图论及其算法
图论算法详解(C++版)
1.1、prim算法:无向图的生成树就是从图的边集中选择一些边，使得这些边构成一个连通无环图，也就是树。
如果给每一条边加一个权，所有生成树中权和最小的生成树称为最小生成树。
【Prim算法思想】任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。
【最小生成树算法实例】现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。
在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。
现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？【输入】第一行两个数v(v<=200),e，分别代表城市数和边数以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w<1000)。
【输出】连通所有城市的公路最小造价。
【输入样例】6 101 2 101 5 191 6 212 3 52 4 62 6 113 4 64 5 184 6 145 6 33【输出样例】50 原图最小生成树#include<cstdio>#include<string>#include<cstring>#include<climits>using namespace std;int i,j,k,n,m,mi,t,s,a[1000][1000]; void prim(){int mi,p,f,k,d[1000];bool v[1000];memset(v,false,sizeof(v));f=1;for (i=2;i<=n;i++){d[i]=INT_MAX;}d[f]=0;s=0;for(i=1;i<=n;i++){mi=INT_MAX;for (j=1;j<=n;j++)if ((v[j]==false) && (d[j]<mi)){p=j;mi=d[j];}s+=mi;v[p]=true;for(j=1;j<=n;j++){if (a[p][j]<d[j]) d[j]=a[p][j];}}}int main(){memset(a,0,sizeof(a));scanf("%d%d",&n,&m);mi=INT_MAX;for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=n;j++){a[i][j]=INT_MAX;}}for (i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&k,&j,&t);if ((t<a[k][j])||(t<a[j][k])){a[k][j]=t;a[j][k]=a[k][j];}}prim();printf("%d",s);return 0;}1.2、克鲁斯卡尔算法假设N=(V,{E})是连通网，将N中的边按权值从小到大的顺序排列；①、将n个顶点看成n个集合；②、按权值小到大的顺序选择边，所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内，将该边放到生成树边的集合中。
图论中的最短路径问题及其算法实现
图论中的最短路径问题及其算法实现图论是研究图结构及其特性的数学分支。
在图论中，最短路径问题是其中一个经典的研究课题。
这个问题的核心是在一个有向或无向的图中，找到两个顶点之间的最短路径，即路径上各边的权重之和最小。
本文将介绍最短路径问题的基本概念，并详细探讨两个常用算法实现：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
一、最短路径问题概述最短路径问题是图论中的一类重要问题，它的解决方法被广泛应用于交通路线规划、通信网络等领域。
在求解最短路径问题时，一般需要考虑以下几个要素：1. 图的构建：首先需要构建一张合适的图，图可以是有向图或无向图。
顶点表示图中的节点，边表示节点之间的连接关系或路径，边上可能带有权重信息。
2. 起点和终点：指定需要寻找最短路径的起点和终点。
根据具体情况，起点和终点可以是图中的任意两个顶点。
3. 路径长度度量：在不同应用场景中，路径长度的度量方式可能不同。
在某些情况下，路径长度可以简单表示为路径上各边权重之和；而在另一些情况下，路径长度可能还需要考虑其他因素，如路径中经过的顶点数目。
二、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种常用的解决最短路径问题的贪婪算法。
该算法基于图的深度优先搜索思想，通过不断更新顶点的最短距离，逐步确定起点到每个顶点的最短路径。
其基本思路如下：1. 初始化：设定起点为源点，将源点的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2. 迭代更新：从源点开始，依次选择距离最小的顶点，并更新与其相邻顶点的距离。
具体操作是，对于当前选中的顶点，计算其相邻顶点经过该顶点到达源点的距离，如果该距离小于相邻顶点的当前距离，则更新相邻顶点的距离值。
3. 结束条件：当所有顶点都被标记为已访问或者没有可达的顶点时，算法结束。
三、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决最短路径问题的常用算法，它可以处理一些特殊情况下的图，如存在负权边的图。
图论中的最短路径算法及其应用
在图论中，最短路径是指在一个给定的加权有向图或无向图中，两个顶点之间连接的最小权值总和的路径。
最短路径问题是图论中常见且重要的问题，而最短路径算法则是解决这类问题的关键。
最短路径算法有多种，其中最经典且常用的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
这些算法都有各自的特点和适用范围，下面将逐一介绍。
首先是Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算从单个源点到图中所有其他顶点的最短路径。
算法的基本思想是通过逐步更新起始点到其他各点的最短路径，直到找到所有最短路径为止。
该算法对边的权值没有要求，可以是正值也可以是零或负值，但不能存在负权回路。
因此，Dijkstra算法适用于求解正边权的最短路径问题。
其次是Bellman-Ford算法。
Bellman-Ford算法也是一种单源最短路径算法，与Dijkstra算法相比，Bellman-Ford算法对边的权值没有任何限制，可以存在负权边和负权回路。
算法的基本思想是通过逐步松弛边来更新起始点到其他各点的最短路径，直到找到所有最短路径为止。
