2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十)理科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}0,1,2,3A =，2
{|230}B x x x =--<，则A
B =（ ）
A. (1,3)-
B. (1,3]-
C. (0,3)
D. (0,3]
【答案】B 【解析】 【分析】
求出A 与B 中不等式的解集，确定出A 与B ，求出A 与B 的并集． 【详解】解：集合{0A =，1，2，3}，2{|230}(1,3)B x x x =--<=-， 所以，A
B =(1,3]-
故选：B ．
【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2.设23i
32i
z +=-，则z 的虚部为 （ ） A. 1- B. 1
C. 2-
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：
23(23)(32)1332(32)(32)13
i i i i
z i i i i +++=
===--+， z ∴的虚部为1．
故选：B ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念．
3.某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）
A. 25
B. 23
C. 12
D. 07
【答案】C 【解析】 【分析】
根据随机数表依次进行选取即可．
【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字， 大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12，
则抽取的第5个零件编号为12. 故选：C ．
【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析． 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为（ ） A. 36 B. 32
C. 28
D. 24
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差数列的求和公式及其性质即可得出． 【详解】解：16256256()6()
3()22
a a a a S a a ++===+＝36. 故选：A ．
【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．
5.若双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率
为（ ）
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
由(1,2)-在直线b y x a =-上，可得b a
，由e ==
【详解】解：
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，
∴点(1,2)-在直线b
y x a
=-上， ∴
2b
a
=．
则该双曲线的离心率为e ==故选：C ．
【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率以及渐近线方程，属于基础题． 6.已知tan 3α=-，则π
sin 2()4
α+=（ ）
A.
35
B.
35
C.
45
D. 45
-
【答案】D 【解析】 【分析】
由2222221sin 2()cos241cos sin tan cos sin tan π
ααα
ααααα
--+===++，代入即可求解．
【详解】解：因为tan 3α=-，
则2222221194
sin 2()cos241195
cos sin tan cos sin tan π
αααααααα---+=====-+++．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了同角基本关系以及齐次式求解，诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，同时考查对相关公式的识记．
7.7
2
()x x
-的展开式中3x 的系数为（ ） A. 168 B. 84 C. 42 D. 21
【答案】B 【解析】 【分析】
在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中3x 的系数．
【详解】解：由于7
2()x x
-的展开式的通项公式为7217
(2)r
r r r T C x -+=-， 则令72r 3-=，求得2r ，可得展开式中3x 的系数为27484C =，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，以及二项展开式的通项公式以及系数的性质．
8.函数()2ln |1|x
f x e x =--的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
利用定义法判断函数的奇偶性以及特殊点的函数值，排除法即可得解.
【详解】解：已知()2ln |1|x
f x e x =--，则定义域为{}
1x x ≠，
因为2()ln |1|x
f x e
x --=-+＝22221ln ||ln |1|ln x
x x x e x e e x e
-+=--+
22ln |1|2ln =ln |1|=()x x e x e x e x f x =--+--，
所以，函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B D 、， 又2
2
(1)ln |1|1ln(1)1ln 10f e e e =--=-->-=，排除C . 故选：A ．
【点睛】本题考查函数图象的确定，一般运用奇偶性、特殊值、单调性等去排除． 9.如图，网格纸上小正方形的
边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接
球表面积为（ ）
323π
B. 32π
C. 36π
D. 48π
【答案】D 【解析】 【分析】
首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积．
【详解】解：该四面体的直观图如下图所示，根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体
A BCD -，
则该四面体的外接球也是边长为4的正方体的外接球， 设外接球的半径为R ，则有222244443R =++=， 解得：23R =，
外接球的表面积：S ＝24(23)48ππ⨯=. 故选：D ．
【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，球的体积公式和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
10.已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆22
14
y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为
1||MF 的圆上，则2||NF 的最大值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B 【解析】 【分析】
N 在圆上，由题意可得2221||||||||||NF F M MN F M MF +=+，当N ，M ，2F 三点共线时取
得最大值，再由椭圆的定义可得2||NF 的最大值．
【详解】解：由椭圆的方程可得焦点在y 轴上，24a =，即2a =， 由题意可得2221||
||||||||NF F M MN F M MF +=+，
当N ，M ，2F 三点共线时取得最大值， 而21||||24F M MF a +==，所以2||NF 的最大值为4，
故选：B ．
【
点睛】考查椭圆的定义和性质，还涉及椭圆的焦点三角形以及三点共线，属于中档题． 11.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ） A. 33AB AC HM MO +=+
