最新人教版九年级数学中考一轮复习课时6一元二次方程
九年级 中考数学(人教通用)一轮考点练习：考点7一元二次方程的解法及应用
考点7 一元二次方程的解法及应用(时间：40分钟)A1．(2020凉山州)一元二次方程x 2＝2x 的根为( ) A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－22．(2020聊城)用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34 2＝1716B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34 2＝12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2＝134D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32 2＝1143．(2020攀枝花)若关于x 的方程x 2－x －m ＝0没有实数根，则m 的值可以为( )A ．－1B ．－14C ．0D ．14．(2020黔东南州)已知关于x 的一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根是2，则另一个根是( )A ．－7B ．7C ．3D ．－35．某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1 260张，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( )A ．x (x ＋1)＝1 260B ．2x (x ＋1)＝1 260C ．x (x －1)＝1 260D ．x (x －1)＝1 260×26．某件羊毛衫的售价为1 000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x %后，售价降低了190元，则x 为( )A ．5B ．10C ．19D ．817．若x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0的解，则2a ＋4b ＝__________.8．(2020泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根，则x 21 ＋4x 1x 2＋x 22 的值是__________.9．用合适的方法解下列方程：(1)x2－4x－1＝0；(2)2x2－3x－1＝0.10．如图1，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？图111．(2020上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额．(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．B12．(2020黔西南州)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m＜2 B．m≤2C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠113．(2020张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为()A．2 B．4 C．8 D．2或414．(2020德州)菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，则该菱形的周长为__________.15．(2020随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．16．某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？(2)若商场每天的盈利要达到1 200元，同时尽快减少库存，每件衬衫应降价多少元？C17．(2020铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于() A．7 B．7或6C．6或－7 D．618．(2020广州)直线y＝x＋a不经过第二象限，则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0实数解的个数是()A．0个B．1个C．2个D．1个或2个1．C 2.A 3.A 4.A 5.C 6.B7.－28.29．解：(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋4＝5，(x－2)2＝5.由此可得x－2＝±5，x1＝2＋5，x2＝2－5.(2)a＝2，b＝－3，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝17＞0.方程有两个不等的实数根x＝－b±b2－4ac2a＝3±174，即x1＝3＋174，x2＝3－174.10．解：设小路的宽应为x m.根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112.解得x1＝1，x2＝16.∵16＞9，∴x ＝16不符合题意，舍去． ∴x ＝1.答：小路的宽应为1 m.11．解：(1)450＋450×12%＝504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x . 依题意，得350(1＋x )2＝504.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%. 12．D 13.A 14.2015．(1)证明：∵Δ＝(2m ＋1)2－4×1×(m －2) ＝4m 2＋4m ＋1－4m ＋8 ＝4m 2＋9＞0，∴无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)解：由根与系数的关系得出⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－（2m ＋1），x 1x 2＝m －2.由x 1＋x 2＋3x 1x 2＝1，得－(2m ＋1)＋3(m －2)＝1. 解得m ＝8.16．解：(1)∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴每件衬衫降价5元，可售出20＋5×2＝30(件). (2)设每件衬衫应降价x 元．根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20.∵要有利于减少库存，∴x ＝20. 答：每件衬衫应降价20元． 17．B 18.D。
新人教版九年级数学第一轮基础知识总复习
第一章 数与式 课时1．实数的有关概念【考点链接】 一、有理数的意义1．数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. 2．实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += . 3．非零实数a 的倒数为______. 若a ，b 互为倒数，则ab = . 4．绝对值在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
即一个正数的绝对值等于它 ；0的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 。
( a>0 )即│a │=( a=0 ) ( a<0 )5．科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数. 6．一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从 左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 二、实数的分类 1．按定义分类正整数整数 零 自然数 有理数 负整数 正分数分数 有限小数或无限循环小数 实数 负分数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数 2．按正负分类正整数 正有理数正实数 正分数 正无理数实数 零（既不是正数也不是负数） 负整数 负有理数负实数 负分数 负无理数【三年中考试题】1．(2008年，2分) 8-的倒数是（ ） A ．8B ．8-C ．18D ．18-2．（2008年，3分）若m n ，互为相反数，则555m n +-= ．3.（2009年，3分）若m 、n 互为倒数，则2(1)mn n --的值为 ．4．（2009年，3分）据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为 ． 5．（2010年，3分）-的相反数是 ．6．（2010年，3分）如图7，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD = 6，点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ．课时2. 实数的运算与大小比较【考点链接】 一、实数的运算 1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、 、 六种，其中减法转化为 运算，除法、乘方都转化为 运算。
人教版初中数学中考复习一轮复习——一元二次方程解法及其应用(1)
D 1．(2021·河南) 若方程 x2-2x+m=0没有实数根，则 m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D． 3
2．（2021•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等 的实数根，则实数k的值为 k 9．
3．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，
a 1,b 3, c 4
b2 4ac -3 2 41（- 4） 9 16 25 0
所以方程有两个不等实数根
x b 3 25 3 5
2a
2
2
x1 4, x2 1
考点二：一元二次方程的解法
1x2 3x 4
2x2 6x 7 0
32 x2 4x 5 0
解：a 1,b (k 3),c 1 k
b2 4ac (k 3)2 41 (1 k) k 2 2k 5 k 2 2k 1 4 (k 1)2 4
因为(k 1)2 4 0, 所以方程有两个不等实数根。
考点三：判别式和一元二次方程根的情况
5．（2021•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中
考点二：一元二次方程的解法
2.配方法
对应练习： 1x2 4x 1 0
22x2 8x 3 0
12x2 1 3x
22x2 8x 3 0 x2 4x 3 0
2
x2 4x 3 2
x2 4x 4 3 4 2
x22 11 2
x 2 22 2
x1 2
22 ,x 2
变式2．若方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围是（a 1且a 0 ）
2022-2023学年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程章节复习
一元二次方程章节复习一．一元二次方程的定义（共1小题）1．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．三．根的判别式（共5小题）3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．75．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或86．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．四．根与系数的关系（共4小题）8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（）A．x2+5x+6＝0B．x²﹣5x+6＝0C．x2﹣6x+5＝0D．x2﹣6x﹣5＝0 9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2023B．2021C．2026D．201910．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣211．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）12．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝4513．某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为．六．一元二次方程的应用（共8小题）14．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长15．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20%B．25%C．30%D．35%16．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．1717．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为．18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售件．（用含x的代数式表示）（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？20．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？21．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．参考答案与试题解析一．一元二次方程的定义（共1小题）1．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝2．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．所以得到，解得m＝2．【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】直接利用配方法解方程进而得出答案．【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴2x2﹣4x＝1，则x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．三．根的判别式（共5小题）3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1【分析】利用一元二次方程由实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．7【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2；②a＝b；①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0可得结果．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，∴x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，解得：n＝6，当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝6不合题意，②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0解得：n＝7．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．5．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或8【分析】①当m＝n时，②m＝4或n＝4时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：①当m＝n时，∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，解得，a＝8，∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，解得：m＝n＝3，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；②m＝4或n＝4时，∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，∴42﹣6×4+a+1＝0，解得：a＝7，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，解得：m＝2，n＝4，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；综上所述：a的值为7或8．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2．∵（m﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣m+2）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，故m＜2，∴正整数m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．四．根与系数的关系（共4小题）8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（）A．x2+5x+6＝0B．x²﹣5x+6＝0C．x2﹣6x+5＝0D．x2﹣6x﹣5＝0【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝，即方程为x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0，再把x1+x2＝5和x1•x2＝6代入方程即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6，∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2023B．2021C．2026D．2019【分析】根据题意可知a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，所求式子化为﹣a+3﹣b+2022＝﹣（a+b）+2025即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2022＝﹣a+3﹣b+2022＝﹣（a+b）+2025＝1+2025＝2026．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．10．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：将x＝n代入方程，得n2+2n﹣1＝0．所以2n﹣1＝﹣n2．根据根与系数的关系，得m+n＝﹣2，所以＝＝﹣（m+n）＝﹣（﹣2）＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2＝0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）12．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1）．∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为x2+x+1＝73．【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝73，整理即可．