东南大学固体物理基础 定态微扰理论
非简并定态微扰理论
支的发展具有重要意义。
理论的历史与发展
1 2
起源
非简并定态微扰理论起源于20世纪初的量子力学 发展初期，最初是为了解决原子结构和光谱问题。
发展
随着量子力学的发展，非简并定态微扰理论也不 断得到完善和发展，逐渐形成了完整的理论体系。
3
当前研究
目前，非简并定态微扰理论仍然是物理学研究的 重要领域之一，许多学者致力于该理论的进一步 发展和应用。
特性
该理论主要关注系统的能量本征 态，特别是当系统受到微小扰动 时，其能量本征态的变化情况。
理论的重要性
基础性
01
非简并定态微扰理论是量子力学的基本理论之一，对于理解微
观世界的本质和规律具有重要意义。
应用广泛
02
该理论在许多领域都有广泛的应用，如原子物理、分子物理、
固体物理等。
理论发展
03
非简并定态微扰理论的发展对于推动量子力学和其他物理学分
在原子物理中的应用
描述原子能级
非简并定态微扰理论可以用于描 述原子能级的分裂和跃迁，解释 原子光谱的精细结构。
计算原子辐射频率
通过非简并定态微扰理论，可以 计算出原子在不同能级间跃迁时 产生的辐射频率，从而推导出光 谱线的波长。
解释原子磁性
非简并定态微扰理论可以解释原 子的磁性，包括电子自旋磁矩和 轨道磁矩，以及原子磁矩的进动 等现象。
02 非简并定态微扰理论的基 本概念
定子在 不受外界作用力下的状态，其能量是 一定的。定态可以用波函数来描述， 波函数满足薛定谔方程。
微扰
微扰是一个小的外部作用，它可以改 变定态的能量和波函数。微扰可以分 为两类：简并微扰和非简并微扰。
微扰的分类
简并微扰
大一东南大学物理知识点
大一东南大学物理知识点物理学是一门研究物质、能量以及它们之间相互作用的学科。
作为一门基础科学，物理学为我们解释了世界的运行规律，无论是宏观的天体运动，还是微观的原子结构，都离不开物理学的理论和实验。
在大一的学习中，我们需要掌握一些重要的物理知识点，下面就来介绍一些东南大学大一物理课程中的重要知识点。
1. 力和运动在物理学中，力是指物体之间相互作用的结果。
运动是物体位置随时间变化的过程。
力对于物体的运动起到了至关重要的作用。
在学习物理学的过程中，我们需要理解牛顿三定律，即物体的运动状态会受到外力的影响，力的大小等于物体质量乘以加速度，以及任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
此外，我们还需要学习运动的描述，包括位移、速度和加速度的概念，并学会运用简单的公式进行计算。
2. 动力学动力学研究的是物体在受到力的作用下的运动规律。
在大一物理课程中，我们需要学习牛顿第二定律，即力等于物体质量乘以加速度，以及牛顿第三定律，即任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
通过运用这些定律，我们可以解决各种关于物体运动的问题，例如求解物体的加速度、速度、位移等。
3. 动能和势能动能和势能是物体的两种重要的能量形式。
动能是由于物体的运动而产生的能量，它与物体的质量和速度有关。
势能是由于物体处于某个位置而具有的能量，它与物体的位置和相互作用力有关。
在学习过程中，我们需要理解动能和势能的概念以及它们之间的相互转化关系，例如重力势能和机械能的概念，并能够应用它们进行问题求解。
4. 热学热学是研究热能和热现象的科学。
在大一的物理课程中，我们需要了解温度、热量和热平衡的概念，以及热传导、热辐射等热传递方式。
此外，我们还需要学习热力学第一定律和第二定律，理解内能、功和热量的关系，以及热机和热效率等概念。
5. 光学光学是研究光的传播、反射、折射、干涉等现象的学科。
大一的物理课程中，我们需要学习光的直线传播、反射定律、折射定律以及光的波动性和粒子性等基本概念。
东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。
（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。
量子力学-固体物理基础
1905年Einstein假设一束单色光由辐射能量大小 为h的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时， 是以“微粒”形式出现，这种“微粒”就是“光量 子”，一个光量子带有能量h。
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：光电效应与Einstein的光量子
电子要飞离金属，必须克服
吸引而做功(克服脱出功)，所以
其中 0 2 。
第一章 微观粒子的状态
第一章
微观粒子的状态
