高中数学 第二章 平面解析几何初步阶段性测试题 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题

第二章 平面解析几何初步
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x ＋3y －5＝0的倾斜角为( ) A ．－30° B ．60° C ．120°
D ．150°
解析：直线的斜率为－13＝－
3
3
，故倾斜角为150°. 答案：D
2．以(－1,2)为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2
＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0 D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0
解析：圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，即x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0，故选C ． 答案：C
3．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5
C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0
D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0
解析：若直线过原点，则设直线方程为y ＝kx ， 将(4,1)代入，得1＝4k ， ∴k ＝14
，
∴y ＝1
4
x ，即x －4y ＝0，
若直线不过原点，设直线方程为x ＋y ＝a ， 将(4,1)代入，得a ＝5，
即x ＋y ＝5，故选C ． 答案：C
4．设实数x ，y 满足(x －2)2
＋y 2
＝3，那么y x
的最大值是( ) A ．12 B ．
33
C ．
32
D ． 3
解析：令y
x
＝k ，则y ＝kx ，∴kx －y ＝0， 问题转化为直线kx －y ＝0与圆有关系， 则
|2k －0|1＋k
2
≤3，∴k 2
≤3，∴－3≤k ≤3，故y x 的最大值为3，故选D ． 答案：D
5．已知在空间坐标系中，A (－1,0,1)，B (2,4,3)，C (5,8,5)，则( ) A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形 C ．三点构成等腰直角三角形 D ．三点不构成三角形
解析：|AB |＝(2＋1)2
＋(4－0)2
＋(3－1)2
＝29， |AC |＝(5＋1)2
＋(8－0)2
＋(5－1)2
＝116＝229， |BC |＝(5－2)2
＋(8－4)2
＋(5－3)2
＝29， ∴|AB |＋|BC |＝|AC |，即三点在同一条直线上． 答案：D
6．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0与l 2：(2a －1)x －ay －1＝0平行，则a 的值是( ) A ．0或1 B ．1或1
4
C ．0或1
4
D ．14
解析：∵l 1∥l 2，12a －1＝2a －a ≠－1－1，∴a ＝1
4
，当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：x ＋1＝0，
l 1∥l 2，∴a ＝0或a ＝14
，故选C ．
答案：C
7．如图，直线y ＝ax －1
a
的图象可能是( )
解析：当a ＞0时，－1a ＜0；当a ＜0时，－1
a
＞0，故选A ．
答案：A
8．过圆x 2
＋y 2
－6y －11＝0外一点P (4，－1)，作圆的两条切线，切点为A ，B ，则直线
AB 的方程为( )
A ．x －y －2＝0
B ．x －y ＋4＝0
C ．2x －2y ＋1＝0
D ．x ＋y ＋3＝0
解析：圆的方程可化为x 2
＋(y －3)2
＝20，C (0,3)， 切点A ，B 在以CP 为直径的圆上， ∴圆心(2,1)，半径为1242＋42
＝22，
∴圆的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝8， 即x 2
＋y 2
－4x －2y －3＝0.
AB 所在直线即为两圆的相交弦所在直线，
∴AB 所在直线的方程为x －y －2＝0，故选A ． 答案：A
9．圆x 2
＋y 2
＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是( ) A ．6 B ．4 C ．5
D ．1
解析：圆x 2
＋y 2
＝1的圆心为C (0,0)，半径r ＝1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝
25
9＋16＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值是d －r ＝5－1＝4. 答案：B
10．过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0
D ．x －3y ＋8＝0
解析：设直线方程为x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
ab ＝12，1a ＋3
b
＝1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝6.
∴x 2＋y
6
＝1， 即3x ＋y －6＝0，故选A ． 答案：A
11．过原点的直线与圆x 2
＋y 2
＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A ．y ＝3x
B ．y ＝－3x
C ．y ＝
33
x D ．y ＝－
33
x 解析：圆心为(－2,0)，r ＝1.设所求直线l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0.∴|－2k |
k 2＋1
＝1，∴k
＝±
33，又∵切点在第三象限，故k ＝3
3
，故选C ． 答案：C
12．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2
＋y 2
－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝2 B ．(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝2 C ．(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝2 D ．(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝2
解析：设所求圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
由题可知，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r ＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2
＝2r ＋32，
∴r ＝
2，则⎩⎪⎨⎪⎧
b －6a －6＝1，|a ＋b －2|
2＝
2.
∴a ＝2，b ＝2，
∴所求圆的标准方程为(x －2)2
＋(y －2)2
＝2. 答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________． 解析：若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1， ∴直线方程为y ＝x .
若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2， ∴直线方程为x ＋y ＝2. 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝0
14．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2
＋(y －a )2
＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.
