福建省南平市2017届高三下学期高中毕业班3月质量检测

2017年南平市普通高中毕业班适应性检测
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知i 为虚数单位，若复数z 满足(1)1i z i -=+，则z =
A ．1
B ．2 2、cos10sin 70cos80sin 20-=
A ．
12 B ．2 C ．12- D ．2
- 3、“方程()0f x '=有解”是“函数()y f x =有极值”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充也不必要条件
4、甲乙两人各写一张贺卡随机送给丙丁两人中的一人，则甲乙将贺卡送给同一人的概率为 A ．
12 B ．13 C ．14 D ．15
5、平面内动点P 到两定点A 、B 的距离之比为常数(0,1)λλλ>≠，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼圆，若已知(2,0),(2,0)A B -，1
2
λ=
，则此阿波罗尼圆的方程为 A ．2
2
1240x y x +-+= B ．2
2
1240x y x +++=
C ．2
2
20403x y x +-
+= D ．2220403
x y x +++= 6、设四边形ABCD 为平行四边形，6,4AB AD == 若点M 、N 满足3BM MC =，
2DN NC =,则AM NM ⋅=
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
7、已知三棱锥O ABC -底面ABC O 表面上，
且2AB AC BC ==，则三棱锥的体积为
A ．1
B ．
12 C ．13 D ．14
8、执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为 A ．40 B ．38 C ．32 D ．20 9、已知函数(
)(0)f x wx wx w =
>在区间
(,)34
ππ
-
上单调递增，则w 的取值范围是
A ．(0,1]
B ．[1,2)
C ．1
[,2)3
D ．(2,)+∞
10、已知5
1()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，
则该展开式中常数项为
A ．40-
B ．20-
C ．20
D ．40
11、设,,A B P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上不同的三个点，且,A B 连线经过坐标原
点，若直线,PA PB 的斜率之积为
1
4
，则该双曲线的离心率为 A
12、定义在R 上的函数()(),f x f x '，是其导函数，且满足()()()4
2,12f x f x f e
'+>=+ ，则不等式()42x
x
e f x e >-的解集为
A ．(,1)-∞
B ．(1,)+∞
C ．(,2)-∞
D ．(2,)+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2x
f x =，则41(lo
g )9
f 的值为
14、设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数3z x y =- 的取值范围是
15、过点(1,1)H -作抛物线2
:4x y Γ=的两条切线,HA HB ，切点分别为,A B ，则以线段
AB
为直径的圆的方程为
16、在Rt ABC ∆中，,2,2
A A
B A
C π
=
==线段EF 在斜边BC 上运动，且1EF =，
设EAF θ∠=，则tan θ的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24(1),()n n S a n N +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n b a =⋅ ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18、（本小题满分12分）
在多面体ABDE 中，平面ABC ⊥平面BCE ，四边形ABED 为平行四边形，
2,1,5AB AC BC CE BE =====，O 为AC 的中点.
（1）求证：BO AE ⊥
（2）求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的大小.
19、（本小题满分12分）
为了解甲乙两个数学班级（每班学生数均为50人）的教学效果，期末考试后，对甲乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出如下甲班学生成绩频率分布直方图和乙班学生成绩频数分布表，记成绩不低于80分为优秀.
（1） 根据频率分布直方图及频数分布表，填写下面22⨯列联表，并判断有多大的把握认
为：“成绩优秀”与所在教学班级有关.
（2）
（2）在甲乙两个班成绩不及格（低于60分）的学生中任取两人，记其中甲班的学生人数为
ξ，求ξ的概率分别列与数学期望.
20、（本小题满分12分）
左右焦点分别为12,F F 的椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点Q P 为椭圆上一点，
12PF F ∆的重心为G ，内心为12//IG F F .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）M 为直线4x y -=上一点，过点M 作椭圆的两条切线,,,MA MB A B 为切点，问直线
AB 是否过定点？求出定点的坐标，请说明理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数()()()1
ln ,2(1),()a g x x f x ag x a a R x
+==+-+∈. （1）求函数()f x 单调区间；
（2）将函数()f x 解析式中的()g x 改为()g x 的反函数得函数()h x ，若0x >时，
()0h x ≥，
求a 的取值范围.
