高中数学必修4知识点及其配套习题

高中数学必修4知识点
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z
4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象
限对应的标号即为n
α
终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r α=．
7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π
=
，180157.3π⎛⎫=≈
⎪⎝⎭
． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则
l r α=，2C r l =+，211
22
S lr r α==．
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距
离是()
0r r =>，则sin y r α=
，cos x r α=，()tan 0y
x x
α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2
2
1sin cos 1αα+=
()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()
sin 2tan cos α
αα
= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛
⎫== ⎪⎝
⎭．
13、三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数
()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数
()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1
ω
倍（纵坐标不变），
得到函数
sin y x ω=的图象；
再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕ
ω
个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：
①振幅：A ；②周期：2π
ω
T =
；③频率：12f ω
π
=
=
T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大
值为max y ，则()max min 12y y A =
-，()max min 12y y B =+，()21122
x x x x T
=-<． sin y x = cos y x = tan y x = 图象
定义域 R
R
,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
x k π
π=+
()
k ∈Z 时，max 1y =；当
22
x k π
π=-
()k ∈Z 时，min 1y =-．
当()2x k k π=∈Z 时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k ∈Z 时，min 1y =-．
既无最大值也无最小
值
周期性 2π
2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单调
性 在2,222k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦
()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．
在
[]()
2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+
()
k ∈Z 上是减函数．
在,22k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭
()k ∈Z 上是增函数． 函 数 性
质
对称
性
对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴
()2
x k k π
π=+∈Z
对称中心
(),02k k ππ⎛⎫+∈Z
⎪⎝
⎭ 对称轴()x k k π=∈Z
对称中心
(),02k k π⎛⎫
∈Z ⎪⎝⎭
无对称轴
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：
()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，
0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．
b
a
C
B
A
a b C C
-=A -AB =B
20、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
0b b ≠共线．
21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当
12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ
λ++⎛⎫
⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：
⑴()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2
2a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2
22a x y =+，或2a x y =
+
设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，
θ是a 与b 的夹角，则
12
1
cos a b a b
x θ⋅=
=
+．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-（
2cos 21
cos 2
αα+=
，
21cos 2sin 2
α
α-=
）． ⑶22tan tan 21tan α
αα
=
-．
26、()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =
A
．
必修4 第一章 三角函数(1)
一、选择题：
1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A∩C
B ．B ∪C=C
C ．A C
D ．A=B=C
2
02120sin 等于 （ ）
A 23±
B 23
C 23-
D 2
1 sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα
-=-+那么的值为
（ ）
A ．－2
B ．2
C ．
23
16 D ．－
23
16
4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.y=sin2x
B.y=cos 2
x
C .sin2x+cos2x D. y=x x 2
2tan 1tan 1+- 5 若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是 （ ）
A 34
B 34-
C 34± D
3
6． 要得到函数y=cos(
4
2π
-x )的图象，只需将y=sin 2x 的图象 （ ）
A ．向左平移2π2π个单位 C ．向左平移4π4
π
个单位
7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个象沿x
轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y=2
1
sinx 的图象则y=f(x)是 （ ）
A ．y=
1)22sin(21++πx B.y=1)22sin(21+-π
x C.y=1)42sin(21++πx D. 1)4
2sin(21+-π
x
8. 函数y=sin(2x+
2
5π
)的图像的一条对轴方程是 （ ） A.x=-2π B. x=-4π C .x=8π D.x=4
5π
9．若2
1
cos sin =
⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （ ）
A.2
2sin =θ B ．2
2sin -=θ
C ．1cos sin =+θθ
D ．0cos sin =-θθ
10.函数)3
2sin(2π
+
=x y 的图象
（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于点（－6π，0）对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x=6
π
对称 11.函数sin(),2
y x x R π
=+
∈是 （ ）
A ．[,]22
ππ
-
上是增函数 B ．[0,]π上是减函数
C ．[,0]π-上是减函数
D ．[,]ππ-上是减函数
12.函数y =
的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z π
πππ-
+
∈⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．22,2()3
3k k k Z π
πππ+
+
∈⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
D ．222,2()3
3k k k Z ππππ-
+
∈⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
二、填空题：
13. 函数])3
2
,6[)(8cos(πππ
∈-
=x x y 的最小值是 . 14 与0
2002-终边相同的最小正角是_______________
15. 已知,2
4,81cos sin π
απαα<<=
⋅且则=-ααsin cos . 16 若集合|,3A x k x k k Z π
πππ⎧⎫
=+
≤≤+∈⎨⎬⎩
⎭
，{}|22B x x =-≤≤， 则B A =_______________________________________
三、解答题：
17．已知5
1
cos sin =
+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值． 18 已知2tan =x ，（1）求
