正稿1：九年级数学相似训练题
九年级数学相似试卷免费【含答案】
九年级数学相似试卷免费【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个比例不是相似图形的相似比？A. 2:1B. 3:2C. 5:4D. 1:32. 若两个三角形的对应边长比为2:3，则它们的面积比为：A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:43. 在相似三角形中，下列哪个比例是正确的？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 对应角相等且对应边成比例D. 所有的角都相等4. 下列哪个图形不是相似图形？A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个圆D. 两个三角形5. 若两个相似三角形的面积分别为36cm²和81cm²，则它们的相似比为：A. 1:3B. 3:1C. 2:3D. 3:2二、判断题（每题1分，共5分）1. 相似图形的对应角相等。
（）2. 相似图形的面积比等于相似比的平方。
（）3. 所有的等边三角形都是相似的。
（）4. 相似图形的周长比等于相似比。
（）5. 两个三角形的对应角相等，则它们一定相似。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 相似图形的对应边成______。
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为______。
3. 相似三角形的______相等。
4. 若两个相似三角形的周长分别为12cm和18cm，则它们的相似比为______。
5. 相似图形的面积比等于______的平方。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述相似图形的定义。
2. 两个三角形相似的条件是什么？3. 相似三角形的性质有哪些？4. 如何计算相似三角形的面积比？5. 相似图形的周长比与相似比有什么关系？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知两个相似三角形的相似比为3:4，其中一个三角形的面积为54cm²，求另一个三角形的面积。
2. 两个相似图形的周长分别为24cm和36cm，求它们的相似比。
3. 两个相似三角形的面积分别为100cm²和225cm²，求它们的相似比。
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题附详细答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题附详细答案一、相似1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s 的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：（1）当t为何值时，∠ANM=45°？（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，解得：t=3（s），所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA•DC= （9-t）•18=81-9t．在△AMC中，AM=2t，BC=9，∴S△AMC= AM•BC= •2t•9=9t．∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．由计算结果发现：在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当NA：AB=AM：BC 时，△NAP∽△ABC，那么有：（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。
九年级数学相似测试题及答案
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第二十七章相似27.1 图形的相似A.足球上所有“黑片”形状相同【拓展探究】14.在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等.若AB=20米,AD=30米,则小路的宽x与的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似?请说明理由.【答案与解析】1(解析:C中==,==,所以=,所以a,b,c,d是成比例线段.故选C.)2.D(解析:两个平行四边形的角不一定相等,所以不一定相似;两个菱形的角不一定相等,所以不一定相似;两个矩形的对应边不一定成比例,所以不一定相似;两个等腰直角三角形对应边成比例,对应角相等,两个三角形相似.故选D.)3.B(解析:根据相似多边形的对应边成比例,可得=,所以=,所以B'C'=16.故选B.)4.A(解析:根据相似多边形的对应角相等及四边形内角和为360°可得138°+60°+75°+α=360°,解得α=87°.故选A.)5.B(解析:矩形的四个角都是直角,所以三个矩形的对应角相等,甲和丙的对应边的比相等,而甲和乙的对应边的比不相等,即甲和丙的对应边成比例,甲和乙的对应边不成比例,所以甲和丙相似,甲和乙不相似.故选B.)6.= a=bx(解析:根据成比例线段定义可得=,由比例基本性质可得a=bx.故填=,a=bx.)7.(解析:设a=5,b=2,则==.故填.)8.21.72(解析:设实际距离为x c,根据图上距离∶实际距离=比例尺,可得=,解得x=2172000,2172000 c=21.72 .故填21.72.)9.⑤⑥(解析:对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似,所以①②错误;两个多边形不相似时,对应角可能相等,如矩形和正方形不相似,但对应角相等,所以③错误;两个多边形不相似时,对应边可能成比例,如菱形和正方形不相似,但对应边成比例,所以④错误;任意两个正方形对应角相等,对应边成比例,故任意两个正方形都相似,所以⑤正确;全等多边形是相似多边形的特例,所以⑥正确.故填⑤⑥.)10.解:(1)设矩形ABCD的长AD=x,则DM=AD=x.∵矩形DMNC 与矩形ABCD相似,∴=,即=,∴x=4或x=-4(舍去).∴AD的长为4. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为4∶4=1∶.11.(解析:设x=,=3,z=5,所以===.故填.)12.18 c(解析:∵梯形AEFD∽梯形EBCF,∴=,∴=,解得EF=18.故填18c.)13.提示:设正方形ABCD的边长为a,因为EFGH也是正方形,所以两个正方形相似.连接EG,HF可知正方形ABCD的面积是正方形EFGH 面积的两倍,故正方形EFGH的面积是a2,所以边长为a,所以正方形ABCD与四边形EFGH的相似比为a∶a=∶1.14.解:∵矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似,∴=,即=,∴20(30+2x)=30(20+2),解得=.∴小路的宽x与的比值为时,矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似.本节课首先提出问题:矩形黑板四周加宽后的四边形与原四边形形状是否相同?学生往往会不假思索地认为相同,教师告诉学生其实不相同,本节课的内容就可以解释为什么不相同,顺势导入课题,再以学生熟悉的放大镜导入新课,让学生体会数学与实际生活密切联系,通过探究放大镜下的三角形、四边形与原图形的对应边、对应角之间的关系,很自然地引出相似多边形的概念,在概念的探究过程中,教师以小问题的形式层层深入,让学生体会概念的形成过程,易于理解和掌握,在探究相似多边形的性质及应用时,学生以小组合作交流为主,课堂气氛活跃,学生思维敏捷,达到了良好效果.本节课的内容较为简单,重点是探究相似多边形的概念、性质及应用其进行有关的计算,因为是课容量较小的课时,所以应该大胆放手,给学生大胆展示的时间和空间,但学生展示自己的热情不够,表现拘谨,放不开.学生是课堂的唯一主角,教师只是课堂上的引导者,所以在以后的教学中应鼓励学生大胆展示自己,善于发表自己的看法,作为教师,在数学课上应尽量给他们表现的.机会.相似多边形是在相似图形的基础上,通过对对应边、对应角数量关系的一个刻画得出的.以黑板加宽的生活实例导入新课,由于直观上观察相似,所以教师给出不相似的结论后,更能激发学生的学习兴趣,同时让学生体会数学于生活,与生活息息相关,然后以学生的自主探究为主线,探究相似多边形的概念和性质,课堂上教师以问题形式引导学生探究,多给学生思考、交流、展示的时间和空间,让学生在课堂上体验知识的形成过程,提高数学思维能力及分析问题、解决问题的能力.练习(教材第27页)1.提示:根据比例尺列出方程,求得两地的实际距离为3000 .2.解:相似.因为对应角相等,对应边成比例.3.提示:根据两个多边形相似,对应边成比例,可求得a=3,b=4.5,c=4,d=6.习题27.1(教材第27页)1.解:2∶200000=1∶100000.2.解:任意两个矩形不一定相似,因为任意两个矩形的对应边不一定成比例.3.提示:根据相似多边形的对应边成比例可得x=6,=3.5.5.(1)解:∵AD=2,BD=4,AE=2.5,EC=5,∴AB=AD+BD=2+4=6,AC=AE+EC =2.5+5=7.5.又∵DE=3,BC=9,∴==,==,==. (2)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.在△ADE与△ABC 中,∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,且===,∴△ADE与△ABC相似.6.解:这两个矩形不相似.理由如下:由题意可知小路内边缘所形成的矩形的长为30 ,宽为20 ,小路外边缘所形成的矩形的长为30+1×2=32(),宽为20+1×2=22(),∵≠,即两个矩形的对应边不成比例,∴这两个矩形不相似.7.解:若两个多边形仅有对应角相等,则它们不相似.例如:矩形A的长与宽分别为6 c和4 c,矩形B的长与宽分别为5 c和3 c,对应边的比分别为6∶5,4∶3,∵6∶5≠4∶3,∴这两个矩形不相似.若两个多边形仅有对应边成比例,则这两个多边形也不相似.例如:边长为3 c的正方形和边长为4 c、内角分别为60°,60°,120°,120°的菱形,对应边的比为,但对应角不相等,∴这两个多边形不相似.8.解:设原来矩形的长为x,宽为,则对折后的矩形的长为,宽为x.由相似图形的性质可知x∶=∶,2=x2,x=或x=-(舍去),∴x=,即x∶=∶1,即原来矩形的长宽比是∶1.将这张纸再对折下去,得到的矩形都相似,理由如下:两次对折后得到的矩形的长与宽分别为x和,则x∶=∶=2∶1,即两次对折后得到的矩形与原矩形相似,如此重复下去,结论相同.(1)本节课的相似多边形是在相似图形的基础上,通过对对应边、对应角进行数量上的刻画得出的,相似图形是本章内容的基础,所以本节课的相似多边形起着承上启下的作用,为后面学习相似三角形起着推波助澜的作用.在教学设计中要在紧扣教材的基础上创造性地使用教材,在教学导入中,以加宽黑板这一生活实例和学生熟悉的放大镜问题导入新课,让学生体会到数学于生活,又应用于生活,同时又激发了学生学习的欲望,学生带着疑问走进课堂,在学习过程中会收获更多的知识.(2)线段成比例是探究相似多边形概念和性质的基础,在教学设计时首先知道什么是线段的比,导出四条线段成比例的概念,为探究相似多边形的概念做好铺垫.通过探究放大镜下的三角形、四边形的对应边、对应角之间的关系,很自然地得到相似多边形的概念,让学生亲身经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.(3)在课堂上注重学生能力的培养,教学设计中,学生自主探究有关概念、性质及例题时,由小问题层层深入解决,在教师问题的引导下,学生通过自主探究、小组合作交流等数学活动得出结论和解题思路,培养学生分析问题、解决问题的能力;教学设计中习题的设计解决验证导入中的实例,做到首尾呼应,提高学生应用数学的能力;通过小组合作交流,培养学生合作意识,提高与他人交流的能力.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,将△ABE沿AE向上折叠,使B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,求AD 的长.〔解析〕设AD=x,由四边形EFDC与矩形ABCD相似,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,求解即可,用方程思想解答几何题是常用的思想方法.解:∵矩形ABCD中,AF由AB折叠而得,∴ABEF是正方形.又∵AB=1,∴AF=AB=EF=1.设AD=x,则FD=x-1.∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,∴=,即=.解得x1=,x2=(负值,舍去).∴AD=.。
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谢谢！】相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧点拨：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE·CF＝BF·E C.(第1题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)三点找三角形相似法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.(第3题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.(第4题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第5题)等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF ＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6题)7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·P E.(第7题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC.(第8题)9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证： (1)△AMB ∽△AND ； (2)AM AB ＝MN AC.(第9题)等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE AF ＝AC AB.(第10题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.(第11题)12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.(第12题)专训2 巧用“基本图形”探索相似条件点拨几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE ＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．(第1题)相交线型2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．(第2题)子母型3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.(第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.