台州市2013-2014学年高二学年第一学期级期末数学试题及答案质量评估

台州市
2013学年第一学期
高二年级期末质量评估试题
数 学 2014.01
一、选择题(本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线
12
5=+y
x 和坐标轴所围成的三角形的面积是 A.2 B.5 C. 7 D.10 2.已知(1,2,0),(,2,3)AB CD x =-=-，若⊥，则=x A.1 B.4 C.-1 D.-4 3.已知R ∈b a ,，则“0==b a ”是“0=ab ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是 A ．
π21 B.π
1 C.1 D.π 5.已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≤,2,2,
x y x x y 则2z x y =+的最大值为
A ．3
B ．4
C ．6
D ．7
6.若P 是平面外一点，A 为平面内一点，n 为平面的一个法向量，则点P 到平面的距离是 A
B
C
7.如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则等于 A.++ B.
2
1
2121++ C.
OC OB OA 613121++ D.OC OB OA 3
1
3131++ 8.右图是边长相等的两个正方形．给定下列三个命题： ①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图； ②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图； ③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图． 其中真命题的个数是
C
第7题图
第8题图
侧视图
正视图
A. 3
B.2
C.1
D.0
9.已知点),(n m P 是直线052=++y x 上的任意一点，则22n m +的最小值为 A.5 B.10
C.5
D.10
10.设n m ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中正确的是
A.若n m ,与α所成的角相等，则n m //
B.若βα//,//n m ，αβ∥，则n m //
C.若n m n m //,,βα⊂⊂，则αβ∥
D.若βαβα⊥⊥⊥,,n m ，则n m ⊥ 11.如图，正方体D C B A ABCD ''''-中，E 是棱BC 的中点，G 是棱D D '的中点，则异面直线GB 与E B '所成的角为
A. ︒120
B.︒90
C. ︒60
D.︒30 12.已知两点)1,1(M ，)9,7(N ，点P 在x 轴或y 轴上，若︒=∠90MPN ，
则这样的点P 的个数为
A. 1
B.2
C.3
D.4 13.如图，空间直角坐标系Oxyz 中，正三角形ABC 的顶点A ，B 分别
在xOy 平面和z 轴上移动．若2=AB ，则点C 到原点O 的最远距离为 A
1 B ．
2 C
1 D ．3 14.已知圆O ：2240x y +-=，圆C ： 222150x y x ++-=，若圆
O 的切线l 交圆C 于,A B 两点，则OAB ∆面积的取值范围是
A.]152,72[
B.]8,72[
C.]152,32[
D.]8,32[ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
15.命题“0,2>-∈∀x x x R ”的否定是_ ▲ ．
16.两条平行直线0=-y x 与04=+-y x 间的距离为 ▲ . 17.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ▲ .
x
第13题
第11题图
18.在平面直角坐标系中，不等式组⎩
⎨⎧≤-≤x y a x 2,
表示的平面区域的面积为4，则实数a 的值
是 ▲ .
19.已知三棱锥ABC O -，侧棱OC OB OA ,,两两互相垂直，且2===OC OB OA ，则以O 为球心且1为半径的球与三棱锥ABC O -重叠部分的体积是 ▲ . 20.已知点()00,P x y 在直线02=-+y x 上，若圆1:22=+y x O (O 为坐标原点)上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为 ▲ .
三、解答题（本大题共 5 小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21.（本小题满分为8分）已知函数a ax x x f +-=2)(．设:p 方程0)(=x f 有实数根；:q 函数)(x f 在区间]2,1[上是增函数.若p 和q 有且只有一个正确，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分为8分）如图，边长为2的菱形ABCD 中，︒=∠60ABC ，点F E ,分别是BC AB ,的中点，将DCF AED ∆∆,分别沿DF DE ,折起，使C A ,两点重合于点A '. （1）求证:EF D A ⊥'；
（2）求二面角D EF A --'的余弦值.
