数据结构与算法分析第九章 图论算法.
图论算法资料
图论算法图论算法是许多计算机科学领域中的关键主题，它们被用于解决各种实际问题，如社交网络分析、路由优化和布局等。
本文将介绍几种常见的图论算法，包括最短路径算法、最小生成树算法和图的遍历算法等。
最短路径算法最短路径算法旨在找到图中两个节点之间最短的路径。
其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于计算从单个源节点到所有其他节点的最短路径的贪婪算法。
它通过不断更新到达各个节点的最短路径长度来逐步构建最短路径树。
这种算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点数量。
Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
该算法使用矩阵来表示节点之间的距离，通过更新矩阵中的元素来找到最短路径。
其时间复杂度为O(V^3)。
最小生成树算法最小生成树算法是一类用于找到无向图中生成树的算法，其中生成树是原图的一个子图，包含了所有的节点且形成一棵树。
其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法Prim算法是一种贪婪算法，用于找到连通图的最小生成树。
该算法从初始节点开始，逐步在生成树中添加边，直到所有节点都被包含在生成树中。
它的时间复杂度为O(V^2)。
Kruskal算法Kruskal算法是一种基于集合的算法，用于找到连通图的最小生成树。
该算法首先将图中的所有边按权重排序，然后逐条添加边，确保生成树不产生环。
其时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边数。
图的遍历算法图的遍历算法用于访问图中所有节点，并通常用于搜索特定的节点或路径。
深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常见的图遍历算法。
深度优先搜索（DFS）DFS算法从起始节点开始，逐步访问其相邻节点，并递归地访问相邻节点的相邻节点，直到没有未访问的节点为止。
这种算法通常用于寻找图中的路径。
《数据结构与算法 》课件
数据结构在人工智能中的优化可以提升算法的效率和准确性，例如通过使用哈希表实现快速特征匹配，提高图像识别速度。
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定义与分类
添加边、删除边、查找路径等。
基本操作
图中的边可以是有方向的，也可以是无方向的。节点之间可以有多种关系，如邻接、相连等。
特性
社交网络、交通网络、路由协议等。
应用场景
05
排序与查找算法
冒泡排序：通过重复地遍历待排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
详细描述
链表的优势在于可以动态调整大小，插入和删除操作仅需修改指针，时间复杂度为O(1)。但链表访问特定元素需要从头部遍历，效率较低。
VS
栈和队列是特殊的线性数据结构，它们遵循特定的操作规则。栈遵循后进先出（LIFO）原则，队列遵循先进先出（FIFO）原则。
详细描述
栈用于保存按照后进先出顺序访问的数据元素，常见的操作有压栈、弹栈和查看栈顶元素。队列用于保存按照先进先出顺序访问的数据元素，常见的操作有入队、出队和查看队首元素。
03
线性数据结构
数组是线性数据结构中的基本形式，它以连续的内存空间为基础，用于存储固定长度的同类型元素。
数组具有固定的长度，可以通过索引直接访问任意元素。它适合于需要快速访问数据的场景，但插入和删除操作需要移动大量元素，效率较低。
详细描述
总结词
总结词
链表是一种线性数据结构，它通过指针链接各个节点，节点包含数据和指向下一个节点的指针。
图论算法总结及图论建模
else if (v in S)
// 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])
// 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop
// 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
算法演示
边的分类
一条边(u, v)可以按如下规则分类
• 树边(Tree Edges, T): v通过边(u, v)发现 • 后向边(Back Edges, B): u是v的后代 • 前向边(Forward Edges, F): v是u的后代 • 交叉边(Cross Edges, C): 其他边，可以连接同一个DFS树中没
1. 2. procedure tarjan(u:longint); var p:node; v:longint; begin f[u]:=false;inc(top);stack[top]:=u; instack[u]:=true;p:=head[u]; inc(time);dfn[u]:=time;low[u]:=time; while p^.key<>u do begin v:=p^.key; if f[v] then begin tarjan(v); low[u]:=min(low[u],low[v]);
tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j]; }
if (DFN[i]==LOW[i]){ Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i);