但由于负权回路的存在，算法可能会无限循环下去，因此需要通过限制循环次数来避免算法陷入死循环。
最后是Floyd-Warshall算法。
Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，用于计算图中任意两个顶点之间的最短路径。
算法的基本思想是通过动态规划的方式，逐步更新任意两个顶点之间的最短路径长度。
与Dijkstra算法和Bellman-Ford算法不同的是，Floyd-Warshall算法对边的权值也没有要求，可以是正值、零值或负值。
但该算法的时间复杂度较高，适用于图中顶点较少的情况。
这些最短路径算法在实际应用中有各自的优势和应用场景。
比如，Dijkstra算法常用于网络路由设计、GPS导航系统等需要求解单源最短路径的问题。
Bellman-Ford算法常用于检测负权回路、寻找图中的负环等。
图论及其算法
《图论及其算法》--最短路问题学院：通信学院姓名：周旋学号： S110131133 指导老师：陈六新摘要图论是数学的一个分支，它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这些图形通常用来描述某些事物之间的特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有的关系。
通过对《图论及其应用》中最短路问题的深入学习，本文利用Dijkstra算法来解决日常生活中寻找最短路的问题。
同时也是对本学期学习知识的巩固。
关键词：最短路径 Dijkstra算法迭代AbstractGraph theory is a branch of mathematics, it studies the object of picture. Graph theory graph is given by the number of points and lines connecting the two points of the graphic form. These graphics are often used to describe a specific relationship between certain things. And with the point on behalf of things, with the line connecting the two points that have a corresponding relationship between two things. Through the "Graph Theory and Its Applications," in-depth study of the shortest path problem.In this paper, we use The Dijkstra's algorithm not only to solve everyday life to find the shortest path problem, but also for the consolidation of the semester to learn the knowledge.Keyword: shortest path Dijkstra's algorithm Iteration引言边上有数的图成为加权图（weighted graph）。
图论中的常用经典算法
图论中的常用经典算法第一节最小生成树算法一、生成树的概念若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。
在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。
要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。
由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。
如下图：但不管如何，我们都可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
二、求图的最小生成树算法严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。
对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
例1、城市公交网[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。
[输入]n（城市数，1<=n<=100）e（边数）以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。
图论与网络最优化算法
第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。
图G 称为加权图。
（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。
证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。
设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。
设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。
令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。
证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。
证明与定理2·10类似，略。
第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。
证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。
图论中的最短路径算法
图论中的最短路径算法图论是数学的一个分支，研究图的性质和图之间的关系。
在图论中，最短路径算法是一类重要的算法，用于寻找图中两个顶点之间的最短路径。
本文将介绍图论中的几种常见的最短路径算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中最常用的一种。
它基于贪心策略，通过逐步扩展路径来求解最短路径。
算法的基本思想是，从一个起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择当前路径中距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择距离起始顶点最近的顶点，将其加入已扩展顶点集合。
