白矮星

恒星的演化和白矮星的质量上限
物理系许海艇
摘要：近几年白矮星研究在理论与观测方面都取得了很大进展，本文主要介绍了恒星的演化和恒星晚年的命运，并讨论了恒星内部电子简并压强公式，并在此基础上进一步研究了白矮星，给出了一个白矮星质量上限的一个简化推导。

关键词：恒星；演化；白矮星；质量上限
1．横行的演化和白矮星的形成
恒星的前身是一团密度不匀的气体（只要是氢）。

密度较大处有较强的引力。

吸引来更多的气体，逐渐形成一个球对称气团，气团内任一薄球层内的任一体元所收的来自气团的引力都指向球心，因此整个气团在自引力的作用下收缩。

这是引力势能转化为热能的过程，因此温度T不断升高。

根据经典力学的压强公式
p ，（k为玻尔兹曼常数，n为数密度）（1）
knT
气团中的压强p随T的不断增大，因此任一薄球层由于压强梯度dp/dr导致的外向里也越大，看来当温度足够高时有可能抑止收缩。

然而在没有能源的情况下这是不可能的：由于气团温度比周围高，它不断向外辐射能量。

如果收缩停止，温度（因而压强）就要下降，薄球层内外的压强差也就抗衡不了自引力。

从能量角度看它也必须不断收缩，以使引力势能（的一部分）不断转化为辐射出去的能量。

经过一段时间的缓慢收缩，气团中心上午温度和密度终于高到足以点燃热核反应的程度。

中心附近（一个称为星核的中心球）的氢经热核聚变而成氦，同时释放巨大能量，使由于辐射而损失的能量得以补充（无须在依靠引力势能转化而来），气团就不再收缩而达到平衡，这时的气团开始成为一颗恒星。

气团内任一点的压强梯度dp/dr 满足稳定平衡条件，太阳就是普通恒星的一例。

它已在这种靠星核内部烧氢变氦而维持的温度状态中度过了约45亿年，大约还能保持这种状态50亿年。

总有一天星核内的氢全部变成氦，只有周围一层氢仍在燃烧，星体内部的情况可有图1粗略表示。

当星核的温度尚未达到
点燃氦的核聚变的程度时，情况与先前星核尚未达到点燃氢的情况类似：氦球在自身引力作
用下再次收缩，同时变热，这使周围薄球层的氢燃烧加剧，从而导致星球外部膨胀和冷却，变成一颗红巨星。

氦核收缩导致的高温可能达到点燃氦的巨变反应（烧氦变碳或氧）的程度，所释放的能量再次使星核达到稳定平衡。

这种靠氦燃烧维持的平衡期远短于氢燃烧的维持期。

当氦烧成碳（或氧）时星核再度收缩。

恒星晚年命运因质量而异。

对于质量较小的恒星（包括太阳），星核的收缩不能再提供足够的温度使碳发生核聚变靠核能维持平衡已经不再可能。

还有没什么力量足以抗衡自引力？经典物理学中不存在这样的力量。

抑制自引力收缩必须有足够的压强梯度。

星体有氢、氦以及其他元素组成。

星内的高温使这些元素的原子处在电离状态。

按照经典物理学，这一离子和电子的组合可看作理想气体，有式（1）可知，在给定密度下要获得高压就要有高温，由于星体不断辐射能量，除核反应外没有任何机制可以提供能量以维持高温。

然而，根据量子物理学，即使是绝对零度下的系统也有可能存在可观的压强。

以电子气为例。

在经典力学中，电子的平均动能为3KT/2，T=0时平均动能为零，所有电子都处于能量为零的状态。

然而。

根据量子物理学，电子服从泡利不相容原理，一个能级至多可被两个电子占据。

（它们的自旋反向，故为两种不同的状态）因此，在T=0时，电子一方面要“挤”进能量尽可能低的状态。

另一方面，由于每一能态只许存在两个电子，众多电子必须占满有能量为零开始直至能量为某值F E 的所有状态（只有能量大于F E 的态全部空着）。

F E 叫费米能，其值随密度的增加而增大，这就表明，即使处于绝对零度，电子气中的电子也不像经典物理所断言的那样完全没有运动，它们具有并非起因于热运动（而是起因于泡利不相容原理）的动能。

