山东专用2021版高考数学一轮复习考案8第八章解析几何综合过关规范限时检测含解析

[考案8］第八章综合过关规范限时检测
(时间：120分钟满分150分）
一、单选题（本大题共8个小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（2019·吉林长春实验中学期末）设△ABC的一个顶点是A（－3,1）,∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为（ B )
A．y＝2x＋5 B．y＝2x－5
C．y＝3x＋5 D．y＝错误!x＋错误!
［解析] A关于y＝x的对称点为A1(1，－3)，A关于x＝0的对称点为A2（3，1)，又A1、A2都在BC上,∴k BC＝2。

∴BC的方程为y＋3＝2（x－1)，即y＝2x－5.
2．（2019·安徽模拟）抛物线y＝错误!x2的焦点到双曲线y2－错误!＝1的渐近线的距离为( B ）
A．错误!B．错误!
C．1 D．错误!
［解析］抛物线y＝1
4
x2的焦点为（0，1)，双曲线y2－错误!＝1
的渐近线方程为x±错误!y＝0,则焦点到双曲线渐近线的距离为错误!＝
错误!，故选B。

3．（2020·四川攀枝花统考）直线l是圆x2＋y2＝4在（－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l 的距离的最小值等于（ D )
A．1 B．错误!
C．错误!D．2
[解析] 圆x2＋y2＝4在点（－1，3）处的切线为l：－x＋3y ＝4，即l：x－错误!y＋4＝0，点P是圆（x－2)2＋y2＝1上的动点,圆心（2，0)到直线l的距离d＝错误!＝3，∴点P到直线l的距离的最小值等于d－1＝3－1＝2，故选D。

4．（2020·河南新乡模拟)P为椭圆错误!＋错误!＝1上的一个动点，M，N分别为圆C:(x－3)2＋y2＝1与圆D：(x＋3）2＋y2＝r2（0〈r<5）上的动点，若|PM｜＋｜PN｜的最小值为17，则r＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
［解析] 因为C(3，0），D(－3,0)恰好为椭圆的两个焦点，所以|PM｜＋｜PN｜≥|PC|＋|PD｜－1－r＝2a－1－r.因为a2＝100，所以a＝10，所以20－1－r＝17,则r＝2。

故选B。

5．（2020·陕西百校联盟联考)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1的左、
右焦点分别为F 1,F 2，直线l 过点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，且错误!＝错误!，若|OA ｜＝|AF 2｜,则直线l 的斜率为( B )
A ．±1
B ．±错误!
C ．±13
D ．±错误!
［解析］ 设M （x 1,y 1），N (x 2，y 2),则错误!两式相减可得错误!＋错误!
＝0，则k OA ·k MN ＝－14
；因为|OA ｜＝｜AF 2|，故k OA ＝－k MN ，解得是k MN ＝±错误!，故直线l 的斜率为±错误!。

6．（2019·高考天津卷）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ,若l 与双曲线错误!－错误!＝1（a >0，b 〉0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且|AB ｜＝4|OF |(O 为原点），则双曲线的离心率为（ D ）
A ．错误!
B ．错误!
C ．2
D ．错误!
［解析］ 抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1,
双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ,
则有A （－1，错误!），B (－1，－错误!)，
∴｜AB ｜＝错误!，错误!＝4,b ＝2a ，
∴e ＝错误!＝错误!＝错误!。

故选D 。

7．(2019·湖北省武汉市调研）已知A,B为抛物线y2＝4x上两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则｜AB｜的最小值为( C )
A．4错误!B．2错误!
C．8 D．82
[解析］设OA方程为y＝kx(k>0），
由错误!，得A(错误!，错误!），用错误!代换k得B(4k2，－4k）,
∴｜AB|＝4错误!
＝4错误!≥8.
当且仅当k＝1时取等号，故选C.
秒杀法：由图形对称性可知|AB｜最小时Δ方程为y＝x,由错误!，得A(4,4），故此时｜AB｜＝8。

8．(2019·高考北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋｜x|y就是其中之一(如图）．给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过错误!；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3。

其中,所有正确结论的序号是( C )
A．①B．②
C．①②D．①②③
[解析] 从结论“不超过”“小于”入手，利用基本不等式进行放缩，再利用图形估算面积．
∵x2＋y2＝1＋｜x|y≤1＋｜x|｜y｜≤1＋错误!，
∴x2＋y2≤2.
①x可能取得的整数值为±1，0，代入曲线C的方程得整点坐标为(1，1)，（1，0），（－1，1），(－1，0)，（0,1）,(0，－1),故①正确；
②设曲线C上任意一点到原点的距离为d，
则d2＝x2＋y2≤2,
∴d≤2，故②正确；
③由图知,图形在第一象限的面积S1>1，图形在第四象限的面积
S4>1
2
，由对称性得，“心形”区域面积S>(1＋错误!）×2＝3，故③
错误,综上可知选C。