(第4题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系点拨判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE 交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.(第2题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°，求证：DE＝12 BC.(第3题)4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.(第4题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第5题)6．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．(第6题)类型2：证明两线垂直7．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB·AD，BC 2＝BA·BD，求证：CD ⊥AB.(第7题)8．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第8题)专训4 相似三角形与函数的综合应用点拨解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)． (1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．(第1题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．(第2题)3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A 落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．(第4题)专训5 全章热门考点整合应用点拨本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．(第3题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA 运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD 相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；＝5，BC＝10，求DE的长．(2)若S△FCD(第6题)1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，＝，求PD的长．(第8题)2个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．(第11题)1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.(第12题)答案专训1(第1题)1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴BFCF＝BDCM.又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点，∴BDCM＝ADCM.∴BFCF＝AEEC，即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG，ABBC＝ADDG.∵AD＝CE，∴CEDG＝ADDG.∴ABBC＝EFDF，即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴DCAE＝CFAD.4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AMMD＝MEAM.∴AM2＝MD·ME.(第5题)5．证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF∽△BAE，得BDAB＝BFBE.∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA，得ABBC＝BDAB，∴BFBE＝ABBC.9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得AMAN＝ABAD，∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC，∴AMAN＝ABBC.∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC，∴AMAB＝MNAC.10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AEAF＝ACAB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP ＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CPPE＝PFCP，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.(第11题)(第12题) 12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.专训21．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴AEAC＝DEBC.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE ＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝h△ADEh△BDE＝32.∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC＝AD 2，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC. 又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC. ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.专训31．证明：∵DE ∥BC.∴△NEO ∽△MBO.∴NE MB ＝ON OM. 同理可得DN MC ＝ON OM .∴DN MC ＝NE BM .∴DN NE ＝MCBM .∵DE ∥BC ，∴△ANE ∽△AMC.∴AN AM ＝NEMC .同理可得AN AM ＝DN BM ，∴DN BM ＝NE MC .∴DN NE ＝BMMC .∴MC BM ＝BMMC.∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC.(第2题)2．证明：如图，过C 作CG ∥AB 交DF 于G 点． ∵CG ∥AB ，∴AD CG ＝AE CE ，BD CG ＝BF CF， ∵AE CE ＝BF CF ，∴AD CG ＝BD CG，∴AD＝BD.3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴ADAB＝12，AEAC＝12，∴AD AB ＝AEAC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝12，∴DE＝12BC.4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于 F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴BDCE＝BMMC，BACF＝BMMC，∴BDCE＝BACF.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.(第4题)(第5题)5．证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴ACCO＝ECCD.又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴EM BD ＝AM AD ＝MFDC.∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点，∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点，从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB 的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴EMBD＝AMAD＝MFDC，∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ，∴BD DC ＝EN NC ，∴EM MF ＝EN NC ，∴EM EF ＝ENEC .又∵∠MEN ＝∠FEC ，∴△MEN ∽△FEC.∴∠EMN ＝∠EFC.∴MN ∥AC.7．证明：∵AC 2＝AB·AD，∴AC AD ＝ABAC.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB. 又∵BC 2＝BA·BD，∴BC BD ＝BABC.又∵∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA. ∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.8．证明：∵AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k. ∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG. ∴△AFG ∽△CDG ，∴FG DG ＝AF CD ＝23. 设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k. ∴5m ＝5k.∴m ＝55k.∴FG ＝255k.∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DFEF. 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE. ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF.专训41．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0) 将D(0，1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53代入解析式得：⎩⎨⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎨⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B(－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C(3，0)，即BC ＝5 设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋1①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC.∴△BOD ∽△BCE 1.此时点C 和点E 1的横坐标相同． 将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52.②当CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C.过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F. ∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F. 即E 2F 2＝CF·BF.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＝(3－x)(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)∴E 2(2，2)当∠EBC ＝90°时，此情况不存在． 综上所述：E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52或E 2(2，2)．(第1题)(第2题)2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AO AD ＝OBDP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c.∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2. (2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN2，∴MN ＝2ON.设ON ＝a ，则M(a ，2a)，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN 1，∴MN ＝12ON.设ON ＝n ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫n ，12n ，∴－n 2＋n＋2＝n 2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.(第3题)4．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D(1，3)，∴3＝k 1，∴k ＝3，∴y ＝3x .∵点E 在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y ＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32. (2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF＝53，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B(2，3)，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.专训5 1．C2．203．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB＝∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，且ABA′B′＝BCB′C′＝CDC′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MC NC＝BM B′N＝BC B′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BCB′C＝12，所以MC(a＋1)＝BM(－b)＝1 2.所以MC＝12(a＋1)，BM＝－b2.所以MO＝1 2(a＋1)＋1＝a＋32.所以点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a＋32，－b2.(第4题)5．解：(1)∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，∴8－2x8＝y6，∴y＝－32x＋6(0≤x≤4)．(2)∵S△BDE＝12·2x·y＝12·2x·⎝⎛⎭⎪⎫6－32x＝－32(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.6．