x x 22cos 4
1
sin 32+的值 （2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值
19. 已知α是第三角限的角，化简
α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+--
-+ 20．已知曲线上最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于
一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x 的值及单调区间
必修4 第一章 三角函数(2)
一、选择题：
1．已知0tan ,0sin ><θθ，则θ2
sin
1-化简的结果为 （ ）
A ．θcos B. θcos - C ．θcos ± D. 以上都不对
2．若角α的终边过点(-3，-2)，则 ( )
A ．sin α tan α＞0
B ．cos α tan α＞0
C ．sin α cos α＞0
D ．sin α cot α＞0 3 已知3tan =
α，2
3π
απ<
<，那么ααsin cos -的值是 （ ） A 231+-
B 2
31+- C 231- D 23
1+
4．函数)2
2cos(π
+
=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ）
A ．2
π
-=x B. 4
π
-
=x C. 8
π
=
x D. π=x
5．已知)0,2(π
-
∈x ，53
sin -=x ,则tan2x= ( ) A ．247 B. 247- C. 724 D. 7
24-
6．已知3
1)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4tan(π
β+的值为 （ ）
A ．2 B. 1 C. 2
2
D. 2 7．函数x
x x
x x f sin cos sin cos )(-+=
的最小正周期为 （ ）
A ．1 B. 2
π
C. π2
D. π
8．函数)3
2cos(π
--=x y 的单调递增区间是 （ ）
A ．)(322,342Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-
ππππ B. )(324,344Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-ππππ C ．)(382,322Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++ππππ D. )(384,324Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++ππππ 9．函数x x y cos sin 3+=
，]2
,2[π
π-
∈x 的最大值为 （ ） A ．1 B. 2 C. 3 D.
2
3 10．要得到)4
2sin(3π
+
=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象
（ ）
A ．向左平移
4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8
π
个单位
11．已知sin(
4π+α)=23，则sin(4
3π-α)值为 （ ）
A.
21 B. —2
1
C. 23
D. —23
12．若).(),sin(32cos 3sin 3ππφφ-∈-=-x x x ，则=φ （ ）
A. 6
π
-
B.
6π C. 65π D. 6
5π
-
二、填空题
13．函数y =的定义域是
14．)3
2sin(3π
+-=x y 的振幅为 初相为
15．求值：0
0cos20sin202cos10-=_______________
16．把函数)3
2sin(π
+
=x y 先向右平移
2
π
个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式
为_____________2)3
22sin(--
=π
x y ___________________ 三、解答题
17 已知1tan tan αα
，
是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ27
3<<，求
ααsin cos +的值
18．已知函数x x y 2
1
cos 321sin
+=，求： （1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函数y 的单调递增区间
19． 已知βαtan tan 、是方程04332
=++x x 的两根，且)2
,2(π
πβα-
∈、， 求βα+的值
20．如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分
（1）求此函数的周期及最大值和最小值
（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式
必修4 第三章 三角恒等变换(1) 一、选择题:
1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）
A 0 B
12 C 32 D 1
2
-
2.3cos 5α=-
，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 3365-
B 6365
C 5665
D 1665
- 1tan 2,1tan x
x
+=-则sin 2x 的值是 ( )
A 35
B 3
4
- C 34 D 1- 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）
A 4
7
- B 47 C 18 D 18-
5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4
cos 5
αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）
A 3365
B 1665
C 5665
D 6365
6. )4,43(ππ-
∈x 且3cos 45x π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
则cos2x 的值是 （ ）
A 725-
B 2425-
C 2425
D 7
25
cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )
A 2521≤≤a
B 21≤a
C 25>a
D 2
1
25-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5
4
,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）
A
1010 B 1010- C 10103 D 10
103-
2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 （ ）
A 、向右平移
6π个单位 B 、向右平移12π
个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π
个单位
10. 函数sin 22x x
y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）
A 、x =113π
B 、x =53π
C 、53x π=-
D 、3
x π
=-
x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( )
A [
B (-
C [-
D (-
ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于 ( )
A
3π B 23π C 6π D 4
π
二、填空题:
βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2
,2(,π
πβα-
∈则βα+等于
14. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程2
3720x x -+=的两个实根，则tan C =
15. 已知tan 2x =，则
3sin 22cos 2cos 23sin 2x x
x x
+-的值为
16. 关于函数(
)cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移
512
π
个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：
17. 化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++
18. 求)
212cos 4(12sin 3
12tan 30
200--的值． 19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求1
2cos 2sin )
4sin(+++
ααπ
α的值. 22sin sin 23cos y x x x =++，求
（1）函数的最小值及此时的x 的集合。

（2）函数的单调减区间
（3
）此函数的图像可以由函数2y x =
的图像经过怎样变换而得到。

必修4 第三章 三角恒等变换(2)
一、选择题
1 已知(,0)2
x π
∈-
，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A
247 B 247- C 7
24 D 724-
2 函数))(6
cos()3sin(
2R x x x y ∈+--=π
π
的最小值等于 （ ） A 3- B 2- C 1- D
3 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为 （ ）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 无法判定
4 函数)cos[2()]y x x ππ=
-+是 （ ）
A 周期为
4π的奇函数 B 周期为4π
的偶函数 C 周期为2π的奇函数 D 周期为2
π
的偶函数
5 函数22
1tan 21tan 2x
y x
-=+的最小正周期是 ( ) A
4π B 2
π
C π
D 2π 6 sin163sin 223sin 253sin 313+= （ ）
