★试卷3套精选★宜兴市某知名实验中学2021届九年级上学期期末统考数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ）
A ．310
B ．15
C ．12
D ．710
【答案】A
【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是310． 故选A ．
【点睛】
本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
2．如图，若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质判断出a 、b 的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：y ax b =+的图象经过二、三、四象限，
0a ∴<，0b <，
∴抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线02b x a
=-<， ∴对称轴在y 轴的左边，
纵观各选项，只有C 选项符合．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，
确定出a、b的正负情况是解题的关键．
3．若反比例函数y=k
x
图象经过点（5，-1），该函数图象在（）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【答案】D
【解析】∵反比例函数y=k
x
的图象经过点（5，-1），
∴k=5×（-1）=-5＜0，
∴该函数图象在第二、四象限．
故选D．
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5B．4.2C．5.8D．7
【答案】D
【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，
∴AP的长不能大于1．
∴3PA6
≤≤
故选D．
5．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF ②MB=FN ③MP·DP=NP·FP ④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①连接DE 、DF ，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE ，证明△DMF ≌△DNE ，根据全等三角形的性质证明；
②根据①的结论结合点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 中点，即可得证；
③根据题目中的条件易证得
~MPN DPF ，即可得证； ④根据题目中的条件易证得
~BDP FNP ，再则等量代换，即可得证．
【详解】连接DE DF 、，
∵ABC 和DMN 为等边三角形，
∴DM DN =，60MDN ∠=︒，
∵点D E F 、、分别为边AB AC BC ，，的中点，
∴DEF 是等边三角形，
∴DE DF =，60EDF ∠=︒，
∵60MDF MDN NDF NDF ∠∠∠∠=+=︒+
60NDE EDF NDF NDF ∠∠∠∠=+=︒+
∴MDF NDE ∠∠=，
在DMF 和DNE 中，DF DE MDF NDE DM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DMF DNE SAS ≌，
∴EN MF =，
故①正确；
∵点D E F 、、分别为等边三角形三边AB AC BC ，，的中点，
∴四边形DEFB 为菱形，
∴BF EF =，
∵EN MF =，
∴MB FN =，
故②正确；
∵点D F 、分别为等边三角形三边AB BC ，的中点，
∴60DFP C ∠=∠=︒，
∵DMN 为等边三角形，
∴60DFP MNP ∠=∠=︒，
又∵MPN DPF ∠=∠，
∴
~MPN DPF ， ∴MP NP DP FP =， ∴MP FP NP DP =，
故③错误；
∵点D E F 、、分别为等边三角形三边AB AC BC ，，的中点，
∴EF ∥AB ，BD FC =，
∴
~BDP FNP ， ∴BP BD PF FN
=， 由②得MB FN =， ∴
BP FC PF MB =， ∴··MB BP PF FC =，
故④正确；
综上：①②④共3个正确.
故选：C
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且AO ＝CD ，则∠PCA ＝（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．67.5°
D ．45°
【答案】C 【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠PCA 的度数．
【详解】解：∵PD 切⊙O 于点C ，
∵AO ＝CD ，
∴OC ＝DC ，
∴∠COD ＝∠D ＝45°，
∵AO ＝CO ，
∴∠A ＝∠ACO ＝22.5°，
∴∠PCA ＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠COD=∠D=45°是解题关键． 7．已知二次函数233y x mx n =-+-的图像与x 轴没有交点，则( )
A ．423
m n +＞ B ．423m n +＜ C ．423m n -＜ D ．423
m n -＞ 【答案】C 【分析】若二次函数233y x mx n =-+-的图像与x 轴没有交点，则0∆＜，解出关于m 、n 的不等式，再分别判断即可；
【详解】解：233y x m n =-+-与x 轴无交点，2239120,4m n n m ∴∆=-<∴>
， 22334442244333
m n m m m ⎛⎫∴++=+-≥- ⎪⎝⎭＞，故A 、B 错误； 同理：2
2334442244333m n m m m ⎛⎫-<-=--+≤ ⎪⎝⎭； 故选C .
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.
8．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ）
A ．(1)10x x -=
B ．(1)10x x +=
C ．1(1)102x x -=
D ．1(1)102x x += 【答案】C
【分析】如果x 人参加了这次聚会，则每个人需握手1x -次，x 人共需握手()1x x -次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手()11102
x x -=次. 【详解】设x 人参加了这次聚会，则每个人需握手1x -次，
依题意，可列方程()11102
x x -=. 故选C.
