2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)

| | cos < , >= = = .
8. 菱形 [ 解析 ] 由四边形 ABCD满足 + =0 知, 四边形 ABCD为平行四边形 , 又 ( - ) · =0, 即
· =0, 可知该平行四边形的对角线互相垂直 , 故该四边形一定是菱形 .
【课堂考点探究】
例 1 [ 思路点拨 ] (1) 利用向量的数量积公式建立关于 x 的方程求解 ;(2) 根据条件以正三角形的边 BC所在
第 26 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
Байду номын сангаас
考试说明 1 . 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .
2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 .
3. 掌握数量积的坐标表达式 , 会进行平面向量数量积的运算 .
4. 能运用数量积表示两个向量的夹角 , 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 .
5. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 .
4λ 2+4(1 - λ) 2 +2λ (1 - λ) · 2=4λ2 - 4λ +4=4 λ - 2+3, 当 λ = 时 , | | 取得最小值 . 例 3 [ 思路点拨 ] (1) 求出 a+b, 然后通过向量的数量积求解即可 ;(2) 先求出 a+b, 再利用向量垂直的条件列 出关于 m的方程求解 ;(3) 由已知可得 < , >=60°, 再求出 · , · , · 的值 , 结合平面向 量的运算法则及 · =0 求得 λ 的值 .
=( - 2,2), · =2.
■ [2017 - 2016] 其他省份类似高考真题
1. [ 2016 ·山东卷 ] 已知非零向量 m, n 满足 4|m|= 3|n| ,cos <m, n>= , 若 n⊥( tm+n), 则实数 t 的值为 ( ) A. 4 B .- 4 C. D .[ 解析 ] B 由 4|m|= 3|n| , 可设 |m|= 3, |n|= 4. 又 ∵ｎ⊥ ( tm+n),cos <m, n>= ,
5. 北偏西 30° [ 解析 ] 如图所示 , 设渡船速度为 , 水流速度为 , 渡船实际垂直过江的速度为
. 依题
意知 =12. 5, | |= 25. ∵ = + , ∴ · = · + . 又 ∵ ⊥ , ∴ · =25×12. 5cos( ∠ BOD9+0°）+12. 52=0, ∴∠ BOD3=0°，∴渡船的航向为北偏西 30° .
最大值是
.
[ 答案 ]
[ 解析 ] 由 | ( a+b) ·e| ≤ |a ·e|+|b ·e| ≤ , 得 |a+b| ≤ , 即 |a| 2+|b| 2+2a·b≤ 6, 所以 a·b≤ , 故 a·b
的最大值为 .
【课前双基巩固】 知识聚焦 1. (1) |a||b| cos θ |a||b| cos θ 0 0· a=0 (2) ①|a| cos θ( |b| cos θ ) ②ｂ在 a 的方向上的投影 |b| cos θ (3) 非零 a⊥ b 2. ①ａ· b=b· a ②λ ( a· b) a· ( λ b) ③ａ·c+b· c
6.- [ 解析 ] 依题意有 a·b+b· c+c· a=1×1×cos 120° +1×1×cos 120° +1× 1×cos 120° = + + =- . 本题在计算时 , 容易把向量夹角取作 60°而致误 .
7.
[ 解析 ] 因为点 C( - 1,0), D(4,5), 所以 =(5,5), 又 =(2,1), 所以向量 在 方向上的投影为
2- y=2
+2
- ≥ - , 当且仅当 x= , y= 时 , 等号成立 , 点
在平面 ABC内部 , 此时
·( + ) 取得最小值 , 最小值为 - .
2. [ 2016 ·全国卷 Ⅱ] 已知向量 a=(1, m), b=(3, - 2), 且 ( a+b) ⊥ b, 则 m= ( ) A.- 8 B.- 6 C. 6 D . 8 [ 解析 ] D a+b=(4, m-2), ∵( a+b) ⊥ b, ∴( a+b) ·b=12- 2( m-2) =0, 解得 m=8.
.
