2020届江苏省高三上学期八校联考数学(理)试题(PDF版)【附参考答案】

江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考
数学理试卷
2019．10
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B ＝ ． 答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数
15i
1i
--＝ ． 答案：2i 3-+
3
答案：11
4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．
答案：1000
5．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：
14
6．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，且2
cos 3
α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣2
7．将函数sin()3y x π
=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左
平移
3
π
个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26
y x π
=-
8．已知函数23log (1)3
()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．
答案：7
9．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ．
答案：10．已知θ∈[0，
4
π]，且1cos 43θ=-，则44sin ()sin ()44ππ
θθ+--= ．
11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB
＝，AC ＝6，1AE ED 2
=u u u r u u u r ，则AE EB ⋅u u u r u u u r
＝ ．
答案：14
12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg
1x
f x x
+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ． 答案：
211
13．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()
y f x =和()y g x =均相切，则b
a
最大值是 ． 答案：e
14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ． 答案：0a <或1a =
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}
1x x m x R -≥∈，．
（1）求集合A ；
（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,
x x -+<
即(3)(43)0x x --<---5分，得3
(,3)4
A = -------7分
（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分
因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分
即需31314m m +≤≤-或得1
44
m m ≤-≥或-------13分
所以实数m 的取值范围是1
(,][4,)4
-∞-⋃+∞------14分
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．
（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．
证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，
DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ， 且EF ＝DC ＝
1
2
AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分
又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分 注：（证面面平行也同样给分）
（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD
又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，
所以AB ⊥平面P AD ----11分
ED ⊂平面P AD ，故ED ⊥AB ．-------12分
又PD ＝AD ，E 为P A 的中点，故ED ⊥P A ；---------13分
P A I AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以ED ⊥平面P AB ----------14分 17．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝
3
5
． （1）若9
CB CA 2
⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；
（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，y u r ＝(cos B ，B
cos 2
)，且x r ∥y u r ，b ＝，求a 的值．
解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝9
2
． ………2分
又因为cos C ＝
35，所以ab ＝92cos C
＝15
2． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝
45
． 所以△ABC 的面积S ＝1
2ab sin C ＝3． ………6分
（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B
2
＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分
因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．
因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝
3
π
． ………………10分
所以3144sin sin()sin cos cos sin 252510
A B C B C B C +=+=+=+⨯=----12分
由正弦定理，
4sin sin a b a A B =⇒==+分 18．（本小题满分16分）
已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．
（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；
（2）如图2，若电热丝由弧»AB
，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．
图1 图2
【解】设， -------1分
（1），------2分，
----------3分
总热量单位--------5分
当
时，
取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分
答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分
（2）总热量单位
，
，----10分 ()48sin g θθ'=------11分
令，即，因，所以，-------12分 当时，，
为增函数，当
时，，
为减函数，----14分
当
时，
取最大值，此时米.-----15分
答：应设计长为
米，电热丝辐射的总热量最大.----16分
19．（本小题满分16分）
设常数a ∈R ，函数2()2x x a
f x a +=-．
（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；
（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，求实数a 的取值范围．
解(1)1a =时，12212
()1,,(0,),2121
x x
x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x < 21121212222(22)
()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。

---3分
法二：(0,)x ∈+∞，2
2
()2ln 20(21)
x x f x '=-
<-，所以()y f x =在(0,)+∞上递减。

（2）0a =时()1f x =满足()()1f x f x -==，()y f x =为偶函数。

----4分
1a =时21(),21x x f x +=-定义域{}0x x ≠，且2112()()2112x x x x
f x f x --++
-===---
，()y f x =为奇函数。

-----6
分
01a a ≠≠且时，定义域为{}2log x x a ≠因21,log 0a a ≠∴≠，
定义域不关于原点对称----7分，因此()y f x =既不是奇函数也不是偶函数。