3. 更新与新加入顶点相邻的顶点的距离，如果新的距离比原来的距离小，则更新距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到扩展到目标顶点或者所有顶点都被扩展完毕。
5. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常用的最短路径算法。
它可以处理带有负权边的图，而Dijkstra算法只适用于非负权边的图。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对所有边进行松弛操作，逐步减小起始顶点到其他顶点的估计距离，直到得到最短路径。
Bellman-Ford算法的步骤如下：1. 初始化起始顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 对所有边进行松弛操作，即如果存在一条边(u, v)，使得从起始顶点到v的距离大于从起始顶点到u的距离加上边(u, v)的权值，则更新距离。
3. 重复步骤2，直到没有顶点的距离发生变化。
4. 根据更新后的距离，可以得到最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种多源最短路径算法，可以求解图中任意两个顶点之间的最短路径。
该算法通过动态规划的方式，逐步更新顶点之间的距离，直到得到最短路径。
Floyd-Warshall算法的步骤如下：1. 初始化顶点之间的距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大。
图论的基础概念和算法
图论的基础概念和算法图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图是由一组互不相连的节点（顶点）和连接这些节点的边（边）组成的数学结构。
图论的基础概念包括顶点、边、路径、环、度数等。
本文将介绍图论的基础概念以及常用的图算法。
一、基础概念1. 图的定义和表示图由顶点集合和边集合组成。
顶点集合用V表示，边集合用E表示。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中顶点之间的连接关系。
邻接表是一个链表数组，用来表示每个顶点相邻顶点的列表。
2. 顶点和边顶点是图的基本组成单位，用来表示图中的一个节点。
边是连接两个顶点的线段，用来表示两个顶点之间的关系。
3. 路径和环路径是由一系列相邻顶点连接而成的顶点序列。
路径的长度是指路径上经过的边的数目。
环是起点和终点相同的路径。
4. 度数顶点的度数是指与其相邻的边的数目。
入度是指指向该顶点的边的数目，出度是指由该顶点指向其他顶点的边的数目。
图中顶点的度数可以用来判断顶点的重要性。
二、常用算法1. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用来遍历和搜索图的算法。
从一个起始顶点开始，逐层扩展，先访问距离起始顶点最近的顶点，然后访问它们的相邻顶点，并逐渐向外扩展。
广度优先搜索可以用来计算两个顶点之间的最短路径。
2. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是另一种常用的图遍历算法。
从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图，直到不能再继续深入为止，然后回溯到上一个顶点，继续探索其他路径。
深度优先搜索可以用来计算连通分量、拓扑排序和寻找环等。
3. 最小生成树最小生成树是指图中通过连接所有顶点的子图，并且该子图的边权重之和最小。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到包含所有顶点为止。
Kruskal算法则是从边的权重最小的边开始，逐步增加边到最小生成树中，直到包含所有顶点为止。
4. 最短路径算法最短路径算法用来计算两个顶点之间的最短路径。
图论基础图的表示与常见算法
图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。
图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。
在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。
一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。
对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。
如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。
邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。
2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。
对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。
3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。
对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。
如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。
关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。
二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS可以用递归或栈来实现。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。
从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
图论中几个典型问题的求解
具有n个顶点的无向连通图是树的充分必要条 件是它有n-1条边．连通图G的子图T，如果它的 顶点集与G的顶点集相同，且T为树，则称T是图 G的生成树，又称支撑树。如果图的边有权（对 应于边的实数），则生成树上各边权的总和称为 生成树的权，生成树并不唯一，权达到最小的生 成树称为最小生成树(Minimal Spanning Tree， 简称MST)，最小生成树不一定唯一．
end end end end D,R %输出最短路矩阵和最短路的路径矩阵。
图论中几个典型问题的求解