数据结构与算法分析：C语言描述（原书第2版简体中文版！！！）PDF+源代码+习题答案
数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版简体中⽂版！！！）PDF+源代码+习题答案转⾃：/Linux/2014-04/99735.htm数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版中⽂版！！！） PDF+源代码+习题答案数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版）是《data structures and algorithm analysis in c》⼀书第2版的简体中译本。
原书曾被评为20世纪顶尖的30部计算机著作之⼀，作者mark allen weiss在数据结构和算法分析⽅⾯卓有建树，他的数据结构和算法分析的著作尤其畅销，并受到⼴泛好评．已被世界500余所⼤学⽤作教材。
在本书中，作者更加精炼并强化了他对算法和数据结构⽅⾯创新的处理⽅法。
通过c程序的实现，着重阐述了抽象数据类型的概念，并对算法的效率、性能和运⾏时间进⾏了分析。
数据结构与算法分析：C语⾔描述（原书第2版） PDF下载：百度⽹盘免费下载地址：（本⼈是从这⾥下载的，感谢原博主）全书特点如下： ●专⽤⼀章来讨论算法设计技巧，包括贪婪算法、分治算法、动态规划、随机化算法以及回溯算法 ●介绍了当前流⾏的论题和新的数据结构，如斐波那契堆、斜堆、⼆项队列、跳跃表和伸展树 ●安排⼀章专门讨论摊还分析，考查书中介绍的⼀些⾼级数据结构 ●新开辟⼀章讨论⾼级数据结构以及它们的实现，其中包括红⿊树、⾃顶向下伸展树。
treap树、k-d树、配对堆以及其他相关内容 ●合并了堆排序平均情况分析的⼀些新结果⽬录出版者的话专家指导委员会译者序前⾔第1章引论第2章算法分析第3章表、栈和队列第4章树第5章散列第6章优先队列（堆）第7章排序第8章不相交集ADT第9章图论算法第10章算法设计技巧第11章摊还分析第12章⾼级数据结构及其实现索引。
多项式算法数据结构中的高效问题求解方法
多项式算法数据结构中的高效问题求解方法数据结构和算法是计算机科学中非常重要的概念，它们为我们解决问题提供了基础和方法。
在多项式算法中，我们常常遇到需要高效解决问题的情况。
本文将介绍几种在多项式算法数据结构中的高效问题求解方法。
一、动态规划动态规划是一种常用的高效问题求解方法，它通过将原问题划分为子问题，并且通过解决子问题来解决原问题。
在多项式算法中，我们常常使用动态规划来解决诸如最长递增子序列、最短路径等问题。
动态规划的核心思想是定义状态和状态转移方程。
通过定义状态来表示问题的子问题，然后通过状态转移方程来描述子问题之间的关系。
例如，在最长递增子序列问题中，我们可以定义状态dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度，然后通过状态转移方程dp[i] = max(dp[j]+1)来求解问题。
二、贪心算法贪心算法是一种在每个阶段选择局部最优解，最终达到全局最优解的算法。
在多项式算法中，贪心算法常常用来解决如最小生成树、背包问题等。
贪心算法的关键是找到每个阶段的最优解，并通过局部最优解来推导出全局最优解。
例如，在背包问题中，我们每次选择单位重量价值最高的物品放入背包。
这样虽然不能保证一定得到最优解，但通常能够得到很接近最优解的结果。
三、分治算法分治算法是一种将问题划分为若干个独立子问题来解决的算法。
在多项式算法中，分治算法常常用来解决如合并排序、快速排序等问题。
分治算法的核心思想是将原问题划分为若干个规模较小且结构相同的子问题，然后分别解决这些子问题。
最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
例如，在合并排序中，我们将数组划分为两个子数组，分别对两个子数组进行排序，然后将排序后的子数组进行合并。
四、回溯算法回溯算法是一种通过深度优先搜索遍历问题的解空间来求解问题的算法。
在多项式算法中，回溯算法常常用来解决如八皇后问题、组合问题等。
回溯算法的核心思想是通过深度优先搜索遍历问题的解空间，并通过剪枝来减少搜索空间。
数据结构与算法分析第九章 图论算法
I
J
L
C
物理与电子学院-数据结构
D
9
1.概念定义
连通：顶点v至v’’之间有路径存在 强连通图：有向图 G 的任意两点之间都是连通的， 则称 G 是强连通图。 强连通分量：极大连通子图(每个子图是强连通的) 基础图：有向图去掉弧上方向形成的无向图 弱连通图：非强连通但其基础图是连通的有向图。
27
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
无权最短路径
见图9-10 S为v3
广度优先搜索
按层次处理顶点：距源点近的顶点先被访问， 远的顶点后被访问。 类似树的层序遍历
物理与电子学院-数据结构
28
3.最短路径算法
队列实现
O(|E|+|V|)
物理与电子学院-数据结构
29
3.最短路径算法
图的割点 深度优先生成树 Num：按照搜索顺序给节点的编号 Low：通过零或多条边(最多包括一条背向边)所能到 达的最小编号节点
V2
加权邻接矩阵：
20
V3
V2
V3
（V0,V3 ,V2 ）
（V0,V3） （V0 ,V3 ,V2 ,V4）
50
30 60
0 1 2 3 4
V4
0 1 2