【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用.
9．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为( )
A ．90
B ．94
C ．98
D ．102
【答案】C 【分析】根据前三个图形可得到第n 个图形一共有22n 个五角星，当n=7代入计算即可．
【详解】解：第①个图形一共有2221=⨯个五角星；第②个图形一共有2822=⨯ 个五角星；第③个图形一共有21823=⨯个五角星；……第n 个图形一共有22n 个五角星，所以第⑦个图形一共有22798⨯= 个五角星．
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查规律探索，解题的关键是找准规律．
10．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（ ）
A ．12
B ．1
C 3
D 3【答案】B
【分析】连接BC ，由网格求出AB ，BC ，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC ，
由网格可得510AB 2+BC 2=AC 2，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan ∠BAC=1，
故选B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 11．下列图形中，是相似形的是（ ）
A ．所有平行四边形
B ．所有矩形
C ．所有菱形
D ．所有正方形
【答案】D
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，依次分析各项即可判断.
【详解】所有的平行四边形、矩形、菱形均不一定是相似多边形，而所有的正方形都是相似多边形，故选
D.
【点睛】
本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需熟练掌握特殊四边形的性质即可轻松完成. 12．如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ，P 是优弧AB 上的一点（不与点A B 、重合），若55BOC ∠=︒，则APC ∠等于（ ）
A ．27.5
B ．25
C ．22.5
D ．20
【答案】A 【分析】根据题意，⊙O 的半径 O C 垂直于弦 AB ，可应用垂径定理解题， O C 平分弦，平分弦所对的弧、平分弦所对的圆心角，故 55AOC BOC ∠=∠=︒,又根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，可解得27.5APC ∠=︒
【详解】 ⊙O 的半径 O C 垂直于弦
AB ， AC BC ∴=
55BOC ∠=︒
127.52APC BOC ∴∠=∠=︒ 故选A
【点睛】
本题考查垂径定理、圆周角与圆心角的关系，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，则旋转角度是_______．
【答案】35°
【分析】根据旋转角度的概念可得∠ABE 为旋转角度，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：∠ABE 为旋转角度， ∵∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，
∴∠ABE=∠A+∠C=35°；
故答案为35°．
【点睛】
本题主要考查旋转及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 14．如图，河的两岸a 、b 互相平行，点A 、B 、C 是河岸b 上的三点，点P 是河岸a 上一个建筑物，在A 处测得30PAB ∠=︒，在B 处测得75PBC ∠=︒，若80AB =米，则河两岸之间的距离约为______米（3 1.73≈，结果精确到0.1米）（必要可用参考数据：tan 7523︒=+）
【答案】54.6
【分析】过P 点作PD 垂直直线b 于点D ，构造出两个直角三角形，设河两岸之间的距离约为x 米，根据所设分别求出BD 和AD 的值，再利用AD=AB+BD 得出含x 的方程，解方程即可得出答案.
【详解】过P 点作PD 垂直直线b 于点D
设河两岸之间的距离约为x 米，即PD=x ，则BD 75x tan =
︒，AD 30x tan =︒ 可得：803075x x tan tan =+︒︒
解得：x=54.6
故答案为54.6
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，解题关键是做PD 垂直直线b 于点D ，构造出直角三角形. 15．在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。

搅匀后从中随机一次摸出两个球，则摸到的两个球都是白球的概率是____． 【答案】13. 【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下：
∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，
∴P （两个球都是白球）21=
=63， 故答案为：
13
． 【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米.当50a =︒时，人字梯顶端高地面的高度AD 是____米（结果精确到0.1m .参考依据：sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈）
【答案】1.5.
【分析】在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
【详解】在Rt ADC ∆中，
∵2AC =，50ACD ∠=︒，
∴sin 50AD AC ︒=， ∴sin5020.77 1.5AD AC =⨯︒=⨯≈.
故答案为1.5.
【点睛】
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tanB =3则斜坡 AB 的坡度为____________
【答案】33 【分析】由题意直接利用坡度的定义进行分析计算即可得出答案．
【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，3
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴斜坡AB 的坡度为：tanA=3tan 303
︒=． 3 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义以及特殊三角函数值是解题的关键． 18．在一个不透明的袋子中只装有n 个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是
13，那么n 的值为_____． 【答案】1．
【分析】根据概率公式列方程计算即可.
