无穷小量及应用

无穷小量及其应用
姓名:储敏学号:200825020306 指导老师:张德然
【摘要】无穷小量思想在数学史上(微积分和数学分析)的早期发展中起着重要作用，也是对于理解微积分学的关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位．当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立．无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点．对于这个问题，很多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形．本文先阐明了无穷小量的历史发展过程，理清无穷小量的概念与性质.还有关无穷小量与极限的联系.从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件.
【关键词】无穷小量；极限；无限次代数和；无限乘积
一． 无穷小量的发展史
人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程，正如Hilbert 所指出的：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧；更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.[1]
他还指出“数学是处理无穷的科学”．数学史上所谓3次危机都与无穷有关，它在本质上源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难．我们可以把到目前为止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段．[2]
第一，对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派为了解决不可公度的问题，提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位．此后，无穷小伴着古希腊的“穷竭法”，卡瓦列利的“不可分量原理”，促使微积分方法的萌芽和发展．在我国，则有战国时期(公元前446-256年)的分杵原理，即惠施提出的“一尺之杵， 日取其半，万世不竭”等．
第二阶段是以微积分的诞生为标志，对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识，到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用．这是属于潜无穷的认识阶段．承认潜在可实现性抽象在逻辑上可以导出数学归纳法原理．
第三，19世纪70年代集合论的建立，使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段．实无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上，承认实无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理．
第四，20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域，其中每一个通常的实数看成是超实数的标准部分，它的周围聚集着无穷小邻域即单子，对单子结构的分析，是认识无穷小的一个本质的进步．但这种认识仍有其时代的局限性．例如Robinson 仅从数理逻辑的角度来认识无穷小，并且用“互补原则”来看待无集集合等．事实上，无穷小世界并不满足因果律．
第五，20世纪80年代兴起的“超弦”理论，为无穷小理论提供了新的模型．20世纪现代数学的发展，促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面．每个实数和数轴上唯一的点成一一对应，实数集合从代数的角度看，它呈现出群、环、域等离散性的侧面，而从拓扑的角度看，它是局部列紧的，又呈现出连续性的一面；实数集的无穷性看成潜无穷时，就要研究实数形成过程的一般性质，例如要用有理数列来逼近无理数；而看成实无穷时则是将实数集合当作一个数学客体来研究．超弦理论的基本思路是将基本粒子作为它的一种泛函空间来研究，而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看待．
二．无穷小量的概念及基本性质
2.1 无穷小量的概念
1．在收敛数列中,我们称极限为0的数列为无穷小量,例如数列}1
)1({},1{2
+-n n n
都是无穷小量.要注意,无穷小量是一个变量,而不是一个非常小的量.[3]
2．设f 在某)(00
x U 内有定义.若
lim ()0,x x f x →=
则称f 为当0x x →时的无穷小量.[4]
3．在柯西借助于严格的极限理论，明确指出了无穷小量是以0为极限的变量．其本质是：无穷小量是一个变量，它在自己的变化过程中，就其绝对值而言，可以小于任何给定的正数e ，或者说它可以无限地接近于0.[5] 综上：
极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).
.
0)(lim ,0)(lim ,0)(lim 0)(lim ,0)(lim ,0)(lim ,
0lim 0
0=======-∞
→+∞
→∞
→→→→∞→-+x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x n n
4. 注意：
（1）这里指极限，包括数列极限和六种形式的函数极限； （2）无穷小量是相对某个极限过程而言；
（3）无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数； （4）数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定是0.
2.2 无穷小量基本性质
由无穷小量的定义我们可以立刻推得如下性质[6]
性质1 在自变量的同一变化过程中,两个无穷小量的代数和仍是无穷小量. 证明：
,时的两个无穷小量是当及设∞→x βα使得,0,0,021>>∃>∀N N ε
;21ε
α<>时恒有当N x
;2
2ε
β<>时恒有当N x
},,m ax {21N N N =取恒有时当,N x >
,2
2
εε
ε
βαβα=+
<
+≤±，
0()n αβ∴±→→∞
性质2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.
证明：
内有界，在设函数100)(δ<-<x x x u .)(,0M x u M ≤>∃使得则
,0时的无穷小是当又设x x →α
000,0,00.
x x x x M
εδδδε
α∴∀>∃><-<<-<<
使得当时,使得当时恒有
,εε
αα=⋅
<⋅=⋅M
M u u
.,0为无穷小时当α⋅→∴u x x
性质3 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量. 推论
推论1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量. 推论2 常量与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量.
