人教版导数及其应用多选题测试基础卷

人教版导数及其应用多选题测试基础卷
一、导数及其应用多选题
1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都
有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()3
2
1f x x x =-+
B ．()21x
f x e x =--
C ．()3ln 1,0
()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩
D ．4()sin f x x x =
【答案】BC 【分析】
运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】
解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；
0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0
()0x f x <⎧⎨'<⎩
；
当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，
即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()3
2
1f x x x =-+，()2
132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由
()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得2
3
x ≥
，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；
B 中，()21x
f x e x =--，()21x
f x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0
x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21x
f x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，
令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，
∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,
x x f x x x ⎧-+≤=⎨
>⎩，当0x <时，31
()01
f x x =
<-'，当0x >时，
3()20f x '=>，符合条件②，
∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1
()201
F x x '=
-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，
∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；
D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，
而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】
本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．
2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）
A ．cos 2
x x π
+<
B ．22x
x <
C ．sin 2
x >D ．1
ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】
构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，即可得sin 22
x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y
x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin
2
x
f x =，
()h x =
的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在
()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02
2
x π
π
<
-<
，令()sin f x x x =-，
()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()()00f x f <=，
即sin x x <，所以sin 22
x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正
确， 对于选项B ：
由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；
对于选项C ：要证2
2
sin 2
4
x
x x >
+ 令()sin 2x f x =，()2
2
4
x
h x x =+()()f x f x -=-，()sin
2
x
f x =是奇函数， ()()h x h x -=，()2
2
4
x h x x =
+是偶函数， 令222
4
144
x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2
4
14
t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()2
2
4
x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：
由图知当()0,1x ∈时2
2
sin 2
4
x
x x >
+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()22111
0x g x x x x
-'=-=<， 所以()1
ln 1x g x x
=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x
+
->，可得1
ln 1x x >-，故选项D 不正确.
故选：ABC 【点睛】
思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）
一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
3．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
4．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公
共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴213
x x -==≥
，B
对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
5．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x
+'∴=+=>， 当
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，
函数()f x 和()h x
的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e
y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
6．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得
()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中
正确的是（ ）
A ．函数()2g x =-是函数ln ,0
()1,0x x f x x >⎧=⎨
⎩
的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数
C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e
D ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】
由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】
解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；
对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()x
h x e ax =-，则()x
h x e a '
=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，
∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，
若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，
综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x
f x e =的一个承托函数，故C 正确；
对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】
方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
7．对于函数2ln ()x
f x x
=，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点
C ．f
f f <<
D ．若()21
f x k x
<-
在()0,∞+上恒成立，则2
e k >
【答案】ACD 【分析】
求得函数的导数3
12ln ()-'=
x
f x x
，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判
定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >
()0f x >，可判定B 不正确；
由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()22
1ln 1x k f x x x +>+
=在()0,∞+上恒成立，令()2
ln 1
x g x x +=
，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】
由题意，函数2
ln ()x f x x
=，可得312ln ()(0)x
f x x x -'=>，
令()0f x '=，即3
12ln 0x
x
-=，解得x =
当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；
当x >
()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，
所以当x =
()f x 取得极大值，极大值为1
2f e
=
，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，
因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，
当x >
()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，
综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；
由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，
由于ln 2ln ,42f f π
π
=
===
，
则2ln ln 2ln ln 22444f f π
πππππ
-=-=-
，
因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，
所以f
f f <<，所以C 正确；
由()2
1
f x k x
<-
在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()3
2ln 1
x g x x
--'=，
令()0g x '=，即
32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x
<<
()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x
>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x
=
()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2
e k >，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
8．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】CD
【分析】
求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.
【详解】
解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-，
∴()()()()()
12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+， ①若0a =，那么()()0202x
f x x e x =⇔-=⇔=， 函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；
②若0a >，那么20x e a +>恒成立，
当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；
当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；
此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，
由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；
当1x <时，x e e <，210x -<-<，
∴()()()()()22
2121x f x x e a x x e a x =-+->-+-
()()211a x e x e =-+--，
令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；
即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；
③若02
e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，
()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()(
)120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()
(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，
由()()()()()2
ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<
得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；
④若2
e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()(
)120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，
函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若 2
e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()(
)120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()(
)120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当1x =时，函数取极大值，
由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，
故选：CD.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.。