2020-2021九年级数学下期中试卷带答案(2)

2020-2021九年级数学下期中试卷带答案(2)
一、选择题
1．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积
3．已知两个相似三角形的面积比为 4：9，则周长的比为 ( )
A．2：3B．4：9
C．3：2D
．2:3
4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()
A．
3
2
OB
CD
=B．
3
2
α
β
=C．1
2
3
2
S
S
=D．1
2
3
2
C
C
=
5．反比例函数
k
y
x
=与1(0)
y kx k
=-+≠在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．
6．如图，在ABC
∆中，//
DE BC，9
AD=，3
DB=，2
CE=，则AC的长为
（）
A．6B．7C．8D．9
7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的
1
2
，得到△COD，则CD的长度是（）
A．2 B．1 C．4 D．25
8．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
9．如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A．3B．3或4
3
C．3或
3
4
D．
4
3
10．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）
A．1
2
B．
2
C．
1
4
D．
1
3
11．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．252B．25
-C．251D52
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比
例函数y2=c
x
（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不
等式y1＞y2的解集是（）
A．﹣3＜x＜2B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2
二、填空题
13．若点A(m，2)在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值
范围是____.
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．
15．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝k
x
的图象过点A，则k＝_____．
16．如图，P（m，m）是反比例函数
9
y
x
在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等
边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．
17．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC
=______．
18．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则AEF CBF S S ∆∆：是_______．
19．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.
20．已知线段AB 的长为10米，P 是AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则AP 的长_____米．（精确到0.01米）
三、解答题
21．已知：如图，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．
求证：△ACP ∽△PDB ．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，1），B （﹣1，4），C （﹣3，3）．
（1）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到的△A 1BC 1．
（2）以原点O 为位似中心，位似比为2：1，在y 轴的左侧，画出将△ABC 放大后的△A 2B 2C 2，并写出A 2点的坐标 ．
23．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，∠BAC=36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F ．
（1）求∠DAF 的度数；
（2）求证：AE 2=EF•ED ；
24．如图，在ABC V 中，AB AC =，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足DEF B ∠=∠，且点D 、F 分别在边AB 、AC 上．
（1）求证：BDE CEF △∽△．
（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分DFC ∠．
25．如图，已知反比例函数y ＝
k x
的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2. (1)求k 和m 的值； (2)若点C (x ，y )也在反比例函数y ＝
k x 的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值
范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A 时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，
△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，
△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；
②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中P E∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜
∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
综上最多有3条.
故选C．
2．B
解析：B
【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．
故选B．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．3．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解．
【详解】
∵两个相似三角形的面积之比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，
∴这两个相似三角形的周长之比为2：3．
故选：A
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4．D
解析：D
【解析】
A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
=，所以B选项不成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】
A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得
AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可
【详解】
∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932
AE =， ∴6AE =，
∴628AC AE EC =+=+=．
故选：C ．
【点睛】
此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE
7．A
解析：A
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合A 点坐标可直接得出点C 的坐标，即可得出答案．
【详解】∵点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的
12
，得到△COD ， ∴C （1，2），则CD 的长度是2，
故选A ． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB ．
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D ，
∴△DEF ∽△DCB ，
∴BC DC EF DE =， ∵DF=50cm=0.5m ，EF=30cm=0.3m ，AC=1.5m ，CD=20m ，
∴由勾股定理求得DE=40cm ，
∴200.30.4
BC =， ∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为16.5m ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
9．B
解析：B
【解析】
AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43
，
AP AQ AC AB =,246
AQ =，AQ =3.
故选B.
点睛：相似常见图形
（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A 型”与“X 型”图）
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”，如下图：
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
=，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．11．A
解析：A
【解析】
根据黄金比的定义得：
51
2
AP
AB
=，得
51
4252
2
AP=⨯= .故选A.
12．C 解析：C 【解析】
【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=c
x
图象上方的部分对应的自变量的取值
范围即为所求．
【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c
x
（c是常数，且
c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．二、填空题
13．x≤－2或x＞0【解析】【分析】先把点A（m2）代入解析式得A(22)再根据反比例函数的对称性求出A点关于原点的对称点A（-2-2）再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值【详解】把点A（
解析：x≤－2或x＞0
【解析】
【分析】
先把点A（m,2）代入解析式得A(2,2),再根据反比例函数的对称性求出A点关于原点的对称点A’（-2，-2），再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值.
【详解】
把点A（m,2）代入y＝，
得A（2,2），
∵点A（2,2）关于原点的对称点A’为（-2，-2），
故当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围为x≤－2或x＞0.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用反比例函数的中心对称性.
14．四丈五尺【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【详解】解：设竹竿的长度为x尺∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺标杆长=一尺五寸=15尺影长五寸=05尺∴＝解得x=45（尺）故答案为：四丈
解析：四丈五尺
【解析】
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴x 15＝1.50.5
， 解得x=45（尺）．
故答案为：四丈五尺．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
15．-3【解析】【分析】根据比例系数k 的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC 的面积为3∴|k|
解析：-3
【解析】
【分析】
根据比例系数k 的几何含义：在反比例函数y=
k x
的图象中任取一点,过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．
【详解】
解：∵矩形ABOC 的面积为3,
∴|k|=3.