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝73，故答案为：x2+x+1＝73．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．六．一元二次方程的应用（共8小题）14．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD2+aBD＝b2是解题的关键．15．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20%B．25%C．30%D．35%【分析】设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，利用2020年该村乡村民宿旅游收入＝2018年该村乡村民宿旅游收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，依题意得：2000（1+x）2＝3380，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．17【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程，然后解方程即可得到结论．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），即：x＝14，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．17．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为10．【分析】本题中小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，解方程从而求解．【解答】解：因为小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，则其面积为（80﹣2x）（60﹣2x）cm2根据题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60整理得：x2﹣70x+600＝0解之得：x1＝10，x2＝60因x＝60不合题意，应舍去所以x＝10．故答案是：10．【点评】考查了一元二次方程的应用，此题解答时应结合草图，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售（30+5x）件．（用含x的代数式表示）（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？【分析】（1）根据“平均每天销售30件，每个挂件降价1元，则每天可多售出5件”列出代数式即可；（2）设每件应降价x元，根据每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝540，列出方程，求出x的值，计算得到降价多的数量即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意知，每天将销售（30+5x）件；故答案是：（30+5x）；（2）根据题意，得（20﹣x）×（30+5x）＝840．整理，得x2﹣14x+48＝0．解得x1＝6，x2＝8．因为让顾客得到更大实惠，所以x＝8符合题意．答：每个挂件应降价8元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系，列出方程．得到现在的销售量是解决本题的难点．19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．答：年平均增长率为20%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵让顾客获得最大优惠，∴y＝20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．20．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？【分析】（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（140﹣x）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．【解答】解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（140﹣x）万元，由题意得：＝，解得：x＝60，经检验x＝60是方程的解，∴x＝60，140﹣x＝80，答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，由题意得：（200﹣y﹣100）（350+5y）＝36080，解得：y1＝12，y2＝18，∵y≤200×8%，即y≤16，∴y＝12，200﹣y＝188，答：每吨燃料棒售价应为188元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．21．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．【分析】（1）根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答；（2）根据“长方形区域甲的面积比长方形区域乙大44m2”求得正方形的边长为20，所以再结合图形和矩形的面积公式解答．【解答】解：（1）由题意，得100a+80a﹣a2＝（7a）2化简，得a2＝3.6a．∵a＞0．∴a＝3.6．答：步道的宽为3.6m；（2）设正方形丙的边长为x．由题意，（100﹣x﹣4.6）（x+1）﹣（x+1）（80﹣x﹣2﹣3.6）＝441，解得x＝20，∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80﹣1+20）＝199（m2）．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。
人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)
一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲 一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】 例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（） 分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】 一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（ ）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（ ）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ ）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（ ）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲 配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程 解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】 一、选择题1． 已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（ ） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（ ）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（ ） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值 分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论 解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米 的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理 池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平 方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有 化简得 解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去 当池长为米时池宽为米米符合题意 当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】 一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲 分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为 即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或 原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（ ）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（ ）3.方程的根是，则这个方程为（ ）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲 一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系 【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的 特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】 一、选择题1． 某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2． 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（ ）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（ ） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去） 第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得： 【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。
数学中考一轮复习专题08一元二次方程课件
【例12】（3分）（202X•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了
一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，
x2=5．请你写出正确的一元二次方程
．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般情势
【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可． 【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b， 解得b=-6，c=6， 所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0． 故答案为x2-6x+6=0．
则x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3． 故选：B．
知识点3 ：一元二次方程的根的判别式
知识点梳理
1．一元二次方程根的判别式： b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的
判别式．常用字母“ ”表示．
2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
（1）当 =b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即
些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
①增长率＝
增长量 基础量
×100%；
②设a为本来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当
m为平均降落率，n为降落次数，b为降落后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值
为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x) 2；
知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2+m当成一个整体，利用了整体的 思想．
2022年中考数学人教版一轮复习课件：第6课 一元二次方程的解法及应用
26．(2020·广东)已知关于 x，y 的方程组ax＋ x＋y＝2 43y＝－10 3，与 xx－ ＋yb＝y＝2， 15的解相同． (1)求 a，b 的值； (2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关 于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解．试判断该三角形的形状，并 说明理由．
10.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是 调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若 每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售 利润 3 640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的销 售价为每千克多少元？
2.(2021·怀化)对于一元二次方程 2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为
A．没有实数根
( A)
B．两根之和是 3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
3.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 则 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4.(2021·大连)“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海
水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年平均亩产量约 500
千克，2020 年平均亩产量约 800 千克．若设平均亩产量的年
平均增长率为 x，根据题意，可列方程为
(D)
A．500(1＋x)＝800
B．500(1＋2x)＝800
A．k>－14 C．k＞－14且 k≠0
B．k<41 D．k<41且 k≠0
2023年江苏中考数学一轮复习专题训练第6讲 一元二次方程
第6讲一元二次方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）一、单选题1．（2022·南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5%B．10%C．20%D．21% 2．（2022·海陵模拟）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是（）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能3．（2022·南通模拟）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x 人，依题意可列方程（）.A．1+x＝225B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝2254．（2022·泗阳模拟）方程x2−4=0的解是（）A．x1=2，x2=−2B．x=0C．x1=x2=2D．x1=x2=−25．（2021·徐州模拟）学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则x满足的关系式为（）A．12x(x+1)=28B．12x(x−1)=28C．x(x+1)=28D．x(x−1)=286．（2021·徐州模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2−kx−1=0的两个实数根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2B．x1+x2>0C．x1⋅x2>0D．x1<0，x2<07．（2021·清江浦模拟）一元二次方程x2+x−6=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根8．（2021·靖江模拟）已知x1、x2是关于x的方程x2−2x−m2=0的两根，下列结论中不一定正确的是（）A．x1+x2>0B．x1⋅x2<0C．x1≠x2D．方程必有一正根9．（2021·大丰模拟）设方程x2−3x+2=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3B．−32C．32D．-210．（2021·锡山模拟）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2=x B．x2−1=0C．x2+x+14=0D．x2−2x+4=0二、填空题11．（2021·徐州）若x1，x2是方程x2+3x=0的两个根，则x1+x2=. 12．（2021·泰州）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为.13．（2021·南通）若m，n是一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则m 3+m2n3m−1的值为.14．（2021·盐城）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为.15．（2021·南京）设x1,x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，则k=.16．（2021·建湖模拟）设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1＋x2﹣x1x2的值是.17．（2021·连云港模拟）关于x的一元二次方程ax2−2x+2=0有两个不相等实数根，则a的值为.18．（2021·泰州模拟）已知m是负整数，关于x的一元二次方程x2−2mx−4=0的两根是x1、x2，若x1+x2>x1x2，则m的值等于.19．（2021·射阳模拟）方程x2-7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长是20．（2021·栖霞模拟）已知，关于x的方程kx2−(3k+1)x+2k+2=0根都是整数；若k为整数，则k的值为.三、综合题21．（2021·建湖模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x＋2m﹣8＝0.（1）求证：方程总有两个实数根.（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围.22．