推论4 无穷小以极限不为零的变量除量，其商仍是无穷小.
三．无穷小量与极限的关系
（一）无穷小量与极限关系：lim ()()()x a
f x A f x A x α→=⇔=+，其中lim ()0x a
x α→=
（二）在同一极限过程中，若11,ααββ，则
1
1lim lim ααββ
=,
（三）在同一限过程中，若1α
α，则
lim 1lim αβαβ= 四． 洛毕达法则 若函数 f 和g 满足： 1 lim lim 0x a
x a
f g →→==；
2 在点a 的某空心邻域内两者都可导，且g 的导数不为0；
3 '
lim
'
x a
f A
g →=（A 可为实数，也可为∞或±∞） 则 'lim
'x a
f g →=lim x a f
g
→A =. 证明：补充定义()()0f a g a ==，使得f 与g 在点a 处连续，任取0
()x a ∈，在区间[]
,a x 或[],x a 上应用柯西中值定理，有
()()'()
()()'()
f x f a f
g x g a g εε-=-，即
2
220(1sin 2)lim (0),2x n x x e a a na x
→+-=≠=，当x a →时，也有a ε→，故得
()'()'()
lim
lim lim ()'()'()
x a
x a x a f x f f x A g x g g x εε→→→=== 五． 无穷小量在极限中的应用
在对无穷小量的概念，性质以及对无穷小与极限联系理解掌握的基础上，下面我们主要通过具体的例子来进一步了解无穷小在极限中的一些应用，从而深刻理解无穷小在解决求极限问题中的灵活作用. 例题（一） 求下列极限
1 230
0()cos 1
()1lim
lim 2
x x f x x f x x x x →→+
-==- 解：当1x →时,ln 0t x x =→,于是ln 11x
x x
x e -=-=1t e t -ln x x =，用等价无穷
小因子替换得
11lim ln x x x x x →-=1ln lim 1ln x x x
x x
→=.
2 2x →解：利用等价无穷小因子替换，当()()
ln(1cos 1)cos 1,f x f x x x x x x
++-+- 时，
2
2ln(22)
(1)x x x -+-，
21
1
(1)3
x =--， 所以原式=2
12
(1)lim
31(1)3
x x x →-=--- 3 设2
1
10()lim(cos )x x f x x e x
-→+
=，则当 1x →时，()f x 是x 的（C ）. A 等价无穷小 B 二阶无穷小
C 三阶无穷小
D 四阶无穷小
分析：有题设2
1
10()lim(cos )x x f x x e x -→+
=⇒2
0()
ln(cos )
lim
1,x f x x x x →+
=-
当0x →时，()ln(cos )f x x x +=()
()
ln(1cos 1)
cos 1f x f x x x x
x
++-+
-,
从而20()ln(cos )lim x f x x x x →+
=22300()
cos 1
cos 1()lim lim()1,x x f x x x f x x x x x
→→+--=+=- 由于20cos 11lim 2x x x →-=-,故可知30()1
lim 2
x f x x →=-,即()f x 是x 的三阶无穷小（0x →），因此选C 4
求2
1
0sin lim(
)x x x x
→ 解：由于0sin lim
1x x x
→=，201
lim x x →=∞，属于1∞型
当0x →时，31
sin 6
x x
x --，所以 21
0sin lim(
)x x x x → 2
231
10
01sin 6lim(1)lim(1)x x x x x x x x
x →→--=+
=+22311
1260016lim(1)lim(1)6
x x x x x x e x -→→--+=+=
5设
2220161
lim 0,2(2)n x e a e n n x
-→-=≠-+，求a 及n 的值 解：2
22
0(1sin 2)lim
x n
x x e x →+-=22
ln(1sin 2)
2
0lim
x x n x e
e
x +→-=2e 22
ln(1sin 2)
2
01
lim
x x n
x e
x +-→-
=2e 220ln(1sin 2)
2lim n
x x x x →+-=2e 2220ln(1sin 2)2lim n x x x x +→+-
=2e 2
21
04cos 241sin 2lim (2)n x x x x x n x +→-++=222204cos 2(1sin 2)1lim 21sin 2n x e x x n x x →-+++
=2221044cos 24sin 2lim 2n x e x x x x n nx
-→--+ =2222016cos 2sin 2lim (2)n x e x x n n x -→-++=220161
lim 0(2)n x e a n n x
-→-=≠+ 由此可知a =2
2e -，n 2=
六． 关于无穷小的两个常用定理（结论）
（一）,αβ为同一变化过程中的无穷小量，且β=()οα，则αβ
α+
证明：因为β=()οα，所以lim
0,lim 1lim 1βαββ
ααα
+==+=则，
即αβα+
上面的定理表明：在求无穷小量代数和的极限时，可将价数较高的无穷小量舍弃，从而达到简化计算的目的.