A 1
2
-
B 12
C - D
7 已知3
sin(),45x π-=则sin 2x 的值为 （ ）
A 1925
B 1625
C 1425
D 725
8 若(0,)απ∈，且1
cos sin 3
αα+=-，则cos2α= ( )
A
917
B 9±
C 9
- D 3
17 9 函数x x y 2
4cos sin +=的最小正周期为 （ ）
A
4π B 2
π
C π
D 2π 10 当04
x π
<<时,函数22
cos ()cos sin sin x
f x x x x =-的最小值是 （ ） A 4 B
12 C 2 D 14
11 函数2
sin cos y x x x =- （ ）
A 2(
,32π- B 5(,6π C 2(,32π- D (,3
π
12 0000
(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是 ( )
A 16
B 8
C 4
D 2
二、填空题
13 已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C
ABC ∆中，,5
3
sin ,135cos ==
B A 则
C cos =______. 15 函数f x x x x
()c o s s i n c o s =-223的最小正周期是___________ 16 已知23
sin
cos
,2
2
3
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 三、解答题
17 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ；
（2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++
18 已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，
（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；
（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数
19. 求值：0
01000
1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20
-+-- 20. 已知函数.,2
cos 32sin
R x x
x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象
必修4 第二章 向量(一)
一、选择题:
1.下列各量中不是向量的是 （ ）
A ．浮力
B ．风速
C ．位移
D ．密度
2．下列命题正确的是
（ ）
A ．向量A
B 与BA 是两平行向量
B ．若a 、b 都是单位向量,则a =b
C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、
D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于
（ ）
A ．
B ．MD 4
C ．MF 4
D ．M
E 4
4．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||-=-
B ．||||-=+
C ．||||||b a b a -=+
D ．||||||b a b a +=+
5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则
（ ）
A ．A
B 与A
C 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等
D ．与相等
6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的
横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3=
，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是
( ) A ．150︒ B ．120︒
C ．60︒
D ．30︒
9.下列命题中，不正确的是
( )
A ．a =2
a
B ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )
C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅c
D ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b
10．下列命题正确的个数是
( ) ①=+BA AB 0 ②0=⋅AB 0
③BC AC AB =-
④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐
标为
( )
A ．（
34，-35） B ．（-34，3
5
） C ．（4，-5）
D ．（-4，5） 12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于
( )
A ．3
4±
B ．4
3±
C ．5
3±
D ．5
4±
二、填空题
13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 . 14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ . 15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则
a = .
三、解答题
17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长.
18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上.求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ． 19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否
存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线
20．i 、j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ，CB =i +λj , CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求
实数λ的值.
必修4 第二章 向量(二)
一、选择题
1 若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有 （ ）
A 3,5a b ==-
B 10a b -+=
C 23a b -=
D 20a b -=
2 下列命题正确的是 （ ）
A 单位向量都相等
B 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C |||b -=+，则0a b ⋅=
D 若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=
3 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为0
60，那么3a b += （ ）
A
7 B 10 C 13 D 4
4 已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为 （ ）
A
6π B 4π C 3π D 2
π 5 若平面向量与向量)1,2(=平行，且52||=，则= ( )
A )2,4(
B )2,4(--
C )3,6(-
D )2,4(或)2,4(--
6 下列命题中正确的是 （ ）
A 若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B 若a ⋅b ＝0，则a ∥b
C 若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|
D 若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)2
7 已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x = （ ）
A 3-
B 1-
C 1
D 3
8.向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是( )
A 0,24
B 24,4
C 16,0
D 4,0
9．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5=== （ ） A ．
)35(2
1
21e e + B ．
)35(2121e e - C ．)53(2
1
12e e - D ．
)35(2
1
12e e -
10 向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于 （ ）
A 2-
B 2 C
21
D 12
- 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为
（ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5 ） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 12．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为
（ ）
A ．)5,13
12
(
B ．)13
5,1312(--
C ．)135,1312(
或 )135,1312(-- D ．)13
5,1312(±±
二、填空题:
13 已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是
14 若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________
15 若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b +
16．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .
三、解答题
17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥
18 求与向量(1,2)a =，(2,1)b =夹角相等的单位向量c 的坐标
19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D
三点共线，求k 的值.
20 已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<
(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；
(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)
必修4 第一章 三角函数(1)
必修4第一章三角函数(1)参考答案 一、选择题： 1. B 2. B 二、填空题 13.
2
1 14 0158 00000
20022160158,(21603606)-=-+=⨯ 15.23-
16 [2,0][,2]3
π- 三、解答题：
18 解：（1）222222222121sin cos tan 2173434sin cos 34sin cos tan 112
x x x x x x x x ++
+===++ （2）222
2
222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x x
x x x x x x
-+-+=+
22tan tan 17
tan 15
x x x -+=
=+ 19.–2tanα 20 T=2×8=16=
ωπ2,ω=8
π
,A=2 设曲线与x 轴交点中离原点较近的一个点的横坐标是0x ,则2-0x =6-2即0x =-2 ∴ϕ=–ω0x =()4
28π
π=-⨯-，y=2sin(48ππ+x )
当
4
8π
π+
x
=2kл+2π
,即x=16k+2时，y 最大=2
当4
8ππ+x =2kл+2
3π,即x=16k+10时，y 最小=–2
由图可知：增区间为[16k-6,16k+2],减区间为[16k+2,16k+10](k ∈Z)
必修4 第一章 三角函数(2)
必修4第一章三角函数(2)参考答案 一、选择题：
二、填空题 13、Z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡+,42,2πππ 14 3 32π 15.略 16．答案：2)322sin(--=πx y
三、解答题： 17. 【解】：
21tan 31,2tan k k αα
⋅
=-=∴=±，而παπ27
3<<，则1tan 2,tan
k αα+
== 得tan 1α=，则sin cos 2
αα==-
，cos sin αα∴+= 18．【解】∵ )3
2
1sin(2π
+
=x y
（1）∴ 函数y 的最大值为2，最小值为－2，最小正周期πω
π
42==T
（2）由Z k k x k ∈+≤+≤
-
,2
23212
2π
πππ
π，得 函数y 的单调递增区间为：Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-
,34,354ππππ 19．【解】∵ βαtan tan 、是方程04332
=++x x 的两根， ∴ 4tan tan ,33tan tan =⋅-=+βαβα，从而可知)0,2
(π
βα-∈、
故)0,(πβα-∈+ 又 3tan tan 1tan tan )tan(=⋅-+=
+β
αβ
αβα
∴ 3
2πβα-=+
20．【解】（1）由图可知，从4～12的的图像是函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 的三分之二
)cos(2sin sin )cos(2βαα
α
βα+=+=
个周期的图像，所以
1
)24(21
3)24(2
1
=-==+=
c A ，故函数的最大值为3，最小值为－3
∵
8232=⋅ω
π ∴ 6
π
ω=
∴ 12=T
把x=12,y=4代入上式，得2
π
ϕ=
所以，函数的解析式为：16
cos
3+=x y π
（2）设所求函数的图像上任一点（x,y)关于直线2=x 的对称点为（y x '',），则
y y x x ='-=',4代入16cos
3+=x y π
中得1)6
32cos(3+-=x
y ππ ∴与函数16cos 3+=x y π
的图像关于直线2=x 对称的函数解析：1)6
32cos(3+-=x
y ππ
必修4 第三章 三角恒等变换(1)
三角恒等变换(1)参考答案
一、选择题：
1～4 D A A A 5～8 C B A C 9～12 D C B A
二、填空题： 13. 23
π-
14、-7 15、-52
16、① ③
三、解答题：
17.解：原式=
6
30cos 22)1040cos(22]10sin 40sin 10cos 40[cos 22]
40sin 10sin 210cos 50sin 2[210cos ]10cos 40sin 210sin 50sin 2[210cos 2]10
cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2[10cos 2)]10cos 10sin 31(10sin 50sin 2[00000000
0000
000
0000
20
=⋅=-=+=+=⋅⋅+=⋅+⋅+=++
18.34- 19.2-
20.（1）最小值为22-
，ｘ的集合为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,85|ππ
(2) 单调减区间为)(85,8Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππ
（3）先将x y 2sin 2=
的图像向左平移
8π个单位得到)4
2sin(2π
+=x y 的图像，然后将
)42sin(2π
+=x y 的图像向上平移2个单位得到)42sin(2π
+=x y +2的图像。

必修4 第三章 三角恒等变换(2)
三角恒等变换(2)参考答案
一、选择题 1 D 2 C 3 C 4 C 5 B 6. B 7 D 8 .A 9. B 10 A 11. B 12 C
二、填空题
13. 6π 14.6516 15 π 16. 17,39
三、解答题 17 解：（1）原式00000
0000
