2019-2020学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题(解析版)

江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知集合{1,0,1}A =-，{
}
2
|10B x x =-=，则A B =I （ ） A ．{1} B ．{1,0}
C ．{1,1}-
D ．{1,0,1}-
【答案】C
【解析】由一元二次方程求得集合B ，再根据集合的交集运算可得选项. 【详解】
由{}
2
|10B x x =-=得{}11B =-，，所以A B =I {1,1}-，
故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．函数()f x x
=的定义域为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[)1,0-
C ．()
0,+?
D ．[1,0)(0,)-+∞U
【答案】D
【解析】由10x +≥且0x ≠，解不等式即可得到所求定义域. 【详解】
解：由10x +≥且0x ≠，可得1x ≥-且0x ≠， 即有定义域为[1,0)(0,)-+∞U ， 故选：D. 【点睛】
本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式和分式的含义，属于基础题.
3．已知函数2,0
()21,0
x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩，则((1))f f -=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．
12
【答案】B
【解析】先求出1(1)2f -=,再求1[(1)]2f f f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
,由此可得出选项. 【详解】 因为函数
2,0()21,0
x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩, 1
1(1)22f -∴-==, 11[(1)]2+1022f f f ⎛⎫-==-⨯= ⎪⎝⎭，
故选：B. 【点睛】
本题考查分段函数求值，关键在于将自变代入相应范围的解析式中计算，属于基础题. 4．已知()(0,1)x f x a a a =>≠，且(1)(3)f f <，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1)
C ．(2,)+∞
D ．
(0,1)(1,)⋃+∞ 【答案】A
【解析】利用指数函数的单调性,可得选项. 【详解】
因为13<， (1)(3)f f <，所以>1a ， 故选：A. 【点睛】
本题考查了指数函数的单调性，属于基础题目. 5．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A ．
B ．y =
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】 函数
，
在区间 上单调递减，
函数 在区间
上单调递增，故选A .
【点睛】
本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
6．设2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ． a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
【答案】B
【解析】根据指数函数,对数函数的单调性得出a ,b ,c 的范围，即可得出a ,b ,c 的大小关系 【详解】
2log y x =Q 在()0∞，+上是增函数, 22log 0.3log 10a ∴=<=,
2x y =Q 是增函数,0.30221b ∴=>=,
又20.30.0901c c ==∴<<，
b c a ∴>>,
故选：B. 【点睛】
本题考查幂，指，对比较大小，关键在于运用指数函数，对数函数的单调性，得出值的符号和与1的大小关系，属于基础题. 7．求值：2
3
113
3
27log 27log 9+-=（ ）
A ．4
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】B
【解析】根据指数的运算性质和对数的运算性质，直接运算可得答案． 【详解】
()()1122
3
323
3
11333
23
27log 27log 93log 3log 332=38--⎡⎤+-=+-=---⎣⎦
,
故选：B. 【点睛】
本题考查的知识点是指数的运算性质和对数的运算性质，难度不大，属于基础题． 8．幂函数f （x ）的图象经过点A （4，2），B （8，m ），则m =（ ）
A ．4
B ．
C ．2
D
【答案】B
【解析】设出幂函数的解析式，把点A 的坐标代入解析式求出幂指数，然后直接求解f （8）的值． 【详解】
因为函数f （x ）为幂函数，设f （x ）＝x α． 由函数f （x ）的图象经过点A （4，2）， 所以4α＝2，得α1
2
= 所以f （x ）x =
，
故f （8）8==m ＝22， 故选B ． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义，考查了函数值的求法，是基础题．
9．在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>，()log a g x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据对数函数和幂函数的特征可得选项. 【详解】
A 项，因为A 中并没有幂函数图象，故A 项错误；
B 项，()a f x x =（0x ≥）中1a >，()log a g x x =（0x >）中01a <<，不符合，故B 项错误。

C 项，()a f x x =（0x ≥）中01a <<，()log a g x x =（0x >）中1a >，不符合，
故C 项错误。

D 项，()a f x x =（0x ≥）中01a <<，()log a g x x =（0x >）中01a <<，符合，故D 项正确。

故选：D. 【点睛】
本题主要考查幂函数与对数函数的图象，属于基础题.