∴k=±
3. 又∵点A 在第二象限,
∴k<0,
∴k=−3.
故答案为：−3.
【点睛】 本题考查了反比例函数系数k 的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.
16．【解析】【详解】如图过点P 作PH ⊥OB 于点H ∵点P （mm ）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m ＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB 是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三
解析：92
． 【解析】
【详解】
如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，
∵点P （m ，m ）是反比例函数y=
9x
在第一象限内的图象上的一个点， ∴9=m 2，且m ＞0，解得，m=3.∴PH=OH =3.
∵△P AB 是等边三角形，∴∠P AH =60°. ∴根据锐角三角函数，得3∴OB 3
∴S △POB =12OB•PH 933+. 17．【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案【详解】四边形ABCD 与四边形EFGH 位似其位似中心为点O 且则故答案为：【点睛】本题考查了位似的性质熟练掌握位似的性质是解题的关键 解析：47
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】
Q 四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且OE 4EA 3
=， OE 4OA 7∴
=， 则FG OE 4BC OA 7
==， 故答案为：
47． 【点睛】
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
18．或【解析】【分析】分两种情况根据相似三角形的性质计算即可【详解】解：①当时∵四边形ABCD 是平行四边形②当时同理可得故答案为：或【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质平行四边形的性质掌握相似三角形的 解析：425：或925：
【解析】
分2332AE ED AE ED ：＝：、：＝：两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
解：①当23AE ED ：＝：时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
//25AD BC AE BC ∴，：＝：，
AEF CBF ∴∆∆∽，
224255
AEF CBF S S ∆∆∴：＝（）＝：； ②当32AE ED ：＝：时，
同理可得，239255
AEF CBF S S ∆∆：＝（）＝：， 故答案为：425：或925：．
【点睛】
考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19．14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告
解析：14
【解析】
试题解析：根据主视图和左视图可得：
搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；
故答案为：14．
点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
20．18【解析】【分析】根据黄金分割定义：列方程即可求解【详解】解：设AP 为x 米根据题意得整理得x2+10x ﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈618x2＝﹣5﹣5（不符合题意舍去）经检验x ＝5﹣5是原方程的
解析：18
【解析】
【分析】
根据黄金分割定义：AP BP AB AP
=列方程即可求解．
解：设AP为x米，根据题意，得
x10 10
x x -
=
整理，得x2+10x﹣100＝0
解得x1＝55﹣5≈6.18，x2＝﹣55﹣5（不符合题意，舍去）
经检验x＝55﹣5是原方程的根，
∴AP的长为6.18米．
故答案为6.18．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念,熟练掌握黄金比是解答本题的关键.
三、解答题
21．见解析
【解析】
【分析】
先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由△PCD为等边三角形可证明，从而可证
明△ACP∽△PD B．
【详解】
证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2
∴∠ACP＝∠PDB＝120°
∴.
∴△ACP∽△PD B.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，解题关键是熟记等边三角形的性质.
22．（1）见解析；（2）（﹣4，2）．
【解析】
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，2）；
故答案是：（﹣4，2）．
【点睛】
此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义. 23．（1）36°；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可.
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=1
2
×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
×72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE ED EF AE =， ∴AE 2=EF×
ED. 【点睛】 本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．见解析
【解析】
试题分析：
（1）由三角形内角和定理可得：∠BDE=180°
-∠B-∠DEB ，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB ，结合∠B=∠DEF ，可得∠BDE=∠CEF ；由AB=AC 可得∠B=∠C ，由此即可证得：△BDE ∽△CEF ；
（2）由（1）中结论：△BDE ∽△CEF 可得：BE DE CF EF
=，结合BE=EC 可得：CE DE CF EF
=，再结合∠C=∠B=∠DEF ，证得：△DEF ∽△ECF ，由此可得∠DFE=∠EFC ，从而得到结论EF 平分∠DFC.
试题解析：
（1）∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵180BDE B DAB ∠=︒-∠-∠，
180CEF DEF DEB ∠=︒-∠-∠，
∵DEF B ∠=∠，
∴BDE CEF ∠=∠，
BDE CEF V V ∽．
（2）∵BDE CEF V V ∽，
∴BE DE CF EF
=， ∵E 是BC 中点，BE CE =，
∴CE DE CF EF
=， ∵DEF B C ∠=∠=∠，
∴DEF ECF V V ∽，
∴DFE CFE ∠=∠，
∴EF 平分DFC ∠．
25．(1) k ＝4， m ＝1；(2)当－3≤x ≤－1时，y 的取值范围为－4≤y ≤－
43. 【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据反比例函数系数k 的几何意义先得到k 的值，然后把点A 的坐标代入反比例函数解析式，可求出k 的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y 的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题解析：（1）∵△AOB 的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为4y x =
，∵A （4，m ），∴m=44
=1； （2）∵当x=﹣3时，y=﹣
43； 当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数4y x =
在x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y 的取值范围为﹣4≤y≤﹣43
． 考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．。