2019-2020学年人教A版黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期末理科数学试卷含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）、选择题
1.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为（）
①该抽样可能是系统抽样；
②该抽样可能是简单随机抽样；
③该抽样一定不是按性别的分层抽样；
④本次抽样中每个人被抽到的概率都是y；
A.②③④
B.②③
C.①②③
D.③④
2.现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间
取整数的随机数，指定0, 1 , 2, 3表示没有击中目标，4, 5, 6,乙8, 9表示集中目标，以4个随机数
为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857
0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为（）
A.0.3
B. 0.4
C. 05
D. 0.6
3.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有
法总数应为（）
B.
C.
D.C扣"c¥+c：cpc：）
4.下列说法错误的是（）
A.若直线a //平面a ,直线b //平面a ,则直线a不一定平行于直线b
B.若平面a不垂直于平面6 ,则a内一定不存在直线垂直于平面3
C.若平面a上平面6 ,则a内一定不存在直线平行于平面31人参加，则选
A. r1P l r2
10
D.若平面a上平面V,平面6上平面v, a 口6 = l ,则l 一定垂直于平面v
5.已知（1+x）n展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
9兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
A. 1
B. ;
C. 2
D."
7.
已知抛物线 C ： y 2 = x 的焦点为F, A(X0, y0)是C 上一点，若| AF j ■气，则南等于 ( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
8.
已知双曲线一条渐近线方程为 则双曲线方程可以是(
)
b 2),其正态分布密度曲线如图所示， 且P(- 1<XV3) = 0.9544 ,
那么向正方形 OABC 中随机投掷 40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为
(附：若随机变量 X 〜N (1, b 2),贝 U P ( ^ — 2b V XV +2 b) = 0.9544 , P ( ^ 一
A. 26348
B. 28112
C. 24152
D. 30156
10. (x 2-2x - 3) (2x-1) 6的展开式中，含 x 3项的系数为(
)
A. 348
B. 88
C. - 232
D. - 612
11. 已知四面体 ABC&卜接球的球心 O 恰好在AD 上，等腰直角三角形 ABC 勺斜边AC 为2,
DC=2必，则这个球的表面积为(
)
A
|25兀
… …。

…。

A. —:—
B. 8 兀
C. 12 兀
D. 16 %
14 A. 2 13 B. 2 12 C. 2 ii
D. 2
6.已知圆锥的表面积为 VXV a +b) = 0.6826 )
4
12.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A= “4个人去
的景点不相同”，事件 A “小赵独自去一个景点”，则P (A|B)=(
A.业
B. —
C.
D.立
9 3 9 [9
二.填空题
13.设随机变量X服从二项分布，且期望E(X) = 3,其中aW■，则方差D(3X+5) =
14.某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为 .
15.已知点P是椭圆 \ +，= 1(a> b> 0)上的一点，F i, F2分别为椭圆的左、右焦点，
已知Z FPB = 60° ,且| PF| = 3|PE|，则椭圆的离心率为 .
16.如图，三棱柱ABG AB1C1 中，侧棱AAL底面ABC AA= 2, AA BO血/AB@ 90° ,
外接球的球心为。

，点E是侧棱BB上的一个动点.有下列判断，其中正确的序号
是.
①直线AC^直线CE是异面直线；
②AE一定不垂直于AC;
③三棱锥E- AAO的体积为定值；
④ABEC的最小值为2厄.
三.解答题(共70分)
17.40名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图:
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数(保留小数点后两位数字)和众数;
(3)从成绩在［50 , 70)的学生中任选3人，求这3人的成绩都在［60 , 70)中的概率.
18.某射击小组有甲、
乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是甲、丙二人都没有击中目标的概率是当，乙、丙二人都击中目标的概率是普.甲乙丙是否击中目标相互独立.
(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X,求X的分布列和数学期望.
19.在三棱锥A- BCD中，A丑平面BCD BO DO2, Z BCD= 90 , E, F 分别为AC AD 上的动点，且
EF//平面BCD二面角B- CA A为60° .
(1)求证：EFL平面ABC
(2)若BRAG求直线BF与平面AC®成角的正弦值.
w ---------------- /J
20.某网站用“ 100分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取10名，以
下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)；若幸福度不低
于95分，则称该人的幸福度为"极幸福”.
(1)从这10人中随机选取3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列及数
学期望；
(2)以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选
3人，记E表示抽到“极幸福”的人数，求E的数学期望和方差.