0 10 ∞ 30 100 ∞ 0 50 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10 ∞ ∞ 20 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 60 0
3
4
注意：这里0、1、2、3、4用于标识结点V0 、 V1、V2、V3、V4。
《算法设计与分析》第09章
1 X1=1 0 3 0 5 6 1 0 7
X3=1 0
8 9
1
10
0
11
1
12
0
13
1
14
0
15
状态空间树
分枝限界算法有利于提高算法效率的两个特点：
• 该算法首先扩展上层结点，采用智能化的限界 函数，有利于大范围地剪枝； • 该算法处理活动结点时，只经过一次扩展即列 出所有子结点，而回溯算法每次只扩展一个子 结点，遍历的路径较长。所以效率较高。 • 较高的效率是以付出一定代价为基础的。
0-1背包问题分枝限界算法思路：
1
如
0 3
X1=1
2 X2=1 4 X3=1 0 8 9 1 10 0 5 0 11 1
1 6 0 13
0
n=3,M=35,W=( 11,21,23),P=(2 1,31,33)
12
按FIFO方式从活 7 动结点表中选 A-结点进行扩 1 0 展，其搜索过 14 15 程为：
– 对状态结点的处理是跳跃式的。 – 算法要维护一个“活动结点表”。需占用较多的空 间
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求 图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
6.2 单源最短路径问题
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最 短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的 数字表示该结点所对应的当前路长。
顶点i和j间有边，且此 路径长小于原先从原点 到j的路径长
6.3 最小耗费搜索
1.问题描述
设x是所有可行解集合A中的一个可行解,D(x)是找到x 所需要的耗费（如：当这个耗费与该解在T中的深度成正 比时，可以定义D(x)等于x的深度），要求找到一个可行 解x*,使得D(x*)=minD(x) (x∈A)。
图论基本算法
图论基本算法图论是NOIP必考的知识点。
松弛操作如图：⽐如说从1到2可以有2种解法，⼀种是直接⾛，另⼀种就是⽤⼀个点来中转；从这两条路上选最短的⾛法的操作就叫松弛。
根据这个操作啊就可以做出像暴⼒⼀样的最短路算法————Floyd算法.我们可以先初始化把不相连的边都设为⽆穷⼤，再不断进⾏松弛操作不断更新最短路。
这样就可以得出所有的两点之间的最短路，还能处理负边权。
不过就是有点慢时间复杂度是O（n3）for(k=1;k<=n;k++) //中转点for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]) //松弛操作dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];但是该算法适⽤于求解多源最短路径，所以时间复杂度⼤也是正常的。
⽽单源最短路径主要有两种Dijkstra算法O（n2）加堆优化O（nlogn）⽤来计算从⼀个点到其他所有点的最短路径的算法。
Dijkstra它不能处理存在负边权的情况。
算法描述：设起点为s，dis[v]表⽰从s到v的最短路径，。
a)初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0;;b)For (i = 1; i <= n ; i++)1.在没有被访问过的点中找⼀个顶点u使得dis[u]是最⼩的。
（可以认为是贪⼼操作）2.u标记为已确定最短路径的点3.与u相连的每个没有被确定最短路径的顶点进⾏松弛操作。
算法思想：我们把点分为两类，⼀类是已确定最短路径的点，称为“⽩点”，另⼀类是未确定最短路径的点，称为“蓝点”。
如果我们要求出⼀个点的最短路径，就是把这个点由蓝点变为⽩点。
从起点到蓝点的最短路径上的中转点在这个时刻只能是⽩点。
Dijkstra的算法思想，就是⼀开始将起点到起点的距离标记为0，⽽后进⾏n次循环，每次找出⼀个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从蓝点变为⽩点。
图论算法介绍
if （a[i,k]=1）and (a[k,j]=1) then a[i,j]=1 (a[i,j]=1表示i可达j，a[i,j]=0表示i不可达j）。
var
link，longlink：array[1..20，1..20] of boolean；{ 无向图和无向图的传递闭包。其
中
l o n g l i n k[i,
例如：公路交通图，边以距离w为权。
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图 例
245
无向完全图 5
1
例 1
3
6
图与子图
57
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
3
6
例 245
1
3
6
G1
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
245
简单路径：1，2，3，5
❖ 图 G = (V, E)
V = 顶点集 E = 边集 = V V的子集
