人教版八年级数学上册 期末试卷复习练习(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册期末试卷复习练习(Word版含答案)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG＝CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；
（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．
【详解】
解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDG＝∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
DBG DCF
BD CD
BDG CDF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．
2．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）
（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，
∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，
∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，
∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，
∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°
（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．
理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴∠DCF ＝∠GCF ，
在△CFG 和△CFD 中，
CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CFG ≌△CFD （SAS ），
∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG
由（1）∠AFC ＝120°得，
∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，
∴∠AFG ＝60°，
又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，
∴∠AFE ＝∠AFG ，
在△AFG 和△AFE 中，
AFE AFG AF AF
EAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），
∴EF ＝GF ，
∴DF ＝EF ；
（3）结论：AC ＝AE+CD ．
理由：如图3，在AC 上截取AG ＝
AE ，
同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
3．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若
AB=82，BC=16．
（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设
BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．
【答案】（1）4；（2）8
【解析】
【分析】
（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出
BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=1
2
BF，由（1）
证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=1
2
CF，即可得出BE+CD=8．
【详解】
解:（1）如图①，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，
∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ ，
∵PF ∥AQ ，
∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB ，
∴∠B=∠PFB ，
∴BP=PF ，
∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，
∴△PFD ≌△QCD ，
∴DF=CD=12
CF ， 又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=
12BC=8， ∴CD=12
CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．
如图②，点P 在线段AB 上，
过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，
易知△PBF 为等腰三角形，
∵PE ⊥BF
∴BE=12
BF
∵易得△PFD ≌△QCD ∴CD=12
CF ∴()111182222
BE CD BF CF BF CF BC λ+==
+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．
4．如图，在ABC ∆中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 23BD CD =
，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;
(2)动点 P 从点 O 出发，沿线段 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q 从 点 B 出发沿射线BC 以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q 两点同时出发，当点 P 到达 A 点时，,P Q 两点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 t 秒，POQ ∆的面积为 S ，请用含t 的式子表示 S ，并直接写出相应的 t 的取值范围;
(3)在(2)的条件下，点 F 是直线AC 上的一点且 CF BO =.是否存在t 值，使以点 ,,B O P 为顶 点的三角形与以点 ,,F C Q 为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的 t 值; 若不存在，请说明理由.
【答案】（1）5；（2）①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，t 的取值范围是102t <<；②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，，t 的取值范围是152
t <≤；（3）存在，1t =或
53. 【解析】
【分析】
（1）只要证明△AOE ≌△BCE 即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD=2-4t ，②当点Q 在射线DC 上时，DQ=4t-2时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP=CQ 时，△BOP ≌△FCQ ；
【详解】
解：（1）∵AD
是高，∴90ADC ∠=
∵BE 是高，∴90AEB BEC ∠=∠=
∴90EAO ACD ∠+∠=，90EBC ECB ∠+∠=，
∴EAO EBC ∠=∠
在AOE ∆和BCE ∆中，
EAO EBC AE BE
AEO BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AOE ∆≌BCE ∆
∴5AO BC ==；
（2）∵23
BD CD =，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，
根据题意，OP t =，4BQ t =，
①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，
∴21(24)22S t t t t =-=-+，t 的取值范围是102
t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，
∴21(42)22S t t t t =
-=-，t 的取值范围是152
t <≤ （3）存在． ①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．
∴CQ=OP ，
∴5-4t ═t ，
解得t=1，
②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．
∴CQ=OP ，
∴4t-5=t ，
解得t=53
． 综上所述，t=1或
53s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形DEF ∆，连接CF .
（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；
（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；
（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解.
【解析】
【分析】
(1)由ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ∆是等边三角形，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；
(3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论.
【详解】
（1）∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG ∆是等边三角形，
∴DG=DC.
∵DEF ∆是等边三角形，
∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ，
在∆ GDE 和∆ CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，
∴CF EG =；
（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2，
∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG ∆是等边三角形，
∴DG=DC.
∵DEF ∆是等边三角形，
∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ，
在∆ GDE 和∆ CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，
∴CF GE =，
∴CD CG CE GE CE CF ==+=+
（3）CF =CD +CE ，理由如下：
过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，
∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG ∆是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵DEF ∆是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，
在∆ GDE和∆ CDF中，
∵
DE DF
GDE CDF
DG DC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，
∴CF GE
==GC+CE=CD+CE.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90º，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相交于点 F，且∠CAD＝
1
2
∠ABE．
(1)求证：BF＝AC；
(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；
(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.
【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.
【解析】
【分析】
（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；
(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：
∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；
(3)设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，根据勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设∠CAD=x ，
∵∠CAD ＝
12
∠ABE ，∠BAC ＝90º， ∴∠ABE=2x ，∠BAF=90°-x ，
∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，
∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x ，
∴∠BAF =∠AFB ，
∴BF ＝AB ；
∵AB ＝AC ，
∴BF ＝AC ； （2）由（1）可知：∠CAD=x ，∠ABE=2x ，∠BAC ＝90º，
∴∠AEB=90°-2x ，
∵EF ＝EC ，
∴∠EFC=∠ECF ，
∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x ，
∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ，
∵BF ＝AB ,
∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ，
∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，
∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°；
（3）由（2）可知：EF ＝EC ，
∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ，
∴AB=BF=AC=3+x ，
∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ，
∵∠BAC ＝90º，
∴222AB AE BE +=，
∴222
(3)3(32)x x ++=+，
解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去）
∴BF=3+x=3+1=4.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.