二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·山东滨州期末)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的左、右焦点分别为F1（－5,0)，F2（5，0)，则能使双曲线C 的方程为错误!－错误!＝1的是（ABC ）
A．离心率为错误!
B．双曲线过点（5，错误!)
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
［解析] ∵c＝5，由e＝错误!＝错误!知a＝4,∴b2＝c2－a2＝9，A正确;∵双曲线过点P(5,错误!)，∴2a＝|PF1|－｜PF2｜＝错误!－错误!＝8,∴a＝4，B正确;由渐近线方程为3x±4y＝0知错误!＝错误!，又c2＝a2＋b2＝25，∴a＝4，b＝3，C正确；若2a＝4，则a＝2，从而b2＝c2－a2＝21,D错，故选ABC。

10．已知△ABC为等腰直角三角形,若圆锥曲线E以A，B焦点,
并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率可以是（ABD ）A．错误!－1 B．错误!
C．错误!D．错误!＋1
［解析］因为△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，圆锥曲线E以A,B焦点，并经过顶点C,所以（ⅰ）若该圆锥曲线是椭圆，当C＝错误!时，离心e＝错误!＝错误!＝错误!，当C＝错误!时，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!－1.
（ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有C ＝错误!,
此时,离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋1，
故答案为ABD.
11．(2020·山东青岛一中期末)如图,A(2,0），B(1,1），C(－1,1），D(－2,0），错误!是以OD为直径的圆上一段圆弧，错误!是以BC为直径的圆上一段圆弧，错误!是以OA为直径的圆上一段圆经，三段弧构成曲线W，则下述正确的是（BCD )
A．曲线W与x轴围成的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）
C.错误!所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D。

CB与错误!的公切线方程为x＋y＝错误!＋1
[解析］作CM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，曲线W与x轴围成的面积为2＋π，A错;
W上的整点D（－2，0），C(－1,1)，H（0,2)，B(1,1），A（2,0），共5个,B正确；
显然C正确；
由图易知公切线l平行直线MQ:y＝－x＋1，且两直线间距离为1，设l：y＝－x＋b(b>0),则错误!＝－1，∴b＝错误!＋1，
∴l：y＝－x＋错误!＋1，D正确；故选BCD。

12．(2020·山东日照联考)过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点,则( ACD )
A．以线段AB为直径的圆与直线x＝－错误!相离
B．以线段BM为直径的圆与y轴相切
C．当错误!＝2错误!时,|AB|＝错误!
D．|AB｜的最小值为4
[解析] 对于选项A,点M到准线x＝－1的距离为错误!（|AF｜＋
|BF|）＝错误!｜AB｜,于是以线段AB为直径的圆与直线x＝－1一定相切,进而与直线x＝－错误!一定相离;对于选项B，显然AB中点的横坐标与错误!｜BM|不一定相等，因此命题错误；对于选项C，D，设A(x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为x＝my＋1,联立直线与抛物线方程可得，y2－4my－4＝0,y1y2＝－4,x1x2＝1,若设A(4a2,4a )，则B（错误!，－错误!),于是|AB｜＝x1＋x2＋p＝4a2＋错误!＋2，｜AB｜最小值为4;当错误!＝2错误!可得y1＝－2y2，即4a＝－2(－错误!），所以a2＝错误!，｜AB｜＝错误!，故答案为ACD.
三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．(2020·3月份北京市高考适应性考试)抛物线y2＝4x上到其焦点的距离为1的点的个数为__1__。

［解析］抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），
由错误!，得错误!.
∴抛物线y2＝4x上到其焦点距离为1的点只有1个．14．(2019·江西师大附中模拟）双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0)的一条渐近线被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的弦长为2,则双曲线的离心率为错误!。

[解析] 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4,由题意可知圆心C(3，0)
到渐近线bx－ay＝0的距离为错误!，即错误!＝错误!＝错误!,∴错误!＝1－错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!。

