人教版数学八年级下册《二次根式》巩固练习

16.1二次根式巩固练习（一）
一、单选题
1．下列计算正确的是（）
A．√2+√2=2B．(a3)2=a5
3=−2
C．(π−3.14)0=0D．√−8
2．式子√x−1有意义，则x的取值范围是()
A．x>1B．x<1C．x≥1D．x≤1 3．若√a2+a=0，则a的取值范围是（）
A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤0 4．如果一个三角形的三边长分别为1、k、3，化简7−√4k2−36k+81+|2k−3|结果是（）
A．4k—5B．1C．13D．19—4k 5．计算√(−5)2的结果为（）
A．√5B．±5C．-5D．5 6．若|3−a|+√2+b=0，则a+b的值是（）
A．2B．1C．0D．−1 7．若√x−1+√x+y=0，则x2005+y2005的值为：（）
A．0B．1C．-1D．2 8．如果√−53−x是二次根式，那么x 应适合的条件是（）
A．x ≥3B．x ≤3C．x ＞3D．x ＜3 9．计算√(−11)2+|-11|- √112，正确的结果是（）
A．-11B．11C．22D．-22 10．已知是正整数，则实数n的最大值为（）
A．12B．11C．8D．3
二、填空题
11．若y=√x2−4+√4−x2+3，则√(x−y)2＝.
12．若√x−1+(y+2)2=0，则(x+y)2017= .
13．观察下列各式：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，┉┉ 请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是.
14．如果（x﹣√x2−2008）（y﹣√y2−2008）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣
2007=．
15．已知，y=√(x−3)2+4−x，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值
的总和是 .
三、解答题
16．已知 y =
√|x|−3+√3−|x|+12
x−3
，求 x 2y 的值．
17．若 x ， y 为实数，且 x =√y 2−1+√
1−y 2+y y+1
，求 x −3+y 的值.
18．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以 OA ，OC 所在直线为x 轴，y
轴建立平面直角坐标系，点 A(0，a)，C(c ，0) 满足 √a −2c +|c −4|=0 （1）则 C 点的坐标为 ； A 点的坐标为 . （2）直角三角形 AOC 的面积为 .
（3）已知坐标轴上有两动点 P 、Q 同时出发， P 点从 C 点出发沿 x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动， Q 点从 O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿 y 轴正方向移动，点 Q 到达 A 点整个运动随之结束． AC 的中点 D 的坐标是 (2，4) ，设运动时间为t （t ＞0）秒，问：是否存在这样的t 使 S △ODP =S △ODQ ？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.
四、综合题
19．比较大小，并说理：
．（1）√35与6；（2）−√5+1与−√2
2
20．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如√m±2√n的化简，我们只要找到两个数a，b，使a+b=m，ab=n，即(√a)2+(√b)2=m，√a⋅√b=√n，那么便有：
√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b(a>b>0).
例如化简：√7+4√3
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，
这里m=7，n=12，
由于4+3=7，4×3=12，
所以(√4)2+(√3)2=7，√4×√3=√12，
所以√7+4√3=√7+2√12=√(√4+√3)2=2+√3
（1）根据上述方法化简：√4+2√3
（2）根据上述方法化简：√13−2√42
（3）根据上述方法化简：√4−√15
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(a，0)，(b，0)，且a，b满足a=√b−3+√3−b−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD.
（1）求点C，D的坐标和四边形ABDC的面积S面积ABDC.
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使SΔPAB=S四边形ABDC，若存在这样一
点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由.
（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①∠DCP+∠BOP ∠CPO
的值不变，②∠DCP+∠CPO ∠BOP
的值不变，其中有且只有
一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.
22．阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如： √(√1)2+(√2)2−2×√1×√2=√(√1−√2)2=|√1−√2|=
√2−1
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到.
如： x 2+2√2x +3=x 2+2·√2·x +(√2)2+1=(x +√2)2
+1 ∵(x +√2)2≥0 ，∴(x +√2)2
+1≥1 ，即 x 2+2√2x +3≥1
∴x 2+2√2x +3 的最小值为 1
阅读上述材料解决下面问题：
（1）√4−2√3=，√5+2√6=；
（2）求x2+4√3x+11的最值；
（3）已知x=√3−√13−4√3，求−14(4+2√3)x2y2+(√3+1)xy−5的最值.
