人教版数学高一人教B必修2讲义1.2.3第2课时平面与平面垂直

第2课时平面与平面垂直
1.了解面面垂直的定义.(重点)
2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理.(重点)
3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理1平面与平面垂直的判定
阅读教材P52～P53“第12自然段”内容，完成下列问题.
1.平面与平面垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
图1-2-56
记作：α⊥β.
2.判定定理
文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的
垂线，则这两个平面垂直⎭
⎬
⎫
l⊥β
l⊂α
⇒α⊥β
对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
C.m∥n，n⊥β，m⊂α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
【解析】因为m∥n，n⊥β，则m⊥β，
又m⊂α，故α⊥β，所以C正确.
【答案】 C
教材整理2平面与平面垂直的性质定理
阅读教材
P53“第13自然段”～“例4”以上内容，完成下列问题.
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直.
符号语言
⎭
⎬
⎫
α⊥β
α∩β＝l
a⊂α
a⊥l
⇒a⊥β
图形语言
设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
【解析】当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.
【答案】C
[小组合作型]
平面与平面垂直的判
定
，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
图1-2-57
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【精彩点拨】(1)要证DE＝DA，只需证明Rt△EFD≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDM过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.
【自主解答】(1)取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥BC，易知DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝1
2EC＝BD，FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN═∥1
2EC，
∴MN∥BD，
∴N点在平面BDMN内.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD内，
∴平面MNBD⊥平面ECA.
即平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵BD═∥1
2EC，MN═
∥1
2EC.
∴MNBD为平行四边形.∴DM∥BN.
由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM⊂平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
1.证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
2.根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
[再练一题]
1.如图1-2-58所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
【导学号：45722057】
图1-2-58
【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA ⊥CD .
又∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD . 又∵CD ⊂平面PDC . ∴平面PDC ⊥平面PAD .
面面垂直性质定理的应
用
如图1-2-59所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD
是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .
图1-2-59
(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .
【精彩点拨】 (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形 ―→BG ⊥AD ――――――――→面PAD ⊥底面ABCD
BG ⊥平面PAD (2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可.
【自主解答】 (1)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，由已知∠DAB ＝60°，
∴△ABD 为正三角形， ∵G 是AD 的中点， ∴BG ⊥AD .
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.
1.证明或判定线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理.
(2)面面垂直的性质定理.
(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面).
(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
[再练一题]
2.如图1-2-60所示，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.
图1-2-60
【证明】∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，
∵VA⊂平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
[探究共研型]
垂直关系的综合应
用
探究1如图1-2-61所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？
图1-2-61
【提示】∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，
∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
探究2如图1-2-62所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，
点D为线段AB上一点，且AD＝1
3DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，P
为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.
图1-2-62
【提示】连接CO，由3AD＝DB知，D为AO的中点，
又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
由3AC＝BC知，∠CAB＝60°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，
由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD.
探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.
【提示】垂直问题转化关系如下所示：
如图1-2-63所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
图1-2-63
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；
(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；
(3)利用面面垂直的判定定理.
【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD.
又AD∩PA＝A，
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
1.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.
2.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
[再练一题]
3.如图1-2-64所示，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点.
图1-2-64
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求证：平面PEF⊥平面PBC.
【导学号：45722058】【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，
∴PE⊥AC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PEF.
1.下列命题中错误的是()
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的.
【答案】 D
2.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
【解析】
∵
⎭
⎬
⎫
AD⊥BC
AD⊥BD
BC∩BD＝B
⎭
⎬
⎫
⇒AD⊥平面BCD
又AD⊂平面ADC
⇒平面ADC⊥
平面DBC.
【答案】 D
3.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)
【解析】连接AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，因为四边形ABCD 的各边相等，所以AC⊥BD，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，即BD⊥PC，要使平面MBD⊥平面PCD，只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC)；故填DM⊥PC(或BM⊥PC).
【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
4.下列四个命题中，正确的序号有________.
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
【解析】③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直.
【答案】①②
5.在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.
【证明】如图所示，∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，AB＝a，
BE＝1
2BD＝
2
2a，
AE＝AB2－BE2＝
2 2a.
同理CE＝
2 2a.
在△AEC中，AE＝CE＝
2
2a，AC＝a，
由于AC2＝AE2＋CE2，
∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，∴平面ABD⊥平面BCD.。