（2021·大丰模拟）某商店经销一种成本为每千克80元的水果，据市场分析，若按每千克100元销售，一个月能售出500千克．若销售价每涨5元，则月销售量减少20千克．针对这种水果的销售情况请解答以下问题：（1）当销售单价为每千克110元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过20000元的情况下，使月销售利润达到12000元，销售单价应定为多少元？23．（2021·鼓楼模拟）已知关于x的一元二次方程(x−1)(x−2)=m+1（m为常数）.（1）若它的一个实数根是方程2(x−1)−4=0的根，则m=，方程的另一个根为；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2(x−m)−4=0的根，求m的值；（3）若它的一个实数根是关于x的方程2(x−n)−4=0的根，求m+n的最小值. 24．（2021·兴化模拟）平安路上，多“盔”有你.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？25．（2021·苏州模拟）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A−B−C表示墙面，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF （细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上.（1）当点F在线段BC上时，①设EF的长为x米，则DE=▲ 米（用含x的代数式表示）；②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场的宽EF；（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？26．（2021·东台模拟）专卖店卖某品牌文化衫，如果每件利润为30元（市场管理部门规定，该品牌文化衫每件利润不能超过50元），每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件.（1）请写出y与x之间的函数表达式；（写出自变量x的范围）（2）当x为多少时，超市每天销售这种品牌文化衫可获利润1932元？（3）设超市每天销售这种文化衫可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？27．（2021·射阳模拟）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设.（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：设这个平均增长率是x，根据题意得3000（1+x）2=3630解之：x1=0.1=10％，x2=-2.1（舍去）.故答案为：B.【分析】此题的等量关系为：今年1月盈利×（1+增长率）2=今年3月盈利，设未知数，列方程，然后求出符合题意的方程的解.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，∴3x−y−(x+y)=(3a2−6a+9)−(a2+6a−10)，∴2x−2y=2a2−12a+19=2(a2−6a+9)+1=2(a−3)2+1，∵不论a为何值，2(a−3)2+1≥1，∴2x−2y＞0，∴2x＞2y，∴x＞y．故答案为：A．【分析】先求出2x−2y=2a2−12a+19=2(a2−6a+9)+1=2(a−3)2+1，再求出2x−2y＞0，最后求解即可。
一元二次方程-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向12 一元二次方程【考点梳理】1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）3、运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为q p x =+2)（的形式，如果q ≥0，方程的根是q p x ±-=；如果q ＜0,方程无实根．5、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．6、一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则有下列性质：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根：1,2x =．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根：122bx x a==-． ③0∆<⇔方程没有实数根．7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有a b x x -=+21，ac x x =•21（注意：运用根与系数的关系的前提是b 2-4ac ≥0） 【题型探究】题型一：一元二次方程的基础概念1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A ．x 2﹣1=0B ．x 2 +1x+3=0C ．x 2 + 2x +1=0D ．3x 2 x +1=02．（2022·河南洛阳·统考二模）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则23m m n -+的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（ ） A ．0B ．－10C ．3D ．10题型二：一元二次方程的解（开平方和配方法）4．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（ ）A ．1213x x ==B ．1229x x ==C ．1220,9x x ==D ．1220,9x x ==-5．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103 B ．73C ．2D ．436．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3B ．0C ．3D ．9题型三：一元二次方程的解（公式法）7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有212x x <<，那么实数m 的取值范围是( ) A ．2m <B ．m>2C ．2m <-D ．2m >-8．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2-9．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（ ）A ．－1B ．－1CD ．1 题型四：一元二次方程的解（因式分解）10．（2022·内蒙古包头·中考真题）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或611．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程3a 1a a 44a--=--，且关于x 的不等式a x b <≤只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．23b <≤B ．34b <≤C ．23b ≤<D ．34b ≤<12．（2022秋·九年级课时练习）已知实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，则b 的值是（ ）A ．2或6-B ．2C ．2-或6D ．6-题型五：一元二次方程的判别式问题13．（2022·山东威海·模拟预测）若关于x 的方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的值不能是（ ）A ．2B ．0C ．94D 14．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．18a >-B ．18a ≥-C ．1,18a a >-≠D ．118,a a ≥-≠15．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）若关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．2a ≤且1a ≠D ．2a <且1a ≠题型六：一元二次方程根与系数的问题16．（2022·山东济宁·三模）若m n ，是方程22470x x --=的两个根，则223m m n -+的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．517．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（ ）A ．7B ．7-C ．6D ．6-18．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（ ）A ．－3B ．3C ．－5D ．5题型七：一元二次方程的实际问题19．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如表：(1)求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，x 为多少时，w 有最大值，最大利润是多少？20．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4:5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元． (1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a 元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的6a，而第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，求a 的值．21．（2022秋·九年级单元测试）某新建公园需要绿化的面积为224000m ，施工队在绿化了212000m 后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为2468m ，那么小道的宽应为多少米？题型八：一元二次方程的综合问题22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值． 24．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ba -，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值． 解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ， ∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ；x 1x 2＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n mm n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值．【必刷基础】一、单选题25．（2022·甘肃武威·统考中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ） A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=26．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（ ）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．627．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．128．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <且0k ≠29．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知关于x 的一元二次方程()2430x k x k -+++=．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求k 的取值范围．31．（2022·江苏泰州·模拟预测）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地． (1)根据题意，填写下表：(2)设矩形一边长为m x ，矩形面积为2m S ，当x 是多少时，矩形场地的面积S 最大？并求出矩形场地的最大面积； (3)当矩形的长为______m ，宽为______m 时，矩形场地的面积为2216m ．【必刷培优】一、单选题32．（2022秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校联考阶段练习）若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ）A ．14B ．1C ．.4D ．333．（2021·广西河池·统考中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定34．（2018·河北秦皇岛·统考中考模拟）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．50（1+x ）²=182 B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182 C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=18235．（2022·四川达州·模拟预测）如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（ ）A ．1B ．65C ．423-D ．843-36．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法： ①方程2280x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则m n =-或14m n =-；③若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点()2,M t s +，()4,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为2．其中，正确说法的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．337．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，ACB ∠的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若22BM =，则线段AC 的长为( )A ．424+B ．422+C ．426+D ．4238．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3-C ．3D ．0二、填空题39．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）若关于x 的二次方程()21320m x x +-+=有两个相等的实数根，则m =___________．40．（2023秋·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根为1x 、2x ，且1212()3x x x x +=，则m 的值是______．41．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k =_____．42．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数m ，n 满足2231,31,m nm m n n n m=+=++的值为______．43．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，平均每天可售出500千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少20千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．44．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x 的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，x 的值是______．45．（2022·四川成都·统考二模）关于x 的一元二次方程240x kx -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，且满足2212122270x x x x +---=，则k 的值为______．46．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从3,1,0,1,2--这五个数中任意取出一个数记作b ，则既能使函数()24y b x =-的图象经过第二、第四象限，又能使关于x 的一元二次方程210x bx b -++=的根的判别式小于零的概率为 _____．三、解答题47．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？48．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两根12x x 、与且221220x x +=，求k 的值．49．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m 个，最终商家获利5160元，求m ．50．（2022·山东济南·模拟预测）已知M 、N 为双曲线()40y x x=>上两点，且其横坐标分别为a ，2a +，分别过M 、N 作y 轴、x 轴的垂线，垂足分别为C 、A ，交点为B ．(1)若矩形OABC 的面积为12，求a 的值；(2)随着a 的取值的不同，M N 、两点不断运动，判断M 能否为BC 边的中点，同时N 为AB 中点？请说明理由； (3)矩形OABC 能否成为正方形？若能，求出此时a 的值及正方形的边长，若不能，说明理由．51．（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，过点P 作PD AB ∥，交AC 于点D ．同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为2cm/s ．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设运动时间为t （s ）（0 2.5t <<），解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形ADPQ 为平行四边形？(2)设四边形ADPQ 的面积为y （2cm ），试确定y 与t 的函数关系式．(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使:13:2PQB ADPQ S S =四边形△？若不存在，请说明理由；若存在，求出t 值，并求出此时PQ 的距离．参考答案：1．B【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、C 、D 选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A 、C 、D 不符合题意； B 选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．2．