§1.1 量子力学的起源 §1.2 波函数 §1.3 薛定谔方程 §1.4 精确求解薛定谔方程的四个例子 §1.5 定态微扰理论
第一章 微观粒子的状态：§1.3 薛定谔方程
处于 2 态的几率为 c 2
2
2
第一章 微观粒子的状态：§1.2 波函数：态的叠加原理
态叠加原理： 如果 1， 2 ， „ n „是体
系的可能状态，则它们的线性叠加也是体系 的一个可能态。
c11 c2 2 cn n
cn n
n
第一章 微观粒子的状态：§1.2 波函数：波函数的归一化条件和标准条件
单缝
双缝
三缝
四缝
Hale Waihona Puke 中子在Na单晶晶体上的衍射：
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：实物粒子的波粒二象性
h P n k
h p
h 2m E
例：一个50kg的人运动速度是1m/s，其波长是？
h 6.626 1034 J s 1.33 1035 m p 50kg 1m / s
第一章 微观粒子的状态：§1.1 量子力学的起源：实物粒子的波粒二象性
实物粒子的波粒二象性
第五章微扰理论
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
Hˆ Hˆ (0) Hˆ
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征
值 E n (0) ，本征矢 |ψn(0)> 满足如下本征方程：
Hˆ (0)
第五章 近似方法
基本要求
1 掌握定态微扰理论. 2 了解原子在外电场中的能级分裂--斯 塔克效应(定态微扰理论的应用举例) 3 掌握含时微扰理论. 4 掌握原子的光发射和光吸收过程以及 原子跃迁的选择定则. 5 掌握变分法
教学内容
§1 非简并定态微扰理论
§1
§2 简并微扰理论
§2
§3 斯塔克效应
§3
|
(2) n
Hˆ (1)
|
(1) n
]
2
E (0) n
|
(0 n
)
[
E (0) n
|
(1) n
E
(1) n
|
(0 n
)
]
[
E
(0) n
|
(2 n
)
E
(1) n
|
(1) n
E (2) n
|
(0) n
]
3
[] 3
[]
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
如下一系列方程式:
0 :
Hˆ (0) |
E | (0)
(0)
n
n
( 0 )
n
1 :
Hˆ (0)
| (1) n
Hˆ (1)
| (0) n
E (0) n
东南大学“固体物理基础”试卷
“固体物理基础”试卷姓名 班级学号一． 填空（40分） 1． 德布罗意关系式把粒子和波联系起来了，粒子的能量E 与波的频率ν、粒子的动量p ϖ 和波矢k ϖ之间的关系分别是 和 。
2． 常数为我们提供了何时必须用量子力学的方法来处理问题的判据。
3．无限空间中自由电子能量是 ；而孤立原子中的电子能量表现为形式；晶体的中的电子能量呈现 形式。
4． 一维运动的粒子处在{),3,2,1()(2sin0)(Λ=+=n a x a n A x πψ ax a x <≥的状态，归一化波函数为;粒子在空间（|x|<a ）某一点x 处出现的概率为 。
5． 玻色-爱因斯坦分布与麦克斯韦-玻耳兹曼分布的区别在于前者的粒子是 （提示：可否区分），后者的粒子是 ；玻色-爱因斯坦分布与费米狄拉克分布的区别在于前者粒子 泡利不相容原理，后者的粒子 泡利不相容原理。
6．“无限深势阱”、“谐振子”和“氢原子”模型均属束缚态问题，它们的定态薛定谔方程的解其能量特性具有这样一些共性： 。
7．布喇菲点阵中的点代表 。
8．晶体中原子排列的最大特点是 。
9．体心立方晶体中每个固体物理学原胞含 个原子；每个结晶学原胞含 个原子。
面心立方晶体中每个固体物理学原胞含 个原子；每个结晶学原胞含 个原子。
10．晶格常数相同的简立方、体心立方和面心立方其结晶学原胞之比为 ；固体物理学原胞之比为 ；第一布里渊区的体积之比为 ；第二布里渊区的体积之比又为 。
11．由N 个原子构成的、长度为L 的一维单原子晶格，若晶格常数为a ，那么其倒格子空间的基矢大小为 ，第一布里渊区的范围为 ，考虑边界条件的限制使得k 取分立的值，在第一布里渊区里电子允许的状态（即k 的取值）有 个，每个k 状态所占据的线度为 。
12．晶格振动产生格波，格波的波矢数目等于 ；格波的频率数目等于 。
若由N 个原胞构成的金属钠晶体（三维），允许有 个声学波在当中传播、 个光学波在当中传播。
第五章 微扰理论
第五章微扰理论经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。