(1)证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2，∴△ABC∽△FCD.(2)解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.∵D是BC边上的中点，∴BC＝2CD.由(1)知△ABC∽△FCD，∴S△ABCS△FCD＝⎝⎛⎭⎪⎫BCCD2＝41.又∵S△FCD ＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC ＝12BC·AM，∴AM＝2S△ABCBC＝2×2010＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM ＝BD BM. 由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52.∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．(第6题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， ∴∠CAB ＝45°.∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠CED ＝45°，∠CDE ＝90°. ∴∠CAO ＝∠CED ，∠AOC ＝∠EDC. ∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，AC CO ＝CE CD. ∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.8．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B. 又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ， 即∠APC ＝∠FPD. 又∠PAC ＝∠PDC ， 所以△PAC ∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD. 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ， 所以PD AC ＝DFAF，则PD·AF＝AC·DF.由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE·AB，CE ＝DE. 所以BE ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2，所以DE ＝2.又＝，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42， 所以PD ＝AC ·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102. 9．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①.(第9题)由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG.又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ， 所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH. 因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ， 所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103 m .因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )． 所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m .故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②. 所以AM DM ＝FG GH.而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ， 所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m .故这棵树的高度是4.4 m .10．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC. ∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460.解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O＝12CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝12∠BAC.又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝12∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝12∠BAC＋12∠CAD＝12(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，又∵M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.∴CMAM＝AMBM，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。
九年级数学相似单元测试题[1]
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初三数学相似单元测试题一、选择题:（每小题3分,共24分） 1、已知dcba=则下列各式中错误的是( ) db ca dbc a Dd c c b a a C b c d a B d b c a A --=++-=-==)()()(.) 2、下列结论中正确的是（ ）A 、 有一个角相等的两个等腰三角形一定相似。
B 、 有两边成比例的两个直角三角形一定相似。
C 、两个矩形一定相似.D 、 有一个角相等的两个菱形一定相似。
3、下列条件不能判定△ABC 与△A ′B ′C ′相似的是( ) A 、∠C=∠C ′=90° ∠B=∠A ′=50°（B ）∠A=∠A ′=90°''''B A C B AB BC = (C)∠A=∠A ′''''C B BC B A AB = (D)''''''B A ACC A BC C B AB == 4、如图P 是正方形ABCD 边BC 上的一点，E 是BC 上中点，下列条件不能推出△ABP 与△PCE 相似的是（ ）A 、∠APB=∠EPCB 、AP ⊥ EPC 、P 是BC 边中点D 、BP ：PC=2：15、如图直角梯形ABCD 中AD ⊥AB ，∠C 和∠B 的角平分线的交点E 恰好在AD 上，下列结论错误的有（ )个。
(完整word版)九年级数学相似三角形单元测试题及答案
九年级数学相似单元测试（1）一.选择题（每小题3分洪30分） 1.在比例尺为 A.1250km b 3 1:5000的地图上，量得甲，乙两地的距离25cm,则甲，乙的实际距离是（ C. 12.5km D.1.25km 2•已知a 2 B.125km =c = 0，则匕空的值为 4 cA. 4 5 3. 已知/ ABC 的三边长分别为 相似,那么/ A ' B ' C '的第三边长应该是B.11 2D. 1 2 2,,6,2,/A ' B ' C '的两边长分别是 （ C.2 1 和.3,如果/ ABC 与/ A ' B ' C ' ) A. 24. 在相同时刻，物高与影长成正比 C.-6D.三 2 3 如果高为 1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为 （ ） D 15米 D A 20米 B 18米 5. 如图，/ACB= Z ADC=90 ° ,BC=a,AC=b,AB=c,要使/ ABC s/CAD, 只要CD 等于 （ ） 2 2 2A. —B.—C.abD.— c a c c 6. —个钢筋三角架三长分别为20cm,50cm,60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和 50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边,则不同的截法有 （ ） A. 一种 B.两种 C.三种 D.四种 7、 用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在 A 原图形的外部 B 原图形的内部 C 原图形的边上 D 任意位置 8、 如图，口 ABCD 中，EF // AB , DE : EA = 2 : 3, EF = 4，贝U CD 的长（ ）A 16 A.亍 C 16米 C . 10 D . 16 窗户的高在在室地直线上影长则那的高貉为窗户的下檐到教严面勺距离 C . 2米 D . 1.5 米BC=1米（点B CABC 的边BC10、 某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ 上，△ ABC 中边BC=60m ，高AD=30m ，则水池的边长应为（ ） A 10m B 20m C 30m D 40m 二傾空题（每小题3分洪30分） 11、 已知冬=3,则= y 4 y 12、 .已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC,则AC : AB= _________ . 13、 .把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ___________________ .14、 如图，/ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点（DE.JBC ）,当 ________ 或 ________ 或 _______ 时,/ ADE 与/ ABC 相似. 15、 在厶ABC 中，/ B = 25° , AD 是BC 边上的高，并且AD 2 = BD • DC ，则/ BCA 的度数为 _______________ 。
2020-2021九年级数学 相似的专项 培优练习题附答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题附答案一、相似1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ，∴A（0，），令y=0，则x=10，∴B（10，0），由，解得，∴C（，）．∴OC= =8，BC= =10（2）解：①当时，△OPQ∽△OCB，∴，∴t= ．②当时，△OPQ∽△OBC，∴，∴t=1，综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似（3）解：如图作PH⊥OC于H．∵OC=8，BC=6，OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠OCB=90°，∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90°，∴PH∥BC，∴，∴，∴PH=3t，OH=4t，∴tan∠PCH=tan∠CBQ，∴，∴t= 或0（舍弃），∴t= s时，PC⊥BQ．【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；（2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值；（3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。
(完整)九年级数学相似测试题
九年级数学相似测试题一、选择题1、假设△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 的相似比为 1： 2，那么△ ABC 与△ DEF 的对应角平分线的比为〔 〕A 1 ：4B 1： 2 C 2：1D 1： 2 2、△ ABC ∽△ DEF,假设△ABC 与△ DEF 的相似比为 3：4, 那么△ ABC 与△ DEF 对应中线的比为 ( )A 3 ：4B 4 ： 3 C9 ：16D 16：9ⅱ ?￠3、如图 , 以点 O 为位似中心 , 将△ ABC 缩小后得到△ A B C, OB=3OB ,ⅱ ?与△ ABC 的面积的比为 ()那么△ A B CA 1:3B 1:4C 1:5D 1:94、如图，△ OAB 与△ OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 1：2，∠OCD=90°， CO=CD ．假设 B 〔1，0〕，那么点 C 的坐标为〔〕A 〔1，2〕B 〔1，1〕C 〔 2 ， 2 〕D 〔 2， 1〕5、圆桌面〔桌面中间有一直径为的圆洞〕正上方的灯泡〔看作一个点〕发出的光线照射平行于地面的桌面，在地面上形成如下图圆形环阴影。
桌面直径为m ，桌面离地面 1 m ，假设灯泡离地面 3m ，那么地面上圆环阴影局部的面积是〔〕m 2m 2m 2m 26、如图，△ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，那么以下结论：①△ ABC ∽△ ADE ；② BC=2DE ；③ C DADE = 1 C DABC ；④ S DADE = 1 S DABC ；⑤ AD AC 。
其中正确的有〔 〕23AE ABA 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 7、如图， AB 是半圆 O 的直径， D ，E 是半圆上任意两点，连接 AD ，DE ， AE 与 BD 相交于点 C ，要使△ ADC 与△ ABD 相似，可以添加一个条件。
以下添加的条件，其中错误的选项是〔 〕 A ∠ ACD=∠DAB B AD=DE CAD 2 =BD?CD D CD?AB=AC?BD8、如图，△ ABC ∽△ DEF ，AB ：DE=1:2，那么以下等式一定成立的是〔 〕ABC = 1 BDA = 1 CS DABC = 1DC DABC = 1DF2DD 2S DDEF 2C DDEF 29、如下图，在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ，E 为 OD的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F ，那么 DF ：FC=〔 〕 A 1:4 B 1:3 C 2:3 D 1:210、如图，在△ ABC 中，中线 BE 与 CD 相交于点 O ，连接 DE ，以下结论：①DE = 1 ；② S DDOE = 1 ；③ AD = OE ；④ S DODE = 1。
初三数学相似练习题及答案
初三数学相似练习题及答案相似性是数学中一个重要的概念，通过对两个图形或者物体进行比较，我们可以得出它们之间的相似性质。
相似性不仅在几何中有应用，在生活中也有很多实际的应用。
本文将介绍一些初三数学中的相似性练习题及其答案，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：在下面的图形中，黄色区域是正方形ABCD的内部。
已知比值为3：4的两条边分别为EF和GH。
求证：矩形EFGH和正方形ABCD相似。
解答：首先，我们可以观察到矩形EFGH与正方形ABCD具有共同的一个角A。
根据三角形的AA判定相似性质，我们只需要证明另外两个对应边的比值相等即可。
设矩形EFGH的长为x，宽为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下等式：EF = 3AB = x + yBC = CD = AD = x根据正方形的性质，我们知道正方形ABCD的边长相等，所以可以得到以下等式：AB = BC = CD = AD因此，可以得到以下关系：x + y = xy = 0由此可见，矩形EFGH的宽度y等于0，这是不可能的。