这种动能对压强和能量豆油贡献。

T=0的电子气叫（完全）简并电子气，由于上述原因引起的压强叫电子简并压。

在普通密度下，费米能F E 很小（例如常见的金属中的电子气的F E 只有几个电子伏），相应的电子简并压微不足道。

但电子简并压在高密情况下的作用却很可观。

星核在氢、氦烧完后的再次收缩造成的高密使电子具有很高的费米能F E 。

虽然星核内的温度T 用通常标准衡量很高，但因F E 很大，有kT <<F E ，因此现在由于热运动对压强P 的的贡献远小于电子由于泡利不相容原理和高F E 而具有的动能对P 的贡献。

在这个意义上于T=0的情况没有太大的差别，所以这时星内的电子可看作简并电子气，其简并压有可能抵消自引力，使形星体平衡永不收缩。

这种靠电子简并压支撑的稳定恒星体称为白矮星。

一个孤立的星体一旦演化为白矮星就不再有重要的演化过程，因为温度比外界高，它将不断辐射能量，由于没有能源导致温度下降，直至与周围温度相等，因而再也不被看见。

直观的想质量越大的星体自引力越强，只有质量足够小的星体才能开电子简并压支撑而成白矮星。

钱德拉塞卡最先求得白矮星的质量上限
Θ≅M M ch 3.1（下文将作推算）。

星体在演化过程中会因不断抛出物质而使质量减少，当说到白矮星满足CH M M < 时，M 指剩余质量。

据估算，初始质量小于Θ-M 86的星体都将经过红巨星阶段并抛出大量物质而成为质量约为Θ-M 6.05.0的白矮星。

如果Θ>M M ，则电子简并压不足以维持星体平衡，星核内部的核巨变反应将一级级
继续，直至烧成铁和镍。

这是结合的嘴紧的原子核（核子的平均结合能最大），不可能因核聚变而放能，于是星核在自引力的作用下急剧收缩，密度和温度急剧增大。

这时自引力很强牛顿近似2)(r
r m dr dp ρ-≅(2)不再适用，必须使用广义相对论式)]
(2[4)()(3
r m r r r p r m p dr dp -++-≅πρ(3)。

对于给定的0)(>r ρ，式（3）右边总大于式（2）的右边，因此在广义相对论中为达到平衡所需的中心压强更大，平衡更难实现。

在如此高温高密下高能光子可将铁-镍原子打碎成中子、质子或轻核（光分裂），电子也将同质子反应而成中子和中微子（后者溢出星体）。

于是中子在星体中占了绝大部分。

中子也是费米子，也服从泡利不相容原理。

在达到核密度（31710-⋅m kg ）时中子的费米能F E 大大高于星内温度T ，因而可以看作简并中子气，其简并牙也有可能抵消自引力，时星体达到稳定平衡。

这种靠中子简并压支撑的稳定恒星称为中子星。

如果恒星在抛出物质后的质量仍高于中子质量上限（ΘM 2），就没有任何力量可以阻止它的引力坍缩，它将无限制地缩为密度和曲率都无限大的“奇点”，并形成施瓦西黑洞。

2．白矮星质量-半径关系
白矮星的构成物质基本上是氦，在中心温度T=107K 的高温下，氦原子会被全部电离。

这样我们可以将白矮星看成是含有N 个电子和N/2个氦核的系统。

用m 表示电子质量,m p 表示质子(或中子)的质量，则白矮星的质量为：M=N (m+2 m p )。

由于m<< m p ，则M=2N m p 即N=M/2 m p 电子的数密度：n=V N =p 2m ρ， 其中p=109kg/m 3
为白矮星的质量密度，m p =1.67×1027-kg ，由上式估算白矮星中电子的密度约为1036/m 3。