【详解】解：根据题意得
143n n =+ ， 解得n ＝1，
经检验：n ＝41是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
题考查了概率公式的运用，理解用可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解答本题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．
【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.
【解析】分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则
∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．
详解：（1）证明：连接OC，如图，
.
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B=90°，
而∠2=∠3，
∴∠2+∠B=90°，
而OB=OC，
∴∠4=∠B，
∴∠1=∠2，
∴CE=FE；
（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，而AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=30°，
∴∠3=∠2=60°，
而CE=FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF，
同理可得∠GFE=60°，
利用对称得FG=FC，
∵FG=EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG=FG，
∴EF=FG=GE=CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，
而OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=67.5°，
∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠COE=45°，
利用对称得∠EOG=45°，
∴∠COG=90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OEG=∠OCE=90°， ∴四边形ECOG 为矩形， 而OC=OG ，
∴四边形ECOG 为正方形． 故答案为30°，22.5°．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定． 20．如图，AB 是
O 的直径，CD 切O 于点C ，AD 交O 于点E ，AC 平分BAD ∠，连接BE .
（1）求证:CD ED ⊥； （2）若4CD =，2AE =，求
O 的半径.
【答案】（1）见解析；（2）17.
【分析】（1）连接OC ，则OC DC ⊥，由角平分线的性质和OA OC =，得到OC AD ∥，即可得到结论成立；
（2）由AB 是直径，得到∠AEB=90°，则四边形DEFC 是矩形，由三角形中位线定理，得到BE=2CD=8，由勾股定理，即可求出答案.
【详解】（1）证明：连接OC ，交BE 于F ，由DC 是切线得OC DC ⊥；
又∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠， ∵DAC OAC ∠=∠， ∴OCA DAC ∠=∠，
∴OC AD ∥，
∴90D OCD ∠=∠=︒， 即CD ED ⊥. （2）解：∵AB 是O 的直径，
∴90AEB =︒∠， ∵90D ∠=︒， ∴AEB D ∠=∠， ∴BE CD ∥， ∵OC CD ⊥， ∴OC BE ⊥， ∴EF BF =， ∵OC
ED ，
∴四边形EFCD 是矩形， ∴4EF CD ==， ∴8BE =， ∴222228217AB AE BE =+=+=；
∴
O 的半径为17.
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握所学知识进行求解，正确得到AB 的长度. 21．如图，抛物线y ＝﹣
12
x 2
+2x+6交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），交y 轴于点C ，顶点为D ，对称轴分别交x 轴、线段AC 于点E 、F ．
（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）连结AD ，CD ，求△ACD 的面积；
（3）设动点P 从点D 出发，沿线段DE 匀速向终点E 运动，取△ACD 一边的两端点和点P ，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P 为顶角顶点，求所有满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴x ＝1，A （6，0）；（1）△ACD 的面积为11；（3）点P 的坐标为（1，1）或（1，6）或（1，3）．
【分析】（1）令y=0，求出x ，即可求出点A 、B 的坐标，令x ＝0，求出y 即可求出点C 的坐标，再根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴；
（1）先将二次函数的一般式化成顶点式，即可求出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而求出点F 的坐标，根据“铅垂高，水平宽”求面积即可；
（3）根据等腰三角形的底分类讨论，①过点O 作OM ⊥AC 交DE 于点P ，交AC 于点M ，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质即可得出此时AC 为等腰三角形ACP 的底边，且△OEP 为等腰直角三角形，从而求出点P 坐标；②过点C 作CP ⊥DE 于点P ，求出PD ，可得此时△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，从而求出点P 坐标；③作AD 的垂直平分线交DE 于点P ，根据垂直平分线的性质可得PD ＝PA ，设PD ＝x ，根据勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出点P 的坐标. 【详解】（1）对于抛物线y ＝﹣12x 1+1x+6令y ＝0，得到﹣1
2
x 1+1x+6＝0，解得x ＝﹣1或6， ∴B （﹣1，0），A （6，0）， 令x ＝0，得到y ＝6， ∴C （0，6），
∴抛物线的对称轴x ＝﹣
2b
a ＝1，A （6，0）． （1）∵y ＝﹣12x 1+1x+6＝2
1(2)82
x --+，
∴抛物线的顶点坐标D （1，8）， 设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，
将A （6，0）和C （0，6）代入解析式，得
0666k b =+⎧⎨
=⎩
解得：16k b =-⎧⎨=⎩
，
∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+6， 将x=1代入y ＝﹣x+6中，解得y=4 ∴F （1，4）， ∴DF ＝4， ∴12
ACD
S
DF OA =
⋅＝1
462⨯⨯＝11；
（3）①如图1，过点O 作OM ⊥AC 交DE 于点P ，交AC 于点M ，
∵A（6，0），C（0，6），∴OA＝OC＝6，
∴CM＝AM，∠MOA=1
2
∠COA=45°
∴CP＝AP，△OEP为等腰直角三角形，
∴此时AC为等腰三角形ACP的底边，OE＝PE＝1．∴P（1，1），
②如图1，过点C作CP⊥DE于点P，
∵OC＝6，DE＝8，
∴PD＝DE﹣PE＝1，
∴PD＝PC，
此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴P（1，6），
③如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，
则PD＝PA，
设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE1+AE1＝PA1，
∴（8﹣x）1+41＝x1，
解得x＝5，
∴PE＝8﹣5=3，
∴P（1，3），
综上所述：点P的坐标为（1，1）或（1，6）或（1，3）．
【点睛】
此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、利用“铅垂高，水平宽”求三角形的面积和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 22．. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．
（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；
（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
【答案】（1）；（2）列表见解析，.