结点集V＝｛a， b， c， d｝ 边集E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝ 其中e1＝（a， b）， e2＝（a， c），
e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
(一)、计算无向图的传递闭包
v1→v2→v4→v8→v5 →v3→v6→v7
算法结构:
调用一次dfs(i)， 可按深度优先搜索 的顺序访问处理结 点i所在的连通分 支（或强连通分 支），dfs(i)的时 间复杂度为W(n2)。 整个图按深度优先 搜索顺序遍历的过 程如下：
显然，为了避免重复访问同一个顶点，必须 记住每个顶点是否被访问过。为此，可设置 一个布尔向量visited[1..n],它的初值为 false，一旦访问了顶点vi，便将visited[i] 置为ture。 图的深度优先搜索是一个递归过程，可以使 用栈来存储那些暂时不访问的邻接点.类似于 树的前序遍历，它的特点是尽可能先对纵深 方向进行搜索，故称之深度优先搜索。
算法与数据结构考研试题精析(第二版)第9章 查找答案
第9章集合部分答案解释如下。
4．不能说哪种哈希函数的选取方法最好，各种选取方法有自己的适用范围。
8．哈希表的结点中可以包括指针，指向其元素。
11．单链表不能使用折半查找方法。
20．按插入后中序遍历是递增序列的原则，若某结点只有右子树，而插入元素的关键字小于该结点的关键字，则会插入到该结点的左侧，成为其左孩子。
这种插入就不是插入到叶子下面。
21．从平衡因子定义看，完全二叉树任一结点的平衡因子的绝对值确实是小于等于1。
但是，平衡二叉树本质上是二叉排序树，完全二叉树不一定是排序树。
故不能说完全二叉树是平衡二叉树。
23．某结点的左子树根结点不一定是它的中序前驱，其右子树根结点也不一定是它的中序后继。
24．在等概率下，查找成功时的平均查找长度相同，查找失败时的平均查找长度不相同。
26．只有被删除结点是叶子结点时命题才正确。
三．填空题1．n n+1 2．4 3．6,9,11,12 4．55．26（第4层是叶子结点，每个结点两个关键字） 6．1,3,6,8,11,13,16,19 7．5,96 8．m-1,「m/2⎤-1 9．2,4,310．(1)哈希函数(2)解决冲突的方法 (3)选择好的哈希函数 (4)处理冲突的方法 (5)均匀(6)简单11．AVL树（高度平衡树，高度平衡的二叉排序树），或为空二叉树，或二叉树中任意结点左子树高度与右子树高度差的绝对值小于等于1。
12．小于等于表长的最大素数或不包含小于20的质因子的合数 13．16 14．⎣㏒n」+1215．(1)45 (2)45 (3)46（块内顺序查找） 16．k(k+1)/2 17．30，31.5（块内顺序查找）18．(1)顺序存储或链式存储 (2)顺序存储且有序 (3)块内顺序存储，块间有序 (4) 散列存储19．(n+1)/2 20．(n+1)/n*log2(n+1)-1 21．结点的左子树的高度减去结点的右子树的高度22．(1)顺序表(2)树表(3)哈希表(4)开放定址方法(5)链地址方法(6)再哈希(7)建立公共溢出区23．直接定址法 24．log⎡m/2⎤(21n+)+1 25．O(N) 26．n(n+1)/227．54 28．31 29．37/12 30．主关键字 31．左子树右子树32．插入删除 33．14 34．(1)126 (2)64 (3)33 (4)65 35．（1）low<=high (2) (low+hig) DIV 2 (3) binsrch:=mid (4)binsrch:=0 36．(1) k (2) I<n+1 37．(1)rear=mid-1 (2)head=mid+1 (3)head>rear 38．(1)p!=null (2)pf=p (3)p!=*t (4)*t=null四．应用题1．概念是基本知识的主要部分，要牢固掌握。
图论及其算法
第五章图图论﹝Graph Theory﹞是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有某种关系。
实际生活中的很多事例都可用图来表示其内部关系。
构建图并应用相关的算法解决一些实际问题是本章的出发点。
5.1.1图的基本概念1.图：图是由顶点集合及顶点间的关系集合组成的一种数据结构, Graph＝( V, E ) 其中V = { x | x ∈某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合；E = {(x, y) | x, y ∈ V } 或E = {<x, y> | x, y ∈V && Path (x, y)} 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边集合。
Path (x, y)表示从 x 到 y 的一条单向通路, 它是有方向的。
2.有向图与无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的。
在无向图中，顶点对(x, y)是无序的。
3.完全图：若有 n 个顶点的无向图有 n(n-1)/2 条边, 则此图为完全无向图。
有 n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 则此图为完全有向图。
4.顶点的度：一个顶点v的度是与它相关联的边的条数。
在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。
顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数, 顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数。
5.路径：在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。
则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。
6.路径长度：非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。
带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。
7.简单路径：若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复, 则称这样的路径为简单路径。
图论及其算法
图的最短路
给定带权有向图G=（V，E），其中每条边的
权是非负实数，另外，再给定V中的一个顶点， 我们称之为源点。要计算从源点到其他各顶 点的最短路径长度。这个问题称为图论单源 最短路问题。 Dijkstra、spfa、floyd
Dijkstra
是一种贪心算法。
建立集合s，先将源点加入集合。把距源点最
图的遍历
图的遍历是对给定一个图，从其中的任一顶
点出发顺序访问图中的所有顶点，每个顶点 被访问一次。遍历的结果是将顶点排成一定 的序列。图的遍历是求解图的连通、拓扑排 序等算法的基础。通常有深度优先遍历和广 度优先遍历两种方法。
Spfa（邻接表实现） var zt:array[0..10000] of longint; pre,other,w:array[0..10000] of longint;//邻接表 last,d:array[0..100] of longint; v:array[0..100] of boolean; i,p,q,r,t,l,n,m:longint; procedure spfa; var p,q,l,r,i:longint; begin fillchar(v,sizeof(v),false); //初值设为未访问 for i:=1 to n do d[i]:=1000000; //初始距离设为最大 l:=0;r:=1;d[1]:=0; //源点的距离是0 zt[1]:=1;v[1]:=true; //源点入队 while l<r do begin inc(l); //取出队头元素 p:=zt[l];v[p]:=false;q:=last[p]; while q<>0 do begin //邻接表的循环 if d[other[q]]>d[p]+w[q] then begin d[other[q]]:=d[p]+w[q]; //更新 if not v[other[q]] then begin inc(r);v[other[q]]:=true; //如果能更新，则入队 zt[r]:=other[q]; end;
《数据结构与算法分析》课件第9章
9.1 回溯法 9.2 分支界限法
9.1 回 溯 法
9.1.1 回溯法的算法框架 1．问题的解空间 应用回溯法求解问题时，首先应明确定义问题的解空间，
该解空间应至少包含问题的一个最优解。例如，对于有n种 物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成，该 解空间包含了对变量的所有可能的0-1赋值。当n=3时，其解 空间是
式搜索问题的解空间树。常见的解空间树有子集树和排列树。
从活结点表中选择下一个扩展结点作为当前扩展结点， 常用的方法有两种：
(1) 一般队列方法。一般队列方法是将活结点表组织成 一般队列，并按队列中结点先进先出的原则选取下一个结点 作为当前扩展结点。
(2) 优先级队列方法。优先级队列方法是将活结点表组 织成一个优先级队列，并按优先级队列中规定的结点优先级 来选取优先级最高的下一个结点作为当前扩展结点。
void BackTrace(int t) { if(t>n) Output(x); else for(int i = f (n, t); i <= g (n, t); i++ ) { x[t] = h(i); if(Constraint(t) && Bound (t)) BackTrace(t+1); }
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
在定义了问题的解空间后，还需要将解空间有效地组织 起来，使得回溯法能方便地搜索整个解空间，通常将解空间 组织成树或图的形式。例如，对于n=3的0-1背包问题，其解 空间可以用一棵完全二叉树表示，如图9-1所示。从树根到 叶子结点的任意一条路径可表示解空间中的一个元素，如从 根结点A到结点J的路径对应于解空间中的一个元素(1, 0, 1)。
最小生成树课程设计