A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m -+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，∴2410m m -+=，m ＋n ＝4，∴241m m -=-，∴2234143m m n m m m n -+=-++=-+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a+=-，12c x x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=0，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．4．C【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x -=，911x ∴-=或911x -=-，解得10x =，229x =，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=， 则212113x x ++=+，即()2413x +=， ∴1a =，43b =， ∴73a b +=． 故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．C【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得239,x c 结合已知条件构建关于c 的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,x x c 配方得：239,x c 而（x +3）2＝2c ，92,c c 解得：3,c =故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．7．C 【分析】根据求根公式求得(2)(2)2m x m -+±-=，结合条件212x x <<，可知22x =-，1x m ，进而可得m 的范围，即可求解．【详解】解：2(2)20x m x m +++=，(2)(2)2m m x -+±-∴， 212x x <<，22x ∴=-，1x m ，2m ∴->， 2m ∴<-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．8．C【分析】根据“邻根方程”的定义求出224b a a -=，代入28t a b =-进行配方求出最大值即可．【详解】解：设1x 、2x 是方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >的两根，解得，1x =2x = ∵原方程是“邻根方程”1=1= 224b a a ∴-=224b a a ∴=+()22228844(2)4t a b a a a a a a ∴=-=-+=-+=--+ ∴当a=2时，t 有最大值，最大值为4．故选C.【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．9．B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有2322x x x --=，解得1x =2x =(舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)． 故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．10．A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵2230x x --=， ∴12331x x -⋅==-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，当23x =时，212212239x x x x x x ==--⋅=，当21x =-时，2121222··33x x x x x x ⋅==-=， 故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．11．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．【详解】解：分式方程去分母得：3-a -a 2+4a =-1，即a 2-3a -4=0，分解因式得：（a -4）（a +1）=0，解得：a =-1或a =4，经检验a =4是增根，分式方程的解为a =-1，当a =-1时，由a ＜x ≤b 只有4个整数解，得到3≤b ＜4．故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．B【分析】由实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，先消去a ，求解b ，再检验即可． 【详解】解： 实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，24120,b b620,b b解得：122,6,b b当6b =-时，22219193617a b 不合题意，故舍去，所以 2.b =故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．13．C【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到2340k ，求出解集判断即可． 【详解】解：∵方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，∴2340k ， 解得94k <， 故选：C ．【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．14．D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1a ≠且()()2Δ=3-41?20a --≥，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得1a ≠且()2=3-41(2)0a ∆--≥， 解得18a ≥-且1a ≠． 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24=b ac ∆-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．15．C【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则△≥0．∴()210=(2)410a a -≠---≥⎧⎨⎩， 解得：a ≤2且a ≠1．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．A【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．【详解】解：m n ，是方程22470x x --=的两个根，则22704m m --=，2m n +=，∴2247m m =+，22373794m m n m m n m n +=+-=++-+=，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．17．B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，∴1x +2x =2，∵11x =-，∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-． 故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，∴+=,1b αβαβ-=-，∴222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=-∴=5b -故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为c a是解题的关键． 19．(1)201800y x =-+(2)这种衬衫定价为60元．(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，待定系数法求解析式即可；（2）由题意知，()()502018006000x x --+=，计算求出满足要求的解即可；（3）由题意可得，2(50)(20180020(70)8000)x x x w =--+=--+，由()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％，求出x 的取值范围，然后根据二次函数的图象与性质求w 的最值即可．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，则5570060600k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式是201800y x =-+．（2）解：由题意知，()()502018006000x x --+=，解得126800x x ==，，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为60元．（3）解：由题意可得，(50)(201800)w x x =--+220(70)8000x =--+，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％， 解得5075x ≤≤，∵200a =-<，抛物线开口向下，∴当70x =时，w 取得最大值，此时8000w =元，∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解不等式组等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．20．(1)60；(2)5．【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元，然后根据题意，列出关于,x y 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，列出关于a 的一元二次方程，然后求解即可．【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元， 根据题意，得10451801801160099x y x y -=⎧⎪⎨⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩， 解得7060x y =⎧⎨=⎩， 答：第二周草莓销售单价是每千克60元；（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，3月份第三周的销售量为5180(120%)1209⨯⨯+=千克， 其中会员购买的销量为：120206a a ⨯=千克，非会员购买的销量为：(12020)a -千克； 第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，∴20(60)(12020)606200100a a a a ⨯-+-⨯=+，整理，得25500a a +-=，5a ∴=或10a =-（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为5．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．21．(1)2400m(2)2米【分析】（1）设原计划每天完成2m x ，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设小路宽为m a ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）设原计划每天完成2m x ， 由题意得：240001200024000120005 1.2x x x--=+， 解得：400x =，经检验：400x =是原方程的根，且符合题意，答：原计划每天完成2400m ；（2）设小路宽为m a ，有题意得：()()30220468a a --=，解得：133a =（超出矩形的长，不合题意，舍去），22a =，即2m a =，答：小路宽2米．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，明确题意，列出相应的方程是解答本题的关键．22．(1)见解析(2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【详解】（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-，∵25αβ+=，∴52αβ=-，∴522ββ-+=，解得：3β=，1α=-，∴23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23．(1)k 174≤； (2)k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．【详解】（1）解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0，解得k 174≤ （2）∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．24．(1)32；12- (2)132-【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n m m n +进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t -进行变形求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-． 故答案为：32；12-． （2）∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-， ∴22n m m n m n mn++= ()22m n mn mn +-= 23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 132=- （3）∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根， ∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-， ∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 924=+ 174=∴t s -=t s -=，当t s -=11212t s s t st --===-当t s -=11212t s s t st --===-综上分析可知，11s t-或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t s -或t s -= 25．C【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x 2-2x =2， x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 26．A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41x x m x x m m +==--，把()()121222217x x x x ++-=变形为12122()130x x x x +--=，再代入得方程28120m m -+=，求出m 的值即可．【详解】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∴22=(2)4(41)0m m m ∆----≥, ∴14m ,≥-∵12x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根, ∵212122,41x x m x x m m +==--， 又()()121222217x x x x ++-= ∴12122()130x x x x +--=把212122,41x x m x x m m +==--代入整理得,28120m m -+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +--=，找出关于m 的一元二次方程． 27．A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．。
中考数学一轮复习专题解析—一元二次方程及其应用
中考数学一轮复习专题解析—一元二次方程及其应用复习目标 1、理解配方法2、会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 考点梳理一、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．例1．下列是一元二次方程的有（ ）个．①240x =；②()200++=≠ax bx c a ；③223(1)32x x x -=+；④2120x -=． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断． 【详解】解：①240x =，是一元二次方程；②()200++=≠ax bx c a ，是一元二次方程；③223(1)32x x x -=+，整理得830x -=，是一元一次方程，不是一元一次方程； ④2120x -=，不是整式方程，不是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①②，共2个， 故选：B ．二、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．注意：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．例2．关于x 的一元二次方程21x =的根是（ ） A ．1x = B ．11x =，21x =- C ．1x =- D ．121x x ==【答案】B 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2=1， ∴x 1=1，x 2=-1， 故选：B ．三、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根； △＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 注意： △≥0⇔方程有实数根.例3．一元二次方程2310x x --=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根【答案】B 【分析】计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】∵a =1，b =－3，c =－1∴224(3)41(1)130b ac ∆=-=--⨯⨯-=>∴一元二次方程2310x x --=有两个不相等的实数根 故选：B.四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么acx x a b x x 2121=⋅-=+，．例4．方程22x －5x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞258B ．m ＜258C ．m ≤258D ．m ≥258【答案】A 【分析】利用判别式的意义得到△＝（-5）2﹣4×2m <0，然后解关于m 的不等式即可． 【详解】解：∵方程22x －5x ＋m ＝0没有实数根， ∴△＝（-5）2﹣4×2m <0， 解得m>258． 故选：A ．1．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）方程()50x x -=的根是（ ） A ．5 B ．-5，5C ．0，-5D ．0，5【答案】D 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵x （x －5）＝0∴x ＝0或x －5＝0， ∴10x =，25x =． 故选D ．2．