7．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”.
（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；
（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”；
在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
应用：
（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.
【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42°
【解析】
【分析】 （1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值；
【详解】
解：（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C ，
∵BD=BC=AD ，
∴∠A=∠ABD ，∠C=∠BDC ，
设∠A=∠ABD=x ，则∠BDC=2x ，∠C=°180-2
x 可得°180-22
x x =
则∠A=36°；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
①当AD=AE时，
∵2x+x=27°+27°，
∴x=18°；
②当AD=DE时，
∵27°+27°+2x+x=180°，
∴x=42°；
综上所述，∠C为18°或42°的角．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．再读教材:
宽与长的比是5-1
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.
世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)
第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，
第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，
问题解决:
（1）图③中AB=________(保留根号);
（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;
（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
【答案】（1）5；(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.
【解析】
分析：（1）由勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的判定方法即可判断；
（3）根据黄金矩形的定义即可判断；
（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．
详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB=22
+=22
AC BC
+=5．
12
故答案为5．
（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：
如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．
∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．
（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．
∵AD=5．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=5﹣1．
∵BC=2，∴CD
BC
=
51
2
-，∴矩形BCDE是黄金矩形．
∵MN
DN
=
2
15
+
=
51
2
-，∴矩形MNDE是黄金矩形．
（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．
长GH=5﹣1，宽HE=3﹣5．
点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．
（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．
（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并
延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝2
3
DC？请求出点C的坐标；
（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．
【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .
【解析】【分析】
（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ，分别证明△OBD ≌△HCD 和△AOB ≌△FHC ，根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）证明△CBA ≌△QBD ，根据全等三角形的性质得到∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，求出 CD ，得到答案；
（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点 F ．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答．
【详解】
解：（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ，
∵∠BAO ＝60°，
∴∠ABO ＝30°，
∴AB ＝2OA ＝6，
∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°，
∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，
∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°，
∴DB ＝DC ，
在△OBD 和△HCD 中，
==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
∴△OBD ≌△HCD （ASA ），
∴OB ＝HC ，
在△AOB 和△FHC 中，
==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
∴△AOB ≌△FHC （ASA ），
∴CF=AB=6，
故答案为6；
（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，
∴∠ABD
＝∠
CBQ＝60°，
∴∠ABC＝∠DBQ，
在△CBA 和△QBD 中，
BA BD
ABC DBQ
BC BQ
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△CBA≌△QBD（SAS），
∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，
∴∠PDO＝60°，
∴PD＝2DO＝6，
∵PD＝
2
3
DC，
∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12，
∴点 C的坐标为（12，0）；
（3）如图3，以 OA为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP交 x 轴于点F．
由（2）得，△AEP≌△ADB，
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OA＝3，
∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝
1
2
OF＝
3
2
则OP的最小值为
3
2
．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点.
(1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ∆，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为()
23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ∆.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ∆，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=
12
(EM-ON)，证明见详解. 【解析】
【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ≅，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；
（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ≅，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3-
（3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,E O=BM,可以证明ENO BGM ≅，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=12
(EM-ON).
【详解】
（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,
∴∠AQC=90°,
△为等腰直角三角形，
∵ABC
∴AC=AB,∠CAB=90°,
∴∠QAC+∠OAB=90°,
∵∠QAC+∠ACQ=90°,
∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,
≅(AAS),
∴AQC BOA
∴CQ=AO,AQ=BO,
∵OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6,
∴C(-6,-2).
(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,
∴∠BPD=90°,
△是等腰直角三角形，
∵ABD
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,
∴∠ABO=∠BDP,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,
≅
∴AOB BPD
∴AO=BP,
∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,
∵A ()23,0-,
∴OA=23,
∴m+n=23,
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23,
∴整式2253m n +-的值不变为3-.
（3）()12
EN EM ON =- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.
∵OBM 为等边三角形，
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,
∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,
∵OE=OB,
∴OE=OM=BM,
∴∠3=∠EMO=15°,
∴∠BEM=30°,∠BME=45°,
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=∠BME,
∴ENO BGM ≅,
∴BG=EN,
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°,
∴∠EBG=90°,
∴BG=
12
EG, ∴EN=12EG, ∵EG=EM-GM,
∴EN=
12
(EM-GM), ∴EN=12(EM-ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)1；(2)3．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．
【详解】
解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y=−1，
∴2x+y=2×1+(−1)=1；
(2)∵a−b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得
b2+4b+c2−6c+13=0，
∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c−3)2=0，
∴b+2=0，c−3=0，
解得，b=−2，c=3，
∴a=b+4=−2+4=2，
∴a+b+c=2−2+3=3．
【点睛】
此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.
12．阅读材料
小明遇到这样一个问题：求计算()()()
22334
x x x
+++所得多项式的一次项系数.