微扰论方法也就是抓主要矛盾。
如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
固体物理 第4章 能带理论2
k V k 0
Vn
2 2
最后得：
(1)
( 2) Ek
2 2 n k k 2 2m a
k （3）
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) k n
Vn 2 2 n k k 2 2m a
2
e
a
能量的抛物线形状。能量较高的能带较宽，较低的能带较窄； 跃变处的能量间隔随着n的增加而增加。
由于周期性边界条件使得k只能取k
l (2 ) Na
l 为整数。每一个 l 对应
一个量子态，当N足够大时，k的取值非常密集，相应地能级也十分 密集成为准连续的。这些准连续的能级以间断点划分成一系列带， 如上图。
其中利用到： k V k k V k 0, k V k k V k Vn
该关于A，B的齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零 即； 0
E Ek Vn Vn 0 0 E Ek
得到：
1 0 E0 E0 0 E Ek Ek k k 2
k V k
能量非简并： (1) （1）E k
（2）E k
( 2)
(1) Ek k V k k V ( x) k k V k 0
k V k k V ( x) k k V k k V ( x) k
1 N 1 = i ( k k ) x e V ( x)dx Na n 0 na 令 x na ，则 V ( na) V ( ) ，于是有
2Tn 2 1 V Tn Vn Tn V n E 2Tn V T V 2T 1 n n n V n
定态微扰论的适用条件 -回复
定态微扰论的适用条件-回复定态微扰论是一种重要的量子力学近似方法，用于求解被微弱扰动影响的量子力学系统的能级和态。
它的适用条件如下：1. 系统处于定态：定态微扰论仅适用于系统在初始态和微扰作用下的定态情况。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
2. 微扰小：定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
一般来说，微扰项的大小要远小于系统的能级间隔，以保证微扰对系统的影响较小。
3. 系统的能级简并度：定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
这是因为微扰作用可以导致能级的分裂，从而使得简并态之间的能级差不再相同。
在满足以上条件的情况下，可以使用定态微扰论来计算系统的能级修正和态的变化。
下面将逐步回答关于定态微扰论适用条件的问题。
首先，定态微扰论适用于求解处于定态的系统。
对于处于定态的系统，其时间演化满足薛定谔方程，可以用定态波函数进行描述。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
其次，定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
我们假设系统的哈密顿量为H0，微扰作用为V。
微扰的大小一般用微扰参数λ来表示，即V/（H0+V）。
在定态微扰论中，我们希望微扰对系统的影响较小，即λ≪1。
这样我们可以将系统的哈密顿量拆分为两部分：H0+V0和V，其中H0+V0作为未受微扰的哈密顿量，V作为微扰项。
可以通过H0+V0的解析求解方法来求解未受微扰的系统，并利用微扰项V计算能级的修正和态的变化。
最后，定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
在无微扰作用时，这些量子态之间是完全简并的。
但是当微扰作用加入后，能级简并会被打破，简并态之间的能级差不再相同。
定态微扰论的目的就是计算能级简并态之间的能级修正，以及得到微扰后的简并态。
对于不存在能级简并的系统，定态微扰论通常不适用。
固体物理部分概念
劳厄定理：一组倒易点阵矢量Kh确定可能的X射线反射，衍射强度正比于电子分布函数的傅里叶分量劳厄方程：S=k'-k=Kh简正模：在简谐近似下讨论晶格的本征振动。
系统的运动最容易用具有一定波矢、频率和偏振的行波来表示，成为系统的简正模，每个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是量子化的。
晶体中的一个简正模对应一个频率调制的平面波，它的振幅只在格位的原子上定义，称为格波。
群速度是介质中能量传递的速度。
定义格波的量子为声子。
声子是晶格集体激发的玻色型准粒子，它具有能量和准动量。