B. 33AB AC HM MO +=-
C. 24AB AC HM MO +=+
D. 24AB AC HM MO +=-
【答案】D 【解析】 【分析】 构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算
即可得解．
【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，
O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，
又
M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，
∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．
4224OM HM HM MO =+=-
故选：D ．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．
12.已知定义在π
[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为
3
ω，则正实数ω的取值
个数最多为（ ） A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C 【解析】
【
分析】
由定义在[0，]4π
上的函数()sin()(0)6f x x πωω=->的最大值为3
ω，可得：013ω<，解得03ω<，因此：76
6
12x π
π
πω-
-
．分类讨论：①803ω<时，sin()463
ππω
ω-=，利用图象以及函数零点定理即可判断出结论．②833ω<，sin()16
x π
ω-=，必须3ω=，294
x ππ
=
<．即可得出结论． 【详解】解：
定义在[0，]4π
上的函数()sin()(0)6f x x πωω=->的最大值为3
ω，
013
ω
∴<
，解得03ω<，
∴6
64
6
x π
ππ
π
ωω-
-
-
．
①当
π
ππ4
62ω-
≤时，即8
03ω<≤时，max ππ()sin()463
f x ωω=-=， 令π
π()sin(
)46g ωω=-，()3
h ω
ω=， 如图，易知()y g ω=与()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，
由图可知，令()sin()463F ππω
ωω=--，
1(0)02F =-<，881
()10399
F =-=>，
因此存在唯一实数1ω，1
803
ω<，使得11sin()463ω
ππω-=．
②当
4
6
2
π
π
π
ω-
>
时，即833ω<，sin()16x π
ω-=，必须23ω=．
综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个． 故选：C ．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、函数零点存在判定定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．
13.若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为 ___________．
【答案】3-. 【解析】 【分析】
画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．
【详解】解：画出x ，y 满足约束条件220101x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪⎩
，表示的平面区域，如图所示；
结合图象知目标函数2z x y =-过A 时，z 取得最小值，
由110
x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A ， 所以z 的最小值为1223z =-⨯=-． 故答案为：3-．
点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．
14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则6a =___________． 【答案】63. 【解析】 【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式，进一步求出结果． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，由于2n n S a n =-，① 所以当2n 时，112(1)n n S a n --=--②，
①-②得：121n n a a -=+，整理得1)(2(1)1n n a a -+=+，
所以11
21
n n a a -+=+（常数），所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以12n
n a +=，整理得21n n a =-．
所以6
62163a =-=．
故答案为：63
【点睛】本题考查通过数列的递推关系证明等比数列，以及等比数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，⋯，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________． 【答案】
4
15
. 【解析】 【分析】
分别求出基本事件的总数为4
10C ，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为3
8C ，利用古典概率计算公式即可得出．
【详解】解：由0，1，2，⋯，9中的任取四个数字，共有4
10C 种，
验证码的首位数字是1时，只能从2，3，…，9中任取3个，即有3
8C 种，
所求概率384104
15
C P C ==.
故答案为：
415
． 【点睛】本题考查了古典概率计算公式、组合数计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.已知点1(,)2M m m -和点1(,)2
N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线2
1:2
C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___． 【答案】
43
. 【解析】 【分析】
由条件可得M ，N 在直线1
2
y x =-
上，联立曲线的方程可得它们无交点，求得函数212y x x =+的导数，可得在1x =-和3x =的切线的斜率和方程，联立直线1
2
y x =-，求得
交点E ，F ，可得所求最大值．
【详解】解：由点1
(,)2
M m m -和点1(,)2
N n n -， 可得M ，N 在直线1
2
y x =-上， 联立曲线2
1:(13)2
C y x x x =
+-， 可得211
22
x =-，无实数解，
由2
12
y x x =
+的导数为1y x '=+， 可得曲线C 在1x =-处的切线的斜率为0， 可得切线的方程为12
y ， 即有与直线12
y x =-
的交点1
(0,)2E -，
同样可得曲线C 在3x =处切线的斜率为4， 切线的方程为942y x =-
，联立直线12
y x =-，可得交点4(3F ，5
)6，
此时可设1(0,)2M -，4(3N ，5
)6
，
则由图象可得||m n -的最大值为44
033
-=，
故答案为：
4
3
．
【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系的判断，考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及两直线的交点的求法，考查数形结合思想和运算能力．
三、解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．
17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，
222+2a b c S -=.
（1）求cos C ；
（2）若cos sin a B b A c +=，5a =
b .