（2022·福建省福州延安中学九年级开学考试）若0x =是一元二次方程2240x b ++-=的一个根，则b 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把0x =代入2240x b ++-=得240b -=，然后解关于b 的方程即可． 【详解】解：把x =0代入2240x b ++-=得b 2-4=0， 解得b =±2， ∵b -1≥0， ∴b ≥1， ∴b =2． 故选：A ．3．（2022·云南师范大学实验中学九年级期末）如图，用长为20m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门．若花圃的面积刚好为240m ，设AB 长为x m ，则可列方程为（ ）A ．()22340x x -=B ．()20240x x -=C ．()18340x x -=D ．()20340x x -=【答案】A 【分析】设AB =x 米，则BC =（20-3x +2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x 的一元二次方程． 【详解】解：设AB =x 米，则BC =（20-3x +2）米=（22-3x ）米， 依题意，得：x （22-3x ）=40， 故选A ．4．（2022·蒙城县第六中学九年级开学考试）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为（ ） A ．()5000127500x += B ．()5000217500x ⨯+= C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++= 【答案】C 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元， 即2019年我国快递业务收入为7500亿元， ∴可列方程：()2500017500x +=， 故选：C ．5．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）判断关于x 的方程()2110kx k x -++=（k 是常数，1k <）的根的情况（ ）A ．存在一个k ，使得方程只有一个实数根B ．无实数根C ．一定有两个不相等的实数根D ．一定有两个相等的实数根【答案】A 【分析】当k =0时，可求出方程的根；k ≠0时，利用，Δ=[-（k +1）]2-4k =（k -1）2＞0即可判断原方程有实数根． 【详解】 解：∵k ＜1，∴当k =0时，原方程为-x +1=0， 解得：x =1；当k ≠0时，Δ=[-（k +1）]2-4k =（k -1）2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根，故选：A．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．()2x601285-=x+=B．()2601285C．()()2+++=D．()()2 601601285x x++++=60601601285x x【答案】D【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．故选：D．7．（2022·深圳市新华中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程230+-=x x c没有实数根，即实数c的取值范围是________．【答案】94c <- 【分析】根据题意可知，判别式∆<0，求解即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴2340c =+<，解得94c <-故答案为94c <-8．（2022·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(21)20ax a x a +++-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______． 【答案】112a >-且0a ≠ 【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式确定a 的取值范围即可． 【详解】根据题意得0a ≠且2Δ(21)4(2)0a a a =+-->， 解得112a >-且0a ≠． 故答案为：112a >-且0a ≠． 9．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）解下列方程： （1）2x 2+7x +3=0（用配方法）． （2）5（x +3）2=x 2﹣9．【答案】（1）12132x x =-=-，；（2）x 1=−3，x 2=−92． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）方程整理得：27322x x +=-，配方得：22277372424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2725416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：7544x +=±，解得：12132x x =-=-，； （2）∵5(x +3)2=(x +3) (x -3)， ∴5(x +3)2-(x +3) (x -3)=0， ∴(x +3) [5(x +3)-(x -3)]=0， 即(x +3) (4x +18)=0， ∴x 1=−3，x 2=−92．10．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？最多？最多盈利多少元？【答案】（1）65元；（2）每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的方程，然后求解即可，注意又要使顾客得到更多的实惠，也就是售价越低越好；（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系，然后根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设每件玩具的售价为a元，由题意可得，（a﹣50）[20＋2（80﹣a）]＝750，解得a1＝65，a2＝75，∵要使顾客得到更多的实惠，∴a＝65，答：商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为65元；（2）设每件玩具的售价定为x元，商店每天盈利为w元，由题意可得，w＝（x﹣50）[20＋2（80﹣x）]＝﹣2（x﹣70）2＋800，∵a＝﹣2，∴该函数开口向下，有最大值，∴当x＝70时，该函数取得最大值，此时w＝800，最多盈利为800元．。
中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习
中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习一元二次方程综合复习一选择题：1. 关于X 的一元二次方程（m-1） x=+5x+m : - 3m+2=0,常数项为0,则m 值等于（） A. 1 B. 2C ・ 1 或 2 D. 0 2. 下列方程中，是一元二次方程共有（） ①呂3二0：②2x c - 3xy+4=0； (3)x : - 4x+k=0：④x ：hnx - 1 二0；⑤3x :+x=20・ 3A.2个B.3个C.4个D.5个 3. —元二次方程3x c - 4= - 2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） C. 3, 2, -4 D.3, -4,04. 若关于x 的一元二次方程kx 2 - 6x+9二0有两个不相等的实数根，则k 的取值范羽（ ）5. 关于x 的一元二次方程（m ・1） x 2+5x+m : - 3m+2二0的常数项为0,则m 等于（） 6. 用配方法解一元二次方程x :-6x-4=0.下列变开征确的是（） 7•三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x=10x+21二0的根，则该三角形的周长为（） A. 14 B. 10 C. 10或14 D.以上都不对8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程X 3 -4x+3二0的根，则该三角形的周长可以是（）A. 5B.7 9. 一元二次方程4x=+l=4x 的根的情况是（A.没有实数根C.有两个相等的实数根 B. 3, - 2, - 4 A. kV ］且 k^O B.k^O C.k<lD.k>lA. 1B.2 C ・1或2 D.0A. (x-6) '=-4+36B. (x-6)2=4+36C. (x-3) J-4+9D. (x-3)^4+9C. 5 或 7D. 10B.只有一个实数根D.有两个不相等的实数根A. 1B.2 C ・1或2 D.010•已知“ &是关于x的方程x2+ax - 2b=0的两实数根，且X,+XF・2, X/X R,则X的值是（）A. 1B. - 1C.4D. - 14 411.若关于x的一元二次方程x:+mx+m-3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于（）12•已知x为实数，且满足（丘+3»+2（€+3»-3二0,那么€+3x的值为（）A. 1B. -3 或1C.313•有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习A. x (x+1) =64B. x (x - 1) =64C. (1+x)'二64D. (l+2x) =6414.某市2013年生产总值(GDP)比2012年增长T 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%.若这两年GDP年平均增长率为嚥，则硫满足的关系是( )A. 12%+7%=x%B. (1+12%) (1+7%) =2 (1+x%)C. 12%+7%=2*x%D. (1+12%) (1+7%) = (1+x%):15.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A. 200(l+x)==1000B. 200+200X2x=1000C. 200+200 X3x=1000D. 200 C1+ (1+x) + (1+x) :]=100016.有两个一元二次方程：M： ax'+bx+c二0, N： cf+bx+a二0,其中a+c二0,以下列四个结论中，错误的是( ) A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B•如果6是方程M的一个根，那么寺是方程N的一个根6C.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是X二-1D.如果方程M有两根符号相异，那么方程N的两根符号也相异17•根据下面表格中的取值，方程x:+x - 3=0有一个根的近似值(精确到0.1)是( )A. 1.5B. 1.2C. 1.3D. 1.418.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A.4个B.5个C.6个D.7个19•已知实数/ b分别满足a: - 6a+4=0, b2 - 6b+4=0,且aHb,则屯冲的值是( )a bA. 7B. - 7C. 11D. - 1120.设关于x的一元二次方程(x-l)(x-2)二m(m>0)的两实根分别为0 ,且0< 0，则G, 0满足( )A. l<a <3 <2B. 1< a <2< BC. a <1<P<2D. a < 1 且B >2二填空题:中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习21.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求疑不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为_%.22.某公司4月份的利润为160万元，由于经济危机，6月份的■利润降到90万元，则平均每月减少的百分率是___________________ .23. __________________________________________________________________________设血&是方程X2+X-2013= 0的两个不相等的实数根，则/十的值为____________________________________________•24.九年级(3)班全体同学在圣诞节将自己的贺卡向本班其他同学各赠送一张，全班共互贈了1980张，若全班共有x名学生，则根据题意列出的方程是________________________25.某厂一月份生产零件50万件，第一季度共生产零件182万个，该厂二、三月份平均每月的增长率为兀，则兀满足的方程是___________________________________ .26.若m、n是方程x:+6x・5=0的两根，则3m+3n - 2mn二____ ・27.若关于x的一元二次方程(k - 1) x:+2x - 2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范用是2&如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x:+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是 ______________ .29.某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91.设每个支干长岀x个小分支，则可得方程为____________________________________ .30.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m\那么通道的宽应设计成多少m?设通道31•解方程：(2x- l)s=(3-x)s32.解方程:3x2 - 6x+l=0 (用配方法)33•解方程:x2+l=3x：中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习34•已知a、b. c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c-b)x c+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.35•已知：关于x的一元二次方程(4k+l) x+3k+3=0 (k是整数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根：(2)若方程的两个实数根分别为m X：(其中X1<x=),设y二判断y是否为变量k的函数？如果是，请写岀函数解析式；若不是，请说明理由.36. 已知关于x的一元二次方程x2+2 (m+1) x+m2 - 1=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围：(2)若方程两实数根分别为X-也且满足(x厂Q咗16-xg 求实数m的值.37•如图，有长为24米的篱笆，一而利用墙（墙的最大可用长度为幺为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成而积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？1///////7/"/////////IA\ \ \DB C38•在美化校园的活动中.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆用成一个矩形花|TC| ABCD （篱笆只围AB, BC两边），设AB=xm・（1）若花园的而积为192m：,求x的值;（2）若在P处有一棵树与墙CD, AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树囤在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求X取何值时，花园面积S最大，并求出花园而积S的最大值.39. 如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通适的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地而作为运动场地.（1）________________________________________ 设通道的宽度为x米，则a二（用含x的代数式表示）：（2）若塑胶运动场地总占地而积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米？40. 如图，在直角三角形ABC中，直角边AC二3cm, BOlcm.设P、Q分别为AB、BC上的动点，在点P自点A沿AB 方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒lcm,当Q 点到达C点时，P点就停止移动.设P、Q移动的时间t秒.（1）写出APBQ的面积S（cm’）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围.（2）当f为何值时，APBQ为等腰三角形？（3）APBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求f的值；若不能，说明理由.中考数学一轮专题复习一元二次方程综合复习 参考答案 x :+x+l=91 30、(30 - 2x) (20 ・x)二6X78 Ab 2-4ac=(-3)2-4XlXl = 5>0. ：.x=3^ ・：.x.= 3^ , x 戶 朋 ・21 2 2 34、解：由已知条件得 A = [2(A - «) f - 4(c - i) (« - A) = 0 整理为仙—E)@ — Q = 0：• a = b 或ct = c •: U —Z PH O j[lj c b 这个二角形是等腰二角形・35、【解答】(1)证明：kHO, △二(4k+l) 2-4k (3k+3) = (2k- 1) %•・・k 是整数,・・・kH 寺,2k ・lH0, ・•・△= (2k ・1) 3>0, /.方程有两个不相等的实数根;Tk 是整数,•••1』W2<3・又m, /.X1=lkk 36、 【解答】解：(1)由题意有△二[2 (m+1) ]_41) 20,整理得8m+8M0,解得- b•'・实数 m 的取值范【间是 - 1： (2)由两根关系，得 Xi+x2= - 2 (m-rl) , x^x^m' - 1> (x ： - x ：) "=16 - XiXc (Xi+x ：) ■・ 3xiX ： ■ 16 二 0, •： [ ■ 2 (m+1 )]"-3(m'"l) - 16-0, .•.m"+8m ・ 9二0,解得 • 9 或 m^l - 137、 (1)设AB 的长是x 米.(24-3x)x=45,解得X ：=5,当x 二3时，长方形花圃的长为24-3x=15；当x=5 时，长方形花圃的长为24-3x=9,均符合题意：・・.AB 的长为3m 或5m.(2)花圃的而积为(24-3x) x=-3x2+24x=-3 (x2-8x+16-16)二-3 (x-4) 2+4&・••当AB 长为4m,宽为12m 时，有最大面积，为48平方米.38、 (1) VAB=xm,则 BC 二(28-x) m, Ax (28-x)二 192,解得：xl=12, x2二 16,答：x 的值为 12m 或 16m ：x 2 6(2)由题意可得出：i ' 、仃，解得：6 < x < 13•又 S=x (28-X )= - x2+28x= - (x- 14) 2+196.28 - K > 15•••当x£14时，S 随x 的增大而增大■•••x=13时，S 取到最大值为：S=- (13-14) 2+196=195 答：X 为13m 时，花恫而积S 最大，最大而积为195m :.39、 【解答】解：(1)设通道的宽度为x 米，则店~-—:故答案为：一-—60 ■ 3x(2)根据题意得，(50・2x) (60-3x) - 一-~=2430,解得x ：=2, x ：=38 (不合题意，舍去).40、 作 PH 丄BC 于 M AC=3cm, BC=4cm, ZC=90° AAB=5 VPA=BQ=t APM=sinB PB=3/5(5-t)BM=cosB fB 二4/5(5-1) •••QH 二BM-BQ 二4-9/5 •'•PQ 二 VQM 2 +PM 2 = 4(4-9/5 •t)2 + (3-3/5 *t)2 V APBQ 为等腰三角形•••①当 BQ 二PB 时 5-t=t, /. t=2. 5②当 PQ 二BQ 时 t 二 J (4-9/5 • t)2+ (3-3/5 • t)2 A 13t 2-90t+125=0 At=25/13, (t=5 不符合题意，舍去) ③当 PB=PQ 时 5-t= 4 (4-9/5 • t)2+ (3-3/5 • t)2t=40/13, (t=0 不符合题意,舍去)总之,t=2. 5或t 二25/13,或t 二40/13时，APBQ 为等腰三角形.1、B2、B3、C 4. A 5. B 6、D14.24、 7、 B 8、 B D 15、 D 16、 C 17、 C 18、 B 19、 A 20、 D X (X- 1) =1980 25. 50+50(1+x)+50(l+x)J1829、 21、 26、C 10、 A 11、 B 12. A 10 ■ 22、 25% 23. -8 . 27、k>~|•且 kHl 13、C 2012 29、 31、 33、3G 咗(1)将原方程化为一般形式，得x s -3x+l=0, Va=l, b=-3, 可用直接开平方X1 = -2,x 2 = -32. 3x ：-6x+l 二0, ⑵照y 是k 的函数.解方爾，严)士护+牟严2A x=3 或 x=。
