基于极小代数赋权有向图最短路径求解算法
Dijkstra算法求最短路径
在交通网络中，常常会提出许多这样的问题：两地之间是否有路相通？在有多条通路的情况下，哪一条最近？哪一条花费最少等。
交通网络可以用带权图表示，图中顶点表示域镇，边表示两城之间的道路，边上权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等。
以上提出的问题就是带权图中求最短路径的问题，即求两个顶点间长度最短的路径。
最短路径问题的提法很多。
在这里仅讨论单源最短路径问题：即已知有向图(带权)，我们希望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径。
例如：下图(有向图G14)，假定以v1为源点，则其它各顶点的最短路径如下表所示：图G14从有向图可看出，顶点v1到v4的路径有3条：(v1,v2,v4)，(v1,v4)，(v1,v3,v2,v4)，其路径长度分别为：15,20和10。
因此v1到v4的最短路径为(v1,v3,v2,v4 )。
为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。
那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉(Dijkstra)提出按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设有向图G=(V,E)，其中，V={0,2,…,n-1}，cost是表示G的邻接矩阵，G.arcs [i][j] .adj 表示有向边<i,j>的权。
若不存在有向边<i,j>，则G.arcs [i][j] .adj 的权为无穷大(这里取值为32767)。
设S是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。
设顶点v0为源点，集合S的初态只包含顶点v0。
数组D记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为D[i]= G.arcs[v0][i].adj ，i=1,…,n-1。
从S之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w，使D[w]的值最小。
于是从源点到达w只通过S 中的顶点，把w加入集合S中调整D中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的D[v] 和D[w]+ G.arcs [w][v] .adj中选择较小的值作为新的D[v]。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
最短路径问题算法
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。
解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。
笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。
⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。
先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。
(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
最短距离求解题技巧
最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。
在本文中，我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。
它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径，并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是节点数，E是边数。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。
Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。
它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是节点数。
Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于求解从起点到终点的最短路径。
它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级，以选择下一个节点进行扩展。
A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。
A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。
5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。
它通过选择边来构建一个连通的生成树，使得树的权重和最小。
常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
最短路径之Dijkstra算法详细讲解(C#)
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
Dijkstra算法求解单源最短路径问题
Dijkstra算法求解单源最短路径问题一、单源最短路径问题描述给定一个带权有向图G=(V,E),其中每条边的权都是非负数。
给定V中的一个顶点，称为源。
计算从源到所有其他定点的最短路径长度。
这里的路径长度就是指各边权之和。
该问题称为单源最短路径问题（Single-Source Shortest Paths）。
二、Dijkstra算法思想将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。
以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v, T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。
然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。
直到T集合为空为止。
三、算法描述（步骤）1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径：①记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。