【答案】（1）5
；（2）3. 【解析】 【分析】
（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求cos C ；
（2）由已知结合正弦定理及和差角公式可求A ，然后结合诱导公式及和角正弦可求sin B ，再由正弦定理即可求解b
．
【详解】解：（1）2222a b c S +-=， 所以2cos sin ab C ab C =，即sin 2cos 0C C =>，
22sin cos 1C C +=，cos 0C >，
解可得，5
cos 5
C =， （2）
cos sin a B b A c +=，
由正弦定理可得，sin cos sin sin sin sin()A B B A C A B +==+， 故sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A A B B A +=+， 所以sin cos A A =，
(0,)A π∈，所以4
A π
=
，
所以25225310
sin sin()sin()4B A C C π=+=+=⨯+⨯=
， 由正弦定理可得，310
5sin 103sin 2a B b A
⨯
=
==． 【点睛】本题综合考查了三角形的基本运算，三角函数的性质，考查了利用正弦定理及余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力．
18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.
（1）求证：1//NC 平面BMD ；
（2）若13A A =，22AB AD ==，π
3
DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）连接BD ，AC 交于E ，取1C M 的中点F ，连接AF ，ME ，先证明平行四边形1C FAN ，所以1//C N FA ，最后得出结论；
（2）根据题意，以D 为原点，以DA ，DB ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可．
【详解】解：（1）连接BD ，AC 交于E ，取1C M 的中点F ，连接AF ，ME ， 由12C M MC =，12A N NA =， 故1C F AN =，以且1//C F AN ， 故平行四边形1C FAN ，所以1//C N FA ， 根据中位线定理，//ME AF ，
由ME ⊂平面MDB ，FA ⊂/平面MDB ， 所以//FA 平面MDB ，1//NC FA ， 故1//NC 平面BMD ；
（2）22AB AD ==，3
DAB π
∠=
，
由2
14212cos
33
DB π
=+-⨯⨯⨯=，
由222AB AD DB =+，得AD BD ⊥，
以D 为原点，以DA ，DB ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
(0D ，0，0)，(0B 0)，(1M -1)，(1N ，0，1)，
(0DB =0)，(1DM =-，1)，(1DN =，0，1)，
设平面MBD 的一个法向量为
(m x =，y ，)z ，
由·30·
30m DB y m DM x y ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，令1x =，得(1m =，0，1)，
设平面NBD 的一个法向量为(n a =，b ，)c ，
由·30·
0n DB b n DN a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，令1a =，得(1,0,1)n =-，
由cos ,02
2
m n <>=
=，
所以二面角N BD M --为
2
π
，正弦值为1．
【点睛】本题考查线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，以及利用空间向量法求法向量，夹角公式求二面角的余弦值，还考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力、空间想象能力和计算能力.
19.已知以F 为焦点的抛物线2
:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，
M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.
（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程. 【答案】（1）(2,2)M ；（2）6y x =-. 【解析】 【分析】
（1）将P 代入抛物线方程，求得p 的值，根据向量的坐标运算，即可求得M 的值；
（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得M 的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程； 方法二：设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程．
【详解】解：（1）将(1,2)P -代入抛物线2
:2C y px =方程，得2p =，
所以C 的方程为2
4y x =，焦点(1,0)F ，
设0(M x ，0)y ，当3λ=时，3OM OP OF +=，可得(2,2)M ． （2）方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，
由OM OP OF λ+=．可得0(1x +，02)(y λ-=，0)，所以02y =， 所以直线l 的斜率存在且斜率1212120
42
1y y k x x y y y -=
===-+， 设直线l 的方程为y x b =+，联立24y x b
y x
=+⎧⎨=⎩，消去y ，
整理得22
(24)0x b x b +-+=，
△22(24)416160b b b =--=->，可得1b <，
则1242x x b +=-，212x x b =，2
121212()4y y x x b x x b b =+++=，
所以21212412OA OB x x y y b b =+=+=， 解得6b =-，2b =（舍)， 所以直线l 的方程为6y x =-． 方法二：设直线l 的方程为x my n =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，
联立方程组24x my n
y x
=+⎧⎨=⎩，消去x ，
整理得2
440y my n --=，△216160m n =+>，
则124y y m +=，124y y n =-，
则2
1212()242x x m y y n m n +=++=+，
则2(2M m n +，2)m ，由OM OP OF λ+=． 得2(21m n ++，22)(m λ-=，0)，所以1m =， 所以直线l 的方程为x y n =+， 由△16160n =+>，可得1n >-，
由124y y n =-，得2
21212()16
y y x x n ==，
所以21212412OA OB x x y y n n =+=-=， 解得6n =或2n =-，（舍去） 所以直线l 的方程为6y x =-．
【点睛】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题． 20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）以这1000名患者的
潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
【答案】（1）5.4天；（2）列联表见解析，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）最有可能是8人. 【解析】 【分析】
（1）根据统计数据计算平均数即可；
（2）根据题意补充完整列联表，计算2K ，对照临界值得出结论；
（3）根据题意知随机变量2
~(20,)5
X B ，计算概率()P X k =，列不等式组并结合题意求出k
的值．
【详解】解：（1）根据统计数据，计算平均数为：
1
18532055310725091301115135 5.41000
x =
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）天. （2）根据题意，补充完整的列联表如下：
则22
(65455535)20025
1208010010012
K ⨯-⨯⨯==
⨯⨯⨯ 2.083≈， 经查表，得2 2.083 3.841K ≈<，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.
