芝诺

芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客 观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。
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三个例子
飞矢不动
追乌龟
游行队伍
阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他 在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时， 乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时， 乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自 己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！ “乌龟”动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已 经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩 笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然后，他又 用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴 门尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢 跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的 出发点在等着它，有无限个这样的出发点。芝诺当然知道阿喀琉斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。类 似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要 的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题 出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖 论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。以上初等数学的解决办法，是从结果 推往过程的。
芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F．卡约里(Cajori)说，“芝诺 悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下 来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。
直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只 不过是一些有趣的谬见。
芝诺
两分法
芝诺：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如 此循环下去，永远不能到终点。假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的 1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。实际上是 这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”芝 诺与庄子悖论的区别为芝诺悖论一定时间内行走的距离不变（即速度不变），而庄子时间不变，这段时间里的工 作却越来越少（速度越来越慢），可以看出芝诺限制了时间，而庄子的理论可以使时间为无穷大。
首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动 一个距离单位。
■■■■观众席A ▲▲▲▲队列B ▼▼▼▼队列C B、C两个列队开始移动，相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 ■■■■观众席A ▲▲▲▲队列B（向右移动） ▼▼▼▼队列C(向左移动) 而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距 离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。 因此队列是移动不了的。
英国数学家B．罗素(Russell)感慨地说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常 了．死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖 论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连 续驳斥之后，这些“诡辩”才得以正名，…。”
在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即 将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。”
公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共 推出了40个各不相同的悖论。
个人理论
芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲 学悖论。
芝诺生活在古希腊的埃利亚城邦，是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友。有关他 生平的文字记载较少。
人物生平
芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友．关 于他的生平，缺少可靠的文字记载。
柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中说： “巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂．那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴 门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构，然而柏拉图在书中记述的 芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。
据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护，但是不像他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”， 是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑 的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺 有一本著作《论自然》。
设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没 有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭 总是静止的，它不可能在运动。上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况，时刻将是时间的最小 单元。假设箭在这样一个时刻中运动了，那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具 有一个起点和一个终点，从而至少包含两部分。但这明显与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。因此，即 使时刻有持续时间，飞行的箭也不可能在运动。总之，飞矢不动。箭悖论的标准解决方案如下：箭在每个时刻都 不动这一事实不能说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关，而是与时刻间发生什么有关。如果一个物体在 相邻时刻在相同的位置，那么我们说它是静止的，反之它就是运动的。
历史评价
虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的 名字会从数学史上一笔勾销．正如美国数学史家E．T．贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下 了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。
”芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考 察．虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对 话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉 图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。 欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度 量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很 难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。
芝诺
古希腊哲学家，埃利亚学派代表人物
01 人物生平
03 悖论学说 05 两分法 06 历史评价
芝诺 （约前490-前425），英文Zeno of Elea，出生地为意大利半岛南部的埃利亚。古希腊数学家、哲学家， 以芝诺悖论著称。
芝诺悖论是一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。由于量子的发现，这些芝诺悖论已经得到完善的解决。
19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道， 而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡 辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。
悖论学说
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师 巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不 动”。这些方法可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存 在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖 论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表 的机械论的分歧点。