讲稿3-简单随机抽样[1]

n N ⎡ n 2⎤ E ⎢∑ ( y i − Y ) ⎥ = ∑ (Yi − Y ) 2 ⎣ i =1 ⎦ N i =1 ⎡ ⎤ n(n − 1) E ⎢ ∑ ( y i − Y )( y j − Y ) ⎥ = ∑ (Yi − Y )(Y j − Y ) ⎣ i≠ j ⎦ N ( N − 1) i ≠ j
放回简单抽样的例子
设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按放 回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所 有可能的样本为25个（考虑样本单元的顺 序）：
1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5
i =1
∑y
i =1
n
i
= y1 + y 2 + L + y n
A 1 P= = N N
2
∑ Y Yi = 0或1
i =1 i
N
a 1 n p = = ∑ yi n n i =1
2
y i = 0或1
1 N N 2 S = ∑ (Yi − Y ) = N − 1 σ 2 N − 1 i =1
R=
1 n 2 s = ∑ ( yi − y ) n − 1 i =1
=
N − n 2 1− f 2 S = S nN n
性质2的构造性证明
1 Y = N
∑
N
Yi
1 n 1 N y = ∑ yi = ∑ α iYi n n
αi =
⎧1 i ∈ s ⎨ ⎩0 i ∉ s
随机变量
E (α i ) = E (α i2 ) = n N
P (α i = 1) =
2 i
n N
n ⎛n⎞ n n V (α i ) = E (α ) − E (α i ) = − ⎜ ⎟ = (1 − ) N ⎝N⎠ N N
S2 n = (1 − ) n N
简单随机抽样下，简单估计量估计精 度影响因素
估计量的方差 是衡量估计量精度的度量。 影响估计量方差的因素主要是样本量n，总体 大小N和总体方差 。
通常N很大，当f<0.05时，可将 近似取为1。 总体方差是我们无法改变的；因此，在简单随机抽 样的条件下，只有通过加大样本量来提高估计量的 精度。
方差1.95
样本方差 0.5 4.5 12.5 18 2 8 12.5 2 4.5 0.5 6.5
证明 性质1
对于固定的有限总体，估计量的期望是对所有可能样本求平均 得到的，因此 ∑ y = ∑ ( y1 + y 2 + L + y n ) E(y ) = n n CN nC N 总体中每个特定的单元
n yi 在不同的样本中出现的次数为CN−11 −
1 1 n −1 N ∑ y = n ∑ ( y1 + y 2 + L + y n ) = n C N −1 ∑ Yi i =1
n CN =
N! N N n ( N − 1)! = = C N−11 − n!( N − n)! n (n − 1)!( N − n)! n
不放回简单随机抽样
当从总体N个抽样单元中依次抽取n个抽样单 元时，每个被抽中的单元不再放回总体，而 是从总体剩下的单元中进行抽样。 不放回简单随机抽样的样本量要受总体大小 的限制。 在实际工作中，更多的采用不放回简单随机 抽样，这更能有效反映总体特征。
不放回简单抽样的例子
设总体有5个单元（1、2、3、4、5），按 不放回简单随机抽样的方式抽取2个单元， 则所有可能的样本为个：
2
N N ⎤ 1 ⎡N ⎤ 1 ⎡N 2 V ( y ) = 2 V ⎢∑ α iYi ⎥ = 2 ⎢∑ Yi V (α i ) + ∑∑ YiY j covV (α i , α j )⎥ n ⎣ i =1 i =1 j ≠ i ⎦ n ⎣ i =1 ⎦ 1 ⎡n 1 ⎤ n N 2 N N n n = 2 ⎢ (1 − )∑ Yi − ∑∑ YiY j (1 − ) ⎥ n ⎣N N N i =1 N N − 1⎦ i =1 j ≠ i ⎤ 1 n 1 N N n ⎡N 2 = 2 (1 − ) ⎢∑ Yi − ∑∑i YiY j ⎥ n N N ⎣ i =1 N − 1 i =1 j ≠ ⎦ N N N n 1 1 ⎡ ⎤ 2 2 = (1 − ) ( N − 1)∑ Yi − (∑ Yi ) + ∑ Yi 2 ⎥ n N N ( N − 1) ⎢ i =1 i =1 i =1 ⎣ ⎦ N n 1 1 ⎡ N 2 ⎤ = (1 − ) N ∑ Yi − (∑ Yi ) 2 ⎥ n N N ( N − 1) ⎢ i =1 i =1 ⎣ ⎦
