2022版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第7讲二项分布与正态分布课件

A．0.960 C．0.720 【答案】B
B．0.864 D．0.576
4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道
一年中下雨天的比例甲市占 20%，乙市占 18%，两地同时下雨占 12%，
记 P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则 P(A|B)和 P(B|A)分别为
【变式精练】
1．(1)(2020 年武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，
每人只去一个景点，设事件 A 为“4 个人去的景点不相同”，事件 B 为
“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)＝
()
A．92
B．13
C．49
D．95
(2)(2019 年江西模拟)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，
()
A．31，52
B．23，25
C．23，35
D．21，53
【答案】C 【解析】由已知，得 P(A|B)＝PPABB＝00..1128＝23，P(B|A)＝PPAAB＝00..122 ＝35.
5．(2020 年天津)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两 球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________； 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
4.正态分布
(1)正态曲线：函数 φμ，σ(x)＝ 21πσe－x－2σμ2 2，x∈(－∞，＋∞)，其
中 μ 和 σ 为参数(σ>0，μ∈R)，我们称函数 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度 曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴_上__方___，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线_x_＝__μ__对称；
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在__相__同__条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．Ai(i＝ 1,2，…，n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝_P_(_A_1_)P__(A_2_)_…__P_(_A_n_) .
(2)二项分布
在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验
A．83
B．27
C．28
D．73
【答案】B
2．(2019 年郑州期末)将 3 封不同的信投入 3 个不同的信箱，记事件
A 为“至少有 1 个信箱为空”，事件 B 为“恰好有 2 个信箱为空”，则
P(B|A)＝
()
A．71
B．18
C．114
D．134
【答案】A
3．如图，用 K，A1，A2 三类不同的元件连接成一个系统．当 K 正常 工作且 A1，A2 至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知 K，A1，A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为 ( )
③曲线在__x_＝__μ_处达到峰值σ
1； 2π
④曲线与 x 轴之间的面积为___1_； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着__μ__的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ_越__小___，曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中；σ_越__大___，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 分散，如图乙所示．
2
重难突破 能力提升
条件概率
从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A：“取到的 2 个数之
和为偶数”，事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝ ( )
A．81
B．14
C．25
D．21
【答案】B
【解析】P(A)＝C23＋C25C22＝140，P(AB)＝CC5222＝110.由条件概率计算公式，
【答案】16
2 3
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入 盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16.甲、乙两球都不 落入盒子的概率为1－21×1－13＝31，所以甲、乙两球至少有一个落入盒 子的概率为 1－13＝23.
6．(2019年大庆期末)若ξ～N(5，σ2)，且P(4＜ξ＜5)＝0.25，P(6＜ξ ＜7)＝0.15，则P(ξ＜3)＝________.
独立重复试验与二项分布
甲连胜四场的概率为214＝116； 乙连胜四场的概率为214＝116；
丙上场后连胜三场的概率为213＝81； 所以需要进行第五场比赛的概率为 1－116－116－81＝43. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的 胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率
【常用结论】 1．条件概率的取值范围：0≤P(B|A)≤1. 2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用两点：正态曲 线关于直线x＝μ对称，正态曲线与x轴之间的面积为1.
1．袋中有 3 红 5 黑共 8 个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个
小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为 ( )
()
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表
示事件A，B同时发生的概率．
()
(6)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰
好第 3 次测试获得通过的概率是 p＝C31·131·1－133－1＝94.
()
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
条件概率的性质
设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0，
(1)0≤P(B|A)≤1；
PAB
称 P(B|A)＝_P__A___为在事件 A 发生 (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则
的条件下，事件 B 发生的条件概率 P(B∪C|A)＝__P_(_B_|A__)＋__P__(C__|A_)__
2.事件的相互独立性 (1)定义 设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_)，则称事件 A 与事件 B 相互独立． (2)性质 ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝_①__P_(B__)，P(A|B)＝__P__(A__) __， P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_). ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也都相互 独立．
这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师
傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件
下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为
()
A．130
B．29
C．78
D．97
【答案】(1)A (2)D
【解析】(1)小赵独自去一个景点共有 4×3×3×3＝108 种情况，即 n(B)＝108,4 个人去的景点不同的情况有 A44＝24 种，即 n(AB)＝24，所以
【答案】0.1
【解析】依题意，因为 ξ～N(5，σ2)，根据正态曲线的对称性，P(ξ ＜3)＝12[1－P(3＜ξ＜7)]＝12[1－2×P(4＜ξ＜5)－2×P(6＜ξ＜7)]＝21(1－ 0.5－0.3)＝0.1.
互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系． (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相 互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影 响．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．
()
(2)相互独立事件就是互斥事件．
()
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． ( )
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通
项公式，其中a＝p，b＝1－p.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都 为12.
(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解：(1)甲连胜四场的概率 p＝214＝116. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况：
第十一章
计数原理、概率、 随机变量及其分布
第7讲 二项分布与正态分布
考点要求
考情概览
1.了解条件概率与两 考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高
个事件相互独立的概
考中的一个热点．预测本年度将会考查：①条
念(重点)．
件概率的计算；②事件独立性的应用；③独立
2．能够利用n次独立 重复试验与二项分布、正态分布的应用．题型
【特别提醒】 1．独立重复试验的条件： (1)每次试验在相同条件下可重复进行； (2)各次试验是相互独立的； (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： (1)是否为n次独立重复试验； (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
1
得 P(B|A)＝PPAAB＝
10 4
＝41.
10
【解题技巧】条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PPAAB求 P(B|A)． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事 件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
中事件 A 发生的概率是 p，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 _X_～__B_(_n_，__p_)_，并称 p 为_成__功__概__率_．在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好 发生 k 次的概率 P(X＝k)＝_C__knp_k_(_1_－__p_)n_－_k(k＝0,1,2，…，n)．
甲
乙
(3)正态分布的定义及表示： 如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)等于由直线 x＝a，x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积，则称随机变量X服 从正态分布，记作___X_～__N__(μ_，__σ_2_)___． 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝_0_.6_8_2__6； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0_._9_5_4_4_； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝_0_.9_9_7__4.
P(A|B)＝nnABB＝12048＝92. (2)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第 2 次抽
到的是卡口灯泡”，则 P(A)＝130，P(AB)＝130×79＝370，则所求概率为 P(B|A) 7
＝PPAAB＝330＝79. 10
相互独立事件的概率
(2020 年新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定 赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另 一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空， 直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中 一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
【变式精练】
2．(2019 年濮阳二模)如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是12，
且是相互独立的，则灯亮的概率为
()A．1Βιβλιοθήκη 6B．34C．1136
D．41
【答案】C
【解析】灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开；②丙、丁 2 个 都开，甲、乙 2 个中有一个开，所以灯泡不亮的概率是12×12×12×12＋12×12 ×12×12＋12×12×12×12＝136.因为灯亮和灯不亮是两个对立事件，所以灯亮 的概率是 1－136＝1136.
分别为116，81，81. 因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝176.
【解题技巧】 1．求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此 互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算． 2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时， 可从其对立事件入手计算．
试验的模型、二项分
为解答题，试题难度不会太大，属中档题型．
布及正态分布解决一
学科素养：主要考查数据分析、数学模型、数
些简单的实际问题(难 学运算的素养
点)
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基础整合 自测纠偏
1.条件概率
条件概率的定义