[ 答案 ] 2
[ 解析 ] 因为 |a|=|b|= 1, a·b= , 所以 b·c=b·[ ta+ (1 -t ) b] = t+ 1-t= 0, 所以 t= 2.
8. [ 2013 ·全国卷 Ⅱ] 已知正方形 ABCD的边长为 2, E 为 CD的中点 , 则 · =
.
[ 答案 ] 2
[ 解析 ] 如图 , 建立直角坐标系 , 则 =(1,2),
3. ①|a| cos θ ②ａ· b=0 ③|a||b| -|a||b| |a| 2
④
⑤≤
4.
x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0
对点演练 1.- 6 [ 解析 ] ∵ａ-b=( - 2,2), ∴ａ· ( a-b ) =- 2×1+2×( - 2) =- 6.
2. 60° [ 解析 ] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ . 由 a· b= [0 °,180 °], ∴向量 a 与 b 的夹角为 60° .
· +(1 - λ ) · -| | 2=(1 - λ ) ×4- 2+2(1 - λ) - 4=- 6λ=- 3, 所以 λ = , 故选 A.
(2) 由题意可得 |a-b|=
=
=
=7, ∴ａ· b=- .
例 2 [ 思路点拨 ] (1) 首先利用向量平行的条件求得参数 m的值 , 然后利用模的坐标公式求解 ;(2) 由 | | 2 =( λ +μ ) 2 建立 | | 2 关于 λ 的函数 , 求其最值即可 .
.
[ 答案 ] [ 解析 ] ∵ · =3×2×cos
60° =3, = + , ∴ · =
+
·( λ - ) = ×3+ × 4- ×9- ×3=- 4, 解得 λ = .
4. [ 2017 ·山东卷 ] 已知 e1, e2 是互相垂直的单位向量 , 若 e1-e 2 与 e1+λ e2 的夹角为 60°, 则实数 λ 的值
[ 解析 ] |a+ 2b|=
=
=2 .
6. [ 2016 ·全国卷 Ⅰ] 设向量 a=( m,1), b=(1,2), 且 |a+b| 2=|a| 2+|b| 2, 则 m=
.
[ 答案 ] - 2
[ 解析 ] 由已知条件 , 得 a·b=0, 即 m+2=0, 即 m=-2.
7. [ 2013 ·全国卷 Ⅰ] 已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60°，c=ta+ (1 -t ) b, 若 b· c=0, 则 t=
(1)D (2)D [ 解析 ] (1) ∵ａ∥b, ∴m+6=0, 解得 m=-6, 则
b=(2, - 6), ∴ａ- 2b=( - 3,9), ∴|a - 2b|=
=3 , 故选 D.
(2) | | 2=( λ +μ ) 2=[ λ +(1 - λ ) ] 2=4λ 2+4(1 - λ ) 2+2λ (1 - λ ) · , ∵ · =2, ∴｜ | 2=
∵ = - , = + = + = + , ∴ · =( - ) ·
+ = ×1×1× - + - ×
1×1× = + - - = .
3. [ 2017 ·天津卷 ] 在△ ABC中 , ∠ A=60°，AB=3, AC=2. 若 =2 , =λ - ( λ ∈ R), 且 · =- 4, 则
λ 的值为
(1)C (2)B (3) 故选 C.
[ 解析 ] (1) 向量 a=(2, - 1), b=(1,7), 则 a+b=(3,6) . ∵ａ·( a+b) =6- 6=0, ∴ａ⊥ ( a+b) .
(2) 由题意可得 a+b=(7, m-2), 结合向量垂直的充要条件得 7×2+( m-2) ×( - 2) =0, 解得 m=9. 故选 B.
A. 1 B . 2
C. 3 D . 5 [ 解析 ] A 由已知得 |a+b| 2=10, |a-b| 2=6, 两式相减 , 得 4a·b=4, 所以 a·b=1.
5. [ 2017 ·全国卷 Ⅰ] 已知向量 a, b 的夹角为 60°，|a|= 2, |b|= 1, 则 |a+ 2b|=
.