15．（2020·安徽1号卷A10联前盟联考）已知抛物线C：y2＝2px(p>0）的焦点为F，点M、N在抛物线上,且M、N、F三点共线，点P在准线l上，若错误!＝错误!，则错误!＝错误!.
［解析］分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则|MM1|＝|MF|·｜NN1|＝|NF|，
∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!
设｜NF｜＝m,则｜MF｜＝2m,从而｜PN|＝3m，
∴错误!＝错误!＝错误!,则m＝错误!p，
∴错误!＝错误!＝错误!.
16．（2020·山东日照联考)已知椭圆M:错误!＋错误!＝1（a>b〉0），双曲线N:错误!－错误!＝1（m〉0,n>0）．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为错误!－1 ；双曲线N的离心率为__2__。

[解析] 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋3c，再根据椭圆定义得c＋错误!c＝2a，所以椭圆M的离心率为错误!＝错误!＝错误!－1。

双曲线N的渐近线方程为y＝±错误!x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为错误!,∴错误!＝tan2错误!＝3,∴c2＝错误!
＝错误!＝4，∴e＝2.
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) （2020·3月份北京市高考适应性考试)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0,1),B(0,－1)，焦距为23。

（1）求椭圆C的方程；
（2)已知直线y＝m与椭圆C有两个不同的交点M、N，设D为直线AN上一点,且直线BD,BM的斜率的积为－错误!。

证明：点D 在x轴上．
[解析] （1)由题意知c＝错误!，b＝1，且焦点在x轴上,
∴a2＝b2＋c2＝4
所以椭圆C的方程为:x2
4
＋y2＝1。

(2）由题意可设M（－x0，m）,N(x0，m），－1<m<1，
则x错误!＝4(1－m2) ①
因为点D为直线AN上一点，所以错误!＝λ错误!＝λ(x0,m－1)，所以错误!＝λ错误!＋错误!＝(λx0，λ（m－1）＋1)，
所以K BD·K BM＝λm－1＋2
λx0·错误!＝－错误!，
整理得4λ（m2－1）＋8（m＋1)＝λx错误!。

将①代入整理得（m＋1)[λ(m－1）＋1］＝0，
∵m＋1≠0，∴λ(m－1）＋1＝0，即y D＝0，
所以点D在x轴上．
18．（本小题满分12分）(2019·天津高考卷）设椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为错误!。

(1）求椭圆的方程；
(2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON｜＝｜OF｜(O 为原点），且OP⊥MN,求直线PB的斜率．
［解析］(1）设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，
错误!＝错误!，又a2＝b2＋c2，
可得a＝5，b＝2,c＝1.
所以，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.
（2)由题意，设P（x P，y P）（x P≠0)，M（x M,0)．
设直线PB的斜率为k(k≠0）,又B(0,2),
则直线PB的方程为y＝kx＋2，
与椭圆方程联立错误!
整理得(4＋5k2）x2＋20kx＝0，
可得x P＝－错误!,代入y＝kx＋2得y P＝错误!，
进而直线OP的斜率错误!＝错误!。

在y＝kx＋2中,令y＝0,得x M＝－错误!。

由题意得N（0，－1），所以直线MN的斜率为－错误!。

由OP⊥MN，得错误!·（－错误!）＝－1，
化简得k2＝24
5
，从而k＝±错误!。

所以,直线PB的斜率为错误!或－错误!。

19．（本小题满分12分）(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：
错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的离心率为错误!，右焦点为F，以原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y－错误!＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
(2）如图,过定点P(2，0）的直线l交椭圆C于A,B两点，连接AF并延长交C于M,求证:∠PFM＝∠PFB.
［解析] （1)依题意可设圆C方程为x2＋y2＝b2,
∵圆C与直线x－y＋错误!＝0相切，
∴b＝错误!＝1，∴a2－c2＝1，又错误!＝错误!，解得a＝错误!,
∴椭圆C的方程为x2
2
＋y2＝1。

（2)依题意可知直线l斜率存在，
设l方程为y＝k（x－2)，代入错误!＋y2＝1,
整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
∵l与椭圆有两个交点，∴Δ〉0,即2k2－1<0.
设A(x1,y1),B（x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1,k2，
则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

∵F(1，0)，∴k1＋k2＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝2k－k（错误!＋错误!)
＝2k－k（错误!）
＝2k－k错误!
＝2k－k错误!＝0，
即∠PFM＝∠PFB。

20．(本小题满分12分)(2019·大连模拟)已知直线y＝2x与抛物线Γ：y2＝2px（p>0)交于O和E两点，且｜OE|＝错误!。

（1)求抛物线Γ的方程；
（2)过点Q(2，0）的直线交抛物线Γ于A，B两点，P为直线x ＝－2上一点，PA，PB分别与x轴相交于M,N两点，问M，N两点的横坐标的乘积x M·x N是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由．
[解析] (1）由y2＝2px与y＝2x，解得交点O（0，0)，E(错误!，p），
∴｜OE｜＝p
2
2＋p2＝错误!，得p＝2，
∴抛物线Γ的方程为y2＝4x。