10．如果0x 是函数()43x f x x =+-的零点，且0(,1)x k k ∈+，k Z ∈，那么k 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2
【答案】B
【解析】根据函数()43x
f x x =+-的零点就是方程430x x +-=的解，将问题转化为函数图象的交点的范围得以解决，分别画出相应的函数的图象，验证两个函数图象交点的横坐标所在的区间即可得到结果． 【详解】
因为0x 是函数()43x
f x x =+-的零点，所以0x 是方程430x x +-=的根，即
0043x x =-，
做出4,3x
y y x ==-两个函数的图象如下图所示，
又因为当0
4,300,13,3>1y y x =-====，当1
4,311,42,4>2y y x =-====，所以001x <<，所以0k =， 故选：B.
【点睛】
本题考查函数的零点所在区间，关键在于将函数的零点转化为方程的根，运用数形结合的思想，属于中档题.
11．已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()23f x g x x +=+，则(1)g =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A
【解析】根据题意可得()()23f x g x x =--++,由此求出()g x 的值,可得(1)g 的值. 【详解】
()f x Q 为奇函数,()g x 为偶函数,且()()23f x g x x +=+, ()()23f x g x x ∴-+-=-+,即()()23f x g x x =--++,
()()2+3+2+3()32
x x g x -∴=
=,则(1)3g =,
故选：A. 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求得函数的解析式，关键在于运用函数的奇偶性，将x 换成
x -，建立方程组求解，属于基础题.
12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()-0∞，
上单调递增.若实数m 满足()
|1|3(m f f +>，则m 的取值范围是（ ）
A ．31,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U B ．13,,22U ⎛
⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．31,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，建立不等式，求解之，可得选项. 【详解】
因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(f f ，
又因为函数()f x 在区间()-0∞，
上单调递增，所以函数()f x 在区间()0∞，+上单调递减，
又|1|30m +>，所以不等式(
)|1|
3
(m f f +>等价于|1|3m +<1
|1|233m +<，所以
1
+12m <
，解得3122
m -<<-， 所以m 的取值范围是31,22⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的的单调性和奇偶性，以及利用单调性函数求解不等式，属于中档题，
利用单调性函数解不等式应注意以下三点: (1)一定注意函数的定义城(这一点是同学们容易疏忽的地方,不能掉以轻心) ; (2 )注意应用函数的奇偶性(往往需要先证明是奇函数还是偶函数) ; (3)化成()()12f x f x <之类的关系后再利用单调性和定义域列不等式组.
二、填空题
13．设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N =，则实数m 的值是________. 【答案】0；
【解析】根据集合相等，即两集合中元素对应相等可得+22
2m m m =⎧⎨=⎩
，求解可得到m 的值.
【详解】
因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N =，所以+22
2m m m
=⎧⎨=⎩，解得0m =，
故答案为：0. 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 14．设()f x 是奇函数，且当0x <时，()1f x x =-，则当0x >时，()=f x _______ 【答案】1x +；
【解析】根据()f x 是奇函数，可得()()f x f x =--，再0x>时,0x -<,代入可得解析式. 【详解】
∵()f x 是奇函数，且当0x <时，()1f x x =-，∴令0x>,则0x -<, 所以()()(1)1f x f x x x =--=---=+， 故0x>时，()1f x x =+. 故答案为：1x +. 【点睛】
本题考查由函数的奇偶性求对称区间上的解析式，属于基础题.
15．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务.如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点
横坐标为10，B 点坐标为15,0（），
C 点横坐标为105.则甲每分钟加工的数量是_______，点
D 的坐标是_______.
【答案】6 ()150,0
【解析】由图形可以知道:甲因故障停止加工5分钟,甲100分钟,加工600个零件,可计算甲和乙加工的速度,从而得(105,180)C ,利用待定系数法求线段BC 对应的函数关系式,注意要加x 的取值,根据乙的时间可得点D 的坐标; 【详解】
由图形可以知道:甲因故障停止加工15105-=分钟后又继续按原速加工, 甲105分钟时,完成任务,即甲100分钟,加工600个零件, 甲加工的速度:600
6100
=, 设乙每分钟加工a 个零件,
15106a =⨯, 4a =, 6001054600420180-⨯=-=, (105,180)C ∴,
设BC 的解析式为:y kx b =+, 把(15,0)B 和(105,180)C 代入得:150
105180
k b k b +=⎧⎨
+=⎩, 解得
2
30k b =⎧⎨
=-⎩
, 所以线段BC 对应的函数关系式为:230(15105)y x x =-≤≤, 600
1504
=, (150,0)D ∴; 故答案为： 6 ； ()150,0. 【点睛】
本题考查函数的实际应用问题，关键在于明确实际生活的数据在数学的函数的意义，属
于中档题.
