黑龙江省2019-2020学年高一上学期期末考试数学

数学试题
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试
时间 120 分钟。

（1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

（3） 保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N = （ ） A ．｛-2，-1，0,1｝ B ．｛-3，-2，-1，0｝
C ．{-2，-1，0}
D ．{-3，-2，-1 }
2．已知4
(6)()(3)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨
+<⎩
，则(2)f 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．4
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A ．1y x =+
B ．y x x =
C ．3
y x =- D ．1y x
=
4．tan 600=（ ）
A B ． D ．
5．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3
y x π
=+
的图象（ ）
A ．向左平移
3π个单位长度 B ．向右平移3π
个单位长度 C ．向左平移
6π个单位长度 D ．向右平移6
π
个单位长度 6．若tan ,tan αβ是方程2240x x --=的两根，则()tan αβ+=（ ）
A ．
25 B ．23- C ．25- D ．23
7．已知角α是第二象限角，那么角
2
α
是( )．
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第二、三象限
8．函数sin()(0,)y A x A ωϕϕπ=+><在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A ．2sin(2)3y x π=+
B ．2sin()23x y π
=- C ．2sin(2)3
y x π
=-
D ．22sin(2)3
y x π
=+
9．设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sin 2sin cos A B C =，该三角形一定是() A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 10．已知sin 2cos αα=，2
k π
α≠
，k ∈Z ，则cos2=α（ ） A ．
34 B ．34- C ．12
D ．12-
11．将函数()2sin f x x x =+的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
6π
B ．3π
C ．23
π D ．56π 12．已知函数()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移
6
π
个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数
B ．函数()g x 图象关于直线4
π
x =-
对称 C ．其当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 的值域是[–1]2， D ．函数()g x 在,42
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知1
sin cos 5
αα+=
，则sin cos αα⋅=_________. 14． 若tan(2)2,tan()3αβαβ+=+=，则tan α= ______．
15．若sin(
6π
－α)＝13
，则cos(3π＋α)等于________. 16．函数f (x)＝∣4x－x 2
∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ．
三、解答题：共70分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）
已知sin α=，且α是第四象限的角。