23．已知在平面直角坐标系中，点A(a，b)满足12√a−3+(2−b)2=0，AB⊥x轴垂足为B．
（1）点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）如图1，若点M在坐标轴上，连接MA，使S△ABM=2S△ABO，求出点M的坐标；
（3）如图2，P是线段AB所在直线上一动点，连接OP，N为y轴负半轴上一点，OE平分∠PON，交直线AB于点E，作OF⊥OE，当点P在直线AB上运动过程中，请探究∠OPE与
∠FOP的数量关系，并证明．
答案解析
1．【答案】D
【解析】解：A. √2+√2=2√2，故本选项错误；
B. (a3)2=a3×2=a6，故本选项错误；
C. (π−3.14)0=1，故本选项错误；
D. √−8
3=−2，故本选项正确.
故答案为：D.
2．【答案】C
【解析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x-1≥0，通过解该不等式即可求得x 的取值范围．
【解答】根据题意，得x-1≥0，
解得，x≥1．
故选C．
3．【答案】D
【解析】解：已知等式变形得：√a2=|a|=﹣a，
∴a≤0，
故选D．
4．【答案】A
【解析】因为三角形三边长分别为1、k、3，所以3－1<k<3＋1，即2<k<4，所以原式=7－√(2k−9)2+｜2k-3|=7-(9-2k)+2k-3=4k-5，故答案为：A．
5．【答案】D
【解析】解：√(−5)2=5.
故答案为：D.
6．【答案】B
【解析】解：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1.
故答案为：B.
7．【答案】A
【解析】由√x−1+√x+y=0，得x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以x2005+y2005 =12005+(−1)2005=1-1=0，故选A．
8．【答案】C
【解析】因为原式是二次根式，所以−
5
3−x
≥0，3－xǂ0，所以3－x<0，所以x>3，故选
C．9．【答案】B
【解析】原式=11+11-11=11，故选B ． 10．【答案】B
【解析】解答：由题意是正整数所以
>0，且n 为整数，所以12－n>0，所以
n<12，所以n 最大取11，故选B
11．【答案】1或5或1
【解析】解：依题意可得 {
x 2−4≥04−x 2≥0
∴x=2或x=-2， 故y=3
∴√(x −y)2 = √(2−3)2=1 ； 或 √(x −y)2 = √(−2−3)2=5. 故答案为：1或5.
12．【答案】-1
【解析】由题意得，x-1=0，y+2=0，
解得x=1，y=-2，
所以(x+y)2017=(1-2)2017=-1． 故答案为：-1．
13．【答案】√n +1n+2=(n +1)√1n+2
【解析】观察可得 √1+11+2=(1+1)√11+2 ； √2+12+2=(2+1)√12+2
；
√3+13+2=(3+1)√13+2 ；…由此可得规律，用含自然数n （n≥1）的等式表示出来是
√n +1n+2=(n +1)√1n+2 ． 14．【答案】1
【解析】解：设a= √x 2−2008 ，b= √y 2−2008 ，则x 2﹣a 2=y 2﹣b 2=2008，
∴（x+a ）（x ﹣a ）=（y+b ）（y ﹣b ）=2008① ∵（x ﹣a ）（y ﹣b ）=2008② ∴由①②得 x+a=y ﹣b ，x ﹣a=y+b ∴x=y ，a+b=0，
∴√x 2−2008 + √y 2−2008 =0， ∴x 2=y 2=2008，
∴3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x ﹣y ）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1
15．【答案】2027
【解析】解：由二次函数的性质，则
y=√(x−3)2+4−x=|x−3|+4−x，
当x≤3时，y=−(x−3)+4−x=−2x+7；当x>3时，y=(x−3)+4−x=1；
∴对应的y值的总和是：
5+3+1+⋯+1 = 8+1×2019
= 2027；
故答案为：2027.
16．【答案】解：∵y=√|x|−3+√3−|x|+12
x−3
，
∴{|x|−3≥0 3−|x|≥0 x−3≠0
∴|x|=3且x≠3,
∴x=−3,
∴y=0+0+12
−3−3=−2,
∴x2y=(−3)2×(−2)=−18. 17．【答案】解：由题意得，y2-1≥0且1-y2≥0，
所以，y2≥1且y2≤1，
所以，y2=1
所以，y=±1，
又∵y+1≠0，
∴y≠-1，
所以，y=1,
所以，x=
1
1+1=
1
2,
∴x−3+y=(12)−3+1=9
18．【答案】
（1）∵√a−2c+|c﹣4|=0，∴c﹣4=0，a﹣2c=0，解得：c=4，a=8，∴C（4，0），A（0，8）．
故答案为（4，0），（0，8）；
（2）直角三角形AOC的面积= 1
2
AO×OC= 1
2
×8×4=16；
（3）解：存在．由条件可知P点从C点运动到O点的时间为4秒，Q点从O点运动到A
点的时间为4秒，
∴当0＜t≤4时，点Q在线段AO上，点P在线段OC上，
由题意可得：CP=t，OP=4-t，OQ=2t，AQ=8-2t，D（2，4），SΔDOP=12OP⋅y
D
=12（4−t）×4=8−2t，SΔDOQ=12OQ⋅x=12×2t×2=2t．
∵S┉ODP=S┉ODQ，∴8﹣2t=2t，∴解得：t=2．
19．【答案】（1）解：因为6= √36，√35<√36，
所以√35<6.