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程
为cos()4
2π
ρθ+
=
C 的参数方程为5cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩
为参数） （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线x 的普通方程；
（2）曲线C 交x 轴于两点,A B ，且点A 的横坐标小于点B 的横坐标，P 为直线l 上的动点，求APB ∆ 周长的最小值.
23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()214f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≥的解集M ； （2）若a M ∈，求证15
2
x a x a ++-≥.
2017南平市普通高中毕业班适应性检测
理科数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． （1）A （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）C （8）B （9）A （10）D （11）A （12）B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
0)2)((11=--+--n n n n a a a a （13）3 （14）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,23 （15）425)23()1(22=
-+-y x （16）]1134,93[ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）解：（Ⅰ）当1=n 时，211)1(4+=a a ，11=∴a ………………1分
当2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，又2)1(4+=n n a S ，两式相减得：
12
12224----+=n n n n n a a a a a ，……………2分
即 ……………4分 由0>n a ，21=-∴-n n a a ………………5分
所以，数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，即
12-=n a n .………………6分
（Ⅱ） n n n b 2)12(⋅-=，
n n n T 2)12(252321321⨯-++⨯+⨯+⨯=∴ ①
14
32
2)12(2)32(2523212+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②…
…………8分
①-②得 ……………9分
1
2
2)12(2
1282++⨯----+=n n n 122)12(282++⨯--+-=n n n
)122(261+-+-=+n n )23(261n n -+-=+………11分
)32(261-+=∴+n T n n ………………12分
（18）证明：（Ⅰ） 2===BC AC AB 又中点为AC O ，AC BO ⊥∴…………1分
又2,51===BC BE CE ，
2
22BE CE BC =+∴ CE BC ⊥∴………………3分
BC BCE ABC BCE ABC =⋂⊥平面；且平面平面平面又 ABC CE 平面⊥∴………………4分
1
1432)12(2222++⨯--++++=-n n n n T
BO CE ⊥∴
C AC CE =⋂又 A C E BO 平面⊥∴……………5分 AE BO ⊥∴………………6分
（Ⅱ），轴，建立为轴，为为原点，以xyz C y CE x CB C -
()
()()()000,002,010,301，，，，，，，，C B E A ∴……………7分 ()()
311,301，，，，-=-=-∴= ………8分
()()θ
的大小为二面角，，，的法向量为设平面的法向量，为平面，，）知：由（D AC B z y x n ACD ABC CE --==0101
()()
311012，，、，，-=-=∴CD AD
⎪⎩⎪⎨
⎧=++-=⋅=+-=⋅∴0
30
2z y x y x ………………9分 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-
===331z z
y x ，得令
)33-21(，，=∴………10分
2
3
cos =
=
=∴θ………………11分 6
π
θ=
∴………………………12分
（19）解：
根据列联表数据，
072.2564.250
505248)20223028(1002
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K .……………5分
所以，有85%的把握认为 “成绩优秀”与所在教学班级有关．…………6分 （Ⅱ）由已知甲、乙两班级不及格人数分别是：4人、6人
ξ的所有取值为：0,1,2 ……………7分
31)0(21026===C C P ξ ，158)1(2101416===C C C P ξ，15
2
)2(21024===C C P ξ
ξ
0 1 2
P
31 158 15
2 ……………10分
所求分布列的数学期望为：5
4
152********=⨯+⨯+⨯
=ξE …………12分
（20）（Ⅰ）解： 椭圆过点)3,0(Q ,3=∴b ……………1分
设21F PF ∆内切圆的半径为r ,点P 的坐标为),(00y x , 则21F PF ∆重心G 的坐标为)3
,3(
00y x , 21//F F IG ,r y 3||0=∴
.……………2分 由21F PF ∆面积可得|||||(|212121F F PF PF ++)r =||||2
1
021y F F , 即c a 2=)(22b a c -=
,……………4分
则解得3,2==b a ,即所求的椭圆方程为则椭圆方程为
13
42
2=+y x ……………5分 （Ⅱ）设),(),,(),,(332211y x B y x A y x M
则切线MB MA ,的方程分别为,13422=+y y x x .13433=+y
y x x …………7分
点M 在两条切线上,∴ ,1341212=+y y x x ,1341313=+y
y x x
故直线AB 的方程为.13
411=+y
y x x ……………9分
又 点M 为直线4=-y x 上,411-=∴x y
即直线AB 的方程可化为，13)4(411=-+y
x x x 整理得1216)431+=+y x y x （
由⎩⎨⎧=+=+01216043y y x 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==43
1
y x 因此，直线AB 过定点).43,1(-…12分 （21）解:（Ⅰ）由题意得).(),1(21
ln )(R a a x
a x a x f ∈+-++=)(x f 定义域为），（∞+0,
.)