由)0(μ=m 22 （V n 23π）3/2，)0(μ=0.5310-⨯J,得知费米温度F T =k
)0(μ=3⨯109K 。

这一温度远高于白矮星的温度，因此白矮星的电子气体是高度简并的。

电子的运动情况与白矮星的密
度有密切关系，质量小的白矮星平均密度P ≤109kg/m 3，简并电子运动远小于光速，是非相对
论性的。

质量大的白矮星，平均密度超过109kg/m 3,简并电子的运动速度与光速相当，是相对
论性的。

因此白矮星内部电子运动的相对论程度取决于白矮星平均密度的大小。

假设白矮星上电子气体是非相对论性的，且为球形天体，则距白矮星中心r 处单位质量的重力势能为-
r
Gm r , 质量为dm r 的壳层的引力势能为-r dm Gm r r ，整个白矮星有E G =-⎰M 0r
dm Gm r r 白矮星的密度分布有自己的分布函数，只有知道了密度分布函数才能精确的计算出EG 。

下面先计算密度分布均匀的白矮星的EG 再计算密度分布为线性近似的EG ，最后由上面的两种
情况的结果得出EG 的一般表达式。

白矮星是密度均匀的球体，ρ为常数，M(r)=ρπ334
r ，M=ρπ3
34
R ，则： E G =-⎰R 0r dr r r G 23434πρπρ=-⎰R 0G 52316R πρ=-R GM 253一般的星体最外层电子气稀薄，ρ≈0，而中心ρ=c ρ，我们假设星体的密度分布是线性的,即有：ρ =)1(R r c -
ρρc 半径为r 的球的质量为：)(r M =
⎰r
042r πdr R r c )1(-ρ=)431(343R
r r c -ρπ M=⎰R 0dr r )(ρ=231R c πρ有因为M=ρπ334R ,因此可得ρρ4=c ，
则,M(r)=ρπ3316R (1-R
r 43) G E =-⎰M 0r r dm r GM )()(=-⎰R 0r
dr R r r R r r G )1(16)431(31623--ρπρπ=- 5222
84013316R G ρπ=-R
GM 2
24.153⨯一般白矮星的密度分布并不均匀，各星有自己的密度分布函数。

由上面结果可猜想引力势R GM E G 2α=,dR R
GM dE G 22
α=当星体半径绝热改变dR ，其能量改变dE=-P4πr2dR 。

因白矮星的存在是简并压与引力达到平衡时的结果，所以
R GM R P 22
4απ=⨯,22
4R GM p πα= 白矮星上电子气体是非相对论的，且电子气体是费米分布，考虑到电子自旋在其动量方向上的投影有两个可能值，则在体积V 内，在ε-ε+d ε的能量范围内量子态数为：
⎰==)0(021233)()2(4)(μεεεεπεN d D d m h
V D ，2323321233)0(32)2(4)2(4μπεεπm h V d m h V N == ，)0(53)2(421233μεεπN d m h V U ==由
V U P 32=得423523223523224)(2)3(52)(2)3(52R GM V N m h V N m h P παππ==，
252242
)(2)3(524V N m h R G M παπ=令A m h G =2)3(52422παπ,由ρ≈V N ，则3542ρAR M =，
由3R M ρ≈，53535
R M ρ≈，则R AM AR M /353542≅=ρ，31-≈AM R ，即3
1M R ∝从
上面推出的结果可知，由非相对论的简并气体组成的白矮星的半径与质量的负1/3次方成正比，质量小的星体半径大，平均密度小，平均密度小的白矮星电子气体的相对论程度低。

3．白矮星内部压强和密度的分布
白矮星内部压力必须完全地支持在它以上的柱体内物质的重量，即作用于壳上的净压力必须提供一向外的力支持壳层，对抗向心引力(壳层的重力)。

M(r)是半径为r 的球的质量，ρ(r)是距离中心r 处的密度，壳层的质量dm(r)=4πr2dr ρ(r)。

由内部质量m(r)施加到dm(r)的引力：222)(4)()()(r
r dr r r Gm r r dm r Gm dF ρπ==，该力必须由作用于壳层上的压力∆s p 平衡。

)()(r r P r P P ∆+-=∆，24r S π=，24)]()([r dr r P r P PS π+-=∆，而dF PS =∆,
222
)()()4(4)]()([r r m r dr r G r dr r P r P ρππ=+-,2)()(r r m r G dr dP ρ-=,⎰⎰⎰=-==r R R r
r p dr r r m r G dr r r m r G dP r P 22)(0)()()()()(ρρ 若白矮星的密度为一常数，则压强为⎰-==R r r R G dr r
r G r P )(3234)(222232
πρπρ，中心压强为:42
22322283)3
4(3232)0(R GM R R M G R G P ππρ===若c R r ρρ)1(-=,334R M c πρ=是平均密度，则其内部压强：
⎰⎰-=+-=-=R r R r
c c c r R G dr R r R r r G rdr R r G r P )(9)2(3434)1()(222232222πρπρπρ,中心处压强422
231619)34()0(R GM R R M
G P πππ== 由上面的两种计算可以看出白矮星的质量越大，中心压强越大。