以上程序是通用程序，只需输入初始距离矩 阵，就能输出最短路矩阵以及最短路的路径矩阵， 将程序以文件名floyd.m存盘。
例1 以2007年研究生数学建模竞赛C题为例， 已知16个邮政支局的初始距离矩阵，求任意两个 节点之间的最短路。
§2 最短路问题
图论中几个典型问题的求解
最短路问题是图论应用的基础，很多实际问 题，如线路的布设、运输规划、运输网络最小费 用流等问题，都可以通过建立最短路模型来求解。 有些有深度的图与网络优化问题，如旅行售货商、 中国邮递员等问题，需要在首先求出任意两点之 间最短路的基础上解决。
一、最短路的概念
1．算法原理 设A=[aij]m×n是图的权矩阵（也称带权邻接矩 阵），其中aij是图上连接顶点i和j的边的权，如 果两顶点之间没有直接相连的边（即两顶点不相 邻），则aij=∞。
图论中几个典型问题的求解
令矩阵D(0)=A，作为迭代的初始矩阵，从它出 发按照一定规则求D(1)，又由D(1)按照类似的规则 求D(2)，依此类推进行迭代直至求出D(n)，设矩阵 D(m)的元素为dij(m)，迭代规则为：
输入数据中的inf表示无穷大（两个顶点之间 没有边直接相连）。
图论算法介绍
if （a[i,k]=1）and (a[k,j]=1) then a[i,j]=1 (a[i,j]=1表示i可达j，a[i,j]=0表示i不可达j）。
var
link，longlink：array[1..20，1..20] of boolean；{ 无向图和无向图的传递闭包。其
中
l o n g l i n k[i,
例如：公路交通图，边以距离w为权。
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图 例
245
无向完全图 5
1
例 1
3
6
图与子图
57
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
3
6
例 245
1
3
6
G1
顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0
例
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
245
简单路径：1，2，3，5
❖ 图 G = (V, E)
V = 顶点集 E = 边集 = V V的子集
结点集V＝｛a， b， c， d｝ 边集E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝ 其中e1＝（a， b）， e2＝（a， c），
e3＝（a， d）， e4＝（b， c）， e5＝（c， d）。
(一)、计算无向图的传递闭包
v1→v2→v4→v8→v5 →v3→v6→v7
算法结构:
调用一次dfs(i)， 可按深度优先搜索 的顺序访问处理结 点i所在的连通分 支（或强连通分 支），dfs(i)的时 间复杂度为W(n2)。 整个图按深度优先 搜索顺序遍历的过 程如下：
显然，为了避免重复访问同一个顶点，必须 记住每个顶点是否被访问过。为此，可设置 一个布尔向量visited[1..n],它的初值为 false，一旦访问了顶点vi，便将visited[i] 置为ture。 图的深度优先搜索是一个递归过程，可以使 用栈来存储那些暂时不访问的邻接点.类似于 树的前序遍历，它的特点是尽可能先对纵深 方向进行搜索，故称之深度优先搜索。
图论中的最短路径问题及其算法实现
图论中的最短路径问题及其算法实现引言：图论是离散数学的一个重要分支，研究的是表示物体间关系的图及其性质、结构和相关算法。
其中，最短路径问题是图论中的一类经典问题，它在实际应用中有着广泛的应用价值。
本文将探讨最短路径问题的定义、性质以及常见的算法实现，旨在帮助读者深入了解这一重要的图论问题。
一、最短路径问题的定义和特性在图论中，最短路径问题是指在有向图或无向图中找到连接两个顶点之间路径长度最短的路径。
根据具体的问题，最短路径可以有不同的定义，如边的权重、顶点的权重等。
下面介绍最常见的两种最短路径问题：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个源顶点出发，找到到达其余所有顶点的最短路径。
其中，最短路径可以使用不同的度量标准来定义，如路径长度、路径权重等。
研究单源最短路径问题的常见算法有迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
2. 全源最短路径问题全源最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个顶点之间的最短路径。
全源最短路径问题可以通过多次应用单源最短路径算法来解决。
在常见的全源最短路径算法中，弗洛伊德算法和约翰逊算法是两种常用的解法。
二、常见最短路径算法的实现1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种贪心算法。
其主要思想是通过不断更新从源顶点到其他顶点的距离，直到找到最短路径。
具体实现步骤如下：- 初始化距离数组dist，将源顶点到其他顶点的距离初始化为无穷大（或一个很大的数），源顶点的距离初始化为0。
- 在未访问顶点集合中选择距离最短的顶点，将其标记为已访问。
- 更新源顶点到其他顶点的距离，如果经过当前顶点的路径比之前记录的距离要短，则更新距离数组dist。
- 重复上述步骤，直到所有顶点都被标记为已访问。
2. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于解决单源最短路径问题的动态规划算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是，贝尔曼-福特算法可以处理带有负权边的图。
图论及其算法
-44-第五章图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18 世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857 年，凯莱在计数烷n 2n 2 C H 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859 年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
组合图论图论及其算法课件
4. 实例：求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解：ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC： 权和 22 DACEBD： 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同，得到的近似解也不同.
