浙江省舟山中学高一上学期期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）
2．函数y=lg（4﹣2x）的定义域是（）
A．（2，4） B．（2，+∞）C．（0，2） D．（﹣∞，2）
3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）
A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x
4．下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（）
A．y= B．y=
C．y=log a a x D．y=a（a＞0且a≠1）
5．若a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b为（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
6．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（）A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4}
8．若函数的图象经过（）可以得到函数的图象．
A．向右平移2个单位，向上平移个单位
B．向左平移2个单位，向上平移个单位
C．向右平移2个单位，向下平移个单位
D．向左平移2个单位，向下平移个单位
9．已知函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）
A．[0，1] B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
10．设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）
A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜b
C．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11．27+16﹣（）﹣2﹣（）= ．
12．已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则实数a= ．13．函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．
14．设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为．
15．函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）= ．
16．已知函数f（x）=﹣m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为．
17．设偶函数f（x）满足：f（1）=2，且当时xy≠0时，，则f（﹣5）= ．
三、解答题：本大题共5小题，满分59分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或或x≥3}．
（1）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．
19．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求证：f（8）=3．
（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．
20．已知函数f（x）=4x﹣2•2x+1﹣6，其中x∈[0，3]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范围．
21．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．
22．已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项
【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x|1＜x＜4}，
∴A∩（∁R B）=（3，4）
故选B
【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键
2．函数y=lg（4﹣2x）的定义域是（）
A．（2，4） B．（2，+∞）C．（0，2） D．（﹣∞，2）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数思想；函数的性质及应用；不等式．
【分析】根据负数和0没有对数，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由函数y=lg（4﹣2x），得到4﹣2x＞0，即2x＜4=22，
解得：x＜2，
则函数的定义域是（﹣∞，2），
故选：D．
【点评】此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握对数及指数函数的性质是解本题的关键．
3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）
A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题．
【分析】A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增
【解答】解：A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误
B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误C：y=3x不是奇函数，故C错误
D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=﹣的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．
4．下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（）
A．y= B．y=
C．y=log a a x D．y=a（a＞0且a≠1）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】本题可以根据选项中函数的定义域、值域、解析式等方面来判断它们与原函数是否为同一个函数，得到本题结论．
【解答】解：选项A中，y≥0，与原函数y=x的值域R不符；
选项B中，x≠0，与原函数y=x的定义域R不符；
选项C，y=log a a x=x，与原函数y=x一致；
选项D，x≥0，与原函数y=x的定义域不符；
故选C．
【点评】本题考查了函数的定义，本题难度不大，属于基础题．
5．若a、b为实数，集合M={，1}，N={a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b为（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】映射．
【专题】计算题．
【分析】由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只
有2个元素，故 M=N，故有=0 且 a=1，由此求得a和b的值，即可得到a+b 的值．
【解答】解：由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，而M和N中都只有2个元素，故 M=N，
∴=0 且 a=1．
∴b=0，a=1，∴a+b=1+0=1．
故选B．
【点评】本题主要考查映射的定义，判断 M=N，是解题的关键，属于基础题．
6．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】不等式比较大小．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，
∴a＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1，
可得 a＞b＞c，
故选A．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
7．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（）A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．【解答】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
【点评】本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．
8．若函数的图象经过（）可以得到函数的图象．
A．向右平移2个单位，向上平移个单位
B．向左平移2个单位，向上平移个单位
C．向右平移2个单位，向下平移个单位
D．向左平移2个单位，向下平移个单位
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把已知函数变形为==，利用“左加右减，上加下减”的变换法则即可得出．
【解答】解：∵函数==，
∴把函数向右平移2个单位，向下平移个单位即可得到函数的图象．
故选C．
【点评】本题考查了函数的“左加右减，上加下减”的平移变换法则，属于基础题．
9．已知函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）
A．[0，1] B．（0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【考点】二次函数的图象．
【专题】常规题型；计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．
【解答】解：由题意可知：
当m=0时，由f（x）=0 知，﹣3x+1=0，∴＞0，符合题意；
当 m＞0时，由f（0）=1可知：，解得0＜m≤1；
当m＜0时，由f（0）=1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点
综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题提转化的能力．值得同学们体会和反思．
10．设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）
A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜b
C．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b
【考点】指数函数综合题．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．
【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，
∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；
对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．
故选A．
【点评】本题考查指数函数综合题，对于2a +2a=2b +3b 与2a ﹣2a=2b ﹣3b ，根据选项中的条件逆向分析而排除不适合的选项是关键，也是难点，属于难题
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．
11．27+16﹣（）﹣2﹣（）= ． 【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】直接利用指数的运算法则求解即可．