4．白矮星的质量上限
（1）.电子兼并压强的公式推导
设x,y,z 是电子的空间坐标，kx,ky,kz 是电子动量的3个坐标，则{x,y,z,kx,ky,kz}是6维相空间的坐
标，相空间可分为许多量子相格dxdydzdkxdkydkz （每个相格相当于一个能级），相格的体积为h3（h 为普朗克常数）。

故
dxdydzdkxdkydkz=h3
（1）
令k=(kx2+ky2+kz2)1/2,则动量空间中k 值在(k,k+dk)内的点组成一个体积为dxdydz 的球壳，位置在
dxdydz 内,k 值在(k,k+dk)内的状态在相空间中的代表点则组成体积为4πk2dkdxdydz 的壳层。

既然每个量子相格体积为h3,壳层内就有4πk2dkdxdydz/h3个相格，因为每个相格对应一个能级，而每个能级至多由两个电子占领，壳层内的电子数不会超过8πk2dkdxdydz/h3。

对T=0的完全兼并电子气，E ≤EF 的所有能级都空着，因此单位体积中k 值在(k,k+dk)内的电子数 f(k)dk={)
(0)(/8k 32F F k k k k h dk >≤π （2） 其中kF 是同EF 相应的费米动量。

于是电子的数密度（单位体积中不论什么动量的电子数） ne=⎰F
k o
h dk k 328π=338h πkF3 （3） 星体的质量密度ρ主要来自核子的贡献。

于是核子的数密度和质量分别为nN
和mN 则ρ= nNmN,令μ= nN/ne （对于氢已烧完的星体μ≈2）则
ρ=μne mN,
（4）
欲得物态方程还要计算兼并压强P,压强等于单位时间内通过单位面积的电子的动量的矢量和。

设 d σ是星空间的一个面元，法矢为n 。

先考虑动量为k 的电子，相应的速度为μ ，即
k =(1-2μ)-1/2me μ ，其中2μ=μ ∙μ ,以!! 为d σ底，μ为母线长做一斜柱体，母线与k
平行。

设θ为n 与k 的夹角，则柱体的体积等于
μcos θd σ，由(2)可知位于柱体内部，k 值在(k,k+dk) 内的电子数为f(k) μcos θd σ。

以面元d σ中的一点q 为球心作一球面，把右半球面分为许多面元，每个面元对应一个元立
体角，其中以k 为轴的一个记作d k
Ω。

由于整个球面对应的立体角为4π，位于柱体内，动量大小在(k,k+dk)而且方向限于d k Ω的电子数只有f(k) cos θd σdk d k
Ω/4π。

这些电子在单位时间内穿过d σ，因此单位时间内穿过d σ的，满足上述条件的电子总动量的法向分量为
[f(k) cos θd σdk d k Ω/4π]k cos θ= f(k) μ k cos θ2 d σdk d k
Ω/4π 于是单位时间内流过单位面积的所有电子，亦即处的兼并压强为
⎰⎰⎰∞=Ω=s k
k dk k k h dk k k f d P 0
0332)(38)()(cos 41μπμθπ （5）
利用e m k 212)1(--=μ 可把上式改写为⎰
+=k e m k dk k h P 021
2243)(38π
（6）
再利用（3）式把（4）式改写为3/1)83(N
F m h k πμρ= （7） 代入式（6）中便可求得物态方程的表达式。

现仅讨论两个极端的情况：当e m >>F k 时，F μ<<1,电子的运动可用牛顿力学来描述，这称非相对论情况；当e m <<F k 时F μ≅1，电子的运动必须用狭义相对论来描述，这为极端相对论情况。