幸福度
7 3 0
8 6 ? S
97 6 5 5 0
21.在平面四边形ACP中(如图1) , D为AC的中点，AA Dd PA 2, A巳1,且Ad AC
P[U AC现将此平面四边形沿PD折起使二面角A- PA C为直二面角，得到立体图形(如图2),又B 为平面ADC内一点，并且ABC/正方形，设F, G, H分别为PB ER PC 的中点.
(I)求证：面FGH/面ADPE
(II)在线段PC上是否存在一点M使得面FGMW面PEB所成二面角的余弦值为疫Q?
6若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由.
22.已知椭圆\ 七 =1 (a>b>0)的离心率晋■，一个焦点在直线y = x撬上，若直线a b
3
l与椭圆交于P, Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为直线OQ勺斜率为k2.
(1)求该椭圆的方程.
(2)若、k2=-二，试问△ OPQ勺面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请
O
说明理由.
一.选择题(每题5分，共60分)
1.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男
生和3名女生，其中说法正确的为( )
①该抽样可能是系统抽样；
②该抽样可能是简单随机抽样；
③该抽样一定不是按性别的分层抽样；
④本次抽样中每个人被抽到的概率都是普；
A.②③④
B.②③
C.①②③
D.③④
【分析】①该抽样可以是系统抽样；
②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；
③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样
的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；
④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.
解：①总体容量为30,样本容量为5,第一步对30个个体进行编号，如男生1〜20,女
生21〜30;第二步确定分段间隔k=飞-=6;第三步在第一段用简单随机抽样确定第一
个个体编号l (l < 10);第四步将编号为l+6k (0v k< 4)依次抽取，即可获得整个样本.故该抽样可以是系统抽样.因此①正确.
②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，
故②正确；
③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样
的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故
③正确；
9 I 1 g
④该抽样男生被抽到的概率亏=古；女生被抽到的概率= 十，故前者小于后者.因此④不正确.
故选：C.
2.现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间
取整数的随机数，指定0, 1 , 2, 3表示没有击中目标，4, 5, 6,乙8, 9表示集中目
标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为（）
A.0.3
B. 0.4
C. 05
D. 0.6
【分析】该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，
利用列举法求出20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的基本事件，由此能
估计该运动员射击四次至少击中三次的概率.
解：该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，
20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的有：
7527, 9857, 8636, 6947, 4698, 8045, 9597, 7424,共8 个，
估计该运动员射击四次至少击中三次的概率：
故选：B.
3.从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选
法总数应为（）
【分析】利用间接法，没有限制条件是选法，排除只选男生和只选女生的选法，即可得
出结论
解：利用间接法，没有限制条件是选法有C、，只选男生的选法有C；,只选女生的选法
故选： C.
故男、女同学至少各有 1人参加，则选法总数有
4 5
有
4.下列说法错误的是（）
A.若直线a //平面a ,直线b //平面a ,则直线a不一定平行于直线b
B.若平面a不垂直于平面6 ,则a内一定不存在直线垂直于平面3
C.若平面a上平面6 ,则a内一定不存在直线平行于平面3
D.若平面a上平面V,平面6上平面V, a 口6 = l ,则l 一定垂直于平面V
【分析】A.根据线面平行的性质定理进行判断，
B.利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，
C.利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，
D.根据面面垂直的性质进行判断.
解：A.若直线a//平面a,直线b//平面a,则a, b平行或相交或是异面直线，则直线
a不一定平行于直线b正确，故A正确，
B.若a内存在直线垂直于平面3 , 则根据面面垂直的判定定理得a _L 3 , 与平面a不垂
直于平面6矛盾，故若平面a不垂直于平面6 ,则a内一定不存在直线垂直于平面6正
确，故B错误，
C.若平面a上平面6 ,则a内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面3平行，故C
错误，
D.若平面a上平面V,平面6上平面V, a 口6 = l ,则根据面面垂直的性质得l 一定垂
直于平面V,故D正确，
故选：C.
5.已知（1+x）n展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
（）
A. 214
B. 213
C. 212
D. 211
【分析】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可
解：已知（1+x）n的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，
可得？n = ?二可得n = 4+8 = 12.
（1+x）12的展开式中奇数项的二项式系数和为：gx 212= 211.
故选：D.
6.已知圆锥的表面积为9兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
r,母线长为l ;根据题意列方程求出
解：设圆锥的底面半径为 r,母线长为l ；
八
技2.…七
B
则圆锥的表面积为 S=兀r 2+兀rl = 9 % ,…① 又圆锥的侧面展开图是一个半圆， 即2兀r =兀l ,…② 由①②解得「=寸&.