故我们得到的结论是错误的。
练习题二：在下面的图形中，已知三角形ABC与三角形DEF相似。
已知AC = 10cm，BC = 6cm。
若DE = 8cm，求EF的长度。
解答：根据题目中的已知条件，我们可以列出以下等式：AC/DE = BC/EF代入已知数值，可以得到：10/8 = 6/EF交叉相乘并移项，我们可以得到：10EF = 8 * 6计算右边的乘积，我们得到：10EF = 48最后，将式子两边同时除以10，我们可以求得：EF = 48/10 = 4.8所以，EF的长度为4.8cm。
练习题三：在下面的图形中，已知三角形ABC与三角形DEF相似。
已知AC = 12cm，BC = 8cm，EF = 18cm。
求DE的长度。
解答：根据题目中的已知条件，我们可以列出以下等式：AC/DE = BC/EF代入已知数值，可以得到：12/DE = 8/18交叉相乘并移项，我们可以得到：8DE = 12 * 18计算右边的乘积，我们得到：8DE = 216最后，将式子两边同时除以8，我们可以求得：DE = 216/8 = 27所以，DE的长度为27cm。
九年级数学相似证明题专项训练题练习题含答案.doc
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谢谢！】相似专项训练专训 1 证比例式或等积式的技巧点拨： 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角 形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中， 可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明 显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ ABC 中，D 为AB 的中点， DF 交AC 于点 E ，交BC 的延长线于点 F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·E C.2．如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有一点 E ，且 AD ＝CE ， DE 交 AC 于点 F ，试证明： AB ·DF ＝BC ·EF.三点找三角形相似法3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点， DE 交BC 于 F.DC ＝CF .AE ＝AD .4．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， M 为BC 的中点， DM ⊥BC 交CA 的延长线于 D ，交 AB 于 E.求证： AM 2＝MD ·ME.等比过渡法6．如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点 F 在边 AC 上， DF 与 BE 相交于点 G ，且∠ EDF ＝∠ ABE.求证： (1) △DEF ∽△ BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7．如图， CE 是 Rt △ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一点 P ，连接 AP ，作 BG⊥AP 于点 G ，交 CE 于点 D.求证：CE 2＝DE ·P E. （第 7题） 两次相似法8．如图，在 Rt △ABC AD 是斜边 BC 上的高，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E ，交 AD 于构造相似三角形法5．如图，在等边三角形 ABC中， AC 于点 M，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN. 点 P 是 BC 边上任意一点， AP的垂直平分线分别交 AB ， （第 5题）（第 6题）BF ＝AB .BE ＝BC .9．如图，在 ?ABCD 中， AM ⊥BC ， AN ⊥CD ，垂足分别为 M ，N.求证：(1) △AMB ∽△ AND ；AM ＝MN(2) AB ＝ AC .等积代换法10．如图，在△ ABC 中，AD ⊥ BC 于 D ，DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F.等线段代换法11．如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点 D ，点 P 是 AD 上一点，CF ∥AB ，延长 BP 交 AC 于点 E ，交 CF 于点 F ，求证： BP 2＝PE ·PF.F.求证： AE ＝AC .AF ＝AB .(第 8题)(第 10题)12．已知：如图，AD平分∠ BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC.（第12题）专训 2 巧用“基本图形”探索相似条件点拨几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1. 平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ ABC 中，BE 平分∠ ABC 交AC 于点 E ，过点 E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1) 求证： AE ·BC ＝BD ·AC ；(2) 如果 S △ADE ＝ 3， S △BDE ＝2，DE ＝ 6，求 BC 的长．相交线型△ ADE 与△ ABC 相似吗？请说明理由．2．如图，点 D ，E 分别为△ ABC 的边 AC ，AB 上的点， BD ，CE 交于点 O ，且 E B O O ＝D CO O ， 试问子母型3．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90 ， AD ⊥ BC 于点 D ，E 为 AC 的中点， ED 的延长线交AB的延长线于点 F.求证： AB＝DFAC ＝AF .(第 1题)(第 2题)旋转型4．如图，已知∠ DAB ＝∠EAC ，∠ ADE ＝∠ ABC. 求证： (1) △ADE ∽△ ABC ；AD BD (2) AE ＝ CE .(第 4题)专训 3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 点拨 判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或 垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方 法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点 O ，直线 AO 与BC 边交于点 M ，与 DE 交于点 N.求证： BM ＝MC.2．如图，一直线和△ ABC 的边 AB ，AC 分别交于点 D ，E ，和 BC 的延长线交于点 F ，且 AE CE ＝ BF CF.求证： AD ＝DB.类型2：证明两线段的倍分关系1 3．如图，在△ ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠ A＝60°，求证：DE＝BC.24．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥ CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.6．在△ ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE 和AD，分别交DF，EF 于点N，M.(1) 如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图②，若 E 不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．类型2：证明两线垂直7．如图，在△ ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AC 2＝AB ·AD ， BC 2＝BA ·BD ，求证： CD ⊥AB.8．如图，已知矩形 ABCD ，AD ＝13AB ，点 E ，F 把AB 三等分， DF 交AC 于点 G ，求证： EG ⊥专训 4 相似三角形与函数的综合应用 点拨 解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题 形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝－x ＋3与 x 轴交于点 C ，与直线 AD 交于点 ，1）．（1） 求直线 AD 的解析式；（2） 直线AD 与x 轴交于点 B ，若点 E 是直线AD 上一动点（不与点 B 重合） ，当△1 求 k 的值及点 E 的坐标；DF.（第 6题）（第 7题）（第 8题），35 ，点 D 的坐标为（0BOD与△ BCE 相似时，求点E 的坐标．相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y＝ax1 2＋bx＋ c 经过A，B，C(1，0)三点．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点D的坐标为( －1，0)，在直线y＝－x＋3 上有一点P，使△ ABO与△ ADP相似，求出点P 的坐标．(第2题)3．如图，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，把△ AOB沿y 轴翻折，点A2落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c 与直线BC交于点D(3，－4) ．(1) 求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x 轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△ BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x 轴和y 轴上，点B的坐标为(2 ，3) ，双曲线y k＝x(x>0) 经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(2)若点F是OC边上一点，且△ FBC∽△ DEB，求直线FB对应的函数解析式．专训 5 全章热门考点整合应用点拨 本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法 等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为： 3 个概念、 2 个性质、 1 个判定、 2 个应用、 1 个作图、 1 个技巧．3 个概念概念1：成比例线段有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m ，在图纸上，这条边的长为 5 cm ，其他两 条边的长都为 4 cm ，则其他两边的实际长度都是 _____________ m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠ 1′＝∠ 1，∠2′＝∠ 2，∠3′＝∠ 3，∠4′＝∠4，∠D ′＝∠ D ，试判 断四边形 A ′B ′C ′D ′与四边形 ABCD 是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4．如图，在△ ABC 中，A ，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是 （－1，0）．以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边放大到原来的 2 倍，记所得的 像是△A ′B ′C.设点 B 的对应点 B ′的坐标是（a ，b ），求点 B 的坐标． A．3 cm， 6 cm ， 7 cm ， cm B ． 2 cm，5 cm ， 0.6 dm ， 8 cm C ． 3 cm ，9 cm ， 1.8 dm ， 6 cm D ． 1 cm ， 2 cm ，3 cm ， cm （第 4题）1． 2． 列各组线段，是成比例线段的是 （ ）2 个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点 D 从点 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为止，运动速度为每秒 2个单位长度．过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点 D 运 动的时间为 x 秒， AE 的长为 y.(1) 求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；(2) 当 x 为何值时，△ BDE 的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6．如图，已知 D 是 BC 边上的中点，且 AD ＝AC ，DE ⊥ BC ，DE 与 BA 相交于点 E ，EC 与 AD 相交于点 F.(1) 求证：△ ABC ∽△ FCD ；(2) 若 S △FCD ＝ 5， BC ＝10，求 DE 的长．1 个判定——相似三角形的判定7．如图，△ ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 AB 上一点，连接 CD ，DE ⊥ CD ，DE ＝CD ， 连接 AE ，过 C 作 CO ⊥AB 于 O.求证：△ ACE ∽△ OCD.(第 7题)(第 5题)8.如图，在⊙ O的内接△ ABC中，∠ ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l 交⊙O于另一点D，垂足为点 E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1) 求证：△ PAC∽△ PDF；(2) 若AB＝5，＝，求PD的长．2 个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻， 1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为 2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．（第 10题）1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中 (每个小方格的边长都是 1个单位长度)有一点 O 和△ ABC.请以点 O 为位似中心，把△ ABC 缩小为原来的一半 ( 不改变方向 ) ，画出△ ABC 的位似图形．1 个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ ABC ，∠ BAC 的平分线与∠ DAC 的平分线分别交BC 及 BC的延长线于点 P ，Q.(1) 求∠ PAQ 的度数；(2) 若点 M 为 PQ 的中点，求证： PM 2＝CM ·BM.1．证明：如图，过点 C 作CM ∥AB 交DF 于点 M.∵CM ∥AB ，∴△ CMF ∽△BDF.专训1答案（第 11题）（第 12题）2．