1x 21x 1x 1x+-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 解:原式()()=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x +-+-+++=++=++--++-++-++ =()()444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x+-+=+=-+---变式训练：①.1684211618141211x x x x x --+++++++；②.1111x 4x 6x 5x 7+--++++.3、整体通分法：例.计算：242++-a a 分析：本题若把a 2-分成两项与后面的通分在想加减，要多一些计算的过程；若把a 2-看成一个整体，即a 21-再与后面的通分显然更简单.解：原式=()()222a 2a 24a 44a 44a a 2a 2a 2a 2a 2a 2-+--++=+==++++++ 变式训练：4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法：例. 计算：()()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x分析：本题若将原式通分再相加，进行手工计算的式子有多长，时间耗费多少就不言而喻了.仔细分析，我们类比小学的：;;;11111111111162323123434204545==-==-==-⨯⨯⨯这个裂“项”的技巧，有：()()()()();;;111111111x x 1x 1x x 1x 2x 2x 1x 2x 3x 3x 2=-=-=-----------，以此类推，最后互为相反数特征的不和为0，最后计算就简便了.真可谓是“四两破千斤”.解：原式=1111111111x 1x x 2x 1x 3x 2x 99x 98x 100x 99-+-+-++-+----------=+1111111111x x 1x 1x 2x 2x 3x 98x 99x 99x 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+--+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =11x x 100-+-=()()x 100xx x 100x x 100--+-- =()100x x 100-变式训练：()()()()()()()()()11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律：例.计算：1x 11x x 1x x22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- 分析：本题有两种解法.其一、按常规解法先算括号里面的，见下面的方法1；其二、用分配律进行运算，见下面的解法2.两种方法比较方法2更简单. 略解：（方法1：先算括号里的）原式=()()()()()()1x 11x 1x 1x x 1x 1x 1x x 22-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+ =()()()()1x 1x 11x 1x x x x 2x 222-+÷+-+-+=()()()()11x 1x 1x 1x x3x 2-+⨯+-+ =x 3x 2+（方法2：利用分配律）原式=()()11x 1x 1x x 1x x 2-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- =()()()()1x 1x 1x x1x 1x 1x x 2-+⨯+--+⨯-=()()1x x 1x x 2--+=x x x 2x 222+-+ =x 3x 2+变式训练：x 2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫⎝⎛+---6、巧代换：例.设abc 1=，求1c ac c1b bc b 1a ab a ++++++++的值？分析：由abc 1=，可知1abc =，且c 0≠；若将题中最前面的分式分子、分母都乘以c ，中间的分式的分母1换成abc ，本题的三个式子就将非常巧妙化成了同分母的分式，一切问题便都迎刃而解了.解：∵abc 1=∴1abc =，且c 0≠∴原式 =()ac b c ac b cabc ac c bc b abc ac c 11ac c b ac c 1ac c 1++=++++++++++++++ =ac 1cac c 1ac c 1ac c 1ac c 1ac c 11++++++++++=++= 点评：本题在破解题上有些特殊性，须从1abc =才能看的出些端倪；当我们把中间分式的1换成abc 后，就很容易看得出后面两个是同分母的分式了，在通过第一个分式的变形、代换来“服从”另外两个分式.从本题我们得到的启发是代数式的变形除了要顺逆两用、加减乘除等来帮忙、还要注意数式之间的相互转换.7、设参法（辅助未知数法）：例.已知5z4y 3x ==，求2222yxy 2x 3y 2xy 3x -++-的值？分析：本题通过5z4y 3x ==的条件可以找出x y z 、、之间的关系，然后变换代入进行分式的约分，但过程繁杂.若设x y zk 345===，则,,x 3k y 4k z 5k ===，代入后进行计算就比较简单了（这里k起个辅助作用，最后会约去的）.解：设x y zk 345===，则,,x 3k y 4k z 5k ===，代入：()()()()22222222222222223k 33k 4k 25y x 3xy 2y 9k 36k 50k 23k 23263x 2xy y 27k 24k 25k 26k 33k 23k 4k 5y -⨯⋅+⨯-+-+====+-+-+⨯⋅-变式训练：已知::::a b c 235=，求22222a ab b 3a 2ab 2b-++-的值.8、“因式分解”法：例.计算：()()()()11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a分析：本题若按常规解法，就要先算括号里面的，也就是要分别通分后相加减后再进行后面的运算，步骤是比较多的.我们发现()()222211a b a b -----=-，可以借用整式中分解因式的技巧，将()()222211a b a b -----=-分解成()()1111a b a b ----+-，然后进行约简.解：原式=()()()()()()111111111111a b a b a b a b a b a b ------------+-÷+++-÷- =1111a b a b -----++=12a -=2a变式训练：2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-9、乘方法、倒数法：例.已知51=+x x ，求①、221xx +；②、44-+x x ；③、1242++x x x .