所以圆锥的底面半径为 匚：. 故选：B.
Q
7.
已知抛物线 C ： y 2
= x 的焦点为 F, A(X0, y0)是C 上一点，若|AF|=^-Z D
( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出. 解：抛物线C ： y 2= x 的焦点为F (j, 0)
一， 、口—
-
91
-A (xo, yo)是 C 上一点，|AR =77X0,
Cl
【分析】运用双曲线的渐近线方程，分别求得选项的渐近线方程，即可判断.
A. 1
B.： 【分析】设圆锥的底面半径为
C. 2
D.
r 的值.
,则X 0等于
故选：B.
8.
已知双曲线一条渐近线方程为 v=i 幻 则双曲线方程可以是(
)
解得X 0= 2.
解：双曲线一条渐近线方程为 蓦幻 可得另一条渐近线方程为
y=--|x,
故选：D.
9.
设随机变量X 〜N( 1, b 2),其正态分布密度曲线如图所示,
那么向正方形 OABC 中随机投掷 40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为
A. 26348
B. 28112
C. 24152
D. 30156
【分析】由已知求得阴影部分的概率，乘以
40000得答案.
解：..•随机变量 X 〜NI (1, b 2),且 P (- 1 v X 3) = 0.9544 , • • P 阴影=1 4P (1 v X 2) = 1 X 0.6826 = 1 - 0.3413 = 0.6587 , 则落入阴影部分点的个数的估计值为 40000 X 0.6587 = 26348 ,
故选：A.
10.
(x 2- 2x - 3) (2x-1) 4 5 6的展开式中，含 x 3项的系数为(
)
A. 348
B. 88
C. - 232
D. - 612
【分析】把(2x - 1) 6按照二项式定理展开，可得(x 2- 2x - 3) (2x - 1) 6的展开式中， 含x 3项的系数.
U
I
?
解：解：lx?- 2x — 3) (2x T) 6= ( x - 2x — 3) ? ( C §? (2x)
C & ? (2x) %匚 &
4
? (2x) +..•一、？ (2x) +残)，
故展开式中，含x 3项的系数为(-3) ? (- C :? 23 ) + (- 2) ?号？22+1? (- C:?
2) = 480+ ( - 120) - 12= 348,
选项A 的渐近线方程为 选项C 的渐近线方程为
y=±号x ；选项B 的渐近线方程为
且 P(- 1v XV 3) = 0.9544 ,
(附：若随机变量 X 〜NI (1, (y 2),贝 U P(^ - 2bV Xv
+2 b) = 0.9544 , P (
(T
y=±
;选项B 的渐近线方程为
VXV p +b) = 0.6826 )
故选：A.
11.已知四面体ABC&卜接球的球心O恰好在AD上，等
腰直角三角形ABC勺斜边AC为2, 区=2尚，则这个球的表面积为（）
A. —
B. 8 兀
C. 12 兀
D. 16 兀
4
【分析】取AC的中点M则OM的CD的中位线，又因为点M^ ABC勺外接圆的圆心，所以球心O到平面ABC的距离 d = O许号CD =匹，所以外接球半径R= OA= 7AM2+On2=Vi2+（V3）2= 2, 从而求出外接球表面积.
解：如图所
取AC的中点M贝u OM； CD的中位线,
又..•点MI^A ABC的外接圆的圆心，
球心O到平面ABC勺距离d= O肝一CD=J^,
外接球半径R= OA= 寸*护布护二』1 J （膜。

2=2,
故外接球表面积为4兀F2= 16 % ,
故选：D.
12.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A= “4个人去
的景点不相同”，事件 A “小赵独自去一个景点”，则P （A|B）=（）
A. B. D.—
【分析】这是求小赵独自去一个景点的前提下, 4个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论.
解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3X 3X 3= 27种
所以小赵独自去一个景点的可能性为 4 X 27= 108种
因为4个人去的景点不相同的可能性为 4 X 3X 2 X 1 = 24种,
.填空题(每题5分，共20分)
【分析】推导出 E(X = np=二口= 3,解得n= 9,从而D(X = npq= 2,方差D (3X +5)
=9D (X),由此能求出结果.