证明：过点 D 作DG ∥BC ，交 AC 于点 G ， ∴△ DGF ∽△ ECF ，△ ADG ∽△ ABC.EF ＝CE ，AB ＝AD .DF ＝DG ，BC ＝DG .CE AD AB EF∵AD ＝CE ，∴ DG ＝ DG . ∴BC ＝DF ，即 AB ·DF ＝ BC ·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“ A ”型或“ X ”型的基本图形，通过相似三角形转化 线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形．∴AE ∥DC ，∠ A ＝∠ C.∴∠ CDF ＝∠ E ，4．证明：∵ DM ⊥BC ，∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＋∠ BEM ＝90°，∠ D ＋∠ DEA ＝90°. ∵∠ BEM ＝∠ DEA ，∴∠ B ＝∠D. 又∵M 为 BC 的中点，∠ BAC ＝90°，∴ BM ＝AM. ∴∠ B ＝∠ BAM.∴∠ BAM ＝∠ D. 又∵∠ AME ＝∠ DMA ∴. △ AME ∽△ DMA.AM ME 2 ∴MD ＝AM . ∴AM ＝MD ·ME.5．证明：如图，连接 PM ，PN. ∵MN 是 AP的垂直平分线， ∴MA ＝MP ，NA ＝NP. ∴∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4.BF ＝BD .CF ＝CM .又∵ CM ∥AD ， ∴△ ADE ∽△ CME ∴. AE ＝AD EC ＝CM .∵D 为 AB 的中点， ∴BD ＝AD . ∴BF ＝AE ，∴CM ＝CM . ∴CF ＝EC ， 即 AE · CF ＝ BF · EC.∴△ DAE ∽△ FCD ，DC ＝CF . AE ＝AD .（第 5题）又∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B ＝∠ C ＝∠ 1＋∠ 3＝60°.∴∠ 2＋∠ 4＝60°.∴∠ 5＋∠ 6＝120°.又∵∠ 6＋∠ 7＝180°－∠ C ＝120° ∴∠5＝∠7. ∴△ BPM ∽△ CNP.6．证明： (1) ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠ ACB ＋ ∠CED ＝180°，∴∠ CED ＝∠ BDE.又∵∠ EDF ＝∠ ABE ，∴△ DEF ∽△BDE.∴DE 3＝DB ·EF.又由△ DEF ∽△ BDE ，得∠ BED ＝∠ DFE.∵DG DE 2∠GDE ＝∠EDF ，∴△ GDE ∽△EDF.∴DE ＝DF ，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF.7．证明：∵ BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠ AEP ＝∠ BED ＝∠ AGB ＝90°.∴∠ P ＋∠ PAB ＝90°，∠ PAB ＋∠ ABG ＝90°.∴∠ P ＝∠ ABG.∴△ AEP ∽△ DEB.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠ CAB ＋∠ ACE ＝90 又∵∠ ACB ＝90°，∴∠ CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ ACE ＝∠ CBE.∴△ AEC ∽△ CEB. 8．证明：易得∠ BAC ＝∠ BDF ＝90°∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠DBF ，∵∠ BAC ＝∠ BDA ＝90°，∠ ABC ＝∠DBA.9．证明： (1) ∵四边形 ABCD 为平行四边形．∴∠ B ＝∠D. ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△ AMB ∽△ AND.3 由△ AMB ∽△AND 得A AN M ＝A AB D ，∴BP ＝BM ， ∴CN ＝CP ，即 BP ·CP ＝ BM ·CN.(2) 由△DEF ∽△ BDE 得B D D E ＝E D F E ， AE ＝PE ， DE ＝BE ，即 AE ·BE ＝ PE ·DE. AE ＝CE， CE ＝BE ，即 CE 2＝AE ·BE.∴ CE 2＝DE ·PE. BD BF∴△ BDF ∽△ BAE ，得AB BE∴△ ABC ∽△ DBA ，得 AB ＝BD ，∴BF ＝AB . BC ＝AB ，∴BE ＝BC . ∠ BAM ＝∠ DAN.AM AB又 AD ＝BC ，∴ AN ＝ BC .∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°.∴∠ B ＋∠ BAM ＝∠ MAN ＋∠ NAD ＝90°，∴∠ B ＝∠ MAN.AM MN∴△ AMN ∽△ BAC ，∴ AB ＝AC .10．证明：∵ AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ ADB ＝∠ AED ＝90°.又∵∠ BAD ＝∠ DAE ，∴△ ADE ∽△ ABD ，得 AD 2 ＝AE ·AB ，同理可得 AD 2＝AF ·AC ，∴ AE ACAE ·AB ＝AF ·AC ，∴ AF ＝AB .11．证明：连接 PC ，如图．∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分 BC ，∠ABC ＝∠ ACB ，∴BP ＝ CP ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ ABC －∠1＝∠ ACB －∠2，即∠ 3＝∠4. ∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠CP PF 2 24＝∠ F.又∵∠ CPF ＝∠ CPE ，∴△ CPF ∽△EPC ，∴ PE ＝ CP ，即 CP 2＝PF ·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE ·PF.（第 12题） 12．证明：如图，连接 PA ，则 PA ＝PD ，∴∠ PDA ＝∠PAD. ∴∠ B ＋∠ BAD ＝∠ DAC ＋∠ CAP. 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ DAC.∴∠ B ＝∠ CAP.又∵∠ APC ＝∠ BPA ，∴△ PAC ∽△PBA ，即 PA 2＝PB ·PC ，∴ PD 2＝PB ·PC. PA ＝PC ，PB ＝PA ，专训2∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ DBE ＝∠EBC. ∵ED ∥BC ，∴∠ DEB ＝∠ EBC.AE BD∴∠ DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴ ＝ ，AC BC即 AE ·BC ＝ BD ·AC.(2) 解：设 h △ADE 表示△ ADE 中 DE 边上的高， h △BD E 表示△ BDE 中 DE 边上的高， h △AB C 表示△ ABC 中 BC 边上的高．S △ ADE h △ ADE 3 S △ADE ＝3，S △BDE ＝ 2，∴ ＝ ＝S △ BDE h △ BDE 2h △ ADE 3h △ ABC 5∵DE ＝6，∴BC ＝10.COD ，△ DOE ∽△ COB 所. 以∠ EBO ＝∠ DCO ，∠ DEO ＝∠ CBO.因为∠ ADE ＝∠ DCO ＋∠ DEO ，∠ ABC ＝ ∠EBO ＋∠CBO.所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠ A ＝∠ A ，所以△ ADE ∽△ ABC.3．证明：∵∠ BAC ＝90°， AD ⊥BC 于点 D ，∴∠ BAC ＝∠ ADB ＝90°.又∵∠ CBA ＝∠ ABD(公共角 ) ，AB DB∴△ABC ∽△DBA.∴A AB C ＝D D A B ，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点 D ， E 为 AC 的中点，∴ DE ＝EC. ∴∠ BDF ＝∠ CDE ＝∠ C.∴∠ BDF ＝∠ BAD. 又∵∠ F ＝∠F ，DB DF AB DF∴△DBF ∽△ADF.∴AD ＝AF.∴AC ＝AF.(第 3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又1．(1) 证明：∵ ED ∥BC ， AE DE △ADE ∽△ABC.∴AC ＝BC .∵△ ADE ∽△ ABC ， DE ＝h △ADE ＝3BC h △ ABC 52．解：相似．理由如下：因为 EO ＝ DO ，BO ＝ CO ， ∠ BOE ＝∠ COD ，∠ DOE ＝∠ COB ，所以△BOE ∽△不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1) ∵∠ DAB＝∠ EAC，∴∠ DAE＝∠ BAC.又∵∠ ADE＝∠ ABC，∴△ ADE∽△ ABC.(2) ∵△ADE∽△ABC，∴ A A E D＝A A B C.∵∠ DAB＝∠EAC，∴△ ADB∽△ AEC.∴AAED＝B C D E.专训3NE ON1．证明：∵ DE∥BC.∴△NEO∽△ MBO∴. MB＝OM.DN ON DN NE DN MC 同理可得＝. ∴ ＝. ∴ ＝.MC OM MC BM NE BM∴△ ANE∽△ AMC∴. AN＝NE.AM MCAN DN DN NE DN BM 同理可得AM＝BM，∴BM＝MC.∴NE＝MC.2．证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．AD＝AE，BD＝BF，CG＝CE，CG＝CF，AE＝BF，∴AD＝BD，CE＝CF，∴CG＝CG，∵DE∥BC，∴MC＝BM∴∴BM＝MC. ∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.∵CG∥AB，(第2题)∴AD ＝BD.AD AE DE AD 1 1AB ＝AC . 又∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴BC ＝AB ＝2，∴DE ＝2BC.4．证明：如图，延长 CE ，交 AM 的延长线于 F. ∵ AB ∥CF ，∴∠ BAM ＝∠ F ，△ BDM ∽△BAC ，∴∠ BAM ＝∠ CAM ，∴∠ CAM ＝∠F ，∴AC ＝CF ，∴AC ＝2CE.（第 5题）5．证明：如图，过点 C 作CO ⊥AB 于点 O.∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ，∴∠ ECD ＝∠ CED ＝45°. ∵△ ABC 是等腰直角三角形，∴∠ CAB ＝∠ B ＝45°. ∴∠ CAB ＝∠又∵∠ ACE ＋∠ ECO ＝∠OCD ＋∠ ECO ＝45°，∴∠ ACE ＝∠OCD ∴. △ ACE ∽△ OCD ∴. ∠CAE ＝ ∠COD ＝90°.又∵∠ ACB ＝90°，∴∠ CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.6．解：(1)MN ∥AC ∥ED.证明如下：∵ EF ∥BC ，∴△ AEM ∽△ ABD ，△ AMF ∽△ ADC ，∴ EM ＝BDA ADM ＝D M C F .∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为 AC 的中点．又∵ DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM＝MF.∵F 为AC 的中点， FN ∥AE ，∴ N 为EC 的中点，从而 MN ∥AC.又∵D 为 BC 的中点， E 为AB 的中点，∴ ED ∥AC ，∴ MN ∥AC ∥ED.3．证明：∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∠A ＝60°，∠ ABD ＝∠ ACE ＝30 AD ＝1，AB ＝2，AE 1AC ＝2，BD BM BA BMCEM ，△BAM ∽△CFM ，∴B C D E ＝B M M C ，B C A F ＝B M MC ， BD BA∴ B C D E ＝B C A F .又∵BA ＝2BD ，∴ CF ＝2CE.又 AM 平分∠CED.又∵∠ AOC ＝∠ EDC ＝90 AC EC∴△ ACO ∽△ECD.∴A C CO(2)MN ∥AC.证明如下：∵ EF ∥BC ，∴△ AEM ∽△ ABD ，△ AMF ∽△ ADC ，∴B E D M ＝A ADM ＝D M C F ，BD AD DCEM BD BD EN EM EN EM EN＝ . 又∵ DF ∥AB ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ . 又∵∠ MEN ＝∠ FEC ， MF＝DC . 又∵DF ∥AB ，∴DC ＝NC ，∴MF ＝NC ，∴EF ＝EC. 又∵∠ MEN ＝∠ FEC ，∴∠ EMN ＝∠ EFC.∴ MN ∥AC.AC AB7．证明：∵ AC 2＝AB ·AD ，∴ AD ＝AC . 又∵∠ A ＝∠A ，∴△ ACD ∽△ ABC.∴∠ ADC ＝∠ ACB.2BC BA又∵BC 2＝BA ·BD ，∴BD ＝BC . 又∵∠ B ＝∠ B ，∴△ BCD ∽△ BAC.∴∠ BDC ＝∠ BCA. ∴∠ ADC ＝∠ BDC.∵∠ BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.18．证明：∵ AD ＝3AB ，点 E ，F 把 AB 三等分，∴设 AE ＝ EF ＝FB ＝AD ＝k ，则 AB ＝CD ＝3k.∵CD ∥AB ，∴∠ DCG ＝∠ FAG ，∠ CDG ＝∠ AFG.FG AF 2∴△AFG ∽△CDG ，∴F D G G ＝A C F D ＝23.设 FG ＝2m ，则 DG ＝3m ，∴ DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在 Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴ DF ＝ 5k.又∠ AFD ＝∠ GFE ，∴△ AFD ∽△ GFE.∴∠ EGF ＝∠ DAF ＝90°. ∴ EG ⊥ DF.专训41．解： (1)设直线 AD 的解析式为 y ＝kx ＋b(k ≠0) 将 D(0，1) A 43， 35 代入解析式得：∴5m ＝ 5k.AF 2k∴F A G F ＝252k 5k ＝ 5，DF 5k AF DF EF ＝ k ＝ 5. ∴FG ＝EF .∴△ MEN ∽△ FEC.b ＝ 1b ＝ 15＝4k ＋b 解得k ＝11∴直线 AD 的解析式为 y ＝ 2x ＋1.1（2） 直线 AD 的解析式为 y ＝2x ＋1.令 y ＝0，得 x ＝－2.得 B （－2，0） ，即 OB ＝2. 直线 AC 为 y ＝－ x ＋3. 令 y ＝ 0，得∴ x ＝3. 得 C （3，0） ，即 BC ＝51设 E x ， 2x ＋1①当 E 1C ⊥BC 时，如图，∠ BOD ＝∠ BCE 1＝90°，∠ DBO ＝∠ E 1BC.∴△ BOD ∽△ BCE 1. 此时点 C 和点 E 1 的横坐标相同．15将 x ＝ 3 代入 y ＝2x ＋1，解得 y ＝2.∴E 1 3， 2②当 CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠ DBO ＝∠CBE 2， ∴△ BOD ∽△ BE 2C.