专题 三角形的三心

专题三角形的三心
例1、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6cm，则△ABC的重心与外心的距离为。

练习：内心与外心的距离为OM，AC=6，BC=8，AB=10，则OM为。

例2、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，CF是⊙O的另一条切线，F为切点，OC与⊙O交于G，求证：点G是△ACF的内心。

例3、如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD对角线，DG⊥AC于点G，DG的延长线交AB于点E，已知AD=6，CD=8。

（1）求AE的长；（2）∠ACD的角平分线CF交AD于点F，求tan∠DCF的值；
（3）若O1，O2分别是△ADG、△DCG的内心，求O1，O2两点间的距离。

例4、翻开人教版八年级上册数学教材第5页，有这么一句定义“三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心”，利用所学知识，解决下列问题。

（1）“基于理解，要确定三角形的重心，只需寻找三角形两条中线的交点即可”如图1，在平面直角坐标系中，己知O（0，0），A（-4，0），B（0，2），求△OAB的重心G的坐标；
（2）三角形的重心有很多美好的性质，相信聪慧的你可以探索到下面这条性质．如图2，已知△ABC的两条中线AD，BE相交点G，G即为△ABC的重心，试判断线段AG与DG之间的数量关系，并请说明理由；
（3）如图3，已知O是坐标系原点，A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）且x1，x2是关于x的方程2x2+kx+c=0（k，c为常数）的两个不同的实根，C是抛物线y=x2+kx+ k2 +3k+36的顶点，点C在第一象限，G为△ABC的重心，求点O到点G距离的最小值．
例5、如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC。

（1）求证：直线AE是⊙O的切线。

（2）若D为AB的中点，CD=6，AB=16
①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离。

练习1、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，G是三角形的重心。

求①线段GC的长；
②过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长。

练习2、如图，△ABC 中，AC=BC，点I是△ABC内心，点O在边BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆恰好经点I，连接CI、BI。

（1）求证：CI是⊙O的切线；（2）若AC=BC=5，AB=6，求BI的长。

练习3、如图，点E是△ABC的内心，AE是延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，
作直线DM，使∠BDM=∠DAC；
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；(2)DF=2，AF=5，求BD的长。

练习4、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与取相切于点E，且∠OBA=∠OBC。

（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求tan∠BAD.
24．（本小题10分）已知顶点为M （1，
92
）的抛物线2y ax bx c =++经过点C （0，4），且与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右边）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ）是抛物线上的两点，当13m x m ≤≤+，25x ≥时，均有12y y ≥，求m 的取值范围；
（3）若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D ，满足DA =OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．
（备用图）
25.(本小题满分10分)
如图，BC为⊙O的一条弦，D为弦BC所对的劣弧的中点，A为弦BC所对的优弧上的点，连接AD 交BC于点E；
(1)如图1，过D作⊙O的切线MN，求证：MN∥BC；
(2)如图2，若BC为⊙O的直径，连接AB，AC，DB；
①求证：DB2＝DE·DA；
②若DE＝9，AE＝7，点F为△ABC的内心，求OF的长．。