分析：本题按常规解法将要求的式子配方，然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力，基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②，若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内；③题可以用倒数（分子、分母颠倒）的办法解决.略解：,,2222111x 5x 5x 225x x x ⎛⎫+=∴+=∴++= ⎪⎝⎭①. 221x 25223x +=-=②. 221x 23x+=22244244111x 23x 2529x 5292527x x x ⎛⎫∴+=∴++=∴+=-= ⎪⎝⎭，， ③.设242x m x x 1=++，则422221x x 11x 123124m x x ++==++=+=∴1m 24=，即242x 124x x 1=++. 变式训练：⑴.若1m 7m -=，求①. 22m m --；②. 441m m+；③.242m m m 1++ 的值.⑵.若221a 5a+=，试求1a a -的值.10、去分母法：例.已知：a b 、都是正实数，且ba b a +=-211，求22b 2ab 3a 2ab7-+的值？分析：两头凑，从已知出发通过去分母或通分很容易得出ab 与22a b -之间的关系而要求的代数式变形后是以ab 与22a b -为结构的.解：()()22112b a 2b a a b 2ab a b 2ab a b a b ab a b--=∴=∴-+=∴-=-++∴()()()227ab 7ab 7ab 7ab 7ab722ab 3ab 22ab 3ab 4ab 3ab ab2a b 3ab ======-⨯-+⨯-+-+--+原式变式训练：若331x y -=，求+2225x y 3x 2x y 3xy-的值.11、分类讨论：例.已知k bca a cbc b a =+=+=+，判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限？分析：要判断一次函数y kx k =-一定经过那些象限的关键是要确定k 的取值情况，而k 的取值和a b c 、、有关，由于本题未给定a b c 、、的条件，所以要进行讨论. 在当a b c 、、均不等于0的情况下，分为a b c 0++=和a b c 0++≠进行讨论，见下面的解答.解：⑴.当a b c 、、均不等于0且a b c 0++≠时，有()()()()a b b c a c 2a b c k 2c a b a b c+++++++===++++，即y 2x 2=-，此时一次函数的图象经过一、三、四象限.⑵.当当a b c 、、均不等于0，但a b c 0++=时，此时,,a b c a c b b c a +=-+=-+=-，代入c a b k 1c a b---====-，即y x 1=-+，此时一次函数的图象经过一、二、四象限.变式训练：已知a b c 、、均是不等于0的有理数，试求：b ab ac a c bc abca b c ab bc ac abc ++++++的值？课外选练：一、计算或化简：;ba a 2ab b a a b b a .1-÷⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛- ;ba b2a b a b a 1a 2.2---+-+();3x x 13x 4x 1x 2x 1x 2x x x 2x .322222+÷-++++--⋅---()()()();6a a a a 3a 4a a a 2.42222-++++- ;1a 44a 44a 2a 4.5⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-;21a 1a 44a 14a 81.622⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--- ;1a 4a 4a 2a a 4a 21a a 4a .732222++++--+⋅+--;y xy 2x y x y x xy xy 2x x y x .8222232+-+⋅-÷++- ()()()1x 2x xx 1x x 1x 2x .92222--+⋅-÷+-()().4x 2x 4x x 2x 4x .1022-+-+-+二、解答题：1.如果的值？求zx zy x ,04z 3y 2x -+++≠== 2.已知x 为整数，且9x 18x 2x 322x 22-++-++的值也为整数，求所有符合条件的x 值的和？ 3.先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 22，其中,x 2y 1==-. 4.先化简,再求值:若,1xx =求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-÷+-323434x x x x x x x 的值？ 5.在三个整式,-222x 1x 2x 1x x +++，中，请你从中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个进行化简，再求当x 2= 时分式的值？6.阅读题：当a b 0->时，有a b >; a b 0-=时，有a b =; 当a b 0-<时，有a b <. 请运用上面的结论解答下面的问题：,x 0y 0>>时，计算()22222x 2y y y xy 4x 4x 4--+-的值，并比较222y xy 4x 4x 4+-与()22x 2y y -的大小？7.阅读下面题目的解答过程，然后回答问题，计算：().x 42x 2x 4x 4x 122-⋅-+÷+- 解：原式=()()()21x 22x 2x x 2x 2+÷⋅-+--…… 第一步 =()()()21x 22x 2x x 2x 2-⨯⋅-++- …… 第二步 =1 …… 第三步回答：⑴.上述过程中，第一步使用的公式的字母表达式为； ⑵.第二步使用的法则的字母的表达式； ⑶.由第二步到第三步所用的运算方法是； ⑷.在以上三步中，第步有错误，请写出正确答案.8.下课了，老师给大家布置了一道作业题：当31+=x 时，求代数式()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++÷-+-x 21x 1xx 1x 1x 222的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算得久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程.9.有这样一道试题：“先化简，再求值.,4x 14x x 42x 2x 22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-其中3-=x .”马虎做该题时把“3-=x ”错抄成“3=x ”，但他的计算结果却是正确的，你能解释一下其中的原因吗？10.”“x1x + 模式题组; ⑴、已知：,41=-x x 求xx 1+的值？⑵、已知：-2x 4x 10+=,求221x x +的值？⑶、已知：1,2142422++=+-x x x x x x 求的值?。

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