5. 修改方法：最邻近插入法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来？
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三 顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个， 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网 络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
3). 重复2)过程直到汇y被标号，或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号，说明存在一条x y增广路P，进入步骤2调整过程； 若y未得到标号，标号过程无法进行，说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令
min{ min (vi ,v j )P
(Cij
f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
f ji}，调整增广路P中
三. 中国邮递员问题(1962，管梅谷)
1. 问题：邮递员每天从邮局选好邮件，送到他所管辖 的邮区的客户手中，再返回邮局，他每天必须走过每 条街道至少一次，问如何选择邮递路线，使得他走过 的投递总行程最短？
2. 模型：非负赋权图G： 顶点----交叉口或终端，边----街道，权-----街道长 度，此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
图论的基本算法及性质
图论的基本算法及性质二分图(Is-Bipartite)一个图的所有顶点可以划分成两个子集，使所有的边的入度和出度顶点分别在这两个子集中。
这个问题可以转换为上篇提到过的图的着色问题，只要看图是否能着2个颜色就行了。
当然，可以回溯解决这个问题，不过对于着2个颜色可以BFS解决。
同样，一维数组colors表示节点已着的颜色。
伪代码：IS-BIPARTITE(g,colors)let queue be new Queuecolors[0] = 1queue.push(0)while queue.empty() == falselet v = queue.top()queue.pop()for i equal to every vertex in gif colors[i] == 0colors[i] = 3 - colors[v]queue.push(i)else if colors[i] == colors[v]return falseendendreturn true时间复杂度:Θ(V+E)，V表示顶点的个数，E表示边的个数DFS改良(DFS-Improve)上篇文章提到过，搜索解空间是树形的，也就是在说BFS和DFS。
那么在对图进行BFS和DFS有什么区别呢，这个问题要从解空间角度去理解。
对图进行BFS的解空间是一颗树，可叫广度优先树。
而DFS是多棵树构成的森林，可叫深度优先森林。
这里要对DFS进行小小的改良，它的性质会对解多个问题会很有帮助。
原版DFS搜索的时候，会先遍历本顶点，再递归遍历临接的顶点。
DFS改良希望能先递归遍历临接的顶点，再遍历本顶点，并且按遍历顺序逆序存储起来。
伪代码：DFS-IMPROVE(v,visited,stack)visited[v] = truefor i equal to every vertex adjacent to vif visited[i] == falseDFS-IMPROVE(i,visited,stack)endstack.push(v)这个改良版DFS有个很有用的性质就是，对于两个顶点A、B，存在A到B的路径，而不存在B到A的路径，则从记录的顺序中取出的时候，一定会先取出顶点A，再取出顶点B。
图论的基本算法
可求得拓扑有序序列： ABCD 或 ACBD
对于下列有向图
B
A
D
C
不能求得它的拓扑有序序列。
因为图中存在一个回路 {B, C, D}
求拓扑序列
FUNC toporder(var dig:adjlisttp):boolean; init(top2); m:=0; ve[1..n]:=0 while Not empty(top1) do [ j:=pop(top1); push(top2,j); m:=m+1; k:=firstadj(dig,j); while k<>0 do [ 入度(k):=入度(k)-1; if 入度(k)=0 then push(top1,k); if ve[j]+dut(<j,k>)>ve[k] then ve[k]:=ve[j]+dut(<j,k>); k:=nextadj(dig,j,k) ] ] if m<n then return(false) else return(true);
endF;
拓扑排序
核心问题：给一些序关系，排出全序！
一个一个排 先排最大 然后第二大… 具体实现？
每次取0出度点 枚举所有点吗？ 0出度只可能是1出度变来的！ O(n+m)
神经网络
在兰兰的模型中，神经网络就是一张有向图，图中的节点 称为神经元，而且两个神经元之间至多有一条边相连，下 图是一个神经元的例子：
图中，X1—X3是信息输入渠道，Y1－Y2是信息输出渠道， C1表示神经元目前的状态，Ui是阈值，可视为神经元的一个 内在参数。
神经元按一定的顺序排列，构成整个神经网络。在兰兰 的模型之中，神经网络中的神经无分为几层；称为输入层、 输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元 输出信息，只从上一层神经元接受信息。
与图论相关的算法
广度优先搜索
procedure bfs(i:integer); var p:arcptr;
closed,open:integer; q:array[1..maxn] of integer; begin 访问并处理顶点i; map[i].visited:=true; 顶点i进入队列q; closed:=0; open:=1; repeat
编号都不超过k的路径。 递推公式：
t(k)[i,j]= t(k-1)[i,j] or (t(k-1)[i,k] and t(k-1)[k,j])
Johnson算法
Johnson算法常用于求顶点个数较多的稀 疏图的每对点间最短路问题。
感兴趣的同学请参阅《国际信息学奥林 匹克竞赛指导——实用算法的分析与程 序设计》