晶体的比热容包括晶格比热容和电子比热容两部分，晶体热激发产生声子，晶格振动的能量变化贡献晶格比热容。
对于绝缘晶体，由于电子基本束缚在离子实附近，电子没有足够的自由度参与晶格比热容的贡献。
但是对于金属晶体，倘若价电子在点阵中是自由的，那么电子就会对晶格比热容提供额外的贡献。
在q空间声子群速度为0的临界点（奇点）叫做范霍夫奇点，附近声子频谱存在局部平坦的区域。
能带论只是一个基本的理论，它包含了以下三个基本近似：1.绝热近似。
在处理固体中电子的运动时，家丁离子实固定在格位上不动。
2.单电子近似。
用一个平均场来描写电子之间复杂的相互作用。
这样系统中任一电子都存在一系列定态，并进一步假设所有电子在这些定态中的分布满足费米狄拉克统计，各个定态自然都要按哈特里-福克近似下的自洽方式选定，以使得可以与所有电子的最后分布相协调，这样就把一个多电子问题简化为单电子问题。
3.电子感受到的势场，包括离子实势场和电子自检的平均场，是一个严格的周期性势场。
当然，对于一个有限的晶体，应用波恩-卡门边界条件去协调。
布洛赫定理：当平移晶格矢量Rl时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子EXP(ik*Rl) 根据布洛赫定理，周期场中单电子波函数应该是一个调幅平面波，其中调幅因子为正点阵的周期函数。
它正好满足布洛赫定理。
与自由电子相比，晶体周期场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波，它是一个无衰减的在晶体中传播的波，不再受到晶格势场的散射。
东南大学固体物理基础知识总结
经典模型： CV 3Nlk ；
爱因斯坦模型：所有原子都近似以相同频率 E 振动，将色散关系简化为一条平直线，即所
有声子都具有相同的能量 E
，得到爱因斯坦温度 TE
E k
。该模型在常温和高温时很适
用，但在低温时， CV
3Nlk TE T
2
e
TE T
，热容以指数形式趋近于 0，这与实际情况不符。
因为在低温下，晶格振动激发多为频率低的长声学波声子，此时色散关系应为线性的斜线。 因爱因斯坦模型没有考虑声学波对热容的贡献，故在低温时不再适用；
德拜模型：按照低温激发的长声学波声子来近似处理色散关系，即 q ，得到模式密度
3V 2 2
3
2d
，德拜频率 D
6
《固体物理基础》知识总结
在周期性边界条件下： q
2 Na
Z
2 L
Z
，Z
为整数。当 q
2 a
时， max
2
，当
m
q 0 时，min 0 。长波近似下 q 0， a
q ，极限长波速度 v a m
。周期
m
对称性：q q，q q 2 。
面心立方 a
晶格
截角八面
1
4
4
a3/4
4π/a
体/十四面 32π3/a3
4
体心立方
体
晶体原子的振动
绝热近似（不考虑电子受到激发跃迁到激发态所带来的影响）；
最近邻近似（每个原子只受到最近邻原子的作用，不考虑其他原子的影响）；
简谐近似（因原子在平衡位置附近做微小振动，可以看作是线性回复力作用下的简谐运动）。
定态微扰论的适用条件 -回复
定态微扰论的适用条件-回复题目：定态微扰论的适用条件导言：定态微扰论是量子力学中的一种重要方法，用来计算已知粒子的哈密顿量的微小改变对其能级和波函数的影响。
它在解决简洁系统的问题上表现出很大的优势，但在某些情况下并不适用。
本文将从定态微扰论的基本原理、适用条件以及特殊情况下的处理方法等方面进行论述。
一、定态微扰论的基本原理定态微扰论是建立在量子力学哈密顿量的微小改变下研究系统能级和波函数的一种近似方法。
其基本原理可以概括为以下步骤：1. 将整个系统的哈密顿量H0按照重要程度分解为H0=H0'+V0，其中H0'为系统的主要哈密顿量，V0为微小的扰动哈密顿量。
2. 先求解主要哈密顿量H0'的本征值问题，得到本征态和对应的能级。
3. 将微小扰动哈密顿量V0加入，并将其视为微小摄动。
4. 利用微扰展开将含有微小摄动的哈密顿量进行级数展开，然后利用叠加原理计算能量和波函数的修正。
5. 根据一定的截断条件对展开后的级数进行截断，得到一阶微扰项或更高阶微扰项，并计算修正后的能量和波函数。
二、定态微扰论的适用条件定态微扰论在解决某些简洁系统的问题上非常有效，但也存在适用条件。
以下列举了几个定态微扰论适用的典型情况：1. 扰动哈密顿量V0足够小：当微小摄动V0的影响远小于主哈密顿量H0'本身时，定态微扰论才适用。
这要求扰动项V0在矩阵元上的取值较小。
2. 系统的本征态可展开为主哈密顿量H0'的本征态：对于复杂的系统，在微扰项V0下，系统的本征态是否仍然可以展开为主哈密顿量的本征态是定态微扰论能否适用的关键。
3. 系统的本征态具有简单的能级分布：当主哈密顿量的能级简单且能级的跃迁关系较少时，定态微扰论更容易求解。