（2）解：因为−√5+1−(−√2
2
)
= −2√5+2+√2
2
= (−√5+2)+(−√5+√2)
2
＜0，
所以−√5+1<−√2
2
.
20．【答案】（1）解：∵√4+2√3，
∴m=4，n=3，
∵3+1=4，3×1=3，
∴(√3)2+(√1)2=4，√3×√1=√3，
∴√4+2√3=√(√3)2+(√1)2+2×√3×√1=√(√3+√1)2=√3+1；
（2）解：∵√13−2√42，
∴m=13，n=42，
∵7+6=13，7×6=42，
∴(√7)2+(√6)2=13，√7×√6=√42，
∴√13−2√42√(√7)2+(√6)2−2×√7×√6=√(√7−√6)2=√7−√6.
（3）解：∵√4−√15=√1
2(8−2√15)=√2
2
√8−2√15，
∴m=8，n=15，
∵3+5=8，3×5=15，
∴(√3)2+(√5)2
=8，√3×√5=√15，
∴√4−√15=√12((√3)2+(√5)2−2×√3×√5)=√22√(√5−√3)2=√102−√62
. 21．【答案】（1）解：∵a =√b −3+√3−b −1 ∴b ＝3，a ＝−1，
∴点A （−1，0），点B （3，0），
∵将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，
∴点C （0，2），点D （4，2）；
∴AB =4，OC =2
∴S 面积ABDC =AB ×OC =4×2=8
（2）解：存在，点P （0，4）或（0，−4）；理由如下，
∵点A （−1，0），点B （3，0），点C （0，2），
∴AB ＝4，OC ＝2，
∴四边形ABDC 的面积＝2×4＝8，
设点P （0，y ），
∵┉ABP 的面积与四边形ABDC 的面积相等，
∴12
×4×|y|＝8， ∴y ＝±4，
∴点P （0，4）或（0，−4）；
（3）解：∠DCP+∠BOP ∠CPO
＝1，比值不变. 理由如下：由平移的性质可得AB┉CD ，
如图，过点P 作PE┉AB ，则PE┉CD ，
∴┉DCP ＝┉CPE ，┉BOP ＝┉OPE ，
∴┉CPO ＝┉CPE ＋┉OPE ＝┉DCP ＋┉BOP ，
∴∠DCP+∠BOP ∠CPO
＝1，比值不变. 故①正确，②错误
22．【答案】解：
（1）√4−2√3=√(√3−1)2=|√3−1|=√3−1，√5+2√6=√(√3+√2)2=|√3+√2|=√3+√2；
故答案为：√3−1，√3+√2；
（2）∵x2+4√3x+11= x2+4√3x+12−1= (x+2√3)2−1≥-1
∴x2+4√3x+11的最小值为- 1；
（3）∵x=√3−√13−4√3= √3−√(2√3−1)2=√3−(2√3−1)=√4−2√3=√3−1
∴−1
4
(4+2√3)x2y2+(√3+1)xy−5
= −1
4
(4+2√3)(4−2√3)y2+(√3+1)(√3−1)y−5 = −y2+2y−5
= −(y−1)2−4≤-4
故−1
4
(4+2√3)x2y2+(√3+1)xy−5的最大值为-4.
23．【答案】（1）∵1
2√a−3+(2−b)
2=0，
∴√a−3=0，(2−b)2=0
∴a−3=0，2−b=0，∴a=3，b=2，
∴点A(3，2)，
∵AB⊥x轴，∴OB=3，∴B(3，0)；
故答案为：(3，2)，(3，0)；
（2）解：若点M在x轴上时，设M(m，0)
∵OB=3，AB=2
∴S△ABM=2S△ABO=12×2|m−3|=2×12×3×2=6解得，m=9或m=−3
∴M(9，0)或(−3，0)
若点M在y轴上时不成立
（3）解：∠OPE=2∠FOP
∵OE平分∠PON
∴∠POE=∠NOE
∵AB∥y轴
∴∠OPE+∠NOP=180°，即∠OPE=180°−2∠POE ∵OF⊥OE
∴∠FOE=90°
∴∠FOP=90°−∠POE ∴∠OPE=2∠FOP。