inc(closed); v:=q[closed]; p:=map[v].firstarc; while p<>nil do begin
if map[p^.v].visited=false then begin 访问并处理顶点q^.v; map[q^.v].visited=true; inc(open); q[open]:=q^.v; end;
q:=q^.nextarc; end; until closed=open; end;
计算连通分支数
count:=0; for i:=1 to n do
map[i].visited:=false; for i:=1 to n do
if map[i].visited=false do begin inc(count); dfs(i); end;
组合优化问题的图论模型及算法研究
组合优化问题的图论模型及算法研究组合优化问题是一类重要的数学问题，涉及到计算机科学、运筹学、统计学、图论等多个领域。
组合优化问题的特点是问题规模大、时间复杂度高，因此寻求高效的算法成为解决该类问题的重要手段。
本文将围绕组合优化问题的图论模型及算法展开探讨。
一、组合优化问题的图论模型图论是组合优化问题建模的重要工具。
组合优化问题一般可以转化为图论问题。
例如，求解一个集合覆盖问题可以转化为一个有向图中的最小路径问题，求解一个最大流问题可以转化为一个有向图中的最大路径问题。
以下将介绍两类常见的组合优化问题及其图论模型。
1.最小割问题最小割问题是求解图中分割成两部分的最小权和的边集的问题。
在图论中，最小割问题可以转化为最大流问题。
首先，将图中的每个点分为两类，一个为源点集合，一个为汇点集合，如下图所示：[图1]接下来，我们需要找出源点集合和汇点集合之间的最小割，也就是最小的边权和。
最小割算法的思路是不断增加割集合的边权，直到源点和汇点间的割为最小。
2.旅行商问题旅行商问题是指在一个完全图中，求解一条经过所有节点的路径，使得路径长度最小。
使用图论模型求解旅行商问题可以将其转化为一个精确覆盖问题。
即对于所有的点和边，选中一些点和边，满足以下条件：1.每个点必须且只能被选择一次。
2.每条边恰好连接两个选中的点。
3.选择的点和边的数量最小。
如下图所示：[图2]二、组合优化问题的算法研究1.贪心算法贪心算法是一种常见的组合优化问题求解方法。
贪心算法通过局部最优做法来构建最终解，通常得到的并不是最优解，但是可以得到较优近似解。
贪心算法具有高效性、易于理解等优点，但是由于贪心算法是自顶向下构造解决方案的，所以它并不能消除由于先前选择的决策引起的后果，因此在某些场景下，贪心算法并不是最优解或者无法得到较优近似解。
2.综合性算法综合性算法包括回溯法、分支定界法、车型搜索等，这类算法通过对解空间的搜索，不断剪枝和回溯，得出合适的解决方案。
图论算法介绍
y1 6
4
2 51
2
1
x1
7
图1.2(d )
y3
5 3 x2 3 8 y5
N
D
x2
)
S2
{
y1
,
y3},而N
D
S2
)
S 2 {y1,y3,y5}.
l( y1) min{l( y1),l(x2 ) w((x2,y1))} min{6,3 2} 5,
1
)).
令
Sk1 Sk {xk1},Pk1 Pj (x j ,xk1). 3.若k v 1,则用k 1替代k并转2;若k v 1,则停止.
例2 考虑图1.2(a)所示的加权图(G, w). Moore-Dijkstra
算法执行如下:
4
2 51
2
1
x1
7
图1.2(c)
y3
5 y4
3 y5
N
D
x1
)
S1
N
D
S0
)
S 0 {y1,y4 ,y5}.
l( y1) min{l( y1),l(x1) w((x1,y1))} min{7,1 5} 6,
y1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 y3
7
25
51
y4
x0 1
2
3
y2
7
y5
图1.2(a)
7 x0 0
1
y1
4
2 51
2
y2
7
图1.2(b)
y3
5 y4
3 y5
图论中的基本概念与算法
图论中的基本概念与算法图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由一些点和连接这些点的边组成的数学结构。
在图论中，我们探索了一些基本的概念和算法，本文将就这些内容进行探讨。
一、图的基本概念1. 顶点（Vertex）：图中的一个点被称为顶点，也可以被称为节点或者结点。
2. 边（Edge）：图中的边是连接两个顶点的线段，用于表示两个顶点之间的关系。
3. 有向图（Directed Graph）：有向图是一种图，其中的边是有方向的，即从一个顶点指向另一个顶点。
4. 无向图（Undirected Graph）：无向图是一种图，其中的边没有方向，即两个顶点之间的关系是互相的。
5. 加权图（Weighted Graph）：加权图是一种图，每条边都有一个权重或者距离，用于表示顶点之间的距离或者代价。
6. 路径（Path）：路径是图中连接两个顶点的边的序列。
7. 环（Cycle）：环是一种路径，其起点和终点相同。
二、图的基本算法1. 广度优先搜索（Breadth-First Search，BFS）：BFS是一种用于图中遍历或者搜索的算法。
它从一个起始顶点开始，依次访问与之相邻的顶点，然后再访问与这些顶点相邻的顶点，依次类推。
2. 深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）：DFS是一种递归的遍历算法。
它从一个起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深地访问顶点，直到不能继续为止，然后回退并选择另一条路径。
3. 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）：最小生成树是一个无环连通子图，它包含图中的所有顶点，并且总权重最小。
常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
4. 最短路径问题（Shortest Path Problem）：最短路径问题是找出图中两个顶点之间的最短路径。
常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
5. 拓扑排序（Topological Sorting）：拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法。
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4. 实例：求下列赋权完全图的最优Hamilton回路.