最小生成树课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解最小生成树的概念，掌握其定义和性质；2. 学生能够掌握两种常见的最小生成树算法：普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法；3. 学生能够运用最小生成树解决实际问题，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 学生能够运用图论知识，分析并解决最小生成树问题；2. 学生能够编写和调试实现最小生成树的算法程序；3. 学生能够通过小组合作，共同探讨并解决最小生成树相关问题。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习最小生成树，培养对图论的兴趣，激发探索数学问题的热情；2. 学生在合作解决问题的过程中，学会沟通、协作，培养团队精神；3. 学生能够认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强学习的积极性和主动性。
课程性质：本课程为计算机科学、信息技术等相关专业的高年级学生设计，旨在帮助学生掌握最小生成树的基本原理和算法，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生已经具备一定的图论基础，熟悉基本的算法和数据结构，具有一定的编程能力。
教学要求：通过讲解、示例、练习和小组讨论等形式，使学生掌握最小生成树的相关知识，提高编程实践能力和解决问题的能力。
同时，注重培养学生的团队合作精神和数学思维。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质和判定条件- 最小生成树的应用场景2. 普里姆（Prim）算法- 算法原理与步骤- 代码实现与调试- 算法性能分析3. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法- 算法原理与步骤- 代码实现与调试- 算法性能分析4. 最小生成树算法比较与应用- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的优缺点对比- 实际问题中的应用案例分析5. 小组讨论与练习- 分组讨论最小生成树相关算法及应用- 编写和调试最小生成树算法程序- 解决实际问题，如网络设计、电路设计等教学内容安排与进度：第一周：最小生成树概念与性质，普里姆算法原理与实现第二周：普里姆算法性能分析，克鲁斯卡尔算法原理与实现第三周：克鲁斯卡尔算法性能分析，最小生成树算法比较与应用第四周：小组讨论与练习，解决实际问题教材章节：《离散数学及其应用》第6章：图论《数据结构与算法分析》第9章：图论算法《计算机算法设计与分析》第4章：最小生成树与最短路径三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言、形象的比喻和具体的案例，讲解最小生成树的概念、性质和算法原理，使学生系统掌握理论知识。
数据结构与算法分析
数据结构与算法分析数据结构与算法是计算机科学的基础，它们在计算机领域的应用非常广泛。
无论是编程、软件开发还是系统设计，都离不开数据结构与算法的支持和分析。
本文将从数据结构和算法的概念、分类、分析方法、常见算法和数据结构的实际应用等方面进行探讨。
一、数据结构与算法概述数据结构是计算机存储、组织和管理数据的方式，它在内存中的表示和操作对问题的解法有着重要影响。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
算法是解决问题的一系列步骤和操作，它们用于操作和处理数据结构，实现特定的功能和目标。
二、数据结构的分类和特性1. 线性数据结构：线性结构中的数据元素之间存在一对一的关系，例如数组和链表。
2. 非线性数据结构：非线性结构中的数据元素之间存在一对多或多对多的关系，例如树和图。
3. 数据结构的特性：包括有序性、动态性、存储方式和存储操作方式等。
三、算法的分类和分析方法1. 算法的分类：常见的算法包括搜索算法、排序算法、图算法等。
它们根据解决问题的方法和策略分为不同的类型。
2. 算法的复杂度分析：通过计算算法的时间复杂度和空间复杂度，可以评估算法的执行效率和资源占用情况。
四、常见的数据结构和算法1. 数组：以连续的存储空间存储相同类型的数据元素，通过索引快速访问元素。
2. 链表：通过指针将数据元素连接起来，可以灵活地插入和删除元素。
3. 栈：先进后出的数据结构，常用于递归、回溯等场景。
4. 队列：先进先出的数据结构，常用于实现消息队列等场景。
5. 树：由节点和边组成的层次结构，常见的有二叉树、平衡二叉树等。
6. 图：由节点和边组成的网络结构，用于表示各种实际问题。
7. 搜索算法：包括深度优先搜索和广度优先搜索等，用于在图或树中查找目标。
8. 排序算法：包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序等，用于对数据进行排序。
五、数据结构与算法的实际应用1. 数据库：数据库的存储和索引结构基于数据结构和算法的设计和实现。
图论算法介绍
y1 6
4
2 51
2
1
x1
7
图1.2(d )
y3
5 3 x2 3 8 y5
N
D
x2
)
S2
{
y1
,
y3},而N
D
S2
)
S 2 {y1,y3,y5}.
l( y1) min{l( y1),l(x2 ) w((x2,y1))} min{6,3 2} 5,
1
)).
令
Sk1 Sk {xk1},Pk1 Pj (x j ,xk1). 3.若k v 1,则用k 1替代k并转2;若k v 1,则停止.
例2 考虑图1.2(a)所示的加权图(G, w). Moore-Dijkstra
算法执行如下:
4
2 51
2
1
x1
7
图1.2(c)
y3
5 y4
3 y5
N
D
x1
)
S1
N
D
S0
)
S 0 {y1,y4 ,y5}.