②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[]，path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点。
2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。
3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。
因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。
调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。
4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。
四、算法实现（数据结构）1、算法实现输入：一个大于1的整数n.输出：●一个随机生成的有向图G=（V，E），对于每一条边，有一个非负数字c(u，v)与之相关。
●对于每个顶点v∈V,得到从v0到v的最短路径的长度。
[算法]Dijkstra算法（带权有向图最短路径算法）
![[算法]Dijkstra算法（带权有向图最短路径算法）](https://img.taocdn.com/s3/m/ec7cabcf4128915f804d2b160b4e767f5acf8002.png)
[算法]Dijkstra算法（带权有向图最短路径算法）⼀、带权有向图⼆、算法原理1）由于我们的节点是从1-6，所以我们创建的列表或数组都是n+1的长度，index=0的部分不使⽤，循环范围为1-6（⽅便计算）。
2）循环之前，我们先初始化dis数组和mark数组： dis数组中保存我们需要求的开始点（start），到其余所有点的最短路径。
初始化的时候，只初始化到⾃⼰能够直接到的节点的距离，不能直接到的距离初始化为max_int（即sys.maxsize）。
mark保存节点的状态，如果已经被计算过，则状态为True，还未被计算过，则为False3）开始循环，注意，我们只循环[1,n]的范围。
index==0不纳⼊循环。
4）N==1时，找到所有Dis元素中，对应mark元素为False的元素。
找出其中最⼩值为10，对应的index为3，也就是节点3。
然后在weight数组中，找到3能直接到的节点（且对应mark也要为False），这⾥找到3能直接到4号节点，且权重为50。
此时判断dis[3]+50<dis[4]，如果成⽴，则使⽤dis[3]+50更新dis[4]。
由于dis[4]等于max_int，所以dis[4]被更新为60。
5）N==2时，找到所有Dis元素中，对应mark元素为False的元素。
找出其中最⼩值为30，对应节点5。
然后在weight数组中，找到5能直接到的节点（且对应mark也要为False），为4号和6号节点，且权重为20和60。
此时判断dis[5]+20<dis[4]，结果成⽴，所以dis[4]更新为50。
同理dis[6]被更新为90。
6）N==3时，找到所有Dis元素中，对应mark元素为False的元素。
找出其中最⼩值为50，对应节点4。
然后在weight数组中，找到4能直接到的节点（且对应mark也要为False），为6号节点，且权重为10。
此时判断dis[4]+10<dis[6]，结果成⽴，所以dis[6]更新为60。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
几种常用的最短路径算法
几种常用的最短路径算法在图论中，最短路径算法是解决许多实际问题的重要工具。
最短路径算法主要用于在加权图中查找两个节点之间的最短路径。
以下是几种常用的最短路径算法：1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求解带权有向图中单源最短路径问题。
该算法从起点出发，逐步确定离起点最近的节点，并更新起点到其他节点的距离。
Dijkstra算法能够求解非负权重的最短路径，时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中节点的数量。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法用于解决带负权边的单源最短路径问题。
该算法通过反复松弛边的方式逐渐找到最短路径。
Bellman-Ford算法可以处理带有负权边但没有负权环的图，时间复杂度为O(V·E)，其中V是图中节点的数量，E是图中边的数量。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于解决所有节点对之间的最短路径问题。
该算法通过动态规划的方式逐步更新节点对之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法适用于带权有向图，它可以处理带有负权边但没有负权环的图，时间复杂度为O(V^3)，其中V是图中节点的数量。
4.A*算法A*算法是一种启发式算法，常用于解决的问题是在有向加权图中找到两个节点之间的最短路径。
该算法利用启发式函数估计从当前节点到目标节点的最短距离，并以此为依据选择下一个节点进行展开。
A*算法通常比Dijkstra算法效率更高，但需要适当的启发式函数来保证结果的正确性。
以上是几种常用的最短路径算法，它们各自适用于不同的场景和问题。
选择合适的算法主要取决于图的类型、权重性质和问题要求等因素。
在实际应用中，根据具体情况进行算法选择非常重要，以获得更高效的求解结果。
离散数学最短路径算法描述和比较
离散数学最短路径算法描述和比较最短路径算法是离散数学中常见的问题之一，它可以用来解决网络、交通、通信等领域中的路由规划问题。
本文将对几种常见的最短路径算法进行描述和比较，包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼福特算法、弗洛伊德算法和A*算法。
1. 迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)迪杰斯特拉算法是一种用于在加权有向图中寻找最短路径的算法。
该算法基于贪心策略，以节点的累积权重作为优先级，逐步扩展路径直到找到目标节点。
迪杰斯特拉算法的优点是时间复杂度相对较低，适用于稠密图或有边权的问题。
然而，该算法对于存在负权边的图并不适用。
2. 贝尔曼福特算法(Bellman-Ford Algorithm)贝尔曼福特算法是一种能够处理包含负权边的图的最短路径算法。
该算法采用动态规划的思想，通过反复迭代更新每个节点的最短路径估计值，直到收敛为止。
贝尔曼福特算法的时间复杂度较高，为O(V*E)，其中V为节点数，E为边数。
然而，该算法对于存在负权环的图有一定的应用价值。
3. 弗洛伊德算法(Floyd-Warshall Algorithm)弗洛伊德算法是一种用于解决任意两点之间最短路径的算法，也被称为全源最短路径算法。
该算法基于动态规划的思想，通过枚举节点中转进行路径优化，得到所有节点之间的最短路径。