【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-6 一元二次方程及其应用
第六讲一元二次方程及其应用【命题点1 一元二次方程及其解法】类型一解一元二次方程1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣42．（2022•渝北区自主招生）按如图所示的程序运算，如果输出的y的值为9，则输入的x的值可能是（）A．3B．﹣3C．﹣3或8D．83．（2022•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6 4．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3B．0C．3D．95．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A．B．C．2D．6．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．7．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．8．（2022•贵阳）（1）a，b两个数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a b，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．类型二一元二次方程解的应用9．（2022•长寿区自主招生）关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（）A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0 10．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．11．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．12．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是．【命题点2 一元二次方程根的判别式】类型一已知方程判断根的情况13．（2022•郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根14．（2022•荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根15．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定类型二根据方程根的情况求字母的取值（范围）16．（2022•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m≥﹣D．m＞﹣17．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣B．k≤﹣C．k＞﹣D．k≥﹣18．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．19．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【命题点3 一元二次方程根与系数的关系】20．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．221．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0 22．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．123．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．0B．﹣10C．3D．10 24．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．25．（2022•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．26．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为．27．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．28．（2022•凉山州）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．【命题点4 一元二次方程的实际应用】类型一变化率问题29．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.930．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5%B．10%C．20%D．21% 31．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？类型二传播、分裂问题32．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9类型三图形面积问题33．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．34．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？类型四每每问题35．（2022•巴南区自主招生）某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．（1）求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；（2）商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份；如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．36．（2022•北碚区自主招生）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元．（1）求草莓的进价为每千克多少元？（2）已知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？37．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）A款钥匙扣B款钥匙扣类别价格进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？类型五其他类型38．（2022•荣昌区自主招生）“创卫工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创卫工作已进入攻坚阶段，某校拟整修学校食堂，现需购买A、B两种型号的防滑地砖共60块，已知A型号地砖每块80元，B型号地砖每块40元（1）若采购地砖的费用不超过3200元，那么，最多能购买A型号地砖多少块？（2）某地砖供应商为了支持创卫工作，现将A、B两种型号的地砖单价都降低a%，这样，该校花费了2560元就购得所需地砖，其中A型号地砖a块，求a的值．39．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？答案与解析【命题点1 一元二次方程及其解法】类型一解一元二次方程1．（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故选：B2．（2022•渝北区自主招生）按如图所示的程序运算，如果输出的y的值为9，则输入的x的值可能是（）A．3B．﹣3C．﹣3或8D．8【答案】C【解答】解：根据新定义可知，x≤0时，9＝x2，此时x＝﹣3；x＞0时，9＝x+1，此时x＝8，∴符合题意的x为﹣3或8．故选：C．3．（2022•甘肃）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6【答案】C【解答】解：x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．故选：C．4．（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3B．0C．3D．9【答案】C【解答】解：x2+6x+c＝0，x2+6x＝﹣c，x2+6x+9＝﹣c+9，（x+3）2＝﹣c+9．∵（x+3）2＝2c，∴2c＝﹣c+9，解得c＝3，故选：C．5．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A．B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x＝，则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b＝，∴a+b＝．故选：B．6．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．7．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．8．（2022•贵阳）（1）a，b两个数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a b，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，∴a＜b，ab＜0．故答案为：＜，＜．（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，∴x＝＝＝＝﹣1±．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0．∴x1＝0，x2＝3；③利用配方法：x2﹣4x＝4，两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8．∴x﹣2＝±2．∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；④利用因式分解法：x2﹣4＝0，∴（x+2）（x﹣2）＝0．∴x1＝﹣2，x2＝2．类型二一元二次方程解的应用9．（2022•长寿区自主招生）关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（）A．7B．﹣3C．1或﹣3D．0【答案】C【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0，得m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或﹣3．故选：C．10．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．【答案】6【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．11．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．【答案】1【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，得1﹣2+a＝0，解得a＝1．故答案为：1．12．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是．【答案】1【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．【命题点2 一元二次方程根的判别式】类型一已知方程判断根的情况13．（2022•郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：A．14．（2022•荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【答案】B【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0根的判别式Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×（﹣2）＝9k2+8＞0，∴x2﹣3kx﹣2＝0有两个不相等实数根，故选：B．15．（2022•内蒙古）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．故选：A．类型二根据方程根的情况求字母的取值（范围）16．（2022•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m≤C．m≥﹣D．m＞﹣【答案】C【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，解得m≥﹣，故选：C．17．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣B．k≤﹣C．k＞﹣D．k≥﹣【答案】A【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＜0，∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，∴1+8k＜0，∴k＜﹣．故选A．18．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【答案】k＜2且k≠1【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．19．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）＝4+12m2＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得：，解得：，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3m2＝﹣3，∴m＝±1，∴m的值为±1．【命题点3 一元二次方程根与系数的关系】20．（2022•益阳）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】B【解答】解：设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．21．（2022•贵港）若x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）A．0，﹣2B．0，0C．﹣2，﹣2D．﹣2，0【答案】B【解答】解：设方程的另一根为a，∵x＝﹣2是一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根，∴4﹣4+m＝0，解得m＝0，则﹣2a＝0，解得a＝0．故选：B．22．（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1【答案】A【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．23．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．0B．﹣10C．3D．10【答案】A【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，∴mn＝﹣5，∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，∴m2+2m﹣5＝0，∴m2+2m＝5，∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．故选：A．24．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是．【答案】3【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3，故答案为：3．25．（2022•巴中）α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为．【答案】﹣4【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，故答案是：﹣4．26．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为．【答案】10【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；故答案为：10．27．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞；（2）根据题意得x1x2＝k2+1，∵x1x2＝5，∴k2+1＝5，解得k1＝﹣2，k2＝2，∵k＞，∴k＝2．28．（2022•凉山州）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案为：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．【命题点4 一元二次方程的实际应用】类型一变化率问题29．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【答案】A【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，故选：A．30．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5%B．10%C．20%D．21%【答案】B【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增长率为10%．故答案为：B．31．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．类型二传播、分裂问题32．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．9【答案】B【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．类型三图形面积问题33．（2022•青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．34．