江苏省无锡市江阴第二高级中学高一数学理联考试题含解析

江苏省无锡市江阴第二高级中学高一数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若变量x，y满足约束条件，且的最大值为a，最小值为b，则的值是
A. 48
B. 30
C. 24
D. 16
参考答案：
C
由，由
，当最大时，最小，此时最小，
，故选C.
【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数.
2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且
，则
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
3. 已知平面向量，若与垂直，则实数＝
A．－1 B．1 C．－2 D．2
参考答案：
B
略
4. 若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）
A．2 B．C．﹣1 D．2018
参考答案：
A
【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
【解答】解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，
a3==﹣1
a4==2 a5==，
a6==﹣1．
a7==2．
故选：A．
5. 某单位在1～4 月份用电量（单位：千度）的数据如表：
已知用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程 5.25，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）
A．1.9 B．1.8 C．1.75 D．1.7
参考答案：
C
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，得到线性回归方程，x=5代入即可得出结论．
【解答】解：∵=2.5， =3.5，线性回归方程是 5.25，
∴3.5=2.5b+5.25，
∴b=﹣0.7，
∴y=﹣0.7x+5.25，
x=5时，y=﹣3.5+5.25=1.75，
故选：C．
6. （4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
参考答案：
B
考点：异面直线及其所成的角．
专题：计算题．
分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B ，得到的锐角∠A 1BC1就是异面直线所成的角，
在三角形
A 1BC1中求出此角即可．
解答：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，
且EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，
故选B．
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7. 为了得到函的图象,只需把函数的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
参考答案：
A
8. 不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
先将不等式化为，然后利用二次不等式的求解原则得出该不等式的解集.
【详解】由题意可得，解该不等式得或.
因此，不等式的解集是，故选：C.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键就是二次不等式的求解过程，考查计算能力，属于基础题.
9. 定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则的解集为（）
....
参考答案：
B
10. 若函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，且，则使得的的取值范围是( )A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. A，B是直线l外两点，过A，B且与直线l平行的平面的个数是．
参考答案：
0个或1个或无数个
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】分直线AB与直线l相交、异面和平行三种情况加以讨论，结合空间直线与平面的位置关系和线面平行的判定定理来判断，可知经过A、B且与直线l平行的平面的个数可能是0个或1个或无数个．
【解答】解：①直线AB与直线l相交时，
不存在平面经过A、B两点且与直线l平行，此时满足条件的平面有0个；
②当直线AB与直线l异面时，
存在唯一的平面，使其经过A，B且与直线l平行，此时满足条件的平面有1个
③当直线AB与直线l平行时，
只要经过A、B的平面不经过直线l，都满足该平面与直线l平行，
此时满足条件的平面有无数个
故答案为：0个或1个或无数个
12. 设全集U=R，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=．
参考答案：
[2，3）
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．
【解答】解：∵log2x≥1=log22，∴x≥2，
∴A=[2，+∞），
∵x2﹣2x﹣3＜0，
∴（x﹣3）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x＜3，
∴B=（﹣2，3），
∴A∩B=[2，3），
故答案为：[2，3）
13. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是_________
参考答案：
略
14. 已知函数f (x)=与函数d(x) = ，则这两个函数图象的公共点的坐
标为 .
参考答案：
（1，1）
就x 为负有理数，非负有理数，负无理数，非负无理数解方程f (x ) = d (x )
15. 已知平面向量满足与垂直，则m=________.
参考答案：
7.
【分析】
先用平面向量的坐标的加法运算公式，求出的坐标表示，再利用平面向量垂直时，数量积为零，可得方程，求解方程即可.
【详解】因为，所以，又因为与垂直，所以
.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标加法运算，考查了两个平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力. 16. 若函数f(x)＝a x－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于____；
参考答案：
17. 已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:
①若,则
②若,则
③若,则
④若，，则
其中正确的命题是▲．(填上所有正确命题的序号)
参考答案：
①
①根据线面垂直的性质可知若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故②不成立；
③根据面面平行的可知，当m与n相交时，α∥β，若两直线不相交时，结论不成立；
④若，，则或，故④不成立．
故正确的是①.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）已知数列中,,(常数),是其前项和,且
.
(1)求的值;
(2)试确定数列是否是等差数列,若是,求出其通项公式；若不是，说明理由；（3）令，求证：。

参考答案：
解：（1）令中，即得
………………3分
(2) 由（1）得: ,即有，又有
两式相减得：，
即，………………6分
于是，
，
，
，
以上个等式相乘得：，…………9分
经验证也适合此式，所以数列是等差数列,其通项公式为。

……………10分
（3）由(2)可得，从而可得，故
；
………………12分综上有，。

………14分19. （12分）已知函数，且，.
（Ⅰ）求的值及的最小值；
（Ⅱ）若且是方程的两个根，求证：.
参考答案：
解：（Ⅰ）
由
得
解得
所以
所以，此时，……………6分
（Ⅱ）略
略
20. 已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若锐角的三个角满足，求的取值范围.
参考答案：
（1）
令
所以函数的单调增区间，-----------------------------------------------------6分
（2）由（Ⅰ）可知，锐角中：.
于是：由锐角三角形知，
故
所以的取值范围是.------------------------------------------------------------------------------------12分
21. 设是R上的奇函数．（1）求实数a的值；
（2）判定f(x)在R上的单调性．
参考答案：
（1）（2）增函数
【详解】试题分析：（1）先由函数是奇函数，利用待定系数法求解；（2）由（1）求得函数，再用单调性定义来判断其单调性，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号
试题解析：（1）法一：函数定义域是R，因为是奇函数，
所以，即
解得
法二：由是奇函数，所以，故
再由，验证，来确定的合理性
（2）增函数
法一：因为，设设，，且，得．
则，即
所以是增函数．
考点：函数奇偶性单调性
22. 一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

现随机抽出两件产品，
（1）求恰好有一件次品的概率。

（2）求都是正品的概率。

（3）求抽到次品的概率。

参考答案：
解：将六件产品编号，ABCD(正品),ef（次品）,从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）.共有15种，
（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8
则P（A）＝……………3分
（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6
则P（B）＝……………6分（3）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，
则P（C）＝1－P(B)＝1－……………8分
略。