A
解：ACEBDA: 权和 25 BACEDB: 权和 25 CABEDC： 权和 22 DACEBD： 权和 25 EACDBE: 权和 27
21 B
9 10
34 5E 7 6
C8D 所选初始点不同，得到的近似解也不同.
5. 修改方法：最邻近插入法
解：寻找最小生成树.
例2：假设在一个没有良好高速公路的偏远地区涌现 了几个城市，理想的是建筑足够多的高速公路， 使得城市之间或者直接通过高速公路往来，或 者可以通过去其他城市来实现彼此的互相往来. 现在我们希望成本最小化.
注: (1)成本最小化即：可以实现城市间的互通，同时， 每条高速路都不浪费(即去掉后就不能互通了).
3. 最优环游：即具有最小权的环游.
注：(1) 若G是欧拉图，则欧拉环游即最优.
(2) 若G不是欧拉图，则重复边权和最小的即最优. 4. 定理：设P是赋权连通图G中一条包含G的所有边 至少一次的闭途径，则P最优当且仅当它满足以下两 个条件： (1) P中没有二重以上的边.
(2) 对G中的任意圈C，其重复边集E的长度之和不 超过圈长的一半，即w(E)≤1/2w(C).
min{l
vSi
(v)},
并把达到这个最小值的一个顶点记为ui
1.置
Si1 Si U{ui1}.
步骤3：若i n-1,则停止，若i n -1,则i : i 1，转步骤2.
3. 实例：
a
3d
3
5
x 8b2 1 y
4 e8
c1
1) S0={x},其他l(v)=∞,l(x)=0 2) l(a)=3,l(b)=8,l(c)=4,S1={x,a} 3) l(b)=8,l(c)=4,l(d)=6, S2={x,a,c} 4) l(b)=8,l(e)=5,l(d)=6,S3={x,a,c,e} 5) l(d)=6,l(b)=7,l(y)=13, S4={a,c,e,d} 6) l(b)=7,l(y)=11,S5={a,c,e,d,b} 7) l(y)=11,S6={a,c,e,d,b,y}
5. Edmonds-Johnson算法
步骤1：取V0={v|d(v)为奇数}，(G中一定有偶数个奇点). 步骤2：对V0中任意u,v，求d(u,v), (用Dijkstra算法). 步骤3：构造完全图K|v0|, 其中边{u,v}的权为d(u,v). 步骤4：求K|v0|中的权最小的完美匹配M. 步骤5：在G中求以M中每条边的两端点为端点的最短路. 步骤6：将步骤5中所求的每条最短路上的每条边都添上 一条等权的“倍边”，得到新图G‘. 步骤7：在新图G’中用Fleury算法求欧拉环游，则即为 G的最优环游.
2. 实例：希望利用公路开车从上海到北京，希望路 程最短.
注：(1)点—城市，边—公路， 权—距离，连通赋权图.
(2)所有权均非负.
二. Dijkstra 算法(1959) 1. 算法思想：
首先给始点一个标号l(u0 ) 0, 对其他点v,则标号为l(v) , 在算法进行过程中，不断修改这些标号，使得每个点都最终 可以得到一个标号，这个标号就是始点u0到该点的最短路长.
f ji}，调整增广路P中
的流量如下：
fij
'
fij fij
fij
(vi , v j ) P (vi , v j ) P (vi , v j ) P
得到新的可行流f '，其总流量为v( f ) ,
2). 去掉所有标号，回到步骤1，重复以上过程，直到无法
(2)不允许高速路在所研究的城市以外的某点 处连接.
最短网络问题: 如何用最短的线路将三部电话连起来？
A
B
C
此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三 顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个， 其中最短路线者显然是二边之和(如AB∪AC).
❖ 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网 络的最短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N 比原来只连三点的最短路径O要短。
直观思路即：从始点开始，每次找到始点最近的边，将其 顶点设为S，不断地将始点与S之间的最短路所涉及的边之 端点加入到S，直至到达终点.
2. 算法描述(从u0到un-1)： 步骤1：置l(u0 ) 0, 对其他点v,l(v) , S0 u0,且i 0.
步骤2：对每个v Si ,l(v) min{l(v),l(ui ) w(uiv)};计算
三. 中国邮递员问题(1962，管梅谷)
1. 问题：邮递员每天从邮局选好邮件，送到他所管辖 的邮区的客户手中，再返回邮局，他每天必须走过每 条街道至少一次，问如何选择邮递路线，使得他走过 的投递总行程最短？
2. 模型：非负赋权图G： 顶点----交叉口或终端，边----街道，权-----街道长 度，此即求图的通过每条边至少一次的闭途径,称为G 的环游.