过点 E 2作 EF ⊥x 轴于点 F ，则∠ E 2FC ＝∠ BFE 2＝90 又∵∠ E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠ E 2BF ＝∠ CE 2F.E 2F CF∴△ E 2BF ∽△ CE 2F ，则 ＝ .BF E 2F解得： x 1＝2，x 2＝－ 2（舍去 ） ∴E 2（2，2）当∠ EBC ＝90°时，此情况不存在．5综上所述： E 1 3，2 或 E 2（2，2） ．即 E 2F 2＝CF ·BF. 12x ＋ 1 2＝（3 －x ）（x ＋2）（第 1题）（第 2题）2．解： （1） 由题意得 A （3，0），B （0，3），∵抛物线经过 A ，B ，C 三点，∴把 A（3，0） ， 9a ＋3b ＋c ＝ 0， B （0， 3） ， C （1，0） 三点的坐标分别代入 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，得方程组 c ＝3， 解得 a ＋ b ＋ c ＝0， a ＝1， b ＝－ 4，∴抛物线对应的函数解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. c ＝3， （2） 如图，由题意可得△ ABO 为等腰直角三角形．若△ ABO ∽△ AP 1D ，则 A A D O ＝D O P B，∴ DP 1＝ AD DP 1AD ＝4，∴P 1（ －1，4）；若△ ABO ∽△ ADP 2，过点 P 2作 P 2M ⊥x 轴于 M ，∵△ ABO 为等腰直角三角 形，∴△ ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得 DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点 M 与点 C 重合，∴ P 2（1 ，2） ，∴点 P 的坐标为 （－1，4）或（1，2）． 3．解： （1） 易得A （－1，0），B （0，2），C （1，0）． 设直线 BD 对应的函数解析式为 y ＝kx ＋ m. 把 B （0，2），C （1，0） 的坐标分别代入 y ＝kx ＋m ， m ＝2 k ＋m ＝0， k ＝－2 解得 m ＝2. ∴直线 BD 对应的函数解析式为 y ＝－ 2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为 y ＝－ x 2＋bx ＋c. 2∴把 B （0，2），D （3，－4） 的坐标分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ， c －＝92＋，3b ＋c ＝－4，解得－9＋3b ＋ c ＝－ 4，b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为 y ＝－ x 2＋x ＋2.（2） 存在，①如图①，当△ MON ∽△ BCO 时， C O O N ＝B M O N ，即O 1N ＝M 2N ，∴ MN ＝2ON.设 ON ＝a ，则2M （a ， 2a ） ，∴－ a 2＋a ＋2＝2a ，解得 a 1＝－ 2（不合题意，舍去 ） ，a 2＝1，∴ M （1，2） ；②如图4．解： （1）在矩形 OABC 中，∵点 B 的坐标为（2 ， 3） ，∴ BC 边的中点 D 的坐标为（1 ， k k 33） ．∵双曲线 y ＝x 经过点 D （1， 3） ，∴ 3＝1，∴ k ＝ 3，∴ y ＝x . ∵点 E 在 AB 上，∴点 E 的横坐3 3 3 标为 2.又∵双曲线 y ＝x 经过点 E ，∴点 E 的纵坐标为 y ＝2，∴点 E 的坐标为 2，2.33 BD BE 1 2 4（2） 易得 BD ＝1，BE ＝2，CB ＝2. ∵△FBC ∽△DEB ，∴CF ＝CB ，即CF ＝2，∴CF ＝3，∴OF 55＝3，即点 F 的坐标为 0，3 .设直线FB 对应的函数解析式为 y ＝k 1x ＋b ，而直线 FB 经过B （2，25∴ k 1＝3，b ＝3，∴直线 FB 对应的函数解析式为②，当△ MON ∽△ CBO 时，ON＝MN ，即ON ＝MN ， BO CO 2 1 ∴－ n 2＋ n＋2＝2，解得 n 1＝ 4 （ 不合题意，舍去 ） ，n 2＝ 4 ，∴M(1＋ 33，1＋ 338） ．∴存在3)，F 0，53 ，25 y ＝3x ＋3.∴ MN ＝12ON.设 ON ＝n ，则 2n， 这样的点 M （1，2） 或1．C3．解：四边形 ABCD 与四边形 A ′B ′C ′D ′ 相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠ AB BC CD D ′A ′B ′，∠ B ＝∠B ′，∠ BCD ＝∠B ′C ′D ′，∠ D ＝∠D ′，且 A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝DA 5＝ ，所以四边形 ABCD 与四边形 A ′ B ′C ′D ′相似．D ′ A ′ 6 4．解：如图，过点 B 作 BM ⊥x 轴于点 M ，过点 B ′作 B ′N ⊥x 轴于点 N ，则△CBM ∽△CB ′N.所以 MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C.又由已知条件知 NC ＝a ＋1，B ′N ＝－ b ， BC 1bB ′C ＝1 2，所以 MC （a ＋1）＝BM （－b ）＝1 2.所以 MC ＝2（a ＋1） ， BM ＝－ 2. 所以MO ＝ 1 a ＋ 32（a ＋ 1） ＋1＝ 2 .所以点 B 的坐标为1 1 3 3 2(2) ∵S △BDE ＝2·2x ·y ＝2·2x · 6－2x ＝－2(x －2) ＋6，∴当 x ＝2时，最大值为 6.6．（1） 证明：如图，∵ D 是 BC 边上的中点， DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠ B ＝∠1. 又∵ AD ＝AC ，∴∠ ACD ＝∠ 2，∴△ ABC ∽△FCD. （2） 解：如图，过点 A 作AM ⊥CB 于点 M. ∵D 是 BC 边上的中点，∴ BC ＝2CD.1 2S △ ABC 2× 20∵S △ABC ＝2BC ·AM ，∴AM ＝ BC ＝ 10 ＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ，a ＋ 3，2，b －2. 5．解： (1) ∵DE ∥ BC ，AD ＝AE，AB ＝AC ，8－ 2x y 3∴ －8 ＝6，∴ y ＝－2x ＋6(0≤x ≤4)．S △BDE 有最大值，由(1) 知△ ABC ∽△ FCD ，S △ABCS △FCDBC2＝4. CD ＝1.又∵ S △FCD ＝5，∴ S △ABC ＝20. （第 4题）由 AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知 DM ＝21CD ＝ 41BC ＝25.点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．7．证明：∵△ ACB 为等腰直角三角形， AB 为斜边， ∴∠ CAB ＝45°. ∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠ CED ＝45°，∠ CDE ＝90 ∴∠ CAO ＝∠ CED ，∠ AOC ＝∠ EDC. AC CE∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，CO ＝CD .∴∠ ACE ＝∠ OCD ∴. △ACE ∽△ OCD.8．(1) 证明：由四边形 APCB 内接于圆 O ，得∠ FPC ＝∠ B. 又∠ B ＝∠ ACE ＝90°－∠ BCE ，∠ ACE ＝∠ APD ， 所以∠ APD ＝∠ FPC ，所以∠ APD ＋∠ DPC ＝∠ FPC ＋∠ DPC ， 即∠ APC ＝∠ FPD. 又∠ PAC ＝∠ PDC ， 所以△ PAC ∽△ PDF.(2) 解：由(1) 知△ PAC ∽△ PDF ，所以∠ PCA ＝∠ PFD. 又∠ PAC ＝∠ CAF ，所以△ PAC ∽△ CAF ，所以△ CAF ∽△PDF ，由 AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ ACB ＝90°，知 BC ＝ 5，AC ＝2 5. 由 OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知 CB 2＝BE ·AB ， CE ＝DE.CB 2 5所以 BE ＝ AB ＝5＝1.所以 AE ＝ 4，CE ＝ CB －BE ＝ 5－1＝2，∴△ BDE ∽△BMA.∴DE ＝BD . AM ＝BM .DE 55 5＋52∴DE ＝83.所以P A D C ＝A D F F ， 则 PD · AF ＝ AC · DF.所以DE＝ 2.又＝，∠ AFD＝∠ PCA，所以∠ AFD＝∠ PCA＝45 所以FE＝AE＝4，AF＝4 2，所以PD＝AC A·F DF＝2 5×4（42＋2）＝3210.9．解：（方法一：作延长线）延长AD，与地面交于点M，如图① .（第9题）由AM∥FH知∠ AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，因为CD＝ 2 m，FG＝1.2 m，GH＝ 2 m，2 1.2 10 所以CM＝2，解得CM＝3m.所以BM＝BC＋CM＝4＋130＝232（m）．33故这棵树的高度是 4.4 m.（方法二：作垂线）过点D作DM⊥AB于点M，如图② .所以A D M M＝F G G H.而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2（m），FG＝1.2 m，GH＝2 m，故这棵树的高度是 4.4 m.10．解：如图，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G. ∵DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC.AF DE 30 24∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴A AF G＝B D C E，∴3A0G＝2640解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.所以AB－241.22 解得AB＝4.4 m.所以△ ABM∽△ DCM∽△ FGH，所以AB＝CD＝FG.BM＝CM＝GH.因为BC＝ 4 m，所以2A2B＝1.2解得AB＝4.4 m.(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，1可确定C′O＝2CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△ A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1) 由角平分线的定义及∠ BAD 为平角直接可得．(2) 由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ ACM与△ ABM相似即可．1(1) 解：∵ AP平分∠ BAC，∴∠ PAC＝2∠BAC.1又∵ AQ平分∠ CAD，∴∠CAQ＝2∠CAD.111∴∠PAC＋∠CAQ＝2∠BAC＋2∠CAD＝2(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠ BAC＋∠ CAD＝180°，∴∠ PAC＋∠ CAQ＝90°，即∠ PAQ＝90°. (2) 证明：由(1) 知∠ PAQ＝90°，又∵ M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠ APM＝∠ PAM.∵∠ APM＝∠ B＋∠ BAP，∠ PAM＝∠ CAM＋∠ PAC，∠BAP＝∠ PAC，∴∠ B ＝∠ CAM.又∵∠ AMC＝∠ BMA，∴△ ACM∽△ BAM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形 进行求解．CM ＝AM ， AM ＝BM ， ∴ AM 2＝CM ·BM ，即 PM 2＝CM ·BM.。
九年级数学专题复习之《相似》综合训练卷
九年级数学专题复习之《相似》综合训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为（）A．1.8B．2.2C．2.4D．2.82．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，则的值是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到△DEF，则下列说法错误的是（）A．△DEF与△ABC是位似图形B．△DEF与△ABC是相似图形C．△DEF与△ABC的周长比是1：2D．△DEF与△ABC的面积比是1：24．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC周长为2，则△EDC的周长是（）A．2B．4C．6D．85．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP 并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB•EF；③PF•EF＝2AD2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的个数是（）6．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，交BC于点D，若CD＝BD，则（）A．AC＝BC B．C．AB＝2DE D．BC•BD＝AB•CE7．如图，在正方形ABCD中，点O是对角AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，EF、OC交于点G．给出下列结论：①△COE ≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④8．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE 交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（）A．B．C．D．9．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE：ED＝2：3，连接BE、AC相交于F，则S：S△CBF＝．△AEF12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有．13．如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D，E，F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为；若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为．14．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为4，则△EDC的面积是．15．如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E分别在边AC、BC 上，点F、G在AB边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长l的取值范围是．17．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，C为弧AB的中点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接AC，若AC∥DF，⊙O的半径为，BE＝AE，则CE ＝．18．