解：，•,随机变量 X 服从二项分布，且期望 E (为=3,其中p —?,
•■- E (为=np=*n= 3,解得 n= 9,
… .11 .,2八
•■- D (为=npq= 9^— X —= 2,
. •方差 D (3X+5) = 9D (X) = 9 X 2= 18. 故答案为：18.
14.
某几何体的三视图如图所示，此几何体
的体积为
8
【分析】由三视图还原原几何体， 可知该几何体为四棱锥 P- ABCD ABCD!长方形方形, 侧面PA 叫等腰直角三角形，PJ P&2处，侧面PA 凯底面ABCD 再由棱锥体积求解. 解：由三视图还原原几何体如图,
该几何体为四棱锥 P- ABCD ABCD!长方形,
所以P (A | B) 故选：A
24 _2 --- =—
13.设随机变量X 服从二项分布,
且期望E(X) = 3,其中
p=
3 ，则方差 D(3X +5) = 18
侧面PA 既等腰直角三角形， P 任P¥ 2。

顶，侧面PA 乱底面ABCD
则四棱锥的高 PO 2,可得四棱锥的体积是 V=*X 砂 2书
q
故答案为：8.
15. 已知点P 是椭圆 \ 1，= 1 (a> b> 0)上的一点，F i, F a 分别为椭圆的左、右焦点，
已知Z F i PB = 60° ,且| PF | = 3|PE|，则椭圆的离心率为
-互 .
—4 —
【分析】画出图形，利用椭圆的定义，以及余弦定理求出 a, c 关系，然后求解椭圆的离
心率即可.
60° ,且 | PF | = 3| PE | ,如图:
设| P^| = rq 则 | PF | = 3m 4m=2a
1 4c
2 =m 2 + 9m 2-2mX SmcosCO -1
可得 4c 2= 7X -|
4
壶
4
迎
解：点 P 是椭圆
F , F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知Z
F i PE =
则： 解得e= 故答案为:
4
16.如图，三棱柱ABO ABG 中，侧棱AAL底面ABC AA= 2, AA B(^^2 Z AB序90° ,
外接球的球心为O,点E是侧棱BB上的一个动点.有下列判断，其中正确的序号是① ③④ .
①直线Ag直线CE是异面直线；
②AE 一定不垂直于AC;
③三棱锥E- AAO的体积为定值；
④ABEC的最小值为2、乃.
【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断
②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设B『x,列出AE+EC关于x的函数
式，结合其几何意义求出最小值判断④.
解：如图，
日1
..•直线AC经过平面BCCB内的点C,而直线CE在平面BCCB内不过C,
直线AC与直线CE是异面直线，故①正确；
当B i E= 1 时，AB± A E,而 C B ± A B,
••• A i EL平面ABC，贝U AE垂直AC,故②错误；
由题意知，直三棱柱ABG A i B C的外接球的球心O是AC与A i C的交点，则△ AAO的面积为定值，由BB//平面AACC,
••• E到平面AAO的距离为定值，.•.三棱锥E- AAO的体积为定值，故③正确；
设B『x,贝U BE= 2 - x, . . ABEC=」2十/乩十（2-工泌.
由其几何意义，即平面内动点（ x,妪）与两定点（0, 0） , （2, 0）距离和的最小值
知，
其最小值为7（2^2）2+22=2V3，故④正确.故答案为：①③④
三.解答题(共70分)
17. 40名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：
(1) 求频率分布直方图中 a 的值；
(2) 根据频率分布直方图求出样本数据的中位数(保留小数点后两位数字)和众数； (3) 从成绩在［50 , 70)的学生中任选 3人，求这3人的成绩都在［60 , 70)中的概率.
【分析】(1)利用概率和为1,可求a;
(2) 根据频率分布直方图，计算数据的平均数以及众数即可； (3) 先求出总数以及符合条件的个数，再结合概率计算公式求解即可.
解：( )由题意，(2a +3a +7a +6a +2a) x 10= 1,
a= 0.005 ；
(2)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 0.1 X 55+0.15 X 65+0.35 X 75+0.3 X 85+0.1 X 95= 76.5 ;
众数为:75.
成绩在［60 , 70)中的有6人;
击中目标的概率是 吉，乙、丙二人都击中目标的概率是
(1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率； (2)
设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X,求X
(3)成绩在［50 , 70)的学生共有
2a +3a) x 10 x 40= 10 人;
.•.从成绩在［50 , 70)的学生中任选
_ 6
18.某射击小组有甲、乙、丙三名射手,
3人，求这3人的成绩都在［60 , 70)中的概率P=f
10
已知甲击中目标的概率是
才，甲、丙二人都没有
甲乙丙是否击中目标相互独
的分布列和数学期望.