l( y1) min{l( y1),l(x1) w((x1,y1))} min{7,1 5} 6,
y1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 y3
7
25
51
y4
x0 1
2
3
y2
7
y5
图1.2(a)
7 x0 0
1
y1
4
2 51
2
y2
7
图1.2(b)
y3
5 y4
3 y5
知识点归纳 算法与数据结构中的图算法与动态规划
知识点归纳算法与数据结构中的图算法与动态规划算法与数据结构是计算机科学中的重要基础知识，其中图算法与动态规划是两个关键的概念。
本文将对这两个知识点进行归纳总结，并介绍它们在实际应用中的重要性。
一、图算法图是由节点（顶点）和连接（边）组成的数据结构，常用于描述各种实际问题。
图算法是解决图相关问题的一种算法。
1. 图的表示方法- 邻接矩阵：用二维数组表示节点之间的连接关系，数组元素表示边的权值。
- 邻接表：使用链表来表示节点之间的连接关系。
每个节点维护一个链表，链表中的元素表示与该节点相连的其他节点。
- 关联矩阵：构建一个二维矩阵，行表示节点，列表示边，矩阵元素表示节点与边之间的关系。
2. 常见的图算法- 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）：从起始节点开始，不断沿着一条路径向下搜索，直到无法继续为止，然后回溯到前一节点，继续搜索其他路径。
- 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）：从起始节点开始，依次对其相邻节点进行搜索，然后再逐层扩展。
- 最短路径算法：如迪杰斯特拉算法（Dijkstra）和弗洛伊德算法（Floyd-Warshall），用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
- 最小生成树算法：如普里姆算法（Prim）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal），用于找到一个无环连通子图，其中包含图中所有节点，且边的权值之和最小。
二、动态规划动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以自底向上的方式解决的算法思想。
它常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
1. 基本思路动态规划的基本思路是将原问题分解为若干个重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来获得原问题的最优解。
具体步骤如下：- 确定状态：将原问题划分为子问题时，需要定义子问题的状态，即问题需要具备什么特征才能被划分为子问题。
- 确定状态转移方程：通过状态之间的关系来描述子问题和原问题的关系，即如何从一个状态转移到下一个状态。
数据结构 图的算法
1.最短主树P算法：顺序取端，边取最小图中端间最短路径计算Dijkstra算法（当路径权值均为正数时应用）１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
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0 1
∧
2 0∧∧
1 B 2 C
2 1∧
0 2∧∧
18
物理与电子学院-数据结构
1.概念定义
邻接多重表
A
无向图 G2
B
•用途：用于无向图，边表中 的边结点只需存放一
E
次，节约内存。
C
D
data first 0 A 1 B
0 2 4
1 4 1
0 1 3 p2
∧ ∧
2 3 4
∧ ∧ ∧
2 C 3 D 4 E
图的割点 深度优先生成树 Num：按照搜索顺序给节点的编号 Low：通过零或多条边(最多包括一条背向边)所能到 达的最小编号节点
30
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
在这个过程中，总保持从s到第一组各顶点的 最短路径长度都不大于从s到第二组的任何顶 点的最短路径长度，而且，每个顶点都对应 一个距离值：
第一组的顶点对应的距离值就是从s到该顶点的最 短路径长度 第二组的顶点对应的距离值是从s到该顶点的只包 括第一组的顶点为中间顶点的最短路径长度
物理与电子学院-数据结构
35
4.网络流问题
问题
从源节点到目的节点能够通过的最大流量 受到边的限制(每条边有一个最大容量)
物理与电子学院-数据结构
36
5.最小生成树
Prim算法
从最小的树开始向外延伸 选取最小的边，当该边不形成圈
Kruskal算法
选取最小的边，当该边不与已有的边形成圈
物理与电子学院-数据结构
22
2.拓扑排序
任何有向无圈图，其顶点都可以排在一个 拓扑序列里，其拓扑排序的方法是：
（1）从图中选择一个入度为0的顶点且输出 之。 （2）从图中删掉此顶点及其所有的出边。 （3）回到第（1）步继续执行。
物理与电子学院-数据结构
23
2.拓扑排序
拓扑排序
简单方法 O(|V|2)
无向图G A E H K M C D M F I G J H L K B A E 无向图G的三个连通分量 B F G
I
J
L
C
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D
9
1.概念定义
连通：顶点v至v’’之间有路径存在 强连通图：有向图 G 的任意两点之间都是连通的， 则称 G 是强连通图。 强连通分量：极大连通子图(每个子图是强连通的) 基础图：有向图去掉弧上方向形成的无向图 弱连通图：非强连通但其基础图是连通的有向图。
B
A
• 无向图：G2 =（V2，E2） V2 = {A,B,C,D,E} E2 = {(A,B), (A,C), (B,D),
B
<C,D>, <D,A>}
物理与电子学院-数据结构
(B,E), (C,E), (D,E)}
4
1.概念定义