此算法适用于解决包含负权边或负权环的图的最短路径问题。
然而，弗洛伊德算法的时间复杂度较高，为O(V^3)，其中V为节点数。
4. A*算法(A* Algorithm)A*算法是一种启发式搜索算法，用于在图中找到最短路径。
它根据节点的估计代价来进行搜索，将代价分为两部分：从起点到当前节点的已知代价（g值）和从当前节点到目标节点的估计代价（h值）。
A*算法通过不断更新g值和h值，选择估计代价最小的节点进行扩展，直到找到目标节点。
A*算法是一种高效、准确的最短路径算法，但它的估计代价函数的选择对算法效果有很大的影响。
第8章图第8讲-最短路径和Dijkstra算法PPT课件
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包 含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
9/21
改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过 比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！ 源点v默认， dist[j]表示源点 顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点 顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一 个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5， 表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
10
有向图（4.dijkstra算法详解）
有向图（4.dijkstra算法详解）在图的应⽤中，有⼀个很重要的需求：我们需要知道从某⼀个点开始，到其他所有点的最短路径。
这其中，Dijkstra算法是典型的最短路径算法。
它的关键思想是以起始点为中⼼，向外⼀层层扩散，直到扩展到终点为⽌。
Dijkstra算法能够得出最短路径的最优解，不过它需要遍历计算的节点相当多，所以效率不⾼。
⾸先，⽤最通俗的语⾔解释。
假定有3个顶点，A、B、C，如图：要求A到其余各点的最短路径。
很明显，A到C⽐A到B更短。
有疑惑的是从A->B的最短距离，要么是直接A->B的边，要么是A经过C到B的边更短。
我们⾸先找到最短的边（A->C),然后在此基础上扩展，于其余边去对⽐找到最⼩值。
顶点再进⼀步扩充增加，按照这个思想，我们总可以找到A到所有点的最短路径。
算法描述：从节点1开始到其余各点的dijkstra算法，其中Wa->b表⽰边a->b的权，d(i)即为最短路径值，顶点集合为V={1,2,3...n}1.置集合S={1}，置顶点集合U={2,3,4...n}，数组d(1)=0,d(i)=W1->i（1，i之间存在边）or ⽆穷⼤（1，i之间不存在边）；2.在U中，令d(j)=min{d(i),i属于U}，将j从U中移⾄S中，若U为空集则算法结束，否则转3；3.对全部i属于U，如果存在边j->i,那么置d(i)=min{d(i), d(j) + Wj->i},转2Dijkstra算法的思想为;设G=(V, E)是⼀个带权有向图，把图中顶点集合V分为两部分，第⼀组为已求出最短路径的顶点集合（⽤S表⽰，初始时S中只有源点，以后每求出⼀条最短路径，就将顶点加⼊到S中，直到所有顶点都加⼊到S中，算法结束），第⼆组为其余未求出最短路径的顶点集合（⽤U表⽰），按最短路径的长度次序依次将第⼆组中的顶点加⼊到第⼀组中。
在加⼊过程中，总保持着从源点v到S中各顶点的最短路径不⼤于从源点v到U中各顶点的最短路径长度。
最短路径问题(Dijkstra算法)和最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)
t(j)=tmin;
end
end
end
ifk==n
break;
end
end
T;
c;
Prim算法程序：
function[T c] =Primf(a)
%a表示权值矩阵
%c表示生成树的权和
%T表示生成树的边集合
l=length(a);
a(a==0)=inf;
k=1:l;
listV(k)=0;
上机实验1、2
1.最短路径问题（Dijkstra算法）
2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra算法）
实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。
listV(1)=1;
e=1;
while(e<l)
min=inf;
fori=1:l
iflistV(i)==1
forj=1:l
iflistV(j)==0&min>a(i,j)
min=a(i,j);b=a(i,j);
s=i;d=j;
end
end
end
end
listV(d)=1;
distance(e)=b;
T =
3 4 1 2
4 5 3 5
c =
10
>> a=[0 5 3 7 inf;5 0 8 inf 4;3 8 0 1 6;7 inf 1 0 2;inf 4 6 2 0];
>> [T c] =Primf(a)
最短路径dijkstra算法例题
最短路径dijkstra算法例题简介最短路径问题是在图中寻找两个节点之间最短路径的问题，其中最短路径可以根据不同的评估标准来定义，比如路径中经过的边的权重之和。
dijkstra算法是解决最短路径问题的一种经典算法，它能够在具有非负权重的有向图或无向图中找到最短路径。
问题描述假设我们有一个有向图，图中的每个节点表示一个城市，图中的边表示两个城市之间的道路，每条边都有一个非负的权重表示两个城市之间的距离。
我们需要从给定的起始城市出发，找到到达目标城市的最短路径。
算法步骤1.创建一个节点集合，其中包含了所有的图中的节点。
2.初始化起始节点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大。
3.从起始节点开始，计算起始节点到所有邻接节点的最短路径，并更新最短路径和前驱节点。
4.将未被访问的节点中最短路径最小的节点标记为已访问，将其加入到已访问节点集合中。
5.重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或者所有节点都被标记为已访问。
6.如果目标节点被标记为已访问，则从目标节点逆向遍历前驱节点，即可得到最短路径。
例题解析假设我们有以下的有向图，其中的节点表示城市，边表示距离，权重表示距离的大小。
A --4-->B --1--> C\ | |\--6--> D --3--> E| |\--2--/我们需要从城市A出发，找到到达城市E的最短路径。
1.初始化起始节点的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大。