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【解答】解：设路宽应为x米根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合题意，舍去，所以x＝4，答：道路的宽应为4米．类型四每每问题35．（2022•巴南区自主招生）某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．（1）求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；（2）商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份；如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．【解答】解：（1）设快餐店A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，依题意得：，解得：．答：快餐店A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元．（2）依题意得：（15+a﹣10）（300﹣5×）+（18+a﹣12）（200﹣7×）＝2055，整理得：17a2﹣8a﹣129＝0，解得：a1＝3，a2＝﹣（不符合题意，舍去）．答：a的值为3．36．（2022•北碚区自主招生）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元．（1）求草莓的进价为每千克多少元？（2）已知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？【解答】解：（1）30﹣20÷2＝20（元）．答：草莓的进价为每千克20元．（2）设第二天的草莓每千克降价x元，则每千克的销售利润为（30﹣x﹣20）元，销售量为（30+6x）千克，依题意得：（30﹣20）×30+（30﹣x﹣20）（30+6x）＝600，整理得：x2﹣5x＝0，解得：x1＝5，x2＝0（不符合题意，舍去）．答：第二天的草莓每千克降价5元．37．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）A款钥匙扣B款钥匙扣类别价格进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，依题意得：，解得：．答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，解得：m≤40．设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．类型五其他类型38．（2022•荣昌区自主招生）“创卫工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创卫工作已进入攻坚阶段，某校拟整修学校食堂，现需购买A、B两种型号的防滑地砖共60块，已知A型号地砖每块80元，B型号地砖每块40元（1）若采购地砖的费用不超过3200元，那么，最多能购买A型号地砖多少块？（2）某地砖供应商为了支持创卫工作，现将A、B两种型号的地砖单价都降低a%，这样，该校花费了2560元就购得所需地砖，其中A型号地砖a块，求a的值．【解答】解：（1）设购买A型号地砖x块，由题意，得80x+40（60﹣x）≤3200．解得x≤20．答：最多能购买A型号地砖20块．（2）由题意，得80（1﹣a%）a+40（1﹣a%）（60﹣a）＝2560解得a1＝a2＝20．经检验，符合题意．答：a的值为20．39．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，依题意得：x+2x﹣100＝800，解得：x＝300，∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．答：4月份再生纸的产量为500吨．（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，整理得：m2+300m﹣6400＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．答：m的值为20．（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，∴1200（1+y）2＝1500．答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．。
2021年九年级中考数学 一轮复习：一元二次方程(含答案)
2021中考数学 一轮复习：一元二次方程一、选择题1. 用配方法解方程x 2-6x -8=0时，配方结果正确的是 ( )A .(x -3)2=17B .(x -3)2=14C .(x -6)2=44D .(x -3)2=12. 方程2x 2+6x -1=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2等于 ( )A .-6B .6C .-3D .33. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x .应列方程是( )A ．300(1＋x )＝507B ．300(1＋x )2＝507C ．300(1＋x )＋300(1＋x )2＝507D ．300＋300(1＋x )＋300(1＋x )2＝5074. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝1095. 下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是( )A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值16. 某市2018年GDP 比2017年增长了11.5%，由于受到国际因素的影响，2019年的GDP 比2018年增长了7%.若这两年GDP 的年平均增长率为x ，则x 满足的关系式是( )A ．11.5%＋7%＝xB．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝2(1＋x)C．11.5%＋7%＝2xD．(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)27. 如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于()A.0.5 cm B．1 cmC．1.5 cm D．2 cm8. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝－1D．有两个相等的实数根二、填空题9. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是.10. 方程(3x－4)2－(3x－4)＝0的根是____________．11. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入为20000元，到2018年人均年收入达到39200元，则该地区居民人均年收入平均增长率为.(用百分数表示)12. 一元二次方程4x2＝3x的解是______________．13. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．14. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．三、解答题15. 当x满足条件时，求出方程x2-2x-4=0的根.16. 解下列方程：(1)2(x－3)2＝x2－9；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0.17. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？18. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．2021中考数学一轮复习：一元二次方程-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C[解析]根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-=-3，故选C.3. 【答案】B4. 【答案】B[解析] B项，x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝7，故本选项错误，其他选项均正确．5. 【答案】A6. 【答案】D[解析] 设2017年的GDP为1，∵2018年的GDP比2017年增长了11.5%，∴2018年的GDP为1＋11.5%.∵2019年的GDP比2018年增长了7%，∴2019年的GDP为(1＋11.5%)×(1＋7%)．∵这两年GDP的年平均增长率为x，∴2019年的GDP也可表示为(1＋x)2，∴可列方程为(1＋11.5%)×(1＋7%)＝(1＋x)2.7. 【答案】B[解析] 设AC交A′B′于点H，如图所示．根据题意易得△A′HA是等腰直角三角形．设AA′＝x cm，则A′D＝(2－x)cm，∴x·(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.8. 【答案】A[解析] 由题意得x＝－1是方程x2＋4x＋c－2＝0的一个根，∴(－1)2＋4×(－1)＋c－2＝0，解得c＝5.∴原方程为x2＋4x＋5＝0.∵Δ＝b2－4ac＝42－4×1×5＝－4＜0，∴原方程没有实数根．二、填空题9. 【答案】k<- [解析]∵关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+3=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2k -1)2-4(k 2+3)>0，解得k<-.10. 【答案】x 1＝43，x 2＝53[解析] 原方程左边分解因式得(3x －4)[(3x －4)－1]＝0，即(3x －4)(3x －5)＝0.于是3x －4＝0或3x －5＝0.所以x 1＝43，x 2＝53.11. 【答案】40% [解析]设该地区居民人均年收入平均增长率为x ，则20000(1+x )2=39200，解得x 1=0.4，x 2=-2.4(舍去)，∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.故答案为:40%.12. 【答案】x 1＝0，x 2＝34[解析] 4x 2＝3x ， 4x 2－3x ＝0，x(4x －3)＝0，x ＝0或4x －3＝0，所以x 1＝0，x 2＝34.13. 【答案】－2018 [解析] 根据题意，得a ＋b ＝－1，ab ＝－2020，∴(a －1)(b －1)＝ab －(a ＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.14. 【答案】5，6 [解析] 设较小的自然数为x ，则较大的自然数为(x ＋1)． 根据题意，得x 2＋(x ＋1)2＝2x ＋51，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)．则这两个自然数分别为5，6.三、解答题15. 【答案】解:由解得2<x<4.解方程x 2-2x -4=0，得x 1=1+，x 2=1-. ∵2<<3，∴3<1+<4，符合题意;-2<1-<-1，不符合题意，舍去. ∴x=1+.16. 【答案】解：(1)将原方程化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提取公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(x －9)＝0.于是得x －3＝0或x －9＝0.所以x 1＝3，x 2＝9.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x ＋3)2＝0，所以2x ＋3＝0，所以x 1＝x 2＝－32.17. 【答案】解：(1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)由求根公式，得x ＝2m±22（m －1）， ∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝2m －22（m －1）＝1. ∵m 为整数，且方程的两个根均为正整数，∴x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1必为正整数， ∴m －1＝1或m －1＝2，∴m ＝2或m ＝3.18. 【答案】解：设这三个连续的正奇数分别为2n －1，2n ＋1，2n ＋3(n 为正整数)． 根据题意，得(2n ＋3)(2n －1)－6(2n ＋1)＝3，解得n1＝3，n2＝－1(舍去)．当n＝3时，2n－1＝5，2n＋1＝7，2n＋3＝9. 即这三个奇数分别为5，7，9.。
2024中考数学一轮复习专题精练专题07 一元二次方程解法与应用(学生版)
知识点01：解一元二次方程【高频考点精讲】1．用“配方法”解一元二次方程（1）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；（5）如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。
2．用“因式分解法”解一元二次方程（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3．用“换元法”解一元二次方程（1）把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知数的方程，这种方法叫做“换元法”。
（2）“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化。
知识点02：高次方程和无理方程【高频考点精讲】1．高次方程（1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。
（2）高次方程的解法通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。
所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方程或一次方程。
2．无理方程（1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。
（2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。
（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。
注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，应当注意验根。
知识点03：根的判别式及根与次数关系 【高频考点精讲】 1．根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）有如下关系：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，△＞0。
人教版九年级数学中考总复习 第6课时 一元二次方程 含解析及答案
第6课时 一元二次方程知能优化训练一、中考回顾1.(2020湖南邵阳中考)设方程x 2-3x+2=0的两根分别是x 1,x 2,则x 1+x 2的值为( )A.3B.-32C.32D.-22.(2021云南中考)若一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( )A.a<1B.a ≤1C.a ≤1,且a ≠0D.a<1,且a ≠03.(2021江苏连云港中考)若关于x 的方程x 2-3x+k=0有两个相等的实数根,则k= .4.(2021四川成都中考)若m ,n 是一元二次方程x 2+2x-1=0的两个实数根,则m 2+4m+2n 的值是 .35.(2020青海中考改编)在解一元二次方程x 2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b ,得到的解为x 1=-2,x 2=-3;小刚看错了常数项c ,得到的解为x 1=1,x 2=4.请你写出正确的一元二次方程 .2-5x+6=0 二、模拟预测 1.对形如(x+m )2=n 的方程,下列说法正确的是( )A.都可以用直接开平方得x=-m ±√nB.都可以用直接开平方得x=-n ±√mC.当n ≥0时,直接开平方得x=-m ±√nD.当n ≥0时,直接开平方得x=-n ±√m2.如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1=1,x 2=-1,那么下列结论一定成立的是( )A.b 2-4ac>0B.b 2-4ac=0C.b 2-4ac<0D.b 2-4ac ≤03.已知三角形的两边长分别为2和6,第三边长是方程x 2-10x+21=0的解,则第三边的长为( )A.7B.3C.7或3D.无法确定4.若关于x 的方程(m-2)x 2-√3-m x+14=0有两个实数根,则m 的取值范围为( )A.m>52B.m ≤52,且m ≠2C.m ≥3D.m ≤3,且m ≠25.已知关于x 的方程ax 2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x 1,x 2,且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ,则a 的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.26.若关于x 的一元二次方程x 2-3x-2a=0有两个实数根,则a 可取的最小整数为 .17.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足x 1+x 2=m 2,则m 的值是 .8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?设每千克核桃应降价x 元,根据题意,得(60-x-40)(100+x 2×20)=2240.化简,得x 2-10x+24=0.解得x 1=4,x 2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),所以5460×100%=90%.答:该店应按原售价的九折出售.。
一元二次方程中考数学第一轮总复习课件
x1=2,x2=3；小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=4；请你写出正确的 一元二次方程：x_2_-5_x_+_6_=_0___.
9.如果a,b是关于x的方程(x+c)(x+d)=1的两个根,那么(a+c)(b+c)=___-_1_.
10.设x1,x2是方程x2-x-2020=0的两个实数根,则x13+2021x2-2020=_2_02_1__.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或_b_=_0__. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
方程的解
典例精讲 一元二次方程的相关概念 知识点一
【例1-1】当m是何值时，关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2
(1)是一元二次方程？ (2)是一元一次方程？
解：原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=0
(1)当m2-1≠0,即m≠±1时,原方程是一元二次方程；
m2-1＝0
01 一元二次方程的概念
02
考点聚焦
03
根底的判别式
04 根与系数的关系
精讲精练
考点聚焦
一元二次方程的解法
知识点二
直接开 定义利用平方根的定义直接_开__平__方___求一元二次方程的解的方法. 格式 直接开平方法适用于解形如_(_x+_a_)_2=_b___的一元二次方程.