A 有向图 G1 B A A B 有向图G1的子图 A B
C 无向图 G2 A
赋权最短路径
见图9-20，源点v1
最短路径的子路径仍是最短路径 Dijkstra算法
把图中所有顶点分成两组
第一组包括已确定最短路径的顶点 第二组包括尚未确定最短路径的顶点；
按最短路径长度递增的顺序逐个把第二组的 顶点加到第一组中去
直至从s出发可以到达的所有顶点都包括进第一组 中。
a
b a b a b
表示成右图矩阵
b
b b
a
a
C
D
优点：判断任意两点之间是否有边方便，仅耗费 O(1) 时间。 缺点：即使 << n2 条边，也需内存 n2 单元，太多; 仅读入数据耗费 O( n2 ) 时间，太长。
物理与电子学院-数据结构 15
1.概念定义
邻接表
A 向图 G1 B data adj 0 A null 1 B 2 C 3 D 1 3
将一个有向无圈图中所有顶点在不违反先决 条件关系的前提下排成线性序列的过程称为 拓扑排序
物理与电子学院-数据结构
21
2.拓扑排序
拓扑序列
对于有向无圈图G=（V，E），V里顶点的线 性序列称作一个拓扑序列，如果该顶点序列 满足：
若在有向无圈图G中从顶点Vi到Vj有一条路径，则 在序列中顶点Vi必在顶点Vj之前。
V2
加权邻接矩阵：
20
V3
V2
V3
（V0,V3 ,V2 ）
（V0,V3） （V0 ,V3 ,V2 ,V4）
50
30 60
0 1 2 3 4
V4
0 1 2
0 10 ∞ 30 100 ∞ 0 50 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10 ∞ ∞ 20 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 60 0
3
4
注意：这里0、1、2、3、4用于标识结点V0 、 V1、V2、V3、V4。
第九章 图论算法
本章纲要
1.概念定义 2.拓扑排序 3.最短路径算法 4.网络流问题 5.最小生成树 6.深度优先搜索的应用 7.NP-完全性介绍
物理与电子学院-数据结构
2
1.概念定义
飞机航空路线图
公路交通图 图
图G是由一个顶点集 V 和一个边集E构成的数 据结构。 G = (V, E )
物理与电子学院-数据结构
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6.深度优先搜索的应用
深度优先搜索
递归的遍历节点v的每一个邻接的顶点 与广度优先搜索不同。
无向图
深度优先生成树 背向边：属于图但不属于深度优先生成树的 边，其方向由搜索过程决定。
物理与电子学院-数据结构
38
6.深度优先搜索的应用
1.寻找无向图割点
每对顶点间的最短路径（all-pairs shortest paths）
指的是对已知图G=（V，E），任意的顶点Vi， Vj∈V，找出从Vi到Vj的最短路径。
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物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
一个示例
源点 V0 30 10
V0 V1 ( V0 ,V 1） 10 终点 最短路径 最短路径长度
1.概念定义
圈
w1=wN，长度至少为1的一条路径； 该路径若是简单路径，该圈就是简单圈。 无向图中，圈的边是互异的 无圈的有向图，称为DAG
物理与电子学院-数据结构
8
1.概念定义
连通：顶点v至w之间有路径存在 连通图：无向图 G 的任意两点之间都是连通 的，则称 G 是连通图。 连通分量：极大连通子图
队列实现
图9-6 O(|E|+|V|)
物理与电子学院-数据结构
24
3.最短路径算法
赋权路径长
路径上所有权值之和
无权路径长
路径长：边数之和
物理与电子学院-数据结构
25
3.最短路径算法
单源最短路径（single-source shortest paths）
指的是对已知图G=（V，E），给定源顶点 s∈V，找出s到图中其它各顶点的最短路径。
弱连通图G 图G的两个强连通分量
A
B
A
B
C
D
C
D
10
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1.概念定义
生成树
极小连通子图。包含图的所有 n 个结点，但 只含图的 n-1 条边。
无向图G A B A 无向图G的生成树 B
E
H H
E
M
C D C
M
D
完全图
每一对顶点间都存在一条边。
11
物理与电子学院-数据结构
表示成右图矩阵
0
1 1 0
1
0 0 1
1
0 0 0
0
1 0 0
0
1 1 1
E
C
D
0
1
1
1
0
•在物理实现时的考虑，和前一页的无向图类似。
物理与电子学院-数据结构
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1.概念定义
•有向图的加权邻接矩阵
设有向图具有 n 个结点，则用 n 行 n 列的矩阵 A 表示该有向图； 并且 A[i,j] = a , 如果i 至 j 有一条有向边且它的权值为a。A[i,j] = ‘ 空 或其它标 志；如果 i 至 j 没有一条有向边。 a A B
6 b 4 5 d c 2 1 1 8 g 4 h 2
a
e
7
k
4
f
a b c d e f g h k ve vl
0 0 6 0 4 0 5 0 5 7 0 7 15 0 14 11 0 18 0
34
18 0 18 6 18 6 18 8 18 8 10 16 18 18 14 18 7 18
物理与电子学院-数据结构
3.最短路径算法
工程最早完成时间
关键路径
从第一个事件到最后一个事件最长路径的长
EC1 0 ECw max ( ECv cv , w )
( v , w )E
每个任务的最早完成时间
每个任务的最晚完成时间
LCn ECn LCv min ( LCw cv , w )
( v , w )E
3
物理与电子学院-数据结构
1.概念定义