一元二次二元一次基本不等式二轮复习专题练习(五)含答案新高考高中数学

高中数学专题复习
《一元二次二元一次基本不等式》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人得分
一、选择题
1．（汇编年高考北京卷（理））设关于x,y的不等式组
210,
0,
x y
x m
y m
-+>
⎧
⎪
+<
⎨
⎪->
⎩
表示的平
面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是（）
A．
4
,
3
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
B．
1
,
3
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
C．
2
,
3
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
D．
5
,
3
⎛⎫
-∞-
⎪
⎝⎭
2．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过
点(3,1)作圆22
(1)1
x y
-+=的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为（）
A．230
x y
+-=B．230
x y
--=C．430
x y
--=D．430
x y
+-=
3．设变量,x y满足约束条件
22,
24,
41,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪-≥-
⎩
则目标函数3
z x y
=-的取值范围是（）
A．
3
[,6]
2
-B．
3
[,1]
2
--C．[1,6]
-D．
3
[6,]
2
-（汇编山东
文理）
4．若1tan 3α=
，1cos 5
β=，且02πα<<，322π
βπ<<，则αβ+=_________．
5．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线
3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，||AB 的最小值
等于（ ） A ．
28
5
B ．4
C ．
12
5
D ．2(汇编福建理）)
6．若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．（1－a ）31＞（1－a ）2
1B ．log 1－a （1＋a ）＞0 C ．（1－a ）3＞（1＋a ）2
D ．（1－a ）
)
1(a +＞1（1994上海12）
7．设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：[www.z#zste&*p~.c@om] ①
c a ＞c b
；② c a ＜c
b ； ③ log ()log ()b a a
c b c ->-， 其中所有的正确结论的序号是
__.[中*国教育@^出~版网#]
A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③
8．设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪≥⎩
则目标函数z=4x+2y 的最大值为
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2（汇编天津文2
9．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域的面积等于
A.
3
2
B.
23
C. 4
3
D.
34
10．不等式组0, 32||,32x x x x x
>⎧⎪
--⎨>⎪++⎩的解集是-------------------------------------------------------------（ ）
(A){|02}x x << (B){|0 2.5}x x << (C){|06}x x <<
(D){|03}x x <<
11．不等式|x +log 3x |<|x |+|log 3x |的解集为--------------------------------------------------（ ）
A.(0，1)
B.(1，+∞）
C.(0,+∞)
D.(－∞,+∞)
12．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，
，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）（全
国二5） A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
13．设a >0，b >0，且ab －a －b －1≥0，则a ＋b 的取值范围为________．
14．关于x 的不等式0)1)(2(<--ax a x 的解为a
x 1
>或a x 2<，则实数a 的取值范围为 ．
15．不等式22
8()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 。

关键字：二元最值问题；恒成立；不等式；整体换元；二次齐次分式
16．已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A, 不等式x 2+x-6<0的解集 是B, 不等式x 2+ax+b<0的解集是A ⋂B, 那么a+b= .
17．若不等式2
220kx kx ++≠对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为 。

18．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤+-≤-+010*******x y x y x ，
则POQ ∠cos 的最小值为__________
19．若不等式2
50ax x c ++>的解集为11
{|
}32
x x <<，则a =_____，c =____
20．设x ，y 满足约束条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≥,12,,
0y x y x x 则z ＝3x ＋2y 的最大值是
评卷人
得分
三、解答题
21．对于任意实数(0)a a ≠和ｂ，不等式|||2|||(|1||2|)a b a b a x x ++-≥-+-恒
成立，试求实数ｘ的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :2
14y x =
．
实数p ，q 满足240p q -≥，x 1，x 2是方程20x px q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=。

（1）过点2
0001(,
)(0)4
A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点
B ．证明：对线段AB 上任一点Q （p ，q ）有0
(,);2
p p q ϕ=
（2）设M （a ，b ）是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0．过M （a ，b ）作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211
(,),(,)44
E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。

线段
EF
上异于两端点的点集记为
X ．证明：M （a,b ）
∈X ⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =
;
（3）设D={ （x,y ）|y ≤x-1,y ≥
14（x+1）2-5
4
}．当点（p,q ）取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．(汇编年高考广东卷理科
21)（本小题满分14分） 【解析】
23．已知实数,x y 满足0,
-503,
x y x y y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，若不等式222
2y axy x y x x -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是
24．某化工企业汇编年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元． (1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；
(2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的
污水处理设备？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．C 2．A 3．A
解析：作出可行域,直线03=-y x ,将直线平移至点)0,2(处有最大值, 点)3,21
(处有最小值,即62
3
≤≤-z .答案应选A. 4． 5．B
【解析】首先将平面区域1Ω绘制出来，只需要大致绘制出倾斜程度，可以判断最近距离的点是）（1,1，也不需要求）（1,1关于0943=--y x 的对称点，直接求点到直线的距离，然后乘以2就可以了，25
10
==d ，则42=d ，所以4mi n =AB ，选择B 。

