江门市普通高中2017-2018学年高二数学下学期5月月考试题(3)

下学期高二数学5月月考试题03
一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1
．
已
知
=+=-=2
1
1121,,,1,3Z Z i Z Z i Z i Z 则
为虚数单位的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +2 D ．i -2 2。

若0
m >，则
||x a m
-<和
||y a m
-<是
||2x y m
-<的
（ ）
A.充分而不必要条件 B 。

必要而不充分条件
C 。

充要条件 D.既不充分有必要条件 3。

=+-⎰
-dx x x )1(11
2 （ ）
A ．π
B 。

2
π C.1+π D 。

1-π
4。

在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4,错误!)作曲线C 的切线，则切线长为（ )
A ．4 B.错误! C ．2错误!
D ．2错误! 5.22
2
,,sin ,x a xdx b e dx c xdx ===⎰⎰⎰则a b c 、、大小关系是（
)
A
a c
b << B a b
c << C c b a <<
D c a b <<
6 。

如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，
连接AE,BE,∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于C 、
D ，若∠AEB=030，则∠PC
E 等于（ )
A 0
150 B
075 C 0
105 D
060
7。

关于x 的不等式2
2|cos lg(1)||cos ||lg(1)|x x x x +-<+-的解集为
（ )
A.（—1，1） B 。

(,1)(1,)2
2
ππ--⋃
C 。

(,)22
ππ- D 。

（0,1）
8。

直线112
3332
x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩（t 为参数)和圆2
216x
y +=交于A 、B
两点，则AB 的中点坐标为
A ．（3，－3)
B ．（－3，3)
C ．（错误!，－3)
D ．（3，－错误!)
P E
B A
D
C
第6题
9。

如图所示，AB 是圆O 的直径，直线MN 切圆O 于
C ，C
D ⊥AB ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，则下列结论中正
确的个数是（ ）
①∠1＝∠2＝∠3 ②AM ·CN ＝CM ·BN ③CM ＝CD ＝CN ④△ACM ∽△ABC ∽△
CBN ．
A ． 4
B ．3
C ．2
D ． 1
10.已知非零向量
,a b
满足：
2=||||
a b ,若函数
3211
()32
f x x x x =
++⋅||a a b 在R 上有极值,设向量,a b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为（ ） A ．［1[,1]2
B ．1
(,1]2
C ．
1[1,]2
-
D ．1[1,)2
-
11.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S,内切圆半径为r ，则r ＝错误!；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝( ) A ．错误!
B ． 错误!
C ．错误!
D ．错误!
12.若实数,,x y z 满足2
221x y z ++=则xy yz zx ++的取值范围是
（ )
A 。

[-1,1］
B 。

[1,1]2
- C.[—1，
1]2
D 。

11[,]22
-
二、填空题（每题5分，共20分。

把答案填在题中横线上)
13. 以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D
作圆
O
的切线与
BC
交于
E
，若
3
BC =，
4
AB =,则
OE =_________
14.已知曲线1
C 、2
C 的极坐标方程分别为2cos()2
πρθ=-+，
2cos()104
π
ρθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远
距离为 15。

设22,,a x xy y b p xy c x y =
-+==+，若对任意的正实数,x y ，
都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .
16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求x
e x
y =的导数，可先在两边取对数，得
x
e x y x e x
ln ln ln ==，再在两边分别对x 求导数，得
x
e x e y y x x 1ln 1'⋅+=⋅即为
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛⋅+=x e x e y y x x x 1ln '
，即导数为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=x e x e x
y x x e x
ln 。

若根据上面提供的方法计算函数
x
x y =的导数,则='
y
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分）已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，
14
|21||1|x x a b
+≥--+恒成立，求x 的取值范围。

18. （本题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线
l
的参数方程为23(24x t t y t =--⎧⎨=-⎩
为参数）
它与曲线C ：
2
2
1x -=（y-2)交于A 、B 两点。

（1）求|AB ｜的长
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P
的极坐标为3)4
π
，求点P 到线段AB
中点M 的距离。

19。

（本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1）、（2)、（3）、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺
绣越漂亮,现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n ）个小正方形．
（1）求出)2(f ，)3(f )4(f )5(f 并猜测)
(n f 的表达式;
(2）求证：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!2
3<．
20。

（本题满分10分） 如图, ABC
∆内接于⊙O , AB 是⊙O
的直径，
PA 是过点A 的直线,
且ABC PAC ∠=∠。

（Ⅰ) 求证: PA 是⊙O 的切线；
(Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E ,
8=AC ,
5
:6:=ED CE ，
3
:2:=EB AE ， 求BCE ∠sin .
21。

（本题满分14分)某园林公司计划在一块O 为圆心,R (R 为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，
其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ∆区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售。

已知观赏样板
O
D
C
B
.
A
B
C
O
E
D
P
地的成本．．是每平方米2元，花木的利润．．是每平方米8元，草皮的利润．．
是每平方米3元。

（1）设(COD θ∠=单位：弧度）， 用θ
表示弓形CMDC 的面积()
S
f θ=弓
;（2)园林公司应该怎样规
划这块土地，才能使总利润最大? 并求相对应的θ (参考公式:扇形面积公式2
1122
S R Rl θ==，l 表示扇形的弧
长）
22。