.
（1）求tan α；
（2）
2sin()cos(2+)
cos()+sin()
22
παπαππ
αα++-+.
18．（本题满分12分）
已知函数(
)2
cos 2cos f x x x x =+．
（1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离；
（2）求函数()f x 在区间63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．
19．（本题满分12分）
已知函数()sin 2(,0,0)62
a
f x a x b x R a πωω⎛
⎫=+
++∈>> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，函数()f x 的最大值是74，最小值是3
4
.
（1）求ω、a 、b 的值； （2）指出()f x 的单调递增区间. 20．（本题满分12分）
已知函数.2sin 2
1
1)(,12cos )(2
x x g x x f +=⎪⎭⎫
⎝⎛+
=π （I ）求函数)(x f y =图象的对称轴方程；
（II ）求函数)()12
()(x g x f x h +-
=π
的最小正周期和值域.
21．（本题满分12分）
设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；
（2）证明f （x ）是奇函数；
（3）解不等式
12f （x 2
）—f （x ）＞12
f （3x ）． 22．（本题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x n
f x m
+-=+是奇函数．
（1）求()f x 的解析式；
（2）试判断()f x 的单调性，并用定义法证明；
（3）若存在[1,4]t ∈，使得不等式()()
2
2log 220f t t f t k -+-<成立，求实数k 的取值
范围．
参考答案
1．C 【解析】
因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝
2．D 【解析】
因为4
(6)()(3)(6)
x x f x f x x -≥⎧=⎨
+<⎩，所以()()(2)58844f f f ===-=.
3．B 4．C 【解析】
详解：tan600=tan 720-120=-tan120tan(18060)tan 60 3.=--==（） 5．D 【解析】
∵sin(2)sin 2()36
y x x π
π=+
=+，∴把函数sin(2)3y x π
=+的图象向右移6π个单位就可得
到函数sin 2y x =的图象.
6．A 【解析】
∵tan ,tan αβ是方程2240x x --=的两根，则
∴tan tan 2,tan tan 4αβαβ+==-
则tan()αβ+＝
tan tan 22
1tan tan 1(4)5
αβαβ+==---，
7．B 【解析】
由题可知
22,2
k k k z π
παππ+<<+∈，所以
,4
2
2
k k k z π
α
π
ππ+<
<
+∈,当k 偶数时，
α在第一象限；当k 奇数时，α在第三象限.
8．D 【解析】
由题设中提供图像信息可知52,
()2212122
T A T πππ==--=⇒=，则22,()2sin(2)f x x π
ωϕπ
=
==+，将12
x π
=-
代入可得sin[2()]112
π
ϕ⨯-
+=，即
26
2
k π
π
ϕπ-
+=+
，故223k πϕπ=+
，又ϕπ<，故23
ϕπ
= 9．A 【解析】
解：因为sin 2sin cos A B c =， 所以()sin 2sin cos B C B C +=，
所以sin cos sin cos 0B C C B -=，即()sin 0B C -=， 因为A ，B ，C 是三角形内角， 所以B C =．
所以三角形是等腰三角形．
10．C 【解析】
由sin2cos αα=，则2sin cos cos ααα=，因为2k πα≠
，k Z ∈，故1
sin 2
α=，所以21
cos212sin 2
αα=-=
. 11．B 【解析】
()
2sin 4sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，
所得图象对应的解析式为sin 3y x πϕ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
， 由于4sin 3y x πϕ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
为奇函数， 则()3
k k π
ϕπ-+
=∈Z ，即()3
k k π
ϕπ=
-∈Z ，
由于0ϕ>，所以当0k =时，ϕ取得最小值3
π. 12．C 【解析】
因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象沿x 轴向左平移6π
个单位，得到()2sin 2()2cos 266x g x x ππ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭=，所以函数()g x 是偶函数；函数()g x 图象关于点
(,0)4π-对称；当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[12]-，
；函数()g x 在,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，不是增函数， 13．12
25
-
【解析】
因为1sin cos 5αα+=
，所以2
112(sin cos )sin cos 2525
αααα+=
⇒⋅=-. 故答案为：1225
-
. 14．17
-
. 【解析】
tan α=()tan[2αβαβ+-+]=
tan(2)tan()231
1tan(2)tan()1237
αβαβαβαβ+-+-==-++++⨯
15．
13
【解析】
∵sin（
6π－α）=1
3
， ∴cos（
3π＋α）=cos[2
π
﹣（6π－α）]=sin （6π－α）=13 ． 16．4 【解析】
令函数f （x ）=|x 2-4x|-a=0，可得|x 2-4x|=a ．由于函数f （x ）=|x 2-4x|-a 的零点个数为3，故函数y=|x 2-4x|的图象和函数y=a 的图象有3个交点， 如图所示：故a=4．故答案为 4．
17．【解析】
（1）由5
sin 5
α=-
，且α是第四象限的角， 所以cos 0α>，则25cos 1sin 5
αα=-=
sin tan 2cos α
αα
∴=
=- ························5分 （2）原式2sin cos sin cos αααα-+=
+ 2tan 1
tan 1
αα-+=+
5=-························10分
18．【解析】
()223cos 2cos 32cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛
⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭．····
··4分
（1）函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为
22
T π
=；······6分 （2）
5,,2,63666x x πππππ⎡⎤
⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，······8分
∴当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值为3；······10分
当π
π266
x
，即6x π
=-时，()f x 取得最小值为0．······12分
19．【解析】
（1）由函数最小正周期为π，得22ππω
=，∴1ω=.············2分 又()f x 的最大值是74，最小值是34
， 则7,24{3,24a a b a a b +
+=-++=解得1,{21.a b ==············6分 （2）由（1）知， ()15sin 2264f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭， 当()222262k x k k Z π
π
π
ππ-≤+≤+∈，············9分 即()36k x k k Z π
π
ππ-≤≤+∈时， ()f x 单调递增
∴()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦.············12分
20．【解析】
（I
···········2分 所以，由12,.6212x k x k k z ππππ+
==-∈···········4分
···········6分
（II ）因为，.2sin 211)(,12cos )(2x x g x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π
所以，23)42sin(22)(++=
πx x h ···········9分
π周期为∴···········10分
]223,223[+-值域为···········12分
21．【解析】
（1）令0x y ==，得(0)(00)(0)(0)f f f f =+=+，
∴(0)0f =···········2分
（2）定义域关于原点对称
y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，
∴()()f x f x -=∴()f x 是奇函数···········6分
（3）211()()(3)22f x f x f x ->，()
()232f x f x f x ->（）， 即2
32f x f x f x （）（）＞（），+- 又由已知得：()()2(2)232f x f x f x x f x =∴->（），···········8分
由函数f x （）是增函数，不等式转化为
223250x x x x x ->∴->．，···········10分
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．···········12分
22．【解析】
（1）由题意可得01110220(0)02(1)(1)2222n f m f f n n m m -⎧⎧-=⎪⎪=⎪⎪+⇒⎨⎨-=---⎪⎪=-⎪⎪++⎩⎩
，解得21m n =⎧⎨=⎩， 故
121()22x x f x +-=+；···········4分 （2）12111()22221
x x x f x +-==-++，可得()f x 在R 上单调递增， 任取12,x x R ∈，且12x x <，
()()()()
12122112121111112222122121212121x x x x x x x x f x f x --=--+=-=++++++， ∵12x x <∴1222x x <即12220x x -<，
又1210x +>，2210x +>，∴12())0(f x f x -<即12()()f x f x <， 故()f x 在R 上单调递增．···········8分
（3）2222(log 2)(2)0(log 2)(2)f t t f t k f t t f t k -+-<⇒-<--，
因为()f x 是奇函数，所以22(log 2)(2)f t t f k t -<-，
由（2）可知()f x 在R 上单调递增，
所以存在[]1,4t ∈，使得22log 22t t k t -<-成立，
即存在[]1,4t ∈，使得22log 22>+-k t t t 成立；
令22log 22=+-y t t t ，[]1,4t ∈，
易得其在[]1,4上单调递增；
所以2min 2log 121210=+⨯-⨯=y ；
故22min (log 22)0>+-=k t t t ，
所以k 的取值范围为()0+∞，．···········12分。