如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点P，则S△PDE：S△P AC＝．19．如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E 三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是．①△BCG∽△GAD；②AC⊥BE；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG+DG＝EG．20．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝∠E＝60°，点D在BC 边上，AC与DE相交于点F，＝3，则＝．三．解答题（共10小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．（1）求证：∠ADF＝∠B；（2）若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．22．如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CE⊥AB，垂足为E，F为AB延长线上一点，且∠FCB＝∠ECB．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若EB＝3，BF＝6，求图中阴影部分的面积．23．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，DE是⊙O的切线，过点B作BF⊥DE 于点F，分别延长AD、BF相交于点C．（1）求证：∠A＝∠C；（2）当BF＝1，DF＝2时，求⊙O的直径．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A、B的⊙O分别交AC、BC于点DE，AB＝AE，CD的垂直平分线交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知EF＝3，DE＝4，求BE和AB的长．25．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．（1）求证：DB＝DC．（2）若DA＝DF，①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．（2）在（1）的情况下，若AC＝6，BC＝8，求CE的长．27．如图，AB是⊙O的直径，C、D在圆上，且AC＝DC，过C点的切线CE和DB的延长线交于E点，⊙O的半径r＝5，CD＝8．（1）求证：BC平分∠ABE；（2）求证：CE⊥DE；（3）求DE的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：OE所在直线是线段BC的垂直平分线；（2）已知，求O，E两点之间的距离．29．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是BC上一点，连接AE，过点B 作BF⊥AE交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥AE于点G．（1）求证：△ACG≌△BAF：（2）如图2，点D是BC的中点，连接DF，DG．①求∠BFD的度数；②当GF＝，且点E为BD中点时，求△ABC的面积．30．已知：点E是正方形ABCD中边AB的中点．（1）如图1，点T为线段DE上一点，连接BT并延长交AD于点M，连接AT并延长交CD于点N，且AM＝DN．试判断线段AN与线段BM的关系，并证明；求证：点M是线段AD的黄金分割点．（2）如图2，在AD边上取一点M，满足AM2＝DM•DA时，连接BM交DE于点T，连接AT并延长交DC于点N，求tan∠MTD的值．。
2020-2021九年级数学 相似的专项 培优练习题及详细答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题及详细答案一、相似1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。
（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。
2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∴代入，得解得∴抛物线对应二次函数的表达式为：（2）解：如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作点．由得对称轴为直线x=1，∴∴∴为等腰直角三角形．∴∴∴∴为等腰三角形．设∴在中，∴∴整理，得解得，∴点P的坐标为或（3）解：存在点M，使得∽．如图，连结∵∴为等腰直角三角形，∴由（2）可知，∴∴分两种情况．当时，∴，解得．∴∴当时，∴，解得∴∴综上，点M的坐标为或【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，4），点C（0，3），由题意可设点P（1，m），计算易得△DCF为等腰直角三角形，△DEP为等腰三角形，在直角三角形PED和APQ中，用勾股定理可将PE、PA用含m的代数式表示出来，根据PA=PE可列方程求解；（3）由△DCM∽△BQC所得比例式分两种情况：或，根据所得比例式即可求解。
九年级数学图形的相似基础题专项练习
九年级数学图形的相似基础题专项练习一、选择题1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点AB⊥BC CD⊥BCA，在近岸取点B，C，D，使得，，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m EC=15m CD=30m，，，则河的宽度AB长为( )A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m1.62.如图，在同一时刻，身高米的小丽在阳光下的2.5影长为米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为()A. 米B. 米C. 米D. 米7.8 3.2 2.3 1.53.已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是( )A. 第4张B. 第5张C. 第6张D. 第7张4.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定(OA=3OC OB=3OD)在刻度3的地方即同时，，然后张开两脚．使A，B两个尖CD=1.8cm( )端分别在线段a的两个端点上，当时，则AB的长为A. B. C. D.7.2cm 5.4cm 3.6cm0.6cm5.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕点O 旋转到AC 位置，已知AB，，垂足分别为B ，D ，，，，则栏⊥BD CD ⊥BD AO =4 m AB =1.6 m CO =1 m 杆C 端应下降的垂直距离CD 为( ) A. B. C. D. 0.2 m0.3 m 0.4 m 0.5 m 6.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长当短16m .臂端点下降时，长臂端点升高杆的宽度忽略不计0.5m ()( )A. 4mB. 6mC. 8mD. 12m7.如图，为估算学校的旗杆的高度，身高米的小红同1.6学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，，则旗杆的高度AC =2m BC =8m 是( )A. B. 7m C. 8m D. 9m 6.4m8.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )A. B. C. D. 245325123417203417二、填空题AB⊥BC CE⊥BC BD=120m9.如图，于B，于C，测得DC=60m EC=50m m.，，，则河宽AB为______10.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的DE=40cm EF=20cm AC=1.5m CD 两条直角边，，测得边DF离地面的高度，=8m AB=m.，则树高______1.5m2.0m11.小明和小红在太阳光下行走，小明身高，他的影长，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m.12.如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端CAB⊥BD CD⊥BD.AB=1.4BP处．已知，且测得米，=2.1PD=12米，米．那么该古城墙CD的高度是______米．∠B=∠C=90°BD 13.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，，测得=120m DC=60m EC=50m AB=，，，求得河宽_____m．1.514.利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为米，测DE=2BD=18得米，米，则建筑物的高AB为____米．1.5m15.在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为的测杆的影长为1m，那么影长为20m的旗杆的高是_____m．16.如图是小孔成像原理的示意图，点O与物体AB的距离为45厘米，与像CD的距AB//CD.离是30厘米，若物体AB的高度为27厘米，那么像CD的高度是____厘米．三、解答题1.5m 1.5m2.17.一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长，面积为甲、乙两位木匠①②(分别按图、把它加工成一个正方形桌面．请说明哪个正方形面积较大加工)损耗不计．(1)18.如图，九年级班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立3 m.在地面上的竹竿AB的长为某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长2 m为．(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影；(2)6 m在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为，请你计算旗杆DE的高度．19.某一时刻，树AB在阳光下的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面5.2m 1.5m上．设树AB在地面上的影长BC为，墙面上的影长CD为；同一时刻0.8m测得竖立于地面长1m的木杆的影长为，求树高．20.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点AD⊥DEA、B、D在一条直线上，且，点A、C、DE//BC.BC=24E也在一条直线上，且经测量米，BD=12DE=40米，米，求河的宽度AB为多少米？9.6 1.6 21.如图，舞台的左上角和右上角分别吊有灯泡M，N，灯高米，身高均为米的甲、乙两演员分别站在舞台的P，Q处，此时灯M对乙的影子的顶部正好落在灯N的正下方．灯N对甲的影子的顶部也正好落在灯M的正下方，甲、乙两演员相距6米，求舞台AB的宽．22.如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，D，使点A，B，D共线且直线AD与河垂直，在过点D且与AD垂直的直线上选择适BD=45m DE=90当的点E，AE与过点B且垂直于AD的直线交于点C，测得，m BC=60m，，求河的宽度AB．△ABC BC=200mm23.如图，是一块锐角三角形材料，，AD=150mm高，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．(1)PN=x设，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．(2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？。
2020-2021九年级数学 相似的专项 培优练习题附详细答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题附详细答案一、相似1．综合题（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少．（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少．（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【答案】（1）解：∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则；（2）解：∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，∴PN=a- PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a- x）=- x2+ax=- （x- ）2+ ，∴当PQ= 时，S矩形PQMN最大值为 .（3）解：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI= =24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG• BF= ×（40+20）× （32+16）=720，答：该矩形的面积为720；（4）解：如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC= ，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH= BC=54cm，∵tanB= = ，∴EH= BH= ×54=72cm，在Rt△BHE中，BE= =90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，而∠B=90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以;(2）因为PN∥BC，由相似三角形的判定可得△APN∽△ABC，则可得比例式,即,解得,设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ•PN=x（）,因为0，所以函数有最大值，即当PQ=时，S矩形PQMN有最大值为;（3）延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH，于是用角边角可得△AEF≌△HED，所以AF=DH=16，同理可得△CDG≌△HDE，则CG=HE=20，所以=24,BI=24＜32，所以中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由（1）得矩形的最大面积为×BG• BF=×（40+20）×（32+16）=720；（4）延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，因为tanB=tanC，所以∠B=∠C，则EB=EC，由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm，所以BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2。
九年级上册数学相似练习
1. 如图，C为⊙O上一点，，AB为直径AD和直线CE互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.