【分析】(1)设乙击中目标的概率为Pl,丙击中目标的概率为P2, 率乘法公式列出方程组能求出乙、丙二人各自击中目标的概率.
(2)设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X,则X的可能取值为
出相应的概率能求出X的分布列和数学期望 E (X).
解：(1) •.•某射击小组有甲、乙、丙三名射手，甲击中目标的概率是
甲、丙二人都没有击中目标的概率是上 ,
[12
乙、丙二人都击中目标的概率是—.甲乙丙是否击中目标相互独立.
设乙击中目标的概率为Pl,丙击中目标的概率为P2,
上的动点，且EF//平面BCD二面角B- CA A为60°
(1)求证：EFL平面ABC
(2)若BdAC,求直线BF与平面ACD/f成角的正弦值.利用相互独立事件概0, 1, 2, 3,分别求
3
4，
乙、丙二人各自击中目标的概率为.••X的分布列为:
1
24
数学期望E以)=-：七十|.二十・-一彳十「.亍
12 11 24
19.在三棱锥A- BCD中，A丑平面BCD BO DO2, Z BCD= 90° ,
3
4
E, F分别为AC AD
,解得p ]蓦",
P (X= 0)
P (X= 1)
P (X= 2)
P (X= 3)
(2)设甲0, 1, 2, 3,
、X
w -------------- /;
【分析】（1）推导出 A 乩CD Bd CD 从而C 皿平面 ABC EF// CD 由此能证
明 EFL
平面ABC
（2）推导出EF^ BE B=平面 ACD 从而EF 为BF 在面AC 时的射影，/ BFE 为
BF 与
平面AC 前成角的平面角，由 CM 面ABC 得二面角 B- CA A 的平面角Z AC 序60° , 由此能求出直线BF 与平面ACDf 成角的正弦值.
解：（1）证明：...在三棱锥 A- BCW, A 丑平面BCD CD 平面BCD
••• AE^ CD . Z BCO 90 ,
BCL CD
. Am BO B, . . Cd 平面 ABC
E, F 分别为AC AD 上的动点，且 EF//平面BCD CD ?平面ACD
EF// CD
••• EFL 平面 ABC
（2）解：由（1）可得EFL BE
又 BR AC ACP EF= E, . . BE^平面 ACD
••- EF 为BF 在面AC 时的射影，/ BF 命BF 与平面AC®成角的平面角，
又C 皿面ABC 二面角B- CA A 的平面角/ ACB= 60°
BO DQ 2, . BE =\^, C 『1, AA 祚，AO 4, 3_
JL=@
T
•.•EF//CD ...器=号，... EF==, BF=啤，cos /BFE=F
AL LU Z 2 Dr
20 .某网站用“ 100分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低 于95分，则称该人的幸福度为"极幸福”.
（1） 从这10人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，求 X 的分布列及数 学期望；
（2） 以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 3人，记E 表示抽到“极幸福”的人数，求E 的数学期望和方差. 章福蔑
?
3 0 8
6 7 S 9 7 6 5 5 0
【分析】（1）由茎叶图得10人中，极幸福的人数有 4人，X 的可能取值为0, 1 , 2, 3, 分别求出相应的概率，由此能求出
X 的分布列和E （X ）. _ ,, ― 一一…,,,,, , 2
............ . （2）记E 表示抽到“极幸福”的人数，则E 〜 B （3,古），由此能求出E 的数学期望和
|b 方差.
解：（1）由茎叶图得10人中，极幸福的人数有 4人，
从这10人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，
则X 的可能取值为0, 1, 2, 3,
.••X 的分布列为:
10名，以 P (X= 0)
P (X= 1)
P (X= 2)
P (X= 3)
P 1
1 J_ UJ 6 [
2 10 30
E (X )*§」1X*+2X*■敦静昏
(2)以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选 记E 表示抽到“极幸福”的人数,
♦
25
.在平面四边形 ACPE 3 (如图1) , D 为AC 的中点，AA DO P4 2, AA 1,且AR AG
P[K AC 现将此平面四边形沿 PD 折起使二面角 A- PI C 为直二面角，得到立体图形(如 图2),又B 为平面ADC 内一点，并且 ABC/正方形，设 F, G, H 分别为PB ER PC 的中点.