例题1
：求340x →
解：当0x →时，3
arcsin x
3x ，4ln(1)x
+4x ， tan33x x ，
1
1
1cos 11
(cos 1)2x x +---214
x - 显然3
arcsin x 与4
ln(1)x +均是2x 的高阶无穷小量，由上述定理可知：
34
2arcsin ln(1)2,cos 1tan 3x x x x x +-++tan33x x
故原式=022lim
33
x x x →=.
（二）'
'
,,,αβαβ为同一变化过程的无穷小量，且α与β为同阶无穷小，又
'',,ααββ
1当0lim
1x β
α
→≠-时，则''αβαβ++ 2 当0lim 1x βα
→≠时，则''
αβαβ--
证明1：因为α与β为同阶无穷小，所以0lim x c β
α
→=，又因'0lim 1x ββ→=，则当1c ≠-时，有'
'''0000lim(1)1lim
lim 1lim(1)
x x x x βββαββααββαβαα
→→→→+++==+++111c c +==+ 即当0lim
1x β
α
→≠-时，则''αβαβ++
同理可证得2.
定理（二）表明：在计算与两个无穷小量的代数和有关的极限运算时，若其
为同阶无穷小且两商的极限不为-1时，则可用与其等价的无穷小量分别替换，将使运算过程更为简洁. 例题1：求 0ln(1)arcsin 3lim
sin 2tan 5x x x
x x
→++-
解：0x →时，ln(1)arcsin33x x x x +，
且0arcsin 3lim
ln(1)x x x →=+03lim 31x x
x
→=≠-
所以当0x →时，ln(1)arcsin 334x x x x x +++=
又当0x →时，sin 22,tan55x x x x ，且
00tan 555
lim
lim 1sin 222
x x x x x x →→--==-≠-，
所以当0x →时，sin 2tan5x x - 253x x x -=-，
由定理（二）易知：原式= 044
lim 33
x x x →=--
例题2：求
2
223
0lim ln(1)tan 3arctan x x e x x x →-+-
解：当0x →时，2
22
31
11
,1sin 1
sin 33
x e x x x x x x -+-， 且 2
2
003
lim 3113
x x x
x x →→==≠- 所以当0x →时，
2
2
1x x e e =- 2211)
3
x x +-223x =
当0x →时， 2
222ln(1),tan 33x x x x --，
且00tan 555
lim
lim 1sin 222
x x x x x x →→--==-≠-
所以当0x →时，2
2
222ln(1)332,x tan x x x x -+-+=
又当0x →时，3
3arctan x
x --，则易知，，
3arctan x -是22ln(1)3x tan x -+的高阶无穷小量
由定理（一）可知：当0x →时 2
2
3
22ln(1)3arctan ln(1)3x tan x x
x tan x -+--+，
再由定理（二）易知：
=2
220lim ln(1)tan 3x x e x x →-+ =220213lim 23
x x
x →=
七． 关于探讨无穷小量的无限次运算
（一）讨论无限个无穷小量的代数和
.1 运用实例解释无限个无穷小量的代数和
由推论知有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量，但 无穷个无穷小量的代数和及不一定是无穷小量.
其实无限个无穷小量代数和是一个以无穷小量为项的无穷级数，所以根据无穷级数的性质可以粗概的知道。

无限个无穷小量的代数和的极限存在就收敛，反之就不收敛，而且收敛也不一定为无穷小量。

以下举例说明：
例1 设⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+<≤<≤+≤≤=110,011
1
,111
,0)(n t n t n t n t f n
则对于每个)(,2t f n n ≥为0→t 时的无穷小量；
∑
∞
=⎪⎩⎪⎨⎧<<=≤≤=2
2
0,10,121
,0)(n n t t t t f
故
∑∞
=2
)(n n
t f
不再是0→t 时的无穷小量.
表明无限个无穷小量代数和就算收敛，也不一定是无穷小量.
综上：
无限个无穷小量的代数和收敛不确定性，即使收敛也不一定是无穷小量
.
0x →
2 无限个无穷小量的代数和为无穷小量的条件[7]
无限个无穷小量的代数和为无穷小量的充分条件： 如果k
n
x 都是无穷小量...2,1=k 且1
lim m
k n n m k y x
→∞
==∑关于n 一致收敛，则n y 是无穷小量.