-----8分
（3）22()122x x x a a
f x a a
+==+-- ①当0a >时，()y f x =在2(log ,)a +∞和2(,log )a -∞上递减
则
2122(*)2122n
m m n
a a
a a
⎧+=⎪⎪-⎨
⎪+=⎪-⎩两式相减得
222(22)22222(2)(2)222(2)(2)2n m n m n m m n
n m n m n m
a a a a a a a a a a a a a
--=-=-=--⇒=------即得2再代入得（*）1(2)2,1(21)(21)2n n m n a a +-==∴--=此方程有解，如21,log 3m n ==
因此1a =满足题意。

----------11分
②当0a <时，()y f x =在(,)-∞+∞递增，有题意()y f x =在[,]m n 上的值域为[2,2]m n 知2122(**)2122m
m n
n a a a a
⎧+=⎪⎪
-⎨⎪+=⎪-⎩即,m n 是方程2122x x
a a +=-的两根 即方程2(2)(1)20x x a a -+-=有两不等实根，
令20,x t =>即2(1)0t a t a -+-=有两不等正根。

--------13分
即需21212(1)40
3310
13000a a a a t t a a a a t t a ⎧⎧∆=++>>-+<--⎪⎪
+=+>⇔>-∴-+<⎨⎨⎪⎪<=->⎩⎩------15分 综上{
}1(3a ∈⋃-+-----------------16分 20．（本小题满分16分）
设函数()ln b
f x ax x x
=+
-(x ＞0，a ，b ∈R)． （1）当b ＝0时，()f x 在[1，+∞)上是单调递增函数，求a 的取值范围； （2）当a ﹣b ＝1时，讨论函数()f x 的单调区间；
（3）对于任意给定的正实数a ，证明：存在实数0x ，使得0()0f x >． 解：(1) 当0b=时，()ln f x ax x =-；
因()f x 在[1,)+∞上是单调递增函数，则1()0f x a x '=-…，即1
a x
…对[1,)x ∈+∞恒成立，
则max 1()a x
…． ………1分
而当[1,)x ∈+∞，1
1x
…，故1a …
．故a 的取值范围为[1,)+∞． ………3分 (2) 当1a b -=时，()1
ln a f x ax x x -=+-，2222
111(1)((1))()a ax x a x ax a f x a x x x x --+----'=+-=
=． ①当a ≤0时，
令()0f x '>，得(0,1)x ∈，令()0f x '<，得(1,)x ∈+∞，
则 ()f x 的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞； ……5分
②当102a <<时，2
1(1)()
()a
a x x a f x x ---'=. 令()0f x '>得，01x <<，或1a
x a
->，
令()0f x '<得， 11a
x a
-<<，
则 ()f x 的单调递增区间为(0,1)，1(
,)a a
-+∞，递减区间为1(1,)a
a -； ……7分 ③当12a =时，2
2
(1)()02x f x x -'=…，当且仅当1x =取“=”.
则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间. ……8分
④当112a >>时，2
1(1)()
()a
a x x a f x x ---'=. 令()0f x '>得，10a x a -<<，或1x >，令()0f x '<得，
11a
x a
-<<， 则 ()f x 的单调递增区间为(0,1)a a -，(1,)+∞，递减区间为1(,1)a
a -； ……9分 ○5当1a ≥时，2
1(1)()
()a
a x x a f x x ---'=
，令()0f x '>得，1x >，令()0f x '<得， 01x <<， 综上所述，当a ≤0时，单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞；
当102a <<时，单调递增区间为(0,1)，1(
,)a a -+∞，递减区间为1(1,)a
a -； 当1
2a =时，单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；
当112a >>时，单调递增区间为(0,
1)a a -，(1,)+∞，递减区间为1(,1)a
a
-； 当1a ≥时，单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，…10分 (3)
先证ln x <
设()ln p x x =-0x >,
则1()p x x '=
=， (0,1)x ∈，0y '>，则()p x 在(0,1)x ∈单调递增；
(1,)x ∈+∞，0y '<，则()p x 在(0,1)x ∈单调递减；
则()(1)20p x p =-<…
，故ln x <. ………12分
取法1：取0x =11x +
，其中2
1x =
为方程||0ax b -=的较大根.
因0x =111x +>，则00||
||b b b x x -
>-…， 因0x =111x x +>
，则01||||0ax b ax b ->-=，
故00000
()ln ||0b
f x ax x ax b x =+
->--> 所以对于任意给定的正实数a ，存在实数0x ，使得 0()0f x >． ………16分
取法2：取0x =2||2()1b a ++
，则22||b ->=，
则00000000
()ln 0b b
f x ax x ax x x =+
->+->>. 对于任意给定的正实数a ，所以存在实数0x ，使得 0()0f x >． ………16分
附加题
21．【选做题】本题包括,,A B C 三小题，每小题10分. 请选定其中两题（将所选题空白框涂黑）．．．．．．．．．．．．．．．．．，并在相应．．．．的．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A .[选修4 - 2：矩阵与变换]
已知矩阵M 121a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,7)P 在矩阵M 的变换下得到点(15,9)P '，
（1）求实数a 的值；
（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量. 解：（1）由121a ⎡⎤⎢
⎥
⎣⎦17⎡⎤⎢⎥⎣⎦=159⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， ∴1715a +=，解得2a =. ………4分 （2）由（1）知M 1221⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，则矩阵M 的特征多项式为 21
2
()(1)(1)42321
f λλλλλλλ--=