6．A
7．D 【汇编高考湖南文7】
【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞c
b
，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函
数的图像与性质知③正确.
【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8．B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z 取得最大值10. 9． 10． 11． 12． D
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
13． 14． 15．[]8,4-
16．-3。

提示：由题意：＜＜3，＜＜2，＜＜2，由根与系数的关系可知：. 17．(0,2)
18．
2
2
19．
6;1--
20．(－2,0)∪(2,5] 评得
三、解答题
21．原式等价于
212||a b||a b|
|x ||x |a |++--+-≥，设t a
b =，
则原式变为|1||21||1||2|t t x x ++--+-≥对任意t 恒成立． ………………………2分
因为13,,21|1||21|2,1,
23,1,t t t t t t t t ⎧⎪⎪
⎪
++-=-+-<<⎨⎪
--⎪⎪⎩
≥≤最小值为21=t 时取到，其最小值为23． …6分
所以有232,
3121122321x ,x x x ,x ,x,x -⎧⎪
-+-=<<⎨⎪-⎩
．
≥≥≤解得39[,]44x ∈． ……………………10分
22．（1）证明：切线l 的方程为20011.24
y p x p =
-
2
20||()||4(,)(,)22
p p p p p q Q p q AB p q ϕ+-+-∀∈==
有
当00000||
0,0,(,).222
p p p p p p p p p q ϕ+->≤≤=
==时于是
当00000||
0,0,(,).222
p p p p p p p p p q ϕ-+--<≤≤=
==时于是[来源:学科网
ZXXK]
（2）12,l l 的方程分别为22
11221111,.2424
y p x p y p x p =
-=-
求得12,l l 交点M(a,b)的坐标1212
(
,)24
p p p p +，由于240,0a b a ->≠，故有12||||.p p ≠
1）先证：12(,)||||.M a b x p p ∈⇔> （⇒）设(,).M a b X ∈
当12
11121120,002||||.2p p p p p p p p p +><
<⇒<+<⇒>时
当12
11112120,020||||.2
p p p p p p p p p +<<
<⇒<+<⇒>时
（⇐）设2212
12111
||||,|
|1110 2.p p p p p p p p p +><⇒-<<⇒<<则 当121211110,0;0 1.22
p p p p p p p ++><
<<<<时当时,p 注意到1(,),(,).M a b l M a b X ∈在上故
2）次证：1||
(,)(,).2
p M a b X a b ϕ∈⇔=
（⇒）已知(,),M a b X ∈利用（1）有1||
(,).2
p a b ϕ=
（⇐）设1||
(,)2
p a b ϕ=，断言必有12||||.p p > 若不然，12||||.p p <令Y 是2l 上线段E F ''上异于两端点的点的集合， 由已证的等价式1）(,).M a b Y ∈再由（1）得21||||
(,)22
p p a b ϕ=≠，矛盾。

故必有12||||.p p >再由等价式1），(,).M a b X ∈
综上，112||
(,)||||(,).2
p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=
（3）求得215
1(1)44
y x y x =-=+-和的交点12(0,1),(2,1)Q Q - 而1y x =-是Ｌ的切点为2(2,1)Q 的切线，且与y 轴交于1(0,1)Q -， 由（１）(,)Q p q ∀∈线段Q 1Q 2，有(,) 1.p q ϕ=
当2211515(,):(1)(02),(1)4444
Q p q L y x x q p ∈=
+-≤≤=+-时
2442()(,)(02),22
p p q p p
h p p q p ϕ+-+-∴===≤≤
在（0，2）上，令4213
()0,2
242p h p p p
--'=
==
-得
由于35(0)(2)1,(),24
h h h ===
()(,)h p p q ϕ=在[0，2]上取得最大值max 5
.4h =
215
(,),2,(1)1,44
p q D p p q p ∀∈≤≤+-≤≤-有0
故222154[(1)]
444
(,)2
2
p p p p p q p q ϕ+
-+-+
-=
≤
max 425
,24
p p h +-=
≤=
222
44(1)(2)(,)222
p p q p p p p p p q ϕ+-+--+-=≥=
212
p p
+-=
=,
故min max 51,.4
ϕϕ==
23．
24．（本小题满分14分） 解：（1）x
x x y )
2642(5.0100++++++=
即5.1100
++
=x
x y （0>x ）；------------------------------------------------7分 (不注明定义域不扣分，或将定义域写成*
N x ∈也行） (2）由均值不等式得：
5.215.1100
25.1100=+⋅≥++
=x
x x x y （万元）-----------------------11分
当且仅当x
x 100=
，即10=x 时取到等号．----------------------------------------13分 答：该企业10年后需要重新更换新设备．------------------------------------------14。