证明：
111(),0m
k
m n k S n x m N n ε==∀>∃>∑记对，N ，使得当时，对一切有
()2
m n S n y ε
-<
lim ()0,(),2
m m n S n N n N S n ε
→∞=∃><又故，使得当时，从而有 ()()n m n m y S n y S n ε≤-+<
即lim 0n n y →∞
=
3 无限个无穷小量的积
通过知识的积累，已理解有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量，所以无限个无穷小量的乘积又将是什么结果？
下面探讨这个问题.
就如上面的证明，可以通过例题说明，无限个无穷小量的积收敛不确定性，即使收敛也不一定就是无穷小量.
3.1 无限个无穷小数列的积[8]
定义：设},...},...{{},{)
()2()1(m n n n x x x 是无穷小序列，即对N m ∈∀（N 为自然数集）均有
()
lim 0m n n x →∞
= 记,,...)
()2()1()
(m n
n n m n
x
x x P
=若对任意固定的n ，有()lim m n
n n P
P →∞
=，则称无穷乘积()
1
x
m n m x =∏收敛
于n P ，或者
()
1
x
m n n m x
P ==∏.
例3 设,...1,...41,31,21,:}{1)
1(n a x n
,...1,...41,31,,1:}{2)
2(n a x n
,...1,...41,,1,1:}{3)
3(n
a x n
,...1,...11,,...,1,1,1,1:}{)
(n
m a x m m n +
令,,...)
()2()1()
(m n n n m n
x x x P =
（1）若,,...,3,2,1,)(m P n m m m a m n m m =≥==时，则此时()
lim ,m n
n P →∞
=+∞ 即：无限个无穷小量的乘积可以是无穷大量.
（2）若,)1(,...,3,2,1,)1()(1m m n m m m P n m m m a -=≥=-=-时，则此时()
lim m n n P →∞
不存在.
（3）若,,,)(1
C P n m C C m a m n m m =≥=-时，为任意常数），则（
此时()lim m n n n P C P →∞
== 即：无限个无穷小量乘积可以是事先给定的任意常数. 3.2 无限个无穷小函数列的积 例4[9]设,0>δ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+∈++∈+=]11,0(,)1(]1,11(,1)(n t t n n t t f n δ 则显然)(t f n 为0→t 时的无穷小量...)3,2,1(=n . 下证，对每个∏∞
=≤<1
0)(,
10n n
t f
t 均不收敛：
固定],1,0(0∈t 存在正整数0N 使得0N n >时，有
.1
1
0+≤
n t 故
,)()(0
1
1
∏∏===N n n
N
n n
t f t f
00
0)1(!)(0
01
0N N N
N
N n n t N t f -+=+=∏δ 由于01
lim
()N
n
N n f
t →∞
=∏不存在，故∏=N
n n t f 1
0)(不收敛.
以上例题就说明无限个无穷小量的积就不一定是收敛的.
例 5 设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤
≤≤≤=210,012
1
,1)(1t t x f 对于2≥n ，
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧<≤<≤≤≤=---n n n n t t t t
t x f 210,210,1
121
,1)(1111
则对每个)(,1t f n n ≥均为0→t 时的无穷小量.下面证明
∏=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤
≤≤≤=n k n n n
k t t t t f 1210,121
,1)( 从上式可知，
∏∏∞
==∞→⎩⎨⎧=≤≤=110
,01
0,1)()(lim k n
k k n k t t t f t f 很明显，无穷乘积的结果不再是无穷小量.
说明了无限个无穷小量的积即使收敛，也不一定是无穷小量的。

3.3 无限个无穷小量积为无穷小量的条件 1. 充分条件：
如果k n
x 都是无穷小量...2,1=k 且1
lim
m
k n n m n y x
→∞
==∏关于n 一致收敛，则n y 是无穷小量.
证明方法同无限个无穷小量代数和. 2．充要条件
I ） 无限个无穷小数列为无穷小量的充要条件
定理 1 设},...},...{{},{)
()2()1(m n n n x x x 是无穷小序列，即对N m ∈∀（N 为自然数集）均有
()
lim 0m n n x →∞
= 记他们乘积为,,...)()2()1()(m n n n m n x x x P =若对任意固定的n ，()lim m n n P →∞
存在，则
()()lim lim 0,,.m m n n n m P N n m N P ε→∞→∞
=⇔∃><当时，
证明： 5
必要性：()
()11lim lim 002
m m n
n m n P N n N P ε
ε→∞
→∞
=∀>∃><
若，则，，当时，，从而有
()22
m n P ε
ε
-
<<，
故()
22.m n
N m N P ε∃><，当时，
取()
12max(,),,.m n
N N N n m N P ε=><当时，有
6 充分性：
()()0,lim m m n n n N n m N P P εε→∞
∀>∃><，，当时，有，由于存在，
从而上式中令m →∞我们得到()
lim ,m n
n P ε→∞
≤
由ε的任意性知()
lim lim 0m n
m n P →∞
→∞
=若.