16．已知函数2
1
,1()(1),1
x x f x x x ⎧-≤=⎨
->⎩，函数()(1)g x f x m =--，其中m R ∈，若函数
()()y f x g x =+恰有4个零点，则m 的取值范围是________.
【答案】
3
14
m <<. 【解析】根据分段函数得出函数()f x 和()1f x -的解析式，构造函数
()()(1)h x f x f x =+-,作出函数()h x 的图象,利用数形结合可得出参数的范围.
【详解】
因为21,0()1,01(1),1x x f x x x x x +<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，所以2,01(1)2,1,0x x f x x x x x ≤≤⎧⎪
-=->⎨⎪<⎩
，
因为()(1)g x f x m =--，()()y f x g x =+，所以()(1)y f x f x m =+--，
令()()(1)h x f x f x =+-，所以()221,0
()(1)1,01
33,1x x x h x f x f x x x x x ⎧++<⎪
=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩
，做出()h x 的图象如下图所示：
要使函数()()y f x g x =+恰有4个零点，则m 的取值范围是
3
14
m <<.
【点睛】
本题考查分段函数的相关问题和函数的零点问题，关键在于得出分段函数的解析式，运用数形结合的思想，求得参数的范围，属于难度题.
三、解答题
17．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；
（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析
【解析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式;
（2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性. 【详解】
（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即
log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;
（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,
由20
20x x +>⎧⎨
->⎩
,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=， 所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数. 【点睛】
本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.
18．已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =≥，函数1()(20)2x
g x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭
的值
域为集合B ， （1）求A B I ；
（2）已知[1,72]C a a =--，若C B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[2,4)A B =I （2）82,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【解析】（1）由对数不等式的求解和指数函数的值域先求得集合A ，B ，再由集合的交集运算可求得A B I ；
（2）由C B ⊆，建立关于a 的不等式（组），解之可得a 的取值范围. 【详解】
（1）由{}2|log 1A x x =≥，得{}22|log log ,[22)A x x =≥=+∞，
又20x -<<时，2
0111=41=222x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭<⎝，所以(1,4)B =，所以[2,4)A B =I （2）∵C B ⊆，1721>1724
a a a a -<-⎧⎪-⎨⎪-<⎩
，解得8
23a <<，
∴a 的取值范围为82,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查对数不等式的求解，指数函数的值域，集合的交集运算，以及由两集合的子集关系求得参数的范围，属于基础题.
19．已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，对称轴为直线2x =，且(0)1f =. （1）若函数()f x 的最小值为-1，求()f x 的解析式；
（2）函数()f x 的最小值记为()g a ，求函数()()H a a g a =⋅的最大值. 【答案】（1）21()212
f x x x =
-+（2）116
【解析】（1）由二次函数的对称轴和已知点的函数值，以及二次函数的最小值，代入可得,,a b c 的值，从而求得二次函数的解析式；
（2）由（1）对二次函数配方22
()41(2)14f x ax ax a x a =-+=-+-，可得最小值，
从而得出()H a 的解析式，再对二次函数配方，由二次函数的开口方向，可得最大值. 【详解】
（1）因为()f x 对称轴为直线2x =，所以22b
a
-=，则4b a =-. 又(0)1f =，所以1c =.
∴22()41(2)14f x ax ax a x a =-+=-+-
因为0a >，所以当2a =时()f x 有最小值141a -=-，所以12
a = 所以2
1()212
f x x x =
-+； （2）由（1）知22
()41(2)14f x ax ax a x a =-+=-+-.
∴()(2)14g a f a ==-.