解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形， 故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3， 即
|a ＋a －2|
a 2
＋1
＝3，解得a ＝4±15. 答案：4±15
15．已知圆C ：(x －a )2
＋(y －2)2
＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被C 截得弦长为23时，则a ＝________.
解析：C (a,2)，则由题可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a －2＋3|22＋(3)2
＝4，
∴a ＝2－1或a ＝－2－1(舍)． 答案：2－1
16．已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形PACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．
解析：如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2
－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC
的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．
答案：(－3，－3)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. (1)求过点A (3,2)，且与l 垂直的直线方程；
(2)求与l 平行，且到点P (3,0)的距离为5的直线的方程． 解：(1)k l ＝2，
∴过A (3,2)且与l 垂直的直线方程为y －2＝－1
2(x －3)，即x ＋2y －7＝0.
(2)设所求直线方程为2x －y ＋n ＝0， 则
|3×2－0＋n |
5
＝5，∴n ＝－1或n ＝－11， 故直线方程为2x －y －1＝0或2x －y －11＝0.
18．(12分)已知圆M 经过C (1，－1)，且圆心为(1,1)． (1)求圆M 的方程；
(2)点P 是圆M 上的动点，求点P 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最大值和最小值． 解：(1)r ＝(1－1)2
＋(1＋1)2
＝2. ∴圆M 的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝4.
(2)圆心(1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离d ＝|3＋4＋8|
5＝3，
∴P 到直线距离的最大值为5，最小值为1.
19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在直线y ＝x ＋4上，半径为22的圆C 经过原点O .
(1)求圆C 的方程；
(2)求经过点(0,2)，且被圆C 所截得弦长为4的直线方程．
解：(1)设圆心C (a ，a ＋4)，则圆的方程为(x －a )2
＋(y －a －4)2
＝8，代入原点得a ＝－2，
故圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2
＝8.
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0，经检验符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2，圆心(－2,2)到直线y ＝kx ＋2的距离为d ＝|－2k －2＋2|1＋k 2＝|2k |
1＋k
2
， 圆的半径r ＝22，
∴22
＋d 2
＝r 2
，即4＋4k
2
1＋k
2＝8，
∴1＋k 2＝k 2
，可知k 无解，综上可知直线方程为x ＝0.
20．(12分)已知圆C 与x 轴的交点分别为A (－1,0)，B (3,0)，且圆心在直线2x －y ＝0上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)求与圆C 相切于点B (3,0)的切线方程；
(3)若圆C 与直线y ＝x ＋m 有公共点，某某数m 的取值X 围． 解：(1)由圆与x 轴的交点分别为A (－1,0)，B (3,0)， ∴圆心在AB 的垂直平分线上，即在x ＝1上，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，2x －y ＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，
∴圆心为(1,2)，
r 2＝(1－3)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝8. (2)由(1)知C (1,2)， ∴k BC ＝2－0
1－3
＝－1，
∴过B 点的切线的斜率为1， ∴切线方程为y －0＝x －3， 即x －y －3＝0.
(3)由题得|1－2＋m |
2≤22，
∴|m －1|≤4， ∴－3≤m ≤5.
21．(12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.
(1)求△ABC 的顶点B ，C 的坐标；
(2)若圆M 经过A ，B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 解：(1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC ：x ＝0. 又CD ：2x －2y －1＝0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，2x －2y －1＝0，
得C ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－12，
设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0，解得b ＝2，所以B (2,0)．
(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由圆M 与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线为y ＋x ＋3＝0，② ①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，－52，
半径|MA |＝
14＋494＝50
2
， 所以所求圆的方程为x 2
＋y 2
＋x ＋5y －6＝0.
22．(12分)平面上有A (1,0)，B (－1,0)两点，已知圆的方程为(x －3)2
＋(y －4)2
＝4. (1)在圆上求一点P ，使△ABP 面积最大，并求出此面积； (2)求使|AP |2
＋|BP |2
取得最小值时点P 的坐标．
解：(1)|AB |＝2，要使△ABP 面积最大，即找到圆上到x 轴距离最大的点，圆心坐标为(3,4)，到x 轴的距离为4.故圆上点到x 轴的最大距离为4＋2＝6，S △ABP ＝1
2×2×6＝6，此
时P 点坐标为(3,6)．
(2)设P 点坐标为(x ，y )，则|AP |2
＋|BP |2
＝(x －1)2
＋y 2
＋(x ＋1)2
＋y 2
＝2(x 2
＋y 2
)＋2＝2|OP |2
＋2.
要使|AP |2
＋|BP |2
取得最小值，则要使|OP |最小．又P 为圆上的点，则|OP |最小值为32
＋42
－2＝3.
此时直线OP 的方程为y ＝4
3x .
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝43
x ，
(x －3)2＋(y －4)2＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝95，y ＝12
5
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝21
5，y ＝28
5
(舍去)．
所以|AP |2＋|BP |2
取得最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫95，125.。