0sin 6cos 6cos12cos 24cos 48sin 6cos12cos 24cos 48cos 6== 0000000
00
000000011sin12cos12cos 24cos 48sin 24cos 24cos 4824cos6cos6111sin 48cos 48sin 96cos6181616cos6cos6cos616
====== （2）原式00001cos 401cos1001(sin 70sin 30)222
-+=++- 0001111(cos100cos 40)sin 70224
=+-+- 000313sin 70sin 30sin 70424
=-+= 18.解：（1）当0θ=
时，()sin cos )4f x x x x π=+=
+ 322,22,24244
k x k k x k πππ
ππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244
k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为3[2,2],44
k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈ （2
）())4f x x π
θ=-+为偶函数，则4k π
θπ-= ,4k k Z π
θπ∴=+∈ 19 解：原式2000
000002cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5
=--
000000cos10cos102sin 202cos102sin102sin10-=-= 00000000
00cos102sin(3010)cos102sin 30cos102cos30sin102sin102sin10
---+== 03cos302
== 20 解：sin 3cos 2sin()2223
x x x y π=+=+ （1）当2232x k πππ+=+，即4,3
x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值 |4,3x x k k Z ππ⎧
⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
为所求 （2）2sin()2sin 2sin 232
x x y y y x ππ=+−−−−−→=−−−−−−−→=右移个单位横坐标缩小到原来的2倍3 sin y x −−−−−−−→=纵坐标缩小到原来的2倍
必修4 第二章 向量(一)
必修4第三章向量(一)参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6. A 7. D 8．C 9．B 10．A 11．D 12．C
二、填空题
13．3 14．
12e 2e + 122e e + 15．4- 16．4
三、解答题
17．解析: ∵AB -CB +CD =AB +(CD -CB )=AB +BD =AD
又|AD |=2 ∴|AB -CB +CD |=|AD |=2
18．证明: ∵P 点在AB 上,∴AP 与AB 共线.
∴AP =t AB (t ∈R )
∴OP =OA +AP =OA +t AB =OA +t (OB -OA )=OA (1-t )+ OB
令λ=1-t ,μ=t ∴λ+μ=1
∴OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R
19．解析：222,2,,.2339,
k R k λμλμλμλμλμ+=⎧=-∈=-⎨-+=-⎩解之故存在只要即可.
20．解析: ∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j
∵A 、B 、D 三点共线,
∴向量AB 与BD 共线,因此存在实数μ,使得AB =μBD ,
即3i +2j =μ［-3i +(1-λ)j ］=-3μi +μ(1-λ)j
∵i 与j 是两不共线向量,由基本定理得:
⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=-31
2)1(33λμλμμ
故当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.
必修4 第二章 向量(二)
必修4第三章向量(二)参考答案
一、选择题
1 C 2．C 3．C 4．C 5． D 6． D 7．C 8．D 9．A 10．D 11．D
12．C 二、填空题 13 4 14 22
22
(或 15 6 16、 1±
三、解答题
17．证：()()22b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+ 0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a
又, ⊥∴
18． 解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>
得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，即222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或
2
2
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩
2
2
(,22c =或2
2
(22--
19．()212121432e e e e e e -=+--=-=
若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，
λ=∴设
即212142e e e k e λλ-=+ 由于不共线与21e e
可得：
221
142e e k e e λλ-== 故8,2-==k λ
20 （1）证明：
222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+-=-=+-+= a b ∴+ 与a b -互相垂直
（2）k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++；
a k →-(cos cos ,sin sin )
b k k αβαβ→
=--
21k a b k →+=+ 21a kb k →-=+ =cos()0βα-=，2
πβα-=。