=---=---- 令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与3. …………6分 当1-=λ时， 220
220x y x y --=⎧⎨
--=⎩
，解得0x y +=
∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
; …………8分 当3λ=时， 220
220x y x y -=⎧⎨
-+=⎩
，解得x y =
∴矩阵M 的属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. …………10分
B .[选修4 - 4：坐标系与参数方程]
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断
直线12:12x t l y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．
解：把直线方程12:12x t
l y t =+⎧⎨=-⎩
化为普通方程为2x y +=． …………………3分
将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，
即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分 圆心C 到直线l
的距离d =
=-------8分 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分 C .[选修4 - 5：不等式选讲]
已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a
c
.
法一：因为,,a b c 均为正数，则
2222222222222222222222
22222()2()2a b a b c c b c b a b c a b c a b c b c a c a a b c a c a b b c a a b c c a c
a
b b ⎧+≥⎪⎪⎪
⎪
+≥=
⇒++≥++⇒++≥++⎨⎪
⎪⎪+≥=
⎪⎩同理
法二：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2＋⎝⎛⎭⎫b c －c a 2＋⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得2⎝⎛⎭⎫a 2b 2＋b 2c 2＋c 2
a 2－2⎝⎛⎭
⎫a b ＋b c ＋c
a ≥0， ∴a 2
b 2＋b 2
c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a
c
.(10分) 【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2
1
与p ，且乙投球2次均未命中的概率为
16
1. （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布表和数学期望. 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得()()()16
1
112
2
=
-=-p B P 解得43=
p 或4
5
（舍去），所以乙投球的命中率为43--------3分
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()()
()()
4
1
,43,21,21====B P B P A P A P
ξ可能的取值为0，1，2，3，-----------------4分
故()()()
32
1
412102
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ---------------5分
()()()()()()
32
7
2141432412132
1412112
2
1
2=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⋅==A P B P B P C B B P A P P ξ--------------6分
()()()32
9
432132
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ------------7分
()()()()32
15
31012=
=-=-=-==ξξξξP P P P ---------------8分 ξ的分布表为
--------------9分
ξ的数学期望232
933215232713210=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ----------------10分
23.设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：
① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有
221
2l
i i k a =-∑
≤．
（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ； （2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ． 解：（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，
所以22222n
n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=14243个相乘
；
（3分） （2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠，
所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，
不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则
1
221
2j j k i i k a +=->∑
=4）
； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，------5分 这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， 又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，
所以，11222C 2
2C 22C n n n
n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+------7分 11222(2+C 2
C 2C )22n n n n n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 2(12)22n n =+-⨯ 2(32)n n =-．（------10分）。