【解答】解：27+16﹣（）﹣2﹣（）
=32+4﹣4﹣
=9﹣
=
故答案为：．
【点评】本题考查指数的运算法则的应用，基础知识的考查．
12．已知函数f （x ）=，若f （f （0））=4a ，则实数a= 2 ． 【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f （0）的值，然后将其代入，由此可以得到一个关于a 的一元一次方程，解方程即可得到a 值．
【解答】解：∵f（0）=2，
∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，
所以a=2
故答案为：2．
【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．
13．函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】求出y′，讨论自变量x的范围讨论函数单调性得到y的最大值即可．【解答】解：∵y=﹣x（x≥0），
∴y′=﹣1，
∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0，
∴x=时，函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．
故答案为：．
【点评】考查学生求导数的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．
14．设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题．
【分析】先利用函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，求得参数a=1或﹣1，利用不是偶函数，确定a=1，从而将函数用分段函数表示，进而可求函数f（x）的递增区间．
【解答】解：由题意得f（﹣x）=﹣f（x），即：|﹣x+a|﹣|﹣x﹣1|=﹣|x+a|+|x ﹣1|
∴a=1或﹣1．
a=﹣1，f（x）=0是偶函数不对，
a=1时，分情况讨论可得，，所以函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕
故答案为〔﹣1，1〕
【点评】本题的考点是奇偶性与单调性的综合，主要考查利用奇偶函数的定义求参数，考查函数的单调性，关键是参数的确定，从而确定函数的解析式．
15．函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）= x0．
【考点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式即可．
【解答】解：由指数函数的性质可知函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P（2，1），
设幂函数为：f（x）=x a．P在幂函数f（x）的图象上，
可得：2a=1，a=0，
可得f（x）=x0．
故答案为：x0．
【点评】本题考查指数函数与幂函数的性质的应用，考查计算能力．
16．已知函数f（x）=﹣m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为m＞1 ．【考点】函数零点的判定定理；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将求函数f（x）的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可．
【解答】解：函数f（x）有三个零点等价于
方程=m|x|有且仅有三个实根．
∵=m|x|⇔=|x|（x+2），
作函数y=|x|（x+2）的图象，如图所示．
，
，由图象可知m应满足：0＜＜1，
故答案为：m＞1．
【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．17．设偶函数f（x）满足：f（1）=2，且当时xy≠0时，，
则f（﹣5）= ．
【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】通过计算，确定f（n）=，即可得出结论．
【解答】解：令x=y=1，可得f（）==1，∴f（）
===
f（2）==，f（）=，f（3）=，
∴f（n）=
∴f（5）=，
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣5）=f（5）=．
故答案为：．
【点评】本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，满分59分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或或x≥3}．
（1）若A∩B=∅，求实数m的取值范围；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．
【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】（1）表示出A中不等式的解集，根据A与B的交集为空集，求出m的范围即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，确定出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵A={x|0＜x﹣m＜3}={x|m＜x＜m+3}，B={x|x≤0或或x≥3}，
∴当A∩B=∅时，有，
解得：m=0；
（2）当A∪B=B时，有A⊆B，
∴m≥3或m+3≤0，
解得：m≥3或m≤﹣3．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
19．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求证：f（8）=3．
（2）求不等式f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f（2）=1可求证明f（8）
（2）原不等式可化为f（x）＞f（8x﹣16），结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数可求
【解答】证明：（1）由题意可得f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=3f（2）=3
解：（2）原不等式可化为f（x）＞f（x﹣2）+3=f（x﹣2）+f（8）=f（8x﹣16）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴
解得：
【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质
20．已知函数f（x）=4x﹣2•2x+1﹣6，其中x∈[0，3]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；指数函数综合题．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意可得，f（x）=（2x）2﹣4•2x﹣6（0≤x≤3），令t=2x，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min恒成立，结合（1）可求【解答】解：（1）∵f（x）=4x﹣2•2x+1﹣6（0≤x≤3）
∴f（x）=（2x）2﹣4•2x﹣6（0≤x≤3）…
令t=2x，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8．
令h（t）=t2﹣4t﹣6=（t﹣2）2﹣10（1≤t≤8）…
当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．
∴f（x）min=h（2）=﹣10，f（x）max=h（8）=26…
（2）∵f（x）﹣a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．
∴a≤f（x）min恒成立．
由（1）知f（x）min=﹣10，
∴a≤﹣10．
故a的取值范围为（﹣∞，﹣10]…
【点评】本题以指数函数的值域为载体，主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，及函数的恒成立与函数最值的相互转化关系的应用．
21．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；
（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．
【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）
由，可解得﹣1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）
令F（x）=0，则…（*）
方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0
解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0 即函数F（x）的零点为0．
（2）方程可化为
=，
故，设1﹣x=t∈（0，1]
函数在区间（0，1]上是减函数
当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1
①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，
故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0
【点评】本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．
22．已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】综合题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）运用绝对值的含义可得分段函数，再由f（x）为增函数，可得a≥
﹣且a≤，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|
＜1，当x∈[1，2]恒成立，即为﹣＜x﹣a＜，即x﹣＜a＜x+，求得函数的最值，即可得到a的范围；
（3）讨论当0≤a≤2时，当a∈（2，4]时，运用函数的单调性，结合基本不等式即可得到t的范围．
【解答】解：（1），
由f（x）在R上是增函数，
则即﹣2≤a≤2，
则a范围为﹣2≤a≤2；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即，，
即为，
故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，
即有；
（3）当0≤a≤2时，由（1）知f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；
当a∈（2，4]时，由，
得f（x）在上单调递增，
在上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
且，f（a）=2a，
由方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，可知，
∴，即有，
∴实数t的取值范围为；
综上所述，实数t的取值范围为．
【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性和运用，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．。