节点起始节点到该节点的最短路径A 0B ∞C ∞D ∞E ∞2.从起始节点开始，计算起始节点到所有邻接节点的最短路径，并更新最短路径和前驱节点。
节点起始节点到该节点的最短路径前驱节点A 0 NoneB 4 AC ∞NoneD 6 AE ∞None3.将未被访问的节点中最短路径最小的节点标记为已访问，将其加入到已访问节点集合中。
当前最短路径最小的节点是B，将其标记为已访问。
4.重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或者所有节点都被标记为已访问。
DIJKSTRA算法详细讲解
DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。
DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。
下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。
首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。
3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。
如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。
重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。
4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。
5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。
根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。
下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
将集合S设为空。
开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。
2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。
4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。
6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。
最短路径问题和解法
最短路径问题和解法最短路径问题是计算一个图中从一个源点到目标点的最短路径问题，是图论中的重要问题之一。
该问题的解法可以划分为两种：单源最短路径问题和全源最短路径问题。
一、单源最短路径问题单源最短路径问题是指从一个源点出发，计算该源点到其他所有点的最短路径的问题。
解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，每次将到源点距离最短的点加入已求出最短路径的点集。
虽然Dijkstra算法只适用于边权值均为正的带权有向图或者无向图，但是它的时间复杂度相比Bellman-Ford算法更优秀，为O(n^2)。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种较为通用的算法，不需要图的属性满足任何特殊要求，但是时间复杂度为O(n^3)，不适用于大规模的图。
算法原理是进行n次松弛操作，查找从源点到其他点的最短路径，其中进行松弛的过程是比较消耗时间的。
二、全源最短路径问题全源最短路径问题是指求解所有点之间的最短路径问题。
解法有两种：Floyd算法和Johnson算法。
3. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，算法将所有点对之间的最短路径逐步推进，通过枚举中间点，得到更加精细的状态转移方程和最短路径。
时间复杂度为O(n^3)，因此带来的计算负担较大。
4. Johnson算法Johnson算法目前是解决稠密图最短路径问题的最好算法之一。
Johnson算法先通过引入虚拟点，将原图转化为一个没有负权边的新图，再对新图使用Dijkstra算法进行求解。
该算法的时间复杂度为O(mnlogn)，其中m为边的条数，n为点的个数。
综上所述，最短路径问题是图论中的重要问题之一。
对于单源最短路径问题，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的解法；全源最短路径问题，Floyd算法和Johnson算法是较为常用的解法。
基于Dijkstra算法求有向带权图的最短路径
湖北大学本科学年论文题目单源最短路径算法分析与研究姓名夏臻学号2012221104230007专业年级2012级信息安全指导教师马传香职称教授成绩2014年 12 月 02 日目录一、摘要 (2)二、最短路径 (2)2.1最短路径的定义 (2)2.2最短路径解决算法 (3)2.2.1 Dijkstra算法 (3)2.2.2 A*算法 (3)2.2.3 SPFA算法 (3)2.2.4 Bellman-Ford算法 (3)2.2.5 floyd-warshall算法 (4)三、Dijkstra算法实现单源最短路径 (4)3.1最短路径的最优子结构性质 (4)3.2 Dijkstra算法思路 (4)3.3 Dijkstra算法描述 (5)四、Dijkstra算法测试 (6)4.1测试数据 (6)4.2运行结果 (6)五、心得体会 (7)六、参考文献 (7)七、附录 (8)一、摘要最短路径问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定的网络中两节点间找到一条距离最小的路。
最短路径算法的选择与实现是通路设计的基础，是计算机与信息科学等领域研究的热点问题。
很多与时间、费用、线路容量等许许多多的实际问题都要运用最短路径的算法原理来解决，生活中很多的问题的解决离不开这些算法，随着计算机结构的改变以及数据结构的研究与发展，新的有效的算法不断涌现。
本文是来对最短路径的算法包括Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、Bellman-Ford算法、SPFA快速算法做一些分析和研究。
分析这几种算法的目的在于更好的理解求解单源最短路径问题解题思路，从而尝试着是否能研究出更好的算法。
关键词：单源最短路径图论Dijkstra算法Floyd-Warshall算法Bellman-Ford 算法 SPFA算法二、最短路径2.1最短路径的定义最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
最短路问题Dijkstra算法
迭
Dijkstra算法基本步骤：
代 Step 1: 开始，给vs以 P 标号，P(vs)=0, P T
1
其余各点给 T 标号 T(vi)=+∞.