23.（本小题满分为10分）已知ABC ∆的顶点()2,3A ，C ∠的平分线CD 所在直线方程
为01=-y ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0924=-+y x ． （1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积．
正视图
侧视图
俯视图
第17题图
第22题图
24.（本小题满分为10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，1
2
PA AB BC DC ===
，点E 在棱PB 上，且λ=．
（1）当2=λ时，求证：PD ∥面EAC ；
（2）若直线PA 与平面EAC 所成角为︒30，求实数λ的值．
25.（本小题满分为10分）已知圆心为点)1,2(C 的圆与直线03543=-+y x 相切． （1）求圆C 的标准方程；
（2）对于圆C 上的任一点P ，是否存在定点A (不同于原点O )使得PO
PA 恒为常数？若存
在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．
台州市2013学年
第一学期高二年级期末质量评估试题参考答案 数 学 2014.01
第24题图
D
B
第23题图
第25题图
一、选择题(本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) BDABC CDAAD BCCA
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
15.0,02
00≤-∈∃x x x R 16.22 17.
3a π3
7 18.2 19.
π6
1
20.]2,0[ 三、解答题（本大题共 5 小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分为8分）
解:4,004:2≥≤⇔≥-=∆a a a a p 或；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 212
:
≤⇔≤a a
q .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 若p 真q 假,则4,
2,
4,0≥⇒⎩⎨
⎧>≥≤a a a a 或；
若p 假q 真,则20,2,
40≤<⇒⎩
⎨⎧≤<<a a a .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分
所求实数a 的取值范围为(][)+∞,42,0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 22.（本小题满分为8分）
(1)证明:取EF 的中点O ,连结A O OD ',,因F A E A DF DE '='=,,则
OD EF A O EF ⊥'⊥,,O OD A O =' ,
则OD A EF '⊥平面,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分
因EF A D A '⊂'平面, 所以EF D A ⊥'⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 (2)由已知, OD EF A O EF ⊥'⊥,,
所以OD A '∠是二面角D EF A --'的平面角. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分
2,2
3
,233='='=
D A A O OD . 则9
7
cos =
'∠OD A . 所求角的余弦值为
9
7
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 23. （本小题满分为10分）
解:(1)直线AC BH ⊥,则2
1=
AC k , 直线AC 的方程为2
1
21+=
x y ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 由⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧
=-+=.1,10
1,2121y x y x y 所以点C 的坐标()1,1C ．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分
(2)21-
=-=AC BC k k ,所以直线BC 的方程为2
3
21+-=x y , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 ⎪⎩
⎪
⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+21
,
2,2321,0924y x x y y x ,即)21,2(B ．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分 ()()51213||2
2=-+-=
AC ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
点B 到直线AC:012=+-y x 的距离为5
2=
d .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分
则12
1
==
∆d AC S ABC ．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分 第23题图
24．（本小题满分为10分）
（Ⅰ）证明:连接BD 交AC 于点M,连结ME, 因AB ∥DC
∴
21||||||||==CD AB MD MB ,当2=λ时2
1
||||=EP BE ,
|
|||||||EP BE MD MB =∴ ∴PD EM //.
EAC EM EAC PD 平面平面⊂⊄,
则PD ∥面EAC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 （Ⅱ）由已知可以A 为坐标原点,分别以AB,AP 为y 轴,Z 轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则)1,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,0(P B C A ,
由λ=,可得E 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++λλλ11,1,
0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分
所以==),0,1,1(⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++λλλ11,1,
0. 设平面EAC 的一个法向量为),,(z y x =,则⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++=+011
1,
0z y y x λλλ,设λ=z ,则1-=y ,1=x ,所以()λ,1,1-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8
分
若直线PA 与平面EAC 所成角为︒30, 则2
260cos λ
λ
+=
︒,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分
解得3
6
=
λ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分
D
y
25．（本小题满分为10分）
解: (1)点C 到直线03543=-+y x 的距离为5=d ,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分
所以求圆C 的标准方程为()()25122
2
=-+-y x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分
(2)设),,(y x P 且()()25122
2
=-+-y x .即y x y x 242022++=+
设定点A ),(n m ,(n m ,不同时为0),
PO
PA =λ(λ为常数).
则
()()λ=+-+-2
2
2
2y
x n y m x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分
两边平方,整理得
()()
22222221n m ny mx y x ++--+-λ=0 代入y x y x 242022++=+后得
()
()022********=++--++-n m ny mx y x λ 所以,
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-=-=-,)1(20,
2)1(2,2)1(42222
2n m n m λλλ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分 解得⎪
⎩⎪
⎨⎧=-=-=,
5,4,8λn m
即)4,8(--A ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分。