三、特殊情况下的处理方法虽然定态微扰论在很多情况下都适用，但也有一些特殊的情况需要采用其他方法来求解。
以下是两种常见的特殊情况及对应的处理方法：1. 近简并情况：当扰动项引起系统出现能级近似相等的情况时，定态微扰论无法直接应用。
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式
简并和非简并定态微扰统一理论与能量二级修正公式定态微扰理论是量子力学中的一种方法，用于计算一个系统在加入微弱扰动后的能量和波函数的变化。
该理论可以分为简并和非简并两种情况。
在简并情况下，系统具有多个能量本征态对应于相同的能量值，而在非简并情况下，每个能量本征态都对应于一个唯一的能量值。
对于简并情况下的定态微扰，我们可以使用微扰能量的二级修正公式来计算能量的修正。
假设系统的哈密顿量可以分解为一个无微扰部分H0和一个微弱扰动V，那么系统的总的哈密顿量可以写为H=H0+λV，其中λ是微扰的强度参数。
简并情况的定态微扰理论包括以下步骤：1.通过求解无微扰哈密顿量H0的本征值问题，得到H0的能量本征值和能量本征态。
2.将微扰哈密顿量V加入，并求解H=H0+λV的本征值问题，得到一阶微扰能量E^(1)和能量本征态。
3.计算一阶微扰能量E^(1)对应的一阶微扰修正本征矢量：ψ^(1)=Σ(，n><n，V，ψ^(0)>)/(E^(0)-E^(n))其中，n>表示无微扰能量本征态，ψ^(0)>表示无微扰波函数。
4.计算二阶微扰修正能量E^(2)：E^(2)=Σ(，ψ^(1)><ψ^(1)，H，ψ^(0)>)/(E^(0)-E^(n))其中，ψ^(1)>表示一阶微扰修正本征矢量，H是总哈密顿量。
5.总的能量修正为E=E^(0)+E^(1)+E^(2)。
对于非简并情况下的定态微扰，可以使用非简并微扰理论来计算能量的修正。
非简并情况下定态微扰的步骤如下：1.求解无微扰哈密顿量H0的本征值问题，得到H0的能量本征值和能量本征态。
2.计算一阶能量修正：E^(1)=Σ(，<n，V，m>，^2)/(E^(0)n-E^(0)m)其中，n>和，m>表示无微扰的能态，V是微扰哈密顿量。
3.总的能量修正为E=E^(0)+E^(1)。
总的来说，简并和非简并定态微扰统一理论提供了一种计算系统在微弱扰动下能量和波函数的修正的方法。
东南大学固体物理基础考试样卷
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称固体物理基础考试学期得分适用专业 电子科学与技术（类） 考试形式闭卷考试时间长度 120分钟势场为 。
为 。
自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。
如果晶格常数为a ,电子的波函数为∑+∞∞---=)()()(ma x f i x m k ，那么电子处该态的波矢k = 。
图中所示A 、B 两直线分别是两晶面在Z Y -平面上的投影，面： ，面： 。
准自由电子模型将 作为零级近似，()()()x k i k k k n ak k n ikx k e L E E V e L x '''-'⋅-+=∑11002,*'πδψ，中第一项代表的意义是 ；第二项代表的意义。
禁带产生的条件是k = ，禁带宽度g E = 。
．有两种晶体，其电子的能量和波矢的关系如图所示，相应的)(1k m *和)(2k m *。
那么，)(1k m * )(2k m *（填“<”、>”或“=”）。
(16分)晶向：晶体的一个基本特点是具有方向性，沿晶格的不同方向晶体性质不同。
布拉维点阵这些直线系称为晶列。
同一个格点可以隧道效应：隧道效应由微观粒子波动性所确定的量子效应，又称势垒贯穿。
考虑粒子运动按照经典力学，粒子是不可能越过势垒的；按照量子力学可还有透过势垒的波函数，这表明在势垒的另一边，粒子具有简谐近似：当原子在平衡位置附近微小振动，将其看作是线性回复力作用下的简谐运动。
紧束缚近似方法：将在一个原子附近的电子看作受该原子势场的作用为主，其他原子势场 (18分)简述长声学波与长光学波本质上有何差别。
, 振动频率较高, 它包含了晶长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。
任何, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
东南大学固体物理基础课后习题解答
《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。
所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。