三. Kruskal算法 1. 问题描述：如村落间铺设电话线的问题. 2. 算法思想(贪婪算法)：总是选择权最小的边.
3. 算法描述：
步骤1：按照权的递增顺序排列图G的边，置集合T为空集.
步骤2：检查排列序表中第一条未检查的边，此边被放入 T中当且仅当它不与T中的边形成回路。若这条边被 加入T中，进入步骤3，否则重复步骤2.
三. 旅行商问题
1. 问题：设有n个城镇，已知每两个城镇之间的距离， 一个售货员自一个城镇出发巡回售货，问他该如何 选择路线，能使每个城镇经过一次且仅一次，最后 再回到出发地而且行程最短。
2. 模型：此即在赋权完全图中，寻找最小权的哈密尔 顿圈.
注：这个问题是NPC的.
3. 近似算法(最邻近算法)
一笔画问题)
❖ 在哥尼斯堡有七座桥将普雷格尔 河中两个岛及岛与河岸连接起来( 如图)。
Euler在1736年访问Konigsberg时，他发现当地的市民正从事一 项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消遣活动是在星期六作一次 走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必 须是同一地点。
Euler证明了不可能存在这样的路线。
(5,5) (3,3) (4,2)
(5,5) (3,3) (4,2)
x (4,2) v2 (3,0) v5 (3,3) y
图论及其算法
张莉 Tongji University lizhang@
§1 最小支撑树问题
一.基本概念 1. 树：无回路的无向连通图.
2. 叶：树中度数为1的顶点.
3. 森林：连通分支大于1，且每个连通分支均为 树的非连通图.
二.最小生成树
1. 例1：在偏远地区，可以通过公路连接分散的村 落，但没有任何电话服务。我们希望铺设电话 线路，使得每一对村落都可以通过电话线连接 (不必是直接的)。沿着现存的公路铺设电话线 最便宜，问沿着哪些公路铺设电话线，可以确 保每一对村落被连接，且电话线的总长度达到 最小(电话线总长度可能与安装总成本成正比)？
3). 重复2)过程直到汇y被标号，或不再有顶点可以标号为止. 若y得到标号，说明存在一条x y增广路P，进入步骤2调整过程； 若y未得到标号，标号过程无法进行，说明f 即为最大流.
(2) 调整过程
1).
令
min{ min (vi ,v j )P
(Cij
f
ij
),
(
min
vi ,v j )P
2. 算法描述：
步骤1：置集合T为空集,任选一点v放入树T中.
步骤2：将连接T中的点与V-V(T)中的点的所有边中权最 小的边加入到T中，若权最小的边有多条，任选其一， 若不可能把任一条边加入到T中，则停止，输出G非 连通.
步骤3：若T有n-1条边，则停止，T即为所找的最小支 撑树，否则，重复步骤2.
5. 实例：
b 53 d
8 54 e 12 10
70 22
a 63
c
1). 选点a,T={a},选出ab, 2). T={ab},选出bd, 3). T={ab,bd},选出dc, 4). T={ab,bd,dc},选出de
解：ab—bd—dc--de
一. 简介
§2 最短路径问题
1. 问题：寻找网络中两个顶点之间的最短路径问题.
下一阶段，最邻近A的顶点为C，B
建立闭旅程ACA,再寻找最邻近A 9
与C的顶点B，组成闭旅程 ACBA.
10
5E 7
6
(2) 从D,E中找一个最邻近ACBA的顶点D， 将其插入，分别得到ACDBA(权和20)C， 8 D
ACBDA(23),ADCBA(23),选择
ACDBA.
(3) 最后将E插入ACDBA,有4个位置
❖ 这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性 也更好。
A
P
B
C
斯坦纳（Steiner）最小树是可以在给定的点之外再增加 若干个点(称为斯坦纳点)，然后将所有这些点连起来。
如果不允许增加任何额外的点作为网络的顶点，这种最 短网络称为最小生成树。
在前面的例子中Steiner最小树的长为 3.
最小生成树的长为2.
进行为止.
8.算法思想：从任何一个可行流(如零流)出发，寻 找增广路，调节修正流量.
注：算法最终停止时，S为已标号点，T为未标号 点，C(S, T)即为最大流.
缺陷：符号顺序任意，导致增广路任意.
改进：最短增广路算法.
7. 实例
v1 (5,2) v4
(-v5,2)
(+v1,2)
v1 (5,2) v4
步骤3：若T有n-1条边，则停止，T即为所找的最小支 撑树，否则，进入步骤2.
5. 实例：
b 53 d 8 54 e 12 10