1(1)(2
2x
a ax x a x a x f +-=+-='……………2分 1、当01-≤≤a 时,,0)(<'x f 即)(x f 的单调减区间为），（∞+0………3分
2、当0>a 时, )(x f 的单调增区间为，),1(
+∞+a a 单调减区间为)1
,0(a
a + (4)
分
3、当1-<a 时, )(x f 的单调增区间为)1,
0(a a +,单调减区间为),1
(+∞+a
a ……5分
（Ⅱ）由题意得).1(21
)(+-++
=a x
a ae x h x
……………………6分 0>x 时,0)(≥x h ,0)1(≥∴h ,则1)1(≥-e a ,即01
1
>-≥
e a ……7分 则由0)1(21≥+-++a x a ae x
,得0211≥-++x
e a a x 即x
xe
x a a 1
21-≥+,),0(+∞∈x ……………8分 设),0(,12)(+∞∈-=x xe x x u x .
.)
1)(12()(2x
e x x x x u -+-=' 令,0)(='x u 得),0(2
1
,1+∞∉-==x x 舍去. ……10分
时, ),1(+∞∈x 时, ∴e
u x u 1
)1()]([max ==
则,11e a a ≥+解得11-≥e a .故a 的取值范围是).,1
1
[+∞-e ………12分
（22）解：（Ⅰ）由直线l 的极坐标方程，
得2
2
4
cos
sin 4
sin
cos =
-π
θρπ
θρ……………2分 即1sin cos =-θρθρ
∴直线l 的直角坐标方程为1=-y x 即01=--y x ……………3分
由曲线C 的参数方程得C 的普通方程为：()1522
=+-y x ……5分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知曲线C 表示圆心）（0,5，半径1=r 的圆 令0=y 得64==x x 或
∴）坐标为（）坐标为（
0,60,4B A ………………7分 作A 关于直线l 的对称点1A 得)3,1(1A ………………8分 由题易知当P 为B A 1与l 的交点时PAB ∆周长的最小
即：234||||||||||1+=+=++AB B A AB PB AP …………10分
)
1,0(∈x ;0)(>'x u
.0)(<'x u
（23）（Ⅰ）解：3)(≥x f 可化为：3412≥--+x x ………………1分
即⎪⎩⎪⎨⎧-<≥-+21342-1-x x x 或⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-≥-++42
13
412x x x 或⎩⎨
⎧≥≥+-+43412x x x …………3分 解得28≥-≤x x 或，所以不等式的解集M 为(]8--，∞或[)∞+，2………5分 （Ⅱ）证明：a
a a x a x 1
1+≥-
++ |1|||a a +=………………6分
令t a =||,),2[),,2[]8,(+∞∈∴+∞⋃--∞∈t a 则t
t a a y 1
|1|
||+=+=是),2[+∞上的增函数, ………………8分 因此, t t a a y 1|1|
||+=+=25212=+≥,故2
5
1≥-++a x a x …………10分。