（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。
解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。
第六章 定态微扰论与变分法
En E E E
n
(0) n (0) n
(1) n (1) n
2
(2) n 2 (2) n
E
k
k
(k ) n (k ) n
(5)
(6)
将以上几式代入（1）式得：
ˆ (0) H ˆ (1) )( (0) (1) 2 (2) ) (H n n n (E
(1) (0)* ˆ (0) En n H n d H nn
(0)
0
(1) ˆ 在 n 态中的平均值。 能量的一级修正值 En 等于 H
(1) 已知 E 后，由（９）式可求波函数的一级修正 n 。
(1) n
(1) ˆ (0) 的本征函数系 l(0) 展开 将 n 按H
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和 波函数的近似解为：
(0) (1) (2) En En En En
(0) (1) (2) n n n n
E (nk )
n ( k )
(12)
(13)
ˆ (1) H ˆ H
其中：
1 1 En 、 n 为一级修正，
n 1 xn1,n xn,n1 ( ) 2
1 2
6.2 简并态微扰论
( 0) ˆ ( 0) 的本征值 E ( 0) 假设 En 是简并的，即对于 H n ( 0 ) ( 0 ) ˆ i En i , i 1,2,k 有多个本征函数 1,2 ,k , H (1) ( 0) 如何选择零级近似波函数 n 呢？
(0) n
Ci(0)i
i 1
固体物理学04_05
—— 对于原子的一个束缚态能级 ε i ，晶体中电子的 k 有 N 个取值 —— 每一个波矢 k 相应的一个能量本征态 —— E ( k ) 形成一准连续的能带。 —— 原子结合成晶体后，电子状态具有的能量形成一系列能带。 简化处理
* ∫ ϕi [ξ − ( Rn − Rm )][U (ξ ) − V (ξ )]ϕi (ξ )dξ = − J ( Rn − Rm ) 可以写成
K K
K K ⎞⎛ ϕ i ( r − R1 ) ⎞ ⎟⎜ K ⎟ K ⎟ ⎜ ϕ i ( r − R2 ) ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ # ⎟ K K ⎟ ⎟⎜ ϕ ( r ⎠⎝ i − R N ) ⎠
从能量本征值的表达式： E ( k ) = ε i −
K
∑ J ( R )e
s s
K
K K − ik ⋅Rs
REVISED TIME: 05-4-13
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固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406
K K K K K K K K K K K K R1 = ai , R2 = −ai , R3 = aj , R4 = − aj , R5 = ak , R6 = − ak 将K 代入 K K K k = kxi + k y j + kzk K E (k ) = ε i − J 0 − K
将ψ ( r ) =
∑a
m
m
ϕ i ( r − Rm ) 代入上面方程得到：
K
K
∑a
m
m
K K K K K K K [ε i + U ( r ) − V ( r − Rm )]ϕ i ( r − Rm ) = E ∑ a mϕ i ( r − Rm )
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零级波函数
1个思想 3个非简并公式 2个简并公式
问题1：定态微扰基本思想
定态薛定谔方程 H E （1）
Hˆ Hˆ 0 Hˆ
定态薛定谔方程 H E （1）
设 Hˆ Hˆ 0 Hˆ
（2）
E E (0) E (1) E (2)
（3）
(0) (1) (2)
（4）
将（2）、（3）、（4）代入（1）式，比较两 端同级的量
Hˆ Hˆ 0 Hˆ 已知：来自Hˆ00
n
En0
0
n
Hˆn Enn
定态微扰理论
背景
• 在遇到的许多问题中，由于体系的哈密顿 算符比较复杂，往往难以求得精确解，而 只能求近似解。
• 该类近似方法（微扰法是其中之一）：通 常从简单的问题的精确解出发，求较复杂 问题的近似解。
• 视其哈密顿算符是否与时间有关分为定态 和非定态两大类。
内容概要
• 问题1：定态微扰基本思想 • 问题2：非简并定态微扰能量的一级、二级