小明想通过计算()()()
22334
x x x
+++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.
他决定从简单情况开始，先找()()
223
x x
++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2
x+中的一次项系数1乘以23
x+中的常数项3，再用2
x+中的常数项2乘以23
x+中的一次项系数2，两个积相加13227
⨯+⨯=，即可得到一次项系数.
延续上面的方法，求计算()()()
22334
x x x
+++所得多项式的一次项系数，可以先用2
x+的一次项系数1，23
x+的常数项3，34
+
x的常数项4，相乘得到12；再用23
x+的一次项系数2，2
x+的常数项2，34
+
x的常数项4，相乘得到16；然后用34
+
x的一次项系数3，2
x+的常数项223
x+的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算()()
443
x x
++所得多项式的一次项系数为____________________.
(2)计算()()()
13225
x x x
+-+所得多项式的一次项系数为_____________.
(3)若231
x x
-+是422
x ax bx
+++的一个因式，求a、b的值.
【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．
【解析】
【分析】
（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a、一次项系数为b列出方程组求出a、b的值，可得答案．【详解】
解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，
故答案为：19；
（2）()()()
13225
x x x
+-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，
故答案为：1；
（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，
1310
1211(3)
321
m
m a
m b
⨯-⨯=
⎧
⎪
∴⨯+⨯+-⨯=
⎨
⎪-⨯+⨯=
⎩
解得：
3
6
3 m
a
b
=⎧
⎪
=-⎨
⎪=-⎩
故答案为：a= -6，b= -3．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
13．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了________次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2019，则需要应用上述方法________次，结果是________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数).
【答案】(1)提取公因式法，2；(2)2019，(1＋x)2020；(3) (1＋x)n＋1.
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
（2）根据已知分解因式的方法可以得出答案；
（3）由（1）中计算发现规律进而得出答案．
【详解】
(1)提取公因式法，2（因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次）
(2)2019，(1＋x)2020（分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019，则需应用上述方法2019次，结果是(1＋x)2020）
(3)原式＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－1]
＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－2]
＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n－3]
＝(1＋x)n(1＋x)
＝(1＋x)n＋1.
【点睛】
本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
14．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24﹣1）（24+1）（28+1）
=（28﹣1）（28+1）
=216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
【答案】232﹣1
32
31 2
-
；
【解析】
【分析】
（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．
【详解】
（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；
（2）原式=1
2（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=3231
2
-；
（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
当m≠n时，原式=
1
m n
-
（m-
n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=
3232
m n
m n
-
-
；
当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．
【点睛】
此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
15．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）
（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．
【答案】（1）可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）m的值是56，n的值是17．
【解析】
【分析】
（1）先将多项式进行因式分解，然后再根据数字密码方法形成数字密码即可；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，得到方程解出p、q、r，然后回代入原多项式即可求得m、n
【详解】
（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），
当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，
∴可以形成的数字密码是：212814、211428；
（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），
∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，
∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，
解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，
∴
35
17
m n
n
-=
⎧
⎨
-=-
⎩
得，
56
17
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
即m的值是56，n的值是17．
【点睛】
本题属于阅读理解题型，考查知识点以因式分解为主，本题第一问关键在于理解题目中给到的数字密码的运算规则，第二问的关键在于能够将原多项式设成（x+p）（x+q）
（x+r），解出p、q、r
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：
（1）方程+=+的解；
（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．
【答案】（1）x=4；（2）x=．
【解析】
通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．
解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：
，
化简可得：
，
整理可得：2x =15﹣8， 解得：x =，
这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4）， 这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]； 解方程
﹣
=
﹣
，先左右两边分别为通分可得： ，
化简可得：，
解得：x =
，
这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6）， 这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；
所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差． （1）先把方程分为两边差的形式：方程
﹣
=
﹣
，
由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8， 分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2， 所以方程的解为x ==4；
（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =
．
17．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟． ①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．
【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为
3分；②
1000(1)
m mn
-．
【解析】
【分析】
（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案. 【详解】
（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，
根据题意得：
1200x ＝4500
220
x +． 解得：x ＝80．
经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意． ∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分． （2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6，
∴1000100063y y -=，解之得1000
9
y =. 经检验，1000
9
y =
是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：1000
1000(3)39
÷⨯
=（分） ②小强跑的时间：
1n m -分钟，小明跑的时间：11
n mn
n m m +=--分钟，
小明的跑步速度为： 1000(1)
10001mn m m mn
-÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn
-．
【点睛】
此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.
18．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处
理率的1. 25倍. （注：=
垃圾处理量
垃圾处理率垃圾排放量
）
（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；
（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？ 【答案】（1）100；（2）98. 【解析】 【分析】
（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可； （2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案. 【详解】
（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，
40 2.540
1.25100x x ⨯=⨯+，
解得：x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解， 答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨， 设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，
40 2.5200(110%)
m
⨯+⨯+≥90%，
m ≥98，
∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.
19．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x 小时，乙单独完成需要y 小时，丙单独完成需要z 小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a 倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b 倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c 倍，求111111
a b c +++++的值．。