非相对论条件e m >>F k 和极端相对论条件e m <<F k
又可分别表为ρ<<c ρ和ρ>>c ρ，其中临界密度c ρ由F e k m =定义，可用（7）求
333/8h m m e N c πμρ= （8）
改写为国际制形式并代入具体数值（取2=μ）得39331023/8-⨯≅=kgm h m m e N c πμρ
对ρ<<c ρ的非相对论情况，式（6）近似给出e
F m h k P 35158π= （9） 将（7）代入并用国际制得具体数值为
3/573/53/523/2)(10)()3(201μρμρπ==N
e m m h P （国际制） （10）
在极端相对论情况下（6）式近似给出3
432h k P F π= （11）
将（7）代入并用国际制得具体数值为
3/4103/43/43/1)(1024.1)(8)3(μ
ρμρπ⨯==N m hc
P (国际制) （12）
设星体为多层球，利用流体静力学平衡条件:
22)(4))()((r r dr
r r dp r d dr πρρ-= （13）
由此出发可得星体半径O 和质量P 对中心密度的依赖关系：
2/)43(02/)2(0
,--==r r r r b M a R ρρ
（14） 其中常数r a 和r b 同r 有关，对r=5/3和r=4/3分别为
6/583/5103.6-⨯=μa ,5/2263/5107.1-⨯=μb ,3/2103/4103.5-⨯=μa ,
2303/4106.11-⨯=μb （15）
（2）白矮星质量上限的讨论
在讨论了电子兼并压强公式的基础上可进一步讨论白矮星。

当星体质量M 足够小时，ρ<<c ρ，式（10）对星内处处适用，整个星球内的电子气组成r=5/3的多层球。

当中心兼并压强等于为保持平衡所需的中心压强时星体平衡。

平衡时的半径和R 与质量M 的关系可由
（14）和（15）看的出来：
3/1-∝M R （16）
可见r=5/3的白矮星的半径随质量的增大而减小。

由此式可以得出：电子兼并压强可支持任何质量的星体，因为只要把M 值带入（16）中便可以求得一个平衡的星体半径。

然而，当质量M 足够大,电子的相对论效应非考虑不可的时候，星体不再看作R=5/3的多层球，式（16）不再成立。

事实上，由于0ρ随M 增加而增加，中心附近的电子首先达到极端相对论的程度，星内出现一个可看作r=4/3多层球的核心球，进而逐渐扩大到整个星体。

由式（15）可知当r=4/3同M 无关，与r=5/3的情况十分不同。

当整个星体可看作r=4/3多层球时，由式（15）可得到这个与0ρ无关的M 值（记作ch M ）为：
Θ-=⨯⨯==M b M CH 2
2303/48.5)102(8.5μμ （17） 式（14）是在流体静力学平衡的条件下导出的，如果质量大于CH M ，星体就不能平衡。

事实上，由式（16）,（10）和（12）可以理解上述结论：作为粗略计算，假定星内密度均匀，则可知为保持平衡所需的中心压强为
42-∝R M P （18）
P ’抗衡自引力所需的中心压强。

又（10）式知兼并电子气所能提供的兼并压强为
53/5-∝R M P ,于是
⎩⎨⎧===∝--)19(3/4,)19(3/5,/'3/23/1432b Y M a Y R M R M P P Y Y
设星体内的电子气处于非相对论情况（r=5/3）且M<ch M ，则由（19a ）知存在R 值使P P /'=1，星体半径等于次R 值时平衡。

若M 略有增大，则P P /'>1，自引力略大于兼并压力，星体将收
缩至较小半径而重获平衡。

然而，如果M 大到使全星球为r=4/3，则由（19b ）可知，P P /' 同R 无关。

在这种极端情况下只有M 等于某一适当值ch M 时才能平衡。

若M<ch M ，则P P /'<1，即兼并压力大于自引力R 将变大直至退出极端相对论情况。

反之，若M>ch M ，则P P /'>1，星体将收缩，越缩越使R 更精确的等于4/3 )，P P /'就不会因R 的变小而改变，于是星体只能继续收缩而不能在电子兼并压支撑下平衡。

结论
ch M 为白矮星的质量上限。

由于白矮星内部一般为氦，碳或者氧，可取2=μ，代入（17）式便得ch M =1.45ΘM 。

参考文献：
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