利用定理1,容易得到：
推论 1 设},...},...{{},{)
()2()1(m n n n x x x 是无穷小序列，即对N m ∈∀（N 为自然数集）均有
()
lim 0m n n x →∞
= 若他们乘积为,,...)
()2()1()
(m n n n m n x x x P =有意义，即对任意n ，()lim m n n P →∞
存在.若存在自然数k ，
当
,n m k >时，有1)
(<m n x ，则)()2()1()(,...m n n n
m n x x x P =是一个无穷小数列. 证明：
()
lim 0(1,2,...,),i n n x i k →∞
==
01,,i
i i n N n N x εε∴<<∃><对当时，有
取12max(,,...,,),,,i N N N N k n m N =>当有
()(1)(2)()(1)(2)(1)()
,..........m m k m k n n n n n n n n P x x x x x x x εε+==<<
由定理1可知
()lim lim 0m n n m P →∞→∞
=
即)
()2()1()
(,...m n n n m n
x x x P =是一个无穷小数列.
推论 2 设},...},...{{},{)
()2()1(m n n n x x x 是无穷小序列，即对N m ∈∀（N 为自然数集）均有
()
lim 0m n n x →∞
= 若他们乘积为,,...)
()2()1()
(m n n n m n x x x P =有意义，即对任意n ，()lim m n n P →∞
存在.若存在自然数k ，
当
,n m k >时，有)()
(常数A x m n <，则)()2()1()(,...m n n n
m n x x x P =是一个无穷小数列. 证明方法同推论1.
II ）无限个无穷小函数列乘积为无穷小量充要条件[11]
设函数列12(),(),...,(),...m f x f x f x 在点0x 的某领域内连续，且0
lim ()0(1,2,...),
m x x f x m →==
即()m f x 为无穷小量.设1
()().m
m i i F x f x ==
∏
若lim ()m m F x →∞
存在，则称
1
()m
m f
x ∞
=∏有意义，记作1
()().m m F x f x ∞
==∏()m F x 在0x 连续且
lim ()0.m x x F x →=那么讨论lim ()()m m F x F x →∞
=在0x x →是否无穷小量的问题，即
lim ()0.x x F x →=
实质上是讨论连续函数列{()}m F x 的极限函数()F x 是否在点0x 连续的问题，由数学分析[10] 给出的充分条件，即要求{()}m F x 在0x 的某领域内一致收敛于()F x .因此有：
定理2[12] 设函数列12(),(),...,(),...m f x f x f x 在点0x 的某领域内连续，且
lim ()0(1,2,...),m x x f x m →==即()m f x 为无穷小量.设1
()(),m m F x f x ∞==∏1
()().m
m i i F x f x ==∏
若{()}m F x 在0x 的某领域内一致收敛于()F x .则当0x x →时，()F x 为无穷小量 若lim ()m m F x →∞
存在，则称
1
()m
m f
x ∞
=∏有意义，记作1
()().m m F x f x ∞
==∏()m F x 在0x 连续且
lim ()0.m x x F x →=那么讨论lim ()()m m F x F x →∞
=在0x x →是否无穷小量的问题，即
lim ()0.x x F x →=
结论
无穷小量在极限运算中的应用，主要用到了等价无穷小量代换这一便利的方法，只要是指在求解过程中利用等价无穷小量的性质及其定理的应用，通常与洛必达法则一起使用，目的是要解题步骤简化，使运算过程简单化，进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中因子进行代换，即在等价无穷小量的代换中，可以与分子分母同时进行代换，进一步换繁为简，简言之，只有因子才可以进行等价无穷小量替换。

对无穷小量的探索的过程是从补素直观的认识，到潜无穷、实无穷，非标准分析再到今天的理论，都是认识无穷小量的不同层次，也符合人们对物质世界实践、认识、再实践、再认识的辩证法，由于矛盾是不断解决又不断出现得循环过程中，正是这种不断循环的过程推动数学的发展。

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