计算实例求：连接 vs、vt 的最短路.
-∞
0-
vs
v1
2 27
-∞
5 v2 5
-∞
-∞
v4 5
vt
4 13
1 7
v3
4
v5
-∞
-∞
迭 Step 2: 若 vi 为刚得到 P 标号的点,考虑这样的点
T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14]= min[+∞,2+7]=9 (5) 全部 T 标号中,T(v2),T(v3)最小,令P(v2)=4, P(v3)=4,
记录路径(v1 ,v2), (v1 ,v4),. .…………
我们曾介绍了最短路问题的动态规划解法，但某 些最短路问题(如道路不能整齐分段者)构造动态规 划方程比较困准、而图论方法则比较有效。
有些最短路问题也可以求网络中某指定点到其余所 有结点的最短路、或求网络中任意两点间的最短路.
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法
本算法由Dijkstra于1959年提出，可用于求解指定 两点间的最短路，或从指定点到其余各点的最短 路，目前被认为是求无负权网络最短路问题的最 好方法。 算法的基本思路基于以下原理： 若序列vs ,v1 ,…,vn是从vs到vn的最短路， 则序列vs ,v1 ,…,vn-1必为从vs到vn-1的最短路。
4
v5
4-
7-
迭 Step 2: 若 vi 为刚得到 P 标号的点,考虑这样的点
代
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计 算 速 度．因 此 ， 提 高算 法 效 率 以及 提 出运 算 效
率 更 高 的新 算 法成 为研究 最短 路 径 问题 的热点 ．
数 系统 （ Ｄ， ①， ） 为极小代数 ， 其 中， Ｄ—Ｒ＋Ｕ ｛ ＋Ｃ × 。 ） ； Ｖ ｎ， ｂ ∈Ｄ，口 ④ｂ
ｄ ｅ ｆ
－
在研究 最 短路 径 问题 时 ， 通 常 将 运 行 环 境 抽
文 章 编 号 ：２ ０ ９ ５ — ５ ４ ５ ６ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ — ０ ０ ２ ５ — ０ ５
基 于 极 小 代 数 赋 权 有 向 图最 短 路 径 求 解 算 法
李彦平 ， ｕ ，魏 昆 ，王 丹 ，谭清化
（ 沈阳大学 ａ ． 辽 宁省装备 制造综合 自动化重 点实验 室，ｂ ． 信 息工程学院 ，辽宁 沈阳 １ １ Ｏ ０ ４ ４ ）
法， 但 作 为最短 路径 问题 的关 键环 节 ， 其计 算过 程 过 于 复杂 ， 数据 存储 过于 庞大 ， 直 接影 响 了算法 的
间、 成本等． 路径规划 问题的一种评价标准是求得 最 短路 径．本 文提 出 了一种 基 于极 小 代数 的路 径
规 划算 法 ， 通过该 算 法寻 求一 条最 短路 径． 定 义 １ 称一个 具 有两 个 二 元 内部 运 算 的代
题 的迪科 斯 彻 算 法 （Ｄｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ ’ Ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ） ［ ６ ］ 、 求
１ 最短路径 问题的提出
在 路径 规划 问 题 中 ， 通 常 将 所 处运 行 环 境 抽
象 成赋 权有 向图模 型 ， 运行 环境 中 ， 道路 之 间 的交
叉 点可 以用 图 中 的节 点 表 示 ， 而 道 路 本 身 可 以用 图 中的边 表 示 ．在 路 径 规 划 问 题 中 ， 有 向图 模 型 的边往 往是 被赋 权 的 ， 表示 两 节 点 之 间 的 路 径 长 度 或从 一 个 节 点 到 达 相 邻 另 一 节 点 所 耗 费 的 时
在 极小 代数 意义 下计 算 尼步最 短路 径距 离矩 阵 （ 志
布局 等方 面发 挥着越 来 越重 要 的作 用 口 ］ ．所 谓路