[ 答案 ] 2
2016 全国卷 Ⅱ3,2013 全国卷 Ⅰ 13
考查热度 ★★★
★★☆ ★☆☆
真题再现 ■ [2017 - 2013] 课标全国真题再现
1. [ 2017 ·全国卷 Ⅱ] 已知△ ABC是边长为 2 的等边三角形 , P 为平面 ABC内一点 , 则 ·( + ) 的最小值
是(
)
A.- 2 B.-
6. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
.
考情分析
考点
平面向量的 数量积
平面向量垂 直的条件 平面向量的 综合应用
考查方向
求向量的数量积、夹角、 模等相关问题
判断垂直、根据垂直求 参数值等 在三角函数、解析几何 中的应用等
考例
2017 全国卷 Ⅰ13,2017 全国卷 Ⅱ 12,2016 全国 卷 Ⅰ13,2016 全国卷 Ⅲ3,2014 全国卷 Ⅰ15,2014 全国卷 Ⅱ3,2013 全国卷 Ⅱ13
∴n· ( tm+n) =0, 即 t ×4× 3× +16=0, 解得 t=- 4.
2. [ 2016 ·天津卷 ] 已知△ ABC是边长为 1 的等边三角形 , 点 D, E 分别是边 AB, BC的中点 , 连接 DE并延长到
点 F, 使得 DE=2EF, 则 · 的值为 (
)
A.- B.
C. D . [ 解析 ] B
直线为 x 轴 , 垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 , 然后写出相关点的坐标 , 确定出向量 后利用向量的数量积公式求解 .
, 的坐标 , 最
(1)3 (2) - [ 解析 ] (1) 因为 a· b=6-x= 3, 所以 x=3.
(2) 由题意建立如图所示的平面直角坐标系 . 因为△ ABC的边长为 1, 所以 A 0, , B - ,0 . 因为 =2 , 所以点 D为 BC的中点 , 则 D(0,0) . 因为 =2 , 所以点 E为 AC的三等分点 , 则 E , , 所以
3. [ 2016 ·全国卷 Ⅲ] 已知向量 = , , = , , 则∠ ABC= ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
[ 解析 ] A cos ∠ ABC= = × + × = , 又∠ ABC∈[0 °,180 °], ∴∠ ABC=30° .
4. [ 2014 ·全国卷 Ⅱ] 设向量 a, b 满足 |a+b|= , |a-b|= , 则 a·b= ( )
是
.
[ 答案 ] [ 解析 ] 由题意不妨取 e1=(1,0), e2=(0,1), 由条件可设 a= e1-e 2=( , - 1), b=e1+λe2=(1, λ ), 所以
cos <a, b>=cos 60° = =
, 所以 - λ =
, 解得 λ = .
5. [ 2016 ·浙江卷 ] 已知向量 a, b, |a|= 1, |b|= 2. 若对任意单位向量 e, 均有 |a · e|+|b · e| ≤ , 则 a· b 的
C.- D.- 1
[ 解析 ] B 建立如图所示的平面直角坐标系 , 则 A(0,0), B(2,0), C(1, ) . 设 P( x, y), 则 ·( + ) =( -x , -y ) · [(2 -x , -y ) +(1 -x , -y )] =( x, y) ·(2 x- 3,2 y- ) =x(2 x- 3) +y(2 y- ) =2x2 - 3x+2y
· = 0, - · , =- × =- .
变式题 (1)A (2) - [ 解析 ] (1) 因为菱形 ABCD的边长为 2, ∠ B= , 所以 · =2×2cos =2, 所以 · =( + ) ·( - ) =( + ) · ( - - ) =( + ) · [( λ - 1) - ] =(1 - λ ) | | 2-
cos θ = × cos θ = , 得 cos θ = , 又 θ ∈
3. 2 [ 解析 ] | 2a-b|=
=
=
=2 .
4.
[ 解析 ] 由单位向量 e1, e2 的夹角为 45°, 得 e1· e2=1×1×cos 45° = . 由 e1⊥ ( λe2-e 1) 可得
e1 ·( λ e2-e 1) =0, 即 λ e1· e2 - =0, 则 λ - 1=0, 解得 λ= .