(本题满分14分)已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax
a x x a =-++∈R
（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值;
（Ⅱ）求()f x 的单调区间;
（Ⅲ)设2
()2g x x x =-，若对任意1
(0,2]x ∈,均存在2
(0,2]x ∈,使得12
()()f x g x <，求a 的取值范围.
答案
一、选择题:DABCD CADBD CB 二、填空题13． 5
2
14．1 15．（1，3）
16．)ln 1(x x
x
+
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题满分10分）解：∵ a ＞0,b ＞0 且a+b=1 ∴ 1
a
+4b
=（a+b ）（ 1a
+4b
）=5+b a
+4a b
≥9,
故
1
a
+
4b
的最小值为9，
--——-——-—5分
因为对a ，b ∈(0，+∞),使1a
+4b
≥｜2x —1｜—|x+1|
恒成立，所以，｜2x-1｜-|x+1｜≤9， -7分
当 x ≤—1时,2—x ≤9， ∴ -7≤x ≤—1, 当 —1＜x ＜12
时，—3x ≤9，
∴ -1＜x ＜12
,当 x ≥12
时，x —2≤9, ∴ 12
≤x ≤11，
∴ —7≤x ≤11 —--—-———- 10分
18. 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得
051272=--t t
设
A
，
B
对应的参数分别为2
1,t t ，则
7
5
,7122121-==
+t t t t ． ……3分
所
以
7
71
104)(5)4()3(212212122=
-+=--+-=t t t t t t AB ． ……
5分
（Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为
7
6
221=+t t ．
……8分
所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为
7
30
76)4()3(22=⋅
-+-=PM ．
……10分
20。

解： (1)∵ f （1）＝1，f （2)＝5，f (3)＝13，f （4）＝25，∴ f （5)＝25＋4×4＝41.
∵ f （2）－f （1)＝4＝4×1，f （3)－f （2)＝8＝4×2,f (4)－f （3)＝12＝4×3，f （5)－f (4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f (n ＋1）－f (n )＝4n 。

∴ f (n ）－
f （n －1）＝4(n －1)，f （n －1)－f （n －2)＝4·(n －2）,
f (n －2)－f （n －3)＝4·(n －3)，…
f (2）－f （1)＝4×1，
∴ f (n ）－f (1）＝4[（n －1)＋（n －2）＋…＋2＋1］＝2（n －1)·n ，∴ f (n ）＝2n 2－2n ＋1(n ≥2)，
又n ＝1时,f (1)也适合f （n ）． ∴
f (n ）＝2n 2－2n ＋ 1.
—————-——6分
（2)当n ≥2时，错误!＝错误!＝错误!错误!, ∴ 错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误! ＝1＋12错误!
＝
1
＋
错误!
错误!
＝
错误!
－
错误!
.
--———12分
20. (Ⅰ）证明：AB 为直径，,2
π=∠∴ACB
2
π
=
∠+∠ABC CAB 2
π
=
∠+∠∴∠=∠CAB PAC ABC PAC
AB AB PA ,⊥∴为直径，
PA ∴为圆的切线…………………… 3分
（Ⅱ）m EB m AE k ED k CE 3,2,,5,6====
k m ED CE EB AE 5=⇒⋅=⋅
AEC ∆ ∽DEB ∆54638
=⇒=⇒BD k
m BD
.
A
B
C
O
E
D
P
CEB ∆ ∽AED ∆55
2,2)3(8025642522222=
=⇒=--=⇒k m m k m m AD BC ,10=∴AB 54=BD 在直角三角形ADB 中
5
5
21054sin =
==
∠AB BD BAD BAD BCE ∠=∠ 5
52sin =∠∴BCE …………………… 10分
21 【解析】（1）212S
R θ=扇
，21sin 2
OCD S R θ∆=， 21
()(sin )
2
S f R θθθ==-弓.………3分
(2）设总利润为y 元，草皮利润为1
y 元，花木地利润为2
y ，观赏样板地成本为3
y
221113()22y R R πθ=-，221sin 82y R θ=⋅，231
(sin )22
y R θθ=-⋅,
22221231111
3()sin 8(sin )22222
y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ .
21
[3(510sin )]2R πθθ=--
……8分
设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈.
'()510cos g θθ=-
，'
1()0,cos ,()2
g g π
θθθθ<>∈在（0, ）
3
'1()0,cos ,()2g g π
θθθθπ><∈在（，）
3
上为增函数。

……12分
当3
πθ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大。

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时,总利润最大。

………14分
22.解:2
()(21)f x ax a x
'=-++(0)x >. ---——-—--2分
(Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23
a =. --———————3分
（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x
--'=(0)x >。

①当0a ≤时，0x >，10ax -<，
在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞。

②当102
a <<时，12a
>， 在区间(0,2)和1(,)a
+∞上，()0f x '>；
在区间1(2,)a
上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a
+∞，单调递减区间
是1(2,)a
.
③当
1
2
a =
时,
2
(2)()2x f x x
-'=
, 故
()
f x 的单调递增区间是
④当12
a >时,102a
<<， 在区间1(0,)a
和(2,)+∞上,()0f x '>;在
区间1(,2)a
上()0f x '<，
故()f x 的单调递增区间是1(0,)a
和(2,)+∞，单调递减区间
（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max
()()f x g x <.
-——-———-—10分
由已知，max
()0g x =,由（Ⅱ）可知，
①当12
a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，
故max
()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<,解得ln 21a >-，
故1ln 212
a -<≤。

②当12
a >时，()f x 在1(0,]a
上单调递增，在1[,2]a
上单调
递减，
故max
11()
()22ln 2f x f a a a
==---.
由12a >可知11ln ln ln 12e
a >>=-，2ln 2a >-,2ln 2a -<，
所以,22ln 0a --<，max
()
0f x <，
综上所述，ln 21a >-.
-——14分。