(I)求证：面 FGH/面ADPE
(H)在线段PC 上是否存在一点 M 使得面FGMW 面PEB 所成二面角的余弦值为 宜，？
&
【分析】(I)由已知条件得FH// BC FG/ PE,从而FH// AD 由此能证明面FGH 面ADPE (H )以D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段
PC 上存在一点 M 线
【解答】(I)证明：.••点
F 、
G
H 分别为PB EB PC 的中点, •••FH FG 分别为△ PBC △ PBE 的中位线, FH// BC FG// PE 21 段咐等或半，
使得面FG/面PEB 所成二面角的余弦值为
D (
E ) 若存在，求线段 PM 的长；若不存在，请说明理由.
又正方形ABC" BC// AD FH// AD
又 FHn FO F, PE ?面 ADPE AD ?面 ADPE
. •面 FGH 面 ADPE
(n) •.•二面角 A- PAC 为直二面角，
又 P[U AD P[K CD
以D 为坐标原点，分别以 DA DC DP 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系， 则有 P (0, 0, 2) , E (2, 0, 1) , B (2, 2, 0) , F (1,1,1), G (2, 1,二)，
则面=(2, 0, - 1) , PB= (2, 2, — 2),
设面PEB 勺法向量；=(x, v, z), ■ *
,n*PE=2i£-z=0
弗 ./曰-/ .
由，，取 x = 1,侍 口 = ( 1, PB=2x+2y-2z=0
设 M(0, m 2- m ,则T G = (1, 0, 一§),行=(-1, 设面FGM 勺法向量为皿二（勺，" E ［）,
—*
1 m p FG = x I z i =0
由J 一 2 FM 二-竟L) y ]+(l-m) Z -0
由面FG&面PEB 所成二面角的余弦值为 主迎，可得
6
1, 2),
得IUT II ，｝ ! 2) m-l
解得：昨+或m=
在线段PC 上是否存在一点 M 使得面FGM^面PEB 所成二面角的余弦值为 =—或P 怵 -------- . 2 2 V30
|cos < rr> I = I
22.已知椭圆 土+里夕=1 (a>b>0)的离心率四，一个焦点在直线 y = x ^上，若直线 a b 2 3 l 与椭圆交于P, Q 两点，O 为坐标原点，直线 OP 的斜率为ki,直线OQ 勺斜率为k2.
(1) 求该椭圆的方程.
(2) 若kik2=-=，试问△ OPQ 勺面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请
R-J
说明理由.
【分析】(1)由题意知离心率和焦点坐标及 a, b, c 之间的关系求出椭圆的方程；
(2)分直线的斜率为 0和不为0两种情况讨论，当斜率不为 0时设直线的方程与椭圆 联立求出两个之和及两根之积，进而求出弦长和原点到直线的距离，进而求出直线 OP
OQ 勺斜率，再由斜率之积求出参数的关系，求出面积可得为定值. 解：(1)因为焦点在 x 轴上，又一个焦点在直线 y= x +M 上,令y =。

，x=- ,b = a - c ,解得：a = 3,
b = 1,
(2)①当直线PQ 的斜率为0,设直线PQ 的方程为y= t
(t £ ( - 1,1)),与椭圆联
,可得 x 2= 3 (1 - t 2)，即 x = 士寸3(1 - ,
所以 xx' = - 3(1 - t 2) , yy ' = t 2,
『 ' t 2
由题意 kk2=X ・一3—=—j —=一
矿- XX XX 3C1-1 )
y=t
必2 所以由题意得:
所以椭圆的方程为: =1
所以Sn w 站|y| =土为£1由・I til =(家1号).岛=W ；
②当直线的斜率不为 0时，设直线PQ 的方程为：x= my+t , P (x, y) , Q (x 1 , y'),
PQ —国2土小1 PQ —
2t 2
所以手OP 对・|地闵=严零亟L 戏舞=亨, 由以上可得：△ OPQ 勺面积是为定值 迎. 直线椭圆联立 K=ny+t
2
2
x^+3y -3=0 得(3+m2) y 2+2mty +t 2 - 3= 0, . .△=
4n 2t 2 — 4? (3+m) (t 2— 3) > 0,即 12< 希+3, y+y'= 尹-3 3+m 2 所以 pQ = J 1十皿’寸(y 打') 2-4yyJ
3+m 2
,yy'= ...由题意可3(t -m
二，即 m2= 2t 2 - 3,
■—I
O 到直线PQ 的距离d=
?。