∴2
11()(14)4816H a a a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝
⎭，(0,)a ∈+∞ ∴()H a 的最大值为116
. 【点睛】
本题考查由二次函数的对称轴，特殊点的函数值，最小值，运用待定系数法求二次函数的解析式，以及运用配方法求二次函数的最值，属于基础题.
20．某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入.计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元在对市场进行调研时发现甲项目
的收益1y 与投入x （单位：万元）满足120,2036
50,3660
x y x ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，乙项目的收益2
y 与投入x （单位：万元）满足21
202
y x =
+. （1）当甲项日的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益； （2）问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？
【答案】（1）92.5万元（2）甲、乙两个项日分别投入25万元、55万元时，总收益最大.
【解析】（1）当甲投入25万元时，将投入的资金代入相应的解析式中，可求得两个项目的总收益；
（2）设甲投入x 万元，则乙投入()80x -万元，根据范围求得总收益的函数解析式，再分段求得函数的最大值，比较后可得答案. 【详解】
（1）当甲投入25万元，则乙投入55万元，甲、乙两个项目的总收益为
1
20)552092.52⎛⎫
+⨯+= ⎪⎝⎭
，
所以甲、乙两个项日的总收益为92.5万元.
（2）设甲投入x 万元，则乙投入()80x -万元，由20
8020
x x ≥⎧⎨
-≥⎩，解得2060x ≤≤，
甲项目的收益为120,2036
50,3660
x y x ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，乙项目的收益为
211
(80)206022
y x x =
-+=-，
所以甲、乙两个项目的总收益为180,20362
()1110,36602x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩
，
当2036x ≤<
，21
()5)92.52
f x =-+，∴
5=，即25x =，()f x 的最大值为92.5.
当3660x ≤≤，1
()1102
f x x =-
递减，∴当36x =，()f x 的最大值为92， 综上，当25x =，()f x 的最大值为92.5，
所以甲、乙两个项日分别投入25万元、55万元时，总收益最大. 【点睛】
本题考查函数的实际应用，关键在于将生活中的数据转化为建立的函数中的数据，明确其实际的意义，属于基础题.
21．设函数()(1)(0,1)x x f x a k a a a -=+->≠是定义域为R 的奇函数. （1）求实数k 的值；
（2）若(1)0f >，试判断函数()f x 的单调性，并求不等式()
2
(24)0
f x x f x -+-->的解集； （3）若3(1)2
f =，设22()2()x x
g x a a mf x -=+-，()g x 在[0,1]上的最小值为-1，求实数m 的值.
【答案】（1）0k =（2）()f x 为R 上的增函数. ()()14-∞-+∞U ，
，.（3）7
4
【解析】（1）根据函数()(1)(0,1)x
x
f x a k a a a -=+->≠是定义域为R 的奇函数，得
(0)0f =，求得k ，再验证可得值；
（2）由1
(1)0f a a -=->，解得a 的范围，再根据单调性的定义可证得函数()f x 的单
调性，根据函数的奇偶性可将不等式变形为(
)
2
(24)f x x f x ->+，再由函数的单调性可解得不等式的解集；
（3）由3(1)2
f =
可求得2a =，从而得出2
()()2()2g x f x mf x =-+，再由函数()f x
的值域，讨论二次函数22222()2y t mt t m m =-+=-+-的对称轴与区间的关系得出最小值，可求得参数的值. 【详解】
（1）因为函数()(1)(0,1)x x
f x a k a a a -=+->≠是定义域为R 的奇函数，所以
(0)0f =，即1(1)0k +-=，得0k =.
当0k =时，()x
x
f x a a -=-，()()x
x f x a
a f x --=-=-，符合题意.
所以0k =.
（2）由（1）知()x x
f x a a -=-，1(1)0f a a -=->，解得1a >
设1x ，2x 是任意两个实数，且12x x <， 则()()(
)()()()
11
2
2122112x
x x x x x x x f x f x a a
a
a a a a a -----=---=-+-
因为1a >，12x x <，21x x -<-，所以12x x a a <，21x x a a --< 所以()()()()
12
2
1120x
x x x f x f x a a
a
a ---=-+-<，即()()12f x f x <，所以()f x 为
R 上的增函数.
因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(24)(24)f x f x --=-+， 不等式(
)
2
(24)0f x x f x -+-->同解于(
)
2
(24)f x x f x ->+.
