安义中学2013-2014上学期教师论文

例析“降维”思想在一类圆锥曲线题中的妙用
安义中学 黄 忠
在解立体几何题中常常要用到“降维”思想，把空间三维问题降为几何中的二维问题来解，可以降低难度，其实在高中解析几何中，特别是对一类圆锥曲线与向量的综合题如果善于用“降维”思想，根据向量的坐标运算，把二维（平面直角坐标系）问题降为一维（x 轴或y 轴）问题，这样可以大大简化题思路，使计算方便快捷。

例1 已知椭圆方程为1
2
22
=+y x ，过定点P （0，2）的直线交椭圆于不同两点A ，B （B 在A ，P 之间），且满足PA PB λ=，求λ的取值范围。

分析 根据条件显然先要设出直线AB 的方程，引进新参数k （直线的斜率），然后找到k 与λ的关系。

解 设直线AB 的方程：y=kx+2及A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），)2,(11-=y x ，
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒=--=),2(2),2,(),2,(11
22222
2y y x x y x y x λλλ由
因为λ
λ1,2)(1221212212
12
2
211
221+=+-+=+=
+x x x x x x x x x x x x
x x x x 又
所以2)(1
2
12
21-+=+x x x x λλ （1）
2)2(22122222
=++⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+==+kx x kx y y x 由068)21(22=+++⇒kx x k 因为2
30)21(2464222>
⇒>+-=∆k k k 故2)
21(3321)1(216,2182
2
221221-+=+⇒+=+-=+k k k x x k k x x λλ代入
)
12(3321
2k
+=
+
⇒λ
λ
因为32102
<<k
所以33
131012316)12(33242<<⇒<+<⇒<
+
<
λλλk
，又在A ，P 之间， 所以0<λ<1，所以
13
1
<<λ. 又当直线AB 的斜率不存在时，方程为13
1
,31,0<≤==λλ所以则x .
评注 由PA PB λ=得到12x x λ=，这时已经“降维”到x 轴这一维的关系式（思考：为什么不选y 1与y 2的关系式呢？），然后巧妙地利用配方与韦达定理来找到
k 与λ的关系来解，注意用“降维”思想来解决这类问题具有一般性。

例2 设双曲线C ：1:)0(1222
=+>=-y x l a y a
x 与直线相交于不同的两点A ，B ，
（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围。

（2）设双曲线与y 轴的交点为
P ，且.,12
5
的值求a PB PA =
分析 对（1）小题只需“降维”到x 轴，对关于x 的一元二次方程有两个不等的实根，即可求出e 的取值范围。

对（2）小题可借助例1的解法。

解 （1）⎪⎩⎪⎨⎧+-==-11
2
22x y y a
x 022)1(2222=-+-⇒a x a x a ① 因为l 与C 交于不同两点，
所以120
)1(84012
22
242
≠<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-a a a a a a 且
所以.22262231112
2
222
<<<⇒≠>+=
+=e e e a
a a e 或且 （2）设)1,(),1,(),1,0(),,(),,(22112211-=-=y x PB y x PA P y x B y x A 则 因为,12
5
,12521x x PB PA ==
所以 又因为,60
169
5121252)(212211221=+=-+=+x x x x x x x x
由①知：,12,1222
212
221-=-=+a a x x a a x x 代入上式.131716016921
22
2=⇒=--a a a 评注 此题的解法与例1如出一辙，无非是将椭圆改为双曲线，也是“降维”到x 轴上来解，但条件与结论颠倒了过来。

例3 设抛物线C ：y 2 = 4x,过点A （-1，0）斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两
点，若]3
6
,22[
∈=，k AN AM λ，求λ的取值范围。

分析 观察条件发现背景曲线改成了抛物线，但是点A （-1，0）在x 轴上，应“降维”到y 轴上来解，这一点与前两例题有区别。

解 设),1(),,1(),1,0(),,(),,(22112211y x y x P y x N y x M +=+=则，直线l 的
方程：⎩⎨⎧=+=+⇒=+=21
21)
1(1),1(y y x x AN x k y λλλ由
因为,1
2)(212211221λλ+=++=+y y y y y y y y 由044)1(422=+-⇒⎩⎨
⎧+==y k y x k y x y . 因为⊿>0，
所以24
124161,4,4222121-=+⇒-=+⇒==+k
k y y k y y λλλλ代入上式， 又
61
4624436222≤+≤⇒≤-≤≤≤λλk
，k 所以 .3222322332-≤≤-+≤≤+⇒λλ或
评注 应用“降维”思想，对条件进行等介转换，使二维的数量关系转化到一维坐标轴上的数量关系来解决问题，这就是“降维”转化思想的应用。

例4 已知椭圆C 的方程1),0(122
222222=->>=+b
y a x b a b y a x 双曲线的两长渐近线
方程为l 1,l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 1与l 2交于点P ，设l 与椭圆C 的两交点从左到右依次为B ，A （如图），求|
||
|PA PB 的最大值及取得最大时椭圆C 的离心率e 的值。

分析 本题几何条件关系虽很明确，但比较复杂，如果直接从两点间的距离公式来建立比值求最大值，显然非常繁琐，应先用化归思想将目标比值等价转化为与点F 有关的比值，再用“降维”思想，把条件转化为y 轴上的坐标关系来解。

解 x a
b
y l c x b a y l c F =-=:)(:),0,(与的方程为由题意设联立得),,(2c ab c a P 即点P
在椭圆的右准线l 0上，过A ，B 分别作l 0的垂线段AA 1，BB 1.则
|
||
|||||11AA BB PA PB =， 又,|
|||,e |BF | |BB1|1e
AF AA == )1(|
|||||||||||||||>===⇒
λλAF BF PA PB ，AF BF PA PB 设则有FA BF λ=，（这时已经化归为
与前面例题一样的模式）。

设2111222211),,(),(),,(),,(y y y c x y x c y x B y x A -=⇒-=--λλ则有 又因为
2)(212211221-+=+y y y y y y y y =)1
(λ
λ+- （1）， 由022)()(1423442
222=-++⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==+b a y acb y b a c x b a y b y a x ， 因为4
43212,0b
a ac
b y y +-=+>∆所以， 4
424
42
2
442
2
444
2
21)(1)
(4)(4)(4421)1(,2a
b a b a b b
a b a b b a b a b a b a y y +-=--=+=-+⇒+-=λλ式代入设,
21
2
)1(4
414421)1,0()(2
2
2-++++-=+-=-+⇒∈=t t t
t t t a b λλ
由2222
22442142212)1(,211-=-+-≤-+<-⇒≥++
+<+<λλt t t 有 121,12122221
2+=>+≤≤-⇒≤-+
<-⇒最大又λλλλ
λ，,
这时221212)(,1212122
2
22-=⇒-=-⇒-=-⇒+=+e a
c a a b t t 即. 所以.22-=e
评注 解析几何是用代数的方法来研究解决几何问题，自然而然离不开计算，但
是在计算中要注意有关数学定义的灵活应用，如本题用到椭圆的第一定义，转化为与前面题型一样，把所求目标“降维”，简化了运算。

由以上例题可见，“降维”思想在解决有关圆维曲线与向量（或长度比值）之间关系方面有重要作用，均可化归为
2)(2)(212
211221212211221-+=+-+=+y y y y y y y y x x x x x x x x 或来解。

其中必须要用到21x x λ= 或21y y λ=的关系式，这也就是为什么要“降维”到x 轴或y 轴的原因。