径 规 划 问题 ， 就 是 指 按 照某 种 规 则 寻 找 一 条从 起
幂矩 阵 ） Ａ 和 最短 路径 距 离矩 阵 Ａ＋， 并 依 此 确定 赋权 有 向 图的最 短 路 径 以及 最 少 步数 最 短 路 径 ．
第２ ７ 卷 第１ 期 ２ ０ １ ５ 年 ２月
沈 阳 大 学 学 报
（ 自 然 科
学 版 ）
Ｖｏ １ ． ２ ７ ， Ｎｏ ． １
Ｆ ｅ ｂ ． ２ ０ １ ５
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ｅ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
摘
要 ：应用极小代数给 出了求解简单有 向赋权 图最短路径 问题 的代数算 法．该 算法基 于赋 权有 向图
的直接距离矩阵 Ａ， 在极小代数 意义下计算 走步最短路径距离矩 阵 Ａ 和最短 路径距离 矩阵 Ａ ， 并依此 确定 出赋权有向图的最短路径 以及最少步数最短路径．与 Ｄｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ 算法相 比较 ， 所 提 出的代 数算法求 解路径 规划
小、 计算 复杂 度小 的优 点．
短、 消耗 资源最 少等 ． 计算 最短 路径 常用 的方法 有 求解 非负 权边 的 单 向最短 路径 的 Ｂ ｅ ｌ ｌ ｍａ ｎ － Ｆ ｏ ｒ ｄ算 法 ＿ ５ ］ 、 解 决 有 向 图 中单个 节点 分别 到其 他各个 顶 点 的最短 路径 问
始 点 到终点 的有 效路 径 或最 短路 径 ．求解 最 短路 径具 有 非 常 广 泛 的应 用 领 域 ＿ ２ ］ ．最 短 路 径 通 常
是指距 离最 短 ， 但 有 时从 广 义上 也 可 以是 时 间 最
基于极小代数求解最短路径 ， 能够使问题更加 清 晰， 逻辑性较 强， 算 法 运 算 过 程 具 有 数 据 存 储 量
（ 节点集 ） ； Ｅ Ｖ× 为 图 的边 集 （ 有 向弧 集 ） ； ：
数 给 出求解 简 单有 向赋 权 图最短 路径 问题 的代 数
算 法 ．该 算 法通 过赋 权 有 向 图 直 接 距 离 矩 阵 Ａ，
收 稿 日期 ：２ ０ １ ４— ０ ６ —２ ６
基金项 目：国家 自然科学基金青年科学基金资助项 目（ ６ １ ２ ０ ３ １ ５ ２ ） ；辽宁省博士科研启动基金 资助项 目（ ２ ０ １ ２ １ ０ ４ Ｏ ） ． 作者简介 ：李彦平 （ １ ９ ５ ７ 一 ） ， 男， 辽 宁锦州人 ， 沈 阳大学教授 ， 博士．
问题能够较快地得到特定 的最短路径及其长度．
关 键 词 ：极 小 代 数 ； 赋 权有 向图； 距 离 矩 阵 ；路 径 规 划 ；最 短 路 径 文 献 标 志 码 ：Ａ 中 图 分 类 号 ：Ｔ Ｐ ３ ０ １ ． ６
路径 规划 问题 在 物 流 管 理 、 城 市 规 划 和 工 厂
解每对顶点之 间最短距 离 的 Ｆ ｌ ｏ ｙ ｄ － Ｗａ ｒ ｓ ｈ ａ ｌ ｌ 算 法ｌ ＿ ７ ］ 以及 求解 每 对 顶点 间的最 短 路径 的 Ｊ ｏ ｈ ｎ ｓ ｏ ｎ 算法Ｌ ８ ］ 等． 目前所 使用 的最 基 本 的和 最广 泛 的算 法， 是由 Ｆ Ｗ Ｄｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ提 出 的 Ｄｉ ｊ ｋ ｓ ｔ ｒ ａ算 法 ＿ ９ ］ ． 许 多 文献 也讨 论 了该算 法 的实现 方法 以及 改进 方
象 成 图论 下 的赋权 网络 模 型 ， 根 据 赋 权 网络 模 型 求 解 最短路 径及 最 短路 径长 度．本 文 应用 极 小 代
ｍｉ ｎ ｛ ａ ， ｂ ｝ ，口 ｂ
： ａ＋ ６ ．
定 义 ２ 称 Ｇ一 （ ， Ｅ， 口 ） 为 一 个 简 单 的 赋 权 有 向 图 ，其 中 ， 一｛ １ ， ２ ， ３ ， …， ） 为 图 的 顶 点 集