S2 [n( N − 1) − ( N − n)] = N (n − 1)
=S
2
大样本下，估计量渐进性质
θˆ − θ ~ N (0,1) ˆ) S (θ
| θˆ − θ | P( ≤ μα ) = 1 − α ˆ) S (θ
[θˆ ± μ S (θˆ)]
α
实例
我们从某个=100的总体中抽出一个大小为 =10的简单随机样本，要估计总体平均水 平并给出置信度为95%的区间估计。
⎡ ⎤ E⎢∑( yi −Y )( y j −Y )⎥中的求和是对 n(n − 1) ⎣ i中的求和是对 N ( N − 1) 2 项的
i≠ j i j
⎤ 1 ⎡n ⎤ 1 ⎡ V ( y ) = 2 E ⎢∑ ( y i − Y ) 2 ⎥ + 2 E ⎢∑ ( y i − Y )( y j − Y ) ⎥ n ⎣ i =1 ⎦ n ⎣ i≠ j ⎦
E( y ) =
∑y
C
n N
C =
n −1 N −1
∑Y
i =1 n N
N
i
nC
1 = N
∑Y
i =1
N
i
=Y
证明 性质1（对称性论证法）
由于每个单元出现在总体所有可能样本中的 E ( y1 + y 2 + L + y n ) 次数相同，因此 一定是Y1 + Y2 + L + YN的倍数，且这个倍数就 是 n N ，则
1 n = 2 n N
∑ (Yi − Y ) 2 +
i =1
N
1 n(n − 1) ∑ (Yi − Y )(Y j − Y ) n 2 N ( N − 1) i ≠ j
n −1 N n −1 N ⎤ 1 ⎡N n −1 2 2 = ⎢∑ (Yi − Y ) + ∑ (Yi − Y )(Y j − Y ) + N − 1 ∑ (Yi − Y ) − N − 1 ∑ (Yi − Y ) 2 ⎥ nN ⎣ i =1 N − 1 i≠ j i =1 i =1 ⎦
i =1
N
n( N − 1) 2 S N
E (y − Y )
2
1− f 2 N − n 2 S = S = n nN
1 ⎡ ⎡n 2 2⎤ 2⎤ E (s ) = ⎢ E ⎢∑ ( y i − Y ) ⎥ − nE ( y − Y ) ⎥ n − 1 ⎣ ⎣ i =1 ⎦ ⎦
1 ⎡ n( N − 1) 2 N −n 2⎤ S ⎥ S −n = ⎢ N n −1 ⎣ nN ⎦
n N
有 限
简单随机抽样的抽取原则
1. 2.
按随机原则取样； 每个抽样单元被抽中的概率都是已知的 或事先确定的；
3.
每个抽样单元被抽中的概率都是相等的。
放回简单随机抽样
放回简单随机抽样(SRS with replacement) 当从总体N个抽样单元中抽取n个抽样单元时，如 果依次抽取单元时，不管以前是否被抽中过，每次 都从N个抽样单元中随机抽取，这时，所有可能的 样本为 ?个(考虑样本单元的顺序), 每个样本被抽中的概率为? 放回简单随机抽样在每次抽取样本单元时，都将前一 次抽取的样本单元放回总体，因此，总体的结构不变， 抽样是相互独立进行的，这一点是它与不放回简单随 机抽样的主要不同之处。 放回简单随机抽样的样本量不受总体大小的限制，可 以是任意的。
1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5
符号
总 体
1 Y = N
N
样 本
y + y2 + L + yn 1 n y = ∑ yi = 1 n i =1 n
Y + Y + L + YN ∑ Yi = 1 2 N i =1
N
Y = ∑ Yi = Y1 + Y2 + L + YN
1 ⎛ n ⎞ 1 n E ( y ) = E⎜ ∑ yi ⎟ = n ⎝ i =1 ⎠ n N
∑Y
i =1
N
i
=Y
简单估计的方差
对于有限总体的方差定义 ：
性质2：对于简单随机抽样， 的方差
N − n 2 1− f 2 V (y) = S = S Nn n
式中：
为抽样比， 为有限总体校正系数。
证明性质2（对称论证法）
第三章 简单随机抽样
3.1定义与符号
简单随机抽样也称为纯随机抽样。 从含有 N 个单元的总体中抽取 n 个单元组成 样本，如果抽样是不放回的，则所有可能的样 本有 个，若每个样本被抽中的概率相同，都 为1 C ，这种抽样方法就是简单随机抽样。 具体抽样时，通常是逐个抽取样本单元，直到 抽满n个单元为止。
1 = nN
2 ⎡⎛ n −1 ⎞ N n −1 ⎡ N ⎤ ⎤ 2 ⎢⎜1 − ⎟∑ (Yi − Y ) + ∑ (Yi − Y )⎥ ⎥ N − 1 ⎢ i =1 ⎣ ⎦ ⎥ ⎢⎝ N − 1 ⎠ i =1 ⎣ ⎦