【解析】试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所
示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果. 试题解析：（1）P（摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下：小华
小丽
-1 0
2
-1 （-1，-1）（-1，0）（-1，2）
0 （0，-1）（0，0）（0，2）
2 （2，-1）（2，0）（2，2）
共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，
∴P（点M落在如图所示的正方形网格内）==.
考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.
23．已知二次函数2
1
8
y x bx c
=++（b、c为常数）的图像经过点()
0,1
-和点()
4,1
A.
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点()
10,
C m在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x轴的直线l平分AMC
∠，求点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若PEF
∆的面积为6P的坐标.
【答案】（1）0
b=，1
c=-；（2）()
0,4
M；（3）()
4,1
P或()
4,1
-或()
0,1
-
【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可
(2)过点C作CD l
⊥，过点A作AE l
⊥.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y
的关系，从而得出y 的值，再代入抛物线解析式求出x 的值，得出点坐标. 【详解】解：(1)把()4,1A 和()0,1-代入2
18
y x bx c =
++得：1241b c c =++⎧⎨-=⎩
解方程组得出：0
1b c =⎧⎨=-⎩
所以，
0b =，1c =-
(2)由已知条件得出C 点坐标为2310,
2C ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，设()0,M n .过点C 作CD l ⊥，过点A 作AE l ⊥.
两个直角三角形的三个角对应相等， ∴CMD AME ∆∆∽
∴
CD MD
AE ME = ∴23102
14
n
n -=- ∵解得：4n = ∴()0,4M
(3)设点P 的纵坐标为y,由题意得出，1262EF y ⨯⨯=46
EF = ∵MP 与PE 都为圆的半径， ∴MP=PE
∴()2
2
2
8y 84(
)2
EF y y ++-=+ 整理得出， ∴EF 46=
∵46
EF =
∴y=±1, ∴当y=1时有，2
1118
x =
-，解得，x 4=±；
∴当y=-1时有，2
1118
x -=
-，此时，x=0 ∴综上所述得出P 的坐标为：()4,1P 或()4,1-或()0,1- 【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.
24．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2)，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．
(1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；
(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补查了____人．
【答案】 (1)被遮盖的数是9，中位数为5；(2)1.
【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数； （2）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数． 【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人）， 读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），
所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；
（2）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了1人． 故答案为1． 【点睛】
本题考查了统计图和中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．如图，两个班的学生分别在C 、D 两处参加植树劳动，现要在道路AO 、OB 的交叉区域内(∠AOB 的内部)设一个茶水供应点M ，M 到两条道路的距离相等，且MC ＝MD ，这个茶水供应点的位置应建在何处？请说明理由．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】作图见解析，理由见解析.
【分析】因为M 到两条道路的距离相等，且使MC=MD ，所以M 应是∠O 的平分线和CD 的垂直平分线的交点．
【详解】如图，
∠O 的平分线和CD 的垂直平分线的交点即为茶水供应点的位置．理由是：因为M 是∠O 的平分线和CD 的垂直平分线的交点，所以M 到∠O 的两边OA 和OB 的距离相等，M 到C 、D 的距离相等，所以M 就是所求．
【点睛】
此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．
26．（1）计算: 201224()(12)8
--+-⨯-- （2）化简：2291(1)693
x x x x -⋅+-++ 【答案】（1）1；（2）43
x x +- 【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的运算法则计算即可.