(2）设直线AB的方程为x＝ty＋2,代入y2＝4x中，
则y2－4ty－8＝0，
设A（x1，y1)，B（x2,y2),∴错误!
设P（－2，y0),则直线PA的方程为y－y0＝错误!(x＋2），
令y＝0，得(y0－y1)x M＝y0x1＋2y1，③
同理可得（y0－y2）x N＝y0x2＋2y2，④
由③×④得(y0－y1)（y0－y2）x M·x N＝（y0x1＋2y1）(y0x2＋2y2），即［y2，0－（y1＋y2）y0＋y1y2］x M·x N＝y错误!x1x2＋2y0（y1x2＋y2x1）＋4y1y2＝y错误!×错误!＋2y0（y1×错误!＋y2×错误!）＋4y1y2＝y错误!×错误!y 错误!y错误!＋y0
y1y2×错误!＋4y1y2，
由①②可得(y错误!－4ty0－8）x M·x N＝4(y错误!－4ty0－8），
当点P不在直线AB上时，y错误!－4ty0－8≠0，∴x M·x N＝4；
当点P在直线AB上时，x M＝x N＝x Q＝2,∴x M·x N＝4.综上,x M·x N 为定值，且定值为4。

21．（2020·湖北宜昌调研)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b>0），F1、F2为椭圆的左、右焦点,P(1，错误!）为椭圆上一点，且|PF1|＝错误!。

（1)求椭圆的标准方程；
（2）设直线l：x＝－2，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，当∠MAN最小时,求直线AB的方程．
[解析] （1）设F1（－c,0）(c>0)，
则｜PF1|＝错误!＝错误!⇒c＝1,
∴｜PF2｜＝错误!，
则由椭圆定义|PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2错误!，
∴a＝2，b＝1,
故椭圆的标准方程为错误!＋y2＝1.
(2)由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线AB:x＝ty＋1,
联立方程错误!得（t2＋2）y2＋2ty－1＝0,
∵直线AB交椭圆于A（x1，y1），B(x2，y2），
∴Δ＝4t2＋4（t2＋2)＝8（t2＋1)〉0，
由韦达定理y1＋y2＝错误!，y1y2＝－错误!，
则y N＝－错误!，
∴x N＝ty N＋1＝－错误!＋1＝错误!，
∵MN⊥AB,∴k MN＝－t，
∴|MN｜＝错误!·｜－2－错误!|＝错误!·错误!
又｜AN|＝错误!｜AB|＝错误!错误!·｜y1－y2|＝错误!·错误!
∴tan∠MAN＝｜MN|
｜AN｜＝错误!
＝错误!（错误!＋错误!）≥错误!·2错误!＝4，
当且仅当t2＋1＝错误!即t＝±1时取等号．
此时直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
22．(本小题满分12分)（2020·宁夏银川一中月考)已知椭圆C：
错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2，若椭圆经过点P （错误!,－1),且△PF1F2的面积为2。

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为错误!的圆交于
A，B两点，与椭圆C交于C,D两点,且｜CD｜＝λ|AB｜（λ∈R),
当λ取得最小值时，求直线l的方程．
[解析] (1)由△PF1F2的面积可得错误!·2c·1＝2，即c＝2，∴a2－b2＝4。

①
又椭圆C过点P(错误!,－1），
∴错误!＋错误!＝1。

②
由①②解得a＝2错误!，b＝2，
由椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1。

(2）设直线l的方程为y＝x＋m，
则原点到直线l的距离d＝错误!，
由弦长公式可得｜AB｜＝2错误!＝错误!，
将y＝x＋m代入椭圆方程错误!＋错误!＝1，
得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
由判别式Δ＝16m2－12（2m2－8）〉0，
解得－2错误!〈m〈2错误!，
由直线和圆相交的条件可得d〈r，
即错误!〈错误!，也即－2<m<2，
综上可得m的取值范围是(－2，2），
设C(x1，y1），D(x2,y2)，
则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!,
由弦长公式，得｜CD|＝错误!错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!.
由｜CD｜＝λ｜AB|，
得λ＝错误!＝错误!＝错误!错误!.
∵－2〈m〈2，∴0<4－m2≤4,则当m＝0时，λ取得最小值错误!,此时直线l的方程为y＝x.。