因为()f x 为R 上的增函数，所以224x x x ->+，即2340x x -->，解得1x <-或
4x >，
所以不等式()
2
(24)0f x x f x -+-->的解集为()()14-∞-+∞U ，
，. （3）由3(1)2f =
得132
a a --=，解得2a =.所以()22x x
f x -=-， ()
2
222()2()22()()2()2x x x x
g x a a mf x a a mf x f x mf x --=+-=-+-=-+
由（2）知()22x x
f x -=-是单调递增函数，因为[0.1]x ∈，所以3()0,2
f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
令()t f x =，则222
22()2y t mt t m m =-+=-+-，30,2
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
当0m ≤时，函数2
22y t mt =-+在30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增，min 2y =不合题意；
当32m ≥
时，函数2
22y t mt =-+在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，min 17314y m =
-=-，解得74
m =
； 当302m <<
时，函数2
22y t mt =-+在[0,]m 上单调递减，在3,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，2
min 21y m =-+=-，得m =，
综上可得，实数m 的值为7
4
. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，根据函数的单调性求解抽象不等式，以及指数函数的值域和二次函数的最值，关键在于熟练掌握函数的基本性质，整体换元，简化函数的表达式，属于难度题. 22．已知集合()()12121
()|
22x x A f x f x f x f ⎧⎫
+⎛⎫⎡⎤=+<⎨⎬ ⎪⎣
⎦⎝⎭⎩
⎭
，其中1x ，2x 是函数()f x 定义城内任意不相等的两个实数.
（1）若()f x A ∈，同时()g x A ∈，求证：()()f x g x A +∈； （2）判断()2x f x =是否在集合A 中，并说明理由；
（3）设函数()f x 的定义域为B ，函数()f x 的值域为C .函数()f x 满足以下3个条件： ①()f x A ∈，②B C =，③(2)1f <.试确定一个满足以上3个条件的函数()f x 要对满足的条件进行说明）.
【答案】（1）见解析（2）()2x f x =不在集合A 中，见解析（3）见解析
【解析】（1）设()()()h x f x g x =+，1x ，2x 是函数()h x 定义域内任意不相等的两个实数.
根据集合A 的定义，可验证得()()12
12122x x h x h x h +⎛⎫
⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
，可得证；
（2）()2x f x =的定义域为R .取10x =，21x =，验证得
()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，可得结论；
（3）可取函数2
()1f x x =-，(0,1)B =；或()f x =
，(0,)B =+∞函数，分别验证三个条件可以满足，得出结论. 【详解】
（1）设()()()h x f x g x =+，1x ，2x 是函数()h x 定义域内任意不相等的两个实数. 因为()f x A ∈，所以
()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
①，同理()()1212122x x g x f x g +⎛⎫
⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
②，①+②，得 ()()()()12121212112222x x x x f x f x g x g x f g ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++<+ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭，即()()()()()121211221()222x x x x f x g x f x g x f g ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++<+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 即()()1212122x x h x h x h +⎛⎫
⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
， 所以()h x A ∈，即()()f x g x A +∈
（2）()2x f x =的定义域为R .取10x =，21x =，
则()()12113
(12)222
f x f x ⎡⎤+=+=⎣⎦
，12011222x x
f f f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为
32>()()1212122x x f x f x f +⎛⎫
+>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
， 所以()2x f x =不在集合A 中;
（3）2
()1f x x =-，(0,1)B =；
①设1x ，2x 是(0,1)内任意不相等的两个实数，
()()()
22121211122
f x f x x x ⎡⎤+=-++⎣⎦，22
1211222124x x x x x x f +++⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
()()()2
1212121
0224x x x x f x f x f --+⎛⎫⎡⎤+-=
< ⎪⎣
⎦⎝⎭
所以
()()1212122x x f x f x f +⎛⎫
+<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，所以()f x A ∈，
②()01B C ==，，
③(2)31f =-<
另外还有函数()f x =，
(0,)
B =+∞. 【点睛】
本题考查集合的新定义，以及运用函数的性质验证集合的定义是否成立，解决的关键在于紧扣集合的新定义，结合函数的性质，逐一验证，属于创新题,难度题.。