【详解】解：（1）20122
2()(12)8--++⨯-- 原式=2+
11--144
=1； （2）2291(1)693
x x x x -⋅+-++ ()()()2334
•33x x x x x +-+=+-
43
x x +=-. 【点睛】
本题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
27．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG = 2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．
（1）求y 与x 之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？
【答案】（1）y=-2x 2+4x+16；（2）2米
【分析】（1）若BE 的长为x 米，则改造后矩形的宽为(4)x -米，长为(42)x +米，求矩形面积即可得出y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵BE 边长为x 米，
∴AE=AB-BE=4-x ，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为：y=-2x 2+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x 2+4x+16=16
解得：x 1=0(舍）x 2=2
答：此时BE 的长为2米．
【点睛】
本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=3
4
，则线段AB的长为（）
A．7B．27C．5 D．10
【答案】C
【解析】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=3
4
AO
OB =，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=2222
=34
AO OB
++=5，
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
2．下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意根据中心对称图形的性质即图形旋转180°与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，依次对选项进行判断即可．
【详解】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，能与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
3．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）
A．8
83
3
π-B．
16
83
3
π-C．
16
43
3
π-D．
8
43
3
π-
【答案】B
【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为4，
∴OB=OA=OC=4，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=1
2
OB=2，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：22
4223,243
AC CD
-===
∵sin∠COD=
3 CD
OC
=
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=11
44383 22
OB AC
⨯=⨯⨯=,
∴S扇形=
2 120416
3603
π
π
⨯⨯
=,
则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=16
83 3
π-
故选B. 【点睛】
考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=1
2
a•b（a、b是两条对角线的长度）；
扇形的面积=2
360
n r π. 4．在平面直角坐标系中，点（-2，6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A ．(2，-6)
B ．(-2，6)
C ．(-6，2)
D ．(-6，2) 【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点A （-2，6）关于原点对称的点的坐标是（2，-6），
故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
5．把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即得到抛物线（ ）
A ．y=-(x+2) 2+3
B ．y=-(x-2) 2+3
C ．y=-(x+2) 2-3
D ．y=-(x-2) 2-3 【答案】D
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
【详解】抛物线2y x =-向右平移2个单位，得：()2
2y x =--， 再向下平移3个单位，得：()2
23=---y x .
故选：D .
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
6．如图，在▱ABCD 中，AB=12，AD=8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，CG⊥BE，垂足为G ，若EF=2，则线段CG 的长为（ ）
A ．152
B ．43
C ．215
D 55【答案】C
【解析】∵∠ABC 的平分线交CD 于点F ，
∴∠ABE=∠CBE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴DE EF AE EB
=，
∴
42
12EB
=，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=1
2
BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG=22
BC BG
-=22
82
-=215，
故选C．
点睛：此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．
7．如图所示的几何体的左视图为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的左视图为长方形，据此观察选项即可得.
【详解】观察实物，可知这个几何体的左视图为长方形，
只有D选项符合题意，
故选D.
【详解】本题考查了几何体的左视图，明确几何体的左视图是从几何体的左面看得到的图形是解题的关键.注意错误的选项B、C.
8．下列事件中，必然事件是（ ）
A ．2a 一定是正数
B ．八边形的外角和等于360︒
C ．明天是晴天
D ．中秋节晚上能看到月亮
【答案】B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A 、a 2一定是非负数，
则a 2一定是正数是随机事件；
B 、八边形的外角和等于360°是必然事件；
C 、明天是晴天是随机事件；
D 、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；
故选B ．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．如图，在菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，以AC 为直径的O 与菱形ABCD 相交，则图
中阴影部分的面积为（ ）
A ．43π+
B ．23π
C ．4233π+
D ．4433
π 【答案】D 【分析】根据菱形与的圆的对称性到△AOE 为等边三角形，故可利用扇形AOE 的面积减去△AOE 的面积得到需要割补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.
【详解】∵菱形ABCD 中，已知4AB =，60ABC ∠=︒，连接AO,BO ，
∴∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=60°，又AO=EO,
∴△AOE 为等边三角形,故AE=EO=
12
AB=2 ∴r=2。