沪科版九上数学第3课时 反比例函数的应用教案

沪科版九上数学第3课时 反比例函数的应用
【知识与技能】
1.综合运用一次函数、反比例函数的知识解决有关问题.
2.掌握反比例函数中比例系数k 的几何意义. 【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.
一、情景导入，初步认知
1.正比例函数有哪些性质？
2.一次函数有哪些性质？
3.二次函数有哪些性质？
4.反比例函数有哪些性质？
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.
二、思考探究，获取新知
1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.
解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为x
k y x k y 2
1==，,其中，k 1,k 2是常数，且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.
函数图象如下图：
【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用. 2.在反比例函数x
y 6
=
的图象上取两点P （1，6），Q （6，1），过点Ｐ分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1= ；过点Ｑ分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2= ；S 1与S 2有什么关系？为什么？
【归纳结论】反比例函数x
k
y =（k ≠0）中比例系数k 的几何意义：过双曲线x
k
y =
（k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k 的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
三、运用新知，深化理解
1.已知如图，A 是反比例函数x
k
y =
的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABC 的面积是3，则k 的值是（ C ）
A.3
B.-3
C.6
D.-6 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝
2
1
|k|. 解：根据题意可知：S △AOB ＝
2
1
|k|＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0， 则k ＝6. 故选C. 2.反比例函数x y 6=
与x
y 3
=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（ A ）
A.
2
3
B.2
C.3
D.1 【分析】分别过B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论.
解：分别过B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足.
∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3，S △BOC =2
3， ∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-23=2
3. 故选A.
3.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx 的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值.
解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3. 一次函数的解析式为：y ＝x －3.
又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5).
而点B(－2,－5)又在反比例函数x
k
y =上，所以k ＝-2×(-5)＝10. 4.已知反比例函数x
k y 1
=
的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.
【分析】（1）因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值.
（2）把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上.
解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k 1＝2×1＝2.
1＝2k 2－1，k 2＝1.
所以反比例函数的解析式为：x
y 2
=
；一次函数解析式为：y ＝x －1. （2）点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1). 把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=2
-2
=-1，所以点A ′在反比例函数图象上.
把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝-2－1＝-3，所以点A ′不在一次函数图象上.
5.已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a ＜0，且点
B 在反比例函数的x
y 3
-=的图象上.
(1)求a 的值.
(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象.
(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的取值范围.
(4)如果P(m,y 1)、Q(m ＋1,y 2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y 1与y 2的大小.
【分析】(1)由于点A 、点B 在一次函数图象上，点B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k 、b 和a 的值.
(2)由(1)求出的k 、b 、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象.
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题. 解：(1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，-3a=-a
3
，a ＝±1，因为a ＜0，所以a ＝－1.B(－1,3).
（2）又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(-1,3).
即：一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.
一次函数的图象为：
(3)从图象上可知，当一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的值为：
－1≤x ≤1.
(4)从图象可知，y 随x 的增大而减小，又m ＋1＞m ，所以y 1＞y 2. 或解：当x 1＝m 时，y 1＝-2m ＋1；当x 2＝m ＋1时，y 2＝-2×(m ＋1)＋1＝-2m －1
所以y 1－y 2＝(－2m ＋1)－(－2m －1)＝2＞0，即y 1＞y 2. 6.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m
y 的图象交于A 、B 两点.
(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围.
【分析】(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式.
(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.
解：(1)观察图象可知，反比例函数x
m
y =的图象过点A(－2,1)，m ＝－2×1＝－2.
所以反比例函数的解析式为：x
y 2
-=.又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=
1
2
-.即B(1,－2). 因为一次函数图象过点A 、B.所以
一次函数解析式为：y ＝－x －1.
(2)观察图象可知，当x ＜－2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数值.
【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验. 四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
布置作业:教材“习题21.5”中第7、8题.
通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：
1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往运用待定系数法.
2.观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.。