2023中考一轮复习：一元二次方程及其应用
考点05一元二次方程及其应用【命题趋势】一元二次方程这个考点是中考数学，特别是几何数学中计算的基础，像二次函数以及相似的问题中，经常需要用到解一元二次方程，其根的判别式以及韦达定理也经常在二次函数图形问题中占据重要地位。
但是，在浙江中考中，一元二次方程单独出题的几率却不是很大，单独出题时，也常以选择或者填空题考察其简单应用，偶尔会在简答题17题出一元二次方程的求解问题，综合题出一元二次方程则基本是和其他知识点结合在22题统一考察。
单独出题在一张试卷里占分并不大。
【中考考查重点】一、一元二次方程及其解法二、一元二次方程根的判别式三、一元二次方程根与系数的关系四、一元二次方程的简单应用考向一：一元二次方程及其解法1.一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2.一元二次方程的解法：1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．1﹣x ＝3xB ．ax 2+bx +c ＝0C ．x 2﹣2x ﹣1＝x 2D ．（x ﹣2）2+1＝02．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣2x +a 2﹣9＝0的常数项是0，则a ＝，方程的根为．3．用配方法解一元二次方程x 2﹣x ＝0，配方后的方程为（）A ．（x ﹣）2＝B ．（x +）2＝C ．（x ﹣9）2＝62D ．（x +9）2＝624．方程（5x ﹣1）2＝3（5x ﹣1）的解是．5．方程7x 2﹣6x ﹣5＝0的解为．6．用适当的方法解下列方程：（1）（x ﹣1）2＝9；（2）x 2+4x ﹣1＝0．（3）3（x ﹣5）2＝4（5﹣x ）．（4）x 2﹣4x +10＝0．2考向二：一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，(1)042＞ac b -方程有两个不相等的实数根(2)042=-ac b 方程有两个相等的实数根(3)42＜ac b -方程没有实数根【易错警示】【同步练习】1．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣8x +2k ＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是（）A ．k ≤8B ．k ＜8C ．k ≥8D ．k ＞82．若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的系数满足ac ＜0，则方程根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法判断3．下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）A ．x 2﹣8＝0B ．x 2﹣4x +4＝0C ．2x 2+3＝0D ．x 2﹣2x ﹣1＝04．如果关于x 的方程ax 2+2x +3＝0有两个相等的实数根，那么a ＝．5．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x +3＝0，若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．6．求证：无论m 取任何实数，关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0恒有实数根．考向三：一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有a b x x -21=+，ac x x =∙21【同步练习】1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx +k ﹣3＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝5，则k 的值是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．12．如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A ．7B ．6C ．﹣2D ．03．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于（）A ．2020B ．2019C ．2029D ．20284．若a 、b 为方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个不相等的实数根，则+的值为．5．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．考向四：一元二次方程的实际应用列方程解应用题的一般步骤：【同步练习】1．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝812．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．3．永德利商场某书包原价144元，连续两次降价a%后售价为81元，下列所列方程正确的是（）A．144（1+a%）2＝81B．144（1﹣a%）2＝81C．144（1﹣2a%）2＝81D．144（1﹣a2%）2＝814．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．5．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．1．（2021秋•越秀区校级期中）方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，3，2B．4，﹣3，2C．4，﹣3，﹣2D．4，3，﹣22．（2021秋•越秀区校级期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（）A．2018B．2019C．2020D．20213．（2021秋•天津期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0，正确的变形为（）A．（x﹣4）2＝13B．（x+4）2＝5C．（x+4）2＝13D．（x+4）2＝﹣54．（2021秋•兴平市期中）若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣4B．m＞4C．m≤﹣4D．m＜45．（2021秋•偃师市月考）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（）个班级．A．8B．9C．10D．116．（2021秋•常州期中）中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20%B．25%C．50%D．62.5%7．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣88．（2021春•西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（）A．17B．11C．15D．11或159．（2021春•永嘉县校级期末）方程x2﹣25＝0的解为．10．（2021秋•江岸区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．11．（2021秋•奉贤区校级期中）方程的根的情况是．12．（2014秋•东西湖区校级期末）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为．13．用合适的方法解下列方程（1）36x2＝81．（2）3x2﹣10x+6＝0；（3）（x﹣3）2﹣2（x+1）＝x﹣7．14．（2021秋•玉田县期中）卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”．如果某镇有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有144人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？1.（2021·浙江丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝32.（2021·浙江台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜43.（2021·浙江舟山）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．4.（2021·浙江湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？1.（2020•绍兴月考）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝12.（2021•莲都区校级模拟）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无实数根3.（2021•吴兴区二模）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣34.（2021•余杭区一模）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（）A．9%（1﹣x）2＝8%B．8%（1﹣x）2＝9%C．9%（1+x）2＝8%D．8%（1+x）2＝9%5.（2021•嘉善县一模）若关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣＝0有实数根，则m的取值范围是．6.（2021•嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为．7.（2021•南浔区模拟）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为．8．（2021秋•西城区校级期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，若设平均每次降价的百分率为x，则由题意可列方程为，可得x＝．9．（2021秋•西城区校级期中）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少m？10．（2021秋•奉贤区校级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》的表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？11。
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课时6．一元二次方程
【课前热身】
1. 一元二次方程022
=-x x 的根是( )
A. x 1=0，x 2=-2
B. x 1=1，x 2=2
C. x 1=1，x 2=-2
D. x 1=0，x 2=2
2. 一元二次方程0182=--x x 配方后可变形为( )
A. ()1742=+x
B. ()1542=+x
C. ()1742=-x
D. ()1542
=-x 3. 若关于x 的一元二次方程0442
=+-c x x 有两个相等实数根，则c 的值是( )
A. -1
B. 1
C. -4
D. 4
4. 若方程0122=--x x 的两根分别为x 1，x 2，则x 1+ x 2- x 1 x 2的值为___ __.
5. 某小区2014年绿化面积为2000平方米，计划2016年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_ ____.
6. 解方程：01432=--x x
【知识梳理】
1. 一元二次方程的定义及一般形式
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程.
（2）一般形式：02=++c bx ax (a ，b ，c 为常数且a ≠0)，其中a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项.
2. 一元二次方程的解法及求根公式
（1）解法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法. （2）求根公式：a
ac b b x 242-±-= （ac b 42-≥0） 3. 一元二次方程根的判别式
一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的根的判别式为ac b 42
-，通常用符号“Δ”表示，即Δ=ac b 42-.
当Δ＞0时，方程02=++c bx ax (a ≠0)有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程02=++c bx ax (a ≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程02
=++c bx ax (a ≠0)无实数根.
4．一元二次方程根与系数的关系
（1）若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，则a b x x -=+21，a
c x x =∙21. （2）(简易形式)已知关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个实数根x 1，x 2，则p x x -=+21，q x x =∙21.
【例题讲解】
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）31022=-x x （2）()()2
2213x x -=+
例2已知关于x 的一元二次方程()01212=+--x x a 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )
A. a ＞2
B. a ＜2
C. a ＜2且a ≠1
D. a ＜-2
例3已知关于x 的一元二次方程0222
=+-m x x 有两个实数根.
(1)求实数m 的最大整数值；
(2)在(1)的条件下，方程的实数根是1x ，2x ，求代数式212221x x x x -+的值.
例4如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍 的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？
【中考演练】
1. 用配方法解方程0522
=--x x 时，原方程应变形为( )
A.()612=+x
B. ()612=-x
C.()922=+x
D. ()922=-x 2. 小华在解一元二次方程()()22-=-x x x 时，只得出一个根1=x ，则被漏掉的一个根是
( )
A.0=x
B. 2=x
C. 3=x
D. 4=x
3. 若关于x 的一元二次方程()02212=-+-x x k 有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( )
A. k ＞21
B. k ≥21
C. k ＞21 且k ≠1
D. k ≥2
1 且k ≠1 4. 若关于x 的一元二次方程022=+-a ax x 的两根的平方和是5，则a 的值是( )
A. -1或5
B. 1
C. 5
D. -1
5. 已知a 是一元二次方程012=--x x 较大的根，则下面对a 的估计正确的是( )
A.0＜a ＜1
B.1＜a ＜1.5
C.1.5＜a ＜2
D.2＜a ＜3
6. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的方程为
( ) A. ()28121=+x x B. ()2812
1=-x x C. ()281=+x x D. ()281=-x x
7. 若关于x 的一元二次方程032
=++a x x 有一个根是－1，则a =__ _.
8. 已知实数m 是关于x 的一元二次方程0132=--x x 的一个根，则代数式2622+-m m 的值为_ ___.
9. 如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程0322=-+x x 的根，则□ABCD 的周长是___ ___.
10. 如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，由题意列得方程___________________．
第9题图 第10题图
11．选用合适的方法解下列方程：
（1） ()025322
=-+x （2） ()()x x x -=-2223
（3） x x 3122
=+
12. 某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元. 甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？。