（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为
4002
10005=， 设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则2
~(20,)5
X B ，
2020
23()55k k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，0k =，1，2， (20)
由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩
得201191202020121120202323555523235555k k k k k k k k k k
k k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
， 化简得3(1)2(20)2(21)3k k k k
+≥-⎧⎨
-≥⎩，解得374255k ≤≤, 又k ∈N ,所以8k =,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.
【点睛】本题考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值，考查分析问题、解决问题的能力，处理数据能力.
21.已知函数()e ln(1)x
f x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；
（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a
-上不单调，证明：
111
a a a +>+. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）求导后，分0a 及0a >讨论即可得出结论；
（2）结合题意分析可知1a e lna a -+->，由11a e a -+及11lna a -可证11
11
a e lna a a -+>+-+，进而得出结论．
【详解】解：（1）易知(1)(),11
x x e a
f x x x --'=
>-， ①若0a ，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，
∴函数()f x 无极值点，即此时极值点个数为0；
②若0a >，易知函数x
y e =的图象与(0)1
a
y a x =
>-的图象有唯一交点0(M x ，0)y ， ∴0
00,11
x
a
e x x =
>-， ∴当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，
当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，函数()f x 在0(x ，)+∞上单调递增，
∴函数()f x 有较小值点0x ，即此时函数()f x 的极值点个数为1；
综上所述，当0a 时，函数()f x 的极值点个数为0； 当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1； （2）证明：
函数()f x 在区间(1,1)a e -+上不单调，
∴存在0(1,1)a x e -∈+为函数()f x 的极值点，
由（1）可知，0a >，且1(1)0a
a e a a
e e
f e e
a --+---+=>，即1a
a e e a --+>， 两边取自然对数得1a a e lna --+>，即1a e lna a -+->， 要证
111
a a a +>+，不妨考虑证11
11a e lna a a -+
>+-+， 又易知1x e x +，
∴11
1
a a e e a -=
+，即
11a e a -+， 又1
11
a
e
a
-， ∴1
1a e a -，
∴11lna a -，即11lna a -， ∴
1111a e lna a a -++-+， ∴111
a a a +>+． 【点睛】本题考查导数的综合运用，主要考查利用导数研究函数的极值及证明不等式，考查转化思想，放缩思想，分类讨论思想及推理论证能力，属于难题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4－4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos ,sin ,
x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）直线1C 与2C 相交于,E F 两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若
2EF PE PF =+，求直线1C 的普通方程．
【答案】（1）()2224x y +-=；（2）0x -+=
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标方程公式计算得到答案.
（2）参数方程代入方程得到()24sin 120t t αα-++=，化简2EF PE PF =+得
到213t t =，计算122,6t t ==，故4sin 8αα+=，计算得到答案.
【详解】（1）4sin ρθ=，即24sin ρρθ=，故224x y y +=，即()2
224x y +-=.
（2）P 的直角坐标系坐标为()
-，将cos sin x t y t αα⎧=-⎪⎨=⎪⎩代入圆方程得到： ()
()22
cos sin 24t t αα-+-=，化简整理得到：()24sin 120t t αα-++=.
根据图像知：不妨设120t t <<
，2EF PE PF =+，即()21122t t t t -=+，即213t t =，
1212t t =，故122,6t t ==，故43cos 4sin 8αα+=，即sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， 根据图像知：02πα<<，故6π
α=，验证满足>0∆.
故323212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即3230x y -+=.
【点睛】本题考查了极坐标方程，直线的参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 选修4－5：不等式选讲
23.已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：
（1）1119a b c
++≥； （2）8.27
ac bc ab abc ++-≤ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）变换1113b a c a c b a b c a b a c b c
++=++++++，利用均值不等式得到答案. （2）()()()111ac bc ab abc a b c ++-=---，利用三元均值不等式得到答案.
【详解】（1）1a b c ++=，故111a b c a b c a b c a b c a b c
++++++++=++ 332229b a c a c b a b a c b c =++++++≥+++=，当13
a b c ===时等号成立. （2）易知10,10,10a b c ->->->.
()()()()1111ac bc ab abc a b c ac bc ab abc a b c ++-=-+++++-=---
31118327a b c -+-+-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
. 当13
a b c ===时等号成立. 【点睛】本题考查了根据均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式的应用能力.。