(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
2.如图，直线y＝－x＋3交x轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，
0)三点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与
△ADP相似，求出点P的坐标．
3. 如图，△PCD是等边三角形，点C，D在线段AB上．
(1)若∠APB＝120°，求证CD2＝AC ·BD；
(2)若CD2＝AC ·BD，求∠APB的度数．
4.如图，AB为⊙O的直径，CD为△ABC的高．求证：AC2＝AD·AB.
5.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径r的长．
6．(1)如图1，PB，PD是⊙O的割线．求证：PA·PB＝PC·PD.
(2)如图2，PB是⊙O的割线，PC是⊙O的切线，切点为C.
求证： PA·PB＝PC2.
7．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．。
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九年级数学相似初步(相似)基础练习试卷简介:全卷共四个大题，第一题是选择题，5小题，每题5分；第二题是填空题，3小题，每题5分；第三题是计算题，2小题，每题20分，第四题是解答题，1小题，每题20分，满分100分，测试时间60分钟。
本套试卷立足初三所学相似初步的基础，考察了学生对相似的学习和掌握程度。
题目设计涵盖相似的基本知识，学生在做题过程中可以回顾所学知识点，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度。
学习建议:本讲主要内容是初三相似初步的基础知识，在中考时所占的基础地位，大家需要熟练掌握这些知识，学会灵活运用。
题目设置简单灵活，但万变不离其宗，只要掌握了最基本的知识点，再多加练习，就能轻松掌握。
一、单选题(共5道，每道5分)1.如果 a:b=12:8，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（）A.4:3B.3:2C.2:3D.3:42.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A.8cmB.6cmC.4cmD.10cm3.已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A.2B.3C.6D.544.如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）A.4对B.5对C.6对D.7对5.如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA二、填空题(共3道，每道5分)1.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，=2，则：=_________2.如图，DE与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E两点，且DE∥BC．若DE=2cm，CE=，则AC=_____.3.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是_________．三、计算题(共2道，每道20分)1.若=，求的值．2.若，求和的值．四、解答题(共1道，每道20分)1.(2010滨州)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由．众享教育在线课程希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
关于相似图形的练习题初三
关于相似图形的练习题初三相似图形是初中数学中的重要内容，它不仅在数学知识体系中具有重要地位，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
在初三阶段，学生需要通过练习题来巩固和提升自己在相似图形方面的能力。
本文将提供一些初三相似图形的练习题，供同学们参考。
练习题一：已知△ABC与△DEF相似，AB=6cm，AC=8cm，BD=9cm，求EF的长度。
解析：根据相似图形的性质可知，△ABC与△DEF的边长比相等，即AB/DE=AC/DF。
代入已知数据可得：6/DE=8/DF进一步化简可得：DF= (8/6) × DE = (4/3) × DE由BD=9cm可知，DE=BD-BE，代入已知数据可得：DE=9-BE将DF和DE的表达式代入等式中，得到：(4/3) × (9-BE) = EF根据上述等式，同学们可以进行进一步的计算，求出EF的长度。
练习题二：已知△ABC与△DEF相似，AB=4cm，AC=12cm，BC=10cm，EF=15cm，求DF的长度。
解析：根据相似图形的性质可知，△ABC与△DEF的边长比相等，即AB/DE=AC/DF。
代入已知数据可得：4/DE=12/DF进一步化简可得：DF= (12/4) × DE = 3 × DE由EF=15cm可知，DE=EF+DF，代入已知数据可得：DE=15+DF将DF和DE的表达式代入等式中，得到：3 × (15+DF) = 15根据上述等式，同学们可以进行进一步的计算，求出DF的长度。
练习题三：已知△ABC与△DEF相似，AB=3cm，AC=9cm，BC=6cm，EF=24cm，求DE的长度。
解析：根据相似图形的性质可知，△ABC与△DEF的边长比相等，即AB/DE=AC/DF。
代入已知数据可得：3/DE=9/DF进一步化简可得：DF= (9/3) × DE = 3 × DE由EF=24cm可知，DE=EF-DF，代入已知数据可得：DE=24-DF将DF和DE的表达式代入等式中，得到：3 × (24-DF) = 15根据上述等式，同学们可以进行进一步的计算，求出DE的长度。
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1
九年级下册数学相似训练题
一．选择。
（共计36分）
1．下列结论中，正确个数是( )个。
①有一个角是80°的两个等腰三角形相似；②有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； ③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2、用一个2倍的放大镜照一个ΔABC ，下列命题中正确的是（ ） A.ΔABC 放大后角是原来的2倍 B.ΔABC 放大后周长是原来的2倍 C.ΔABC 放大后面积是原来的2倍
D.以上的命题都不对
3．如图四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形，则∠1+∠2的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
4．如图，D,E 分别在△ABC 的边AC,BC 上，且 ∠1=∠2=∠3.则图中相似三角形有（ ）对 A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
5、.如图，在△ABC 中，E 为AB 上一点，且AE ：EB=1：2，AD ∥EF ∥BC ，若S △ADE=1，
则S △AEF （ ）A 、4 B 、3
2
C 、2
D 73
6.锐角△ABC 中，D 是AB 上一点，在△ABC 的边上取一点E ，使以DE 为边的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的点E 有（ ）个。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ：BC=1：3，对角线AC 、BD 交于点O ，那么S △AOD ：S △BOC ：S △AOB=（ ） A 1︰3︰1 B 1︰9︰1 C 1︰9︰3 D1︰3︰2 8.如图DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，则AG ：GD 等于（ ） A 、2：1 B 、3：1 C 、3：2 D 、4：3 6． 9.如图P 为AB 上一点，在下列条件中：①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；③AC 2=A P ·AB ；④
A B ·CP=AP ·CB ，能使△AP C ∽△ACB 的条件是( ) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
10.已知△ABC 与△DEF 的相似比为1︰2 ，△ABC 的周长为30cm ，△ DEF 的三边之比为 4︰5︰6，则△DEF 的最长边为（ ） A 44cm B 40cm C 36cm D 24cm
11．如图，在□ABCD 中，CD 是∠DCB 的平分线，且交AB 于点E ，DB 与CE 相交于点O 。
已知AB ＝6，BC ＝4，则OB ：DB ＝_________
A . 31
B. 52
C. 73
D. 不一定
12.如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且3BD=AC ，3CE=AC ，BE 、AD 相交于点F ，连接DE ，则下列结论：①∠AFE=60°；
②DE⊥AC；③CE 2
=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个
二 填空题（每小题3分,共24分）
13.若某一地图与实际距离之比为1：200000，若地图上A ，B 两地的距离为3cm ，则 A ，B 的实际距离为________km ．
14..已知，如图，正方形ABCD 边长是4，P 是CD 中点，Q 是线段
BC 上异于B 的一点，当BQ=____________时，△ADP 与△QCP 相似。
15．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点A 的坐标为（2，3），若以原点O 为位似中心，画△ABC 的位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比等于2，则点A′的坐标为____________
16.一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m 的小木棒的影长为0.3m ，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD=1.0m ，又测地面部分的影长BC=3.0m ，旗杆的高度是_____________
17、如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件， ①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2
＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的有___________
18.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是___________.
2
解答题。
（共计60分）
19.（6分）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，中线AE 与中线CD 交于点O ，AB=6．
（1）求证：AO ：OE=2：1；（2）求OC 的长． 20、（6分）已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ， Q 是CD 的中点．求证：(1) AQ ⊥QP (2)△ADQ ∽△AQP ． 21、（6分）如图，在▱ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且∠DAE=∠F． （1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC 的长．
22. (6分)如图,△ABC 中，∠C=90°，BC=8cm ，5AC-3AB ＝0，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动。
若P 、Q 同时分别从B 、C 出发，经过多少时间△CPQ 与△CBA 相似？
23.（9分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：
；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若求MN•MC 的值． 2
24.(8分)如图，BD 是⊙O 的直径，OA⊥OB，M 是劣弧AB 上一点，过点M 作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM=PN ；
（2）若BD=4，PA=2
3
AO ，过点B 作BC∥MP 交⊙OC 点，
求BC 的长．
Q
B
Q
3
25、（9分）如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将 △ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ，已知AB=10，AC=8 （1）求证：直线FC 是⊙O 的切线
（2）探究： AE 、BE 、 CE 之间的等量关系，并证明你的结论 （3）求GB 、GC 的长
26( 10分)如图，二次函数c bx x y ++=
2
3
4的图象与交于A （3,0）、B (-1,0),与y 轴交于点C .若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动. （1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标.
（2）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶
点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出E 点的坐标，若不存在，请说明理由.
（3）当P Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形A P DQ 的形状,并求出D 点坐标.。