张掖市2013年4月联考试卷数学

张掖市2013年4月联考试卷数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1. 设全集U R =，集合{}2A x |x x 20=--≥，{}B x |2=<，则图1中阴影部
分表示的集合为（ ）
A. ()1,4-
B. (]1,0-
C. [)0,2
D. [)2,4
2．复数(z a 3i =-+（a R ∈）是纯虚数，则
2013
a i
1ai
+-的值为（ ）
A. i
B. i -
C. 1
D. 1-
3. 一质点受到平面上的3个力1F ,2F ,3F
（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知1F ,2F 成60
角，且1F ,2F 的大小分别为2和4,则3F
的大小为（ ）
A. B. 6 C. D. 2
4. 已知数列{}n a 是等比数列，且59a a 6+=，7a 3=，则113a a +的值为（ ）
A. B. C. 54 D. 90
5. 已知函数()()f x A sin x ωϕ=+（A 0>，0ωπ<<）为偶函数，该函数的部分图象如图2所示，A B C ∆是斜边为4的等腰直角三角形，则()f 2013的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
6. 如图
3所示的程序框图表示求式子
3
3
3
3
3
3
2511234795
⨯⨯⨯⨯⨯的值，则判断框内可以填的条
件为（ ）
A. i 90≤
B. i 100≤
C. i 200≤
D. i 300≤
7. 如图4所示，旋转一次圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a ，落在圆盘中2分处的概率为b ，落在圆盘中0分处的概率为c （()a ,b ,c 0,1∈）.已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分，则12a 3b
+的最小值为（ ）
A.
253
B.
256
C. 323
D.
163
8. 已知直线y kx b =+与椭圆22x 2y 3+=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线条数是（ ） A.8 B. 12 C.
14
D.
15
9. 设函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.22-=-，
[]1.21=.又函数()2
4x g x 3
-=
，()f x 在区间()1,1-上零点的个数记为m ，()
f x 与()
g x 图象交点的个数记为n ，则()n
m
g x dx ⎰的值是（ ）
A.0
B. 769
-
C. 749
-
D. 29
-
10. 如图5, 1F ,2F 是双曲线C :
222
2
x y 1
a
b
-
=（a 0,b 0>>）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线
C
的左、右两支分别交于点A,B ，若2A B F ∆为等边三
角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. 4
B.
C.
3
D.
11. 已知定义在R 上的函数()y f x =，其图象为连续不断的曲线，且满足
()()f 4x f x +=-，()()/
x 2f
x 0->，
则“()()f x f x 2>+
”
是“x 1<” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 函数()f x 是R 上的增函数且()()f sin f cos ωω+-()()f sin f cos ωω>-+，其中ω是锐角，并且使得函数()3g x sin x 4πω⎛
⎫=-
⎪⎝⎭在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A. 15,26⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B. 5,62π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C. 1,24π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D. 5,46π⎛⎤
⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设x ,y 满足约束条件x 10
x y 10x y 20+≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，
则z 4x y =-+的最大值为 .
14. 已知正三棱锥的三视图为如图6所示，其中正视图是边长为2的正三角形，则该正三棱锥的侧面积为 .
15. 过抛物线2y 8x =的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点，O 为坐标原点，若A F 8=，则A O B ∆的面积为 .
16.底面边长为4的正四棱柱（高h 6>）形的容器，先放入一个半径为2的球，然后再放入一个半径为1的球，则小球的最高点距棱柱底面的距离为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本题满分12分，每小题6分）
已知首项1a 1=的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，对于一切*k N ∈，总有
()22
k
k S S =成立.
（1）求通项n a ；
（2）若数列{}n a 的公差d 0>，求数列n
n n n 1
1
a 2a a +⎧⎫+⋅⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n S .
18．（本题满分12分，每小题6分）
某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响.预计明年雨水正常的概率为
23
，雨水偏少的概率
为13
.若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2100公斤，单价为6元/公斤的概率为15
，
单价为4元/公斤的概率为45
；若雨水偏少，A 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单
价为6元/公斤的概率为
34,单价为4元/公斤的概率为14
.
（1）求明年农民种植A 种蔬菜不亏本的概率；
（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式.某公司为不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，每亩产量为2500公斤，农民生产的A 种蔬菜全部由公司收购，单价定为4元/公斤,,那么采用订单式后农民每亩预期纯收入增加多少？
19. （本题满分12分，每小题6分）
如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等, 点1B 在平面ABC 上的射影O 为A B 的中点.
（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ； （2）求二面角1C AB B --的余弦值.
20．（本题满分12分，每小题6分）
已知抛物线C :2x 2py =()p 0>的焦点为P
F 0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭，准线为l ，点
()00P x ,y ()0y p >为抛物线C 上的一点，且F O P ∆的外接圆圆心到准线的距离为
32
.
（1）求的抛物线C 的方程；
（2）若圆F 的方程为()2
2x y 11+-=，过点P 作圆F 的两条切线分别交x 轴
于点M ,N ，求P
M N ∆面积最小时的0y 的值.
21．（本题满分12分，分别为3分，4分，5分）
已知函数()21f x x 4
=+
，()()1g x ln 2ex 2
=
（其中e 为自然数）
（1）求()()()F x f x g x =-()x 0>的最小值； （2）探究：是否存在常数m ，使得函数21y g 3x m 1x ⎛⎫
=++-
⎪⎝⎭
的图象与
()y f x =的图象恰好有三个不同的交点，若存在，求出m 的值，若不存在，请
说明理由；
（3）是否存在一次函数()h x kx b =+，使得()()()f x h x g x ≥≥对一切x 0>恒成立.若存在，求出一次函数()h x 的表达式；若不存在，请说明理由.
请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点
F ．
求证：（1） 2CE CE AC DE BE =⋅+⋅； （2） B C F E ,,,四点共圆．
23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ
=+⎧⎨
=⎩（φ为参
数）和cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩
（φ为参数），以
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．
（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；
（2）若射线O M : θα=与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ， 求||||OP OQ ⋅的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y 、22(,)Q x y 之间的直角距离为
1212(,)||||L P Q x x y y =-+-，已知点(,1)A x ，(1,2)B ，(5,2)C .
（1）若(,)(,)L A B L A C >，求x 的取值范围；
（2）当x R ∈时，若不等式(,)(,)L A B t L A C ≤+恒成立，求t 的最小值.。