2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.6对数与对数函数课时跟踪检测理

2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.6对数与对
数函数课时跟踪检测理
[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1.函数f (x )＝
1log 2x
2
－1
的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞)
解析：由题意知⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＞0，log 2x 2
＞1，
解得x ＞2或0＜x ＜1
2，故选C.
答案：C
2.如果x ＜y ＜0，那么( ) A.y ＜x ＜1 B ．x ＜y ＜1 C.1＜x ＜y
D ．1＜y ＜x
解析：∵x ＜y ＜1，且y ＝x 在(0，＋∞)上是减函数，∴x ＞y ＞1. 答案：D
3.函数f (x )＝ (x 2
－4)的单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B ．(－∞，0) C.(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
解析：因为y ＝t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝
x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
答案：D
4.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x
＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )
A.4 B ．－4 C.6
D ．－6
解析：∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即30
＋m ＝0，解得m ＝－1，∴
f (lo
g 35)＝－1＝4，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－4.
答案：B
5.(xx 届武汉调研)若函数y ＝a |x |
(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |
的图象大致是( )
解析：若函数y ＝a |x |
(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的图象如图所示．故选B.
答案：B
6.(xx 届金华模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝1
2，则f (－a )＝( )
A.2 B ．－2 C.1
2
D ．－12
解析：∵f (x )＝lg 1－x
1＋x 的定义域为(－1,1)，
∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x
1＋x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－1
2.
答案：D
7.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A.log 2x B ．1
2x C.log 12
x
D ．2
x －2
解析：由题意知f (x )＝log a x ， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x . 答案：A
8.函数f (x )＝log a (ax －3)(a >0，且a ≠1)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)
B ．(0,1)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞)
解析：由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3.
答案：D
9.函数y ＝ (1－2x
)的值域为( ) A.(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C.(0，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：由1－2x
>0得x <0，故此函数定义域为(－∞，0)，此时1－2x
∈(0,1)，∴y ∈(0，＋∞)，故选C.
答案：C
10.如图给出了函数y ＝a x
，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2
的图象，则与它们依次对应的图象是( )
A ．①②③④
B ．①③②④ C.②③①④
D ．①④③②
解析：显然④是二次函数图象且开口向下，则a －1<0，∴a <1，∴0<a <1，则图象依次为①③②④.
故选B. 答案：B
11.计算：lg 0.001＋ln e ＋＝________. 解析：原式＝lg 10－3
＋＝－3＋12＋32＝－1.
答案：－1
12.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
3x
，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实
根，则实数a 的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.
答案：(1，＋∞)
13.求函数f (x )＝log 2x ·log
2
(2x )的最小值．
解：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2
＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝2
2时等号成立，
因此函数f (x )的最小值为－1
4
.
14.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2
－1)＞－2.
解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝ (－x )． 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，x ＞0，0，x ＝0，
－x ，x ＜0.
(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，
所以不等式f (x 2
－1)＞－2可化为f (|x 2
－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数且f (0)＝0>－2， 所以|x 2
－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．
[能 力 提 升]
1.(xx 届河北衡水调研)已知函数f (x )＝ln(a x
＋b )(a ＞0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式f (x )＞a ln a 的解集是( )
A.(a ，＋∞)
B.(－∞，a )
C.当a ＞1时，解集是(a ，＋∞)，当0＜a ＜1时，解集是(－∞，a )
D.当a ＞1时，解集是(－∞，a )，当0＜a ＜1时，解集是(a ，＋∞)
解析：依题意f (0)＝0，所以ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x
＝x ln a ．不等式f (x )＞a ln a ，即为x ln a ＞a ln a ，因此当a ＞1时，x ＞a ；当0＜a ＜1时，x ＜a .故选C.
答案：C
2.已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23上恒有f (x )＞0，则实数a 的取值范围是
( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，1 解析：当0＜a ＜1时，
函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23上是减函数， 所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a ＞0，即0＜43－a ＜1， 解得13＜a ＜43，故1
3
＜a ＜1；
当a ＞1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23上是增函数，
所以log a (1－a )＞0，
即1－a ＞1，解得a ＜0，此时无解．
综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1. 答案：A
3.(xx 届山东淄博模拟)若函数f (x )＝
则f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝________. 解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4×164＝116＝4，
所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－1＝log 339＝ 32
＝－4. 答案：－4
4.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .
(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；
(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2
)·f (x )＞k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．
解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2
＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]．
(2)由f (x 2
)·f (x )＞k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )＞k ·log 2x ，
令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )＞k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k ＜3－4t
3－t
t
恒成立，
即k ＜4t ＋9
t
－15，
因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3
2时取等号，
所以4t ＋9
t
－15的最小值为－3.
综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)．
2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.7函数的图
象课时跟踪检测理
[课 时 跟 踪 检 测]
[基 础 达 标]
1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ＜0，2x
－1，x ≥0
的图象大致是( )
解析：当x ＜0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x
的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.
答案：B 2．函数y ＝
x ln|x |
|x |
的图象可能是( )
解析：易知函数y ＝
x ln|x |
|x |
为奇函数，故排除A 、C ，当x ＞0时，y ＝ln x ，只有B 项符
合，故选B.
答案：B
3．为了得到函数y ＝2
x －3
－1的图象，只需把函数y ＝2x
的图象上所有的点( )
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
解析：y ＝2x ―――――――――――――――――→ 向右平移3个单位长度 y ＝2x －3
―――――――――――――――――――→ 向下平移1个单位长度 y ＝2x －3－1. 答案：A
4．函数y ＝(x 3
－x )2|x |
的图象大致是( )
解析：由于函数y ＝(x 3
－x )2|x |
为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0，故选B.
答案：B
5．下列函数f (x )的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )
解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B ；在C 中，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＜f (3)，排除C ，选D.
答案：D
6．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )
解析：要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象做关于x 轴的对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．
答案：C
7.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝ln|x |
x
B ．f (x )＝e x
x
C ．f (x )＝1
x
2－1
D ．f (x )＝x －1
x
解析：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ；若函数为f (x )＝x －1
x
，则
x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.
答案：A
8．(xx 届河南濮阳检测)函数f (x )＝
x
x 2
＋a
的图象可能是( )
A．①③B．①②④
C．②③④D．①②③④
解析：取a＝0，可知④正确；取a＝－4，可知③正确；取a＝1，可知②正确；无论a 取何值都无法作出图象①，故选C.
答案：C
9．已知函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f(x)＋f(－x)＝0，当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为( )
解析：由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数，排除C、D；
又当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<0，排除B.故选A.
答案：A
10．若函数f(x)＝1
ax2＋bx＋c
(a，b，c∈R)的部分图象如图所示，则b＝________.
解析：由图象可知二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且g(1)＝g(3)＝0，g(2)＝－1，所以解得b＝－4.
答案：－4
11．若函数y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点________．解析：解法一：函数y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．
故y＝f(x)的图象经过点(4,4)．
解法二：由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图象必经过点(4,4)．
答案：(4,4)
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f 2
(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．
解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x
－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示． 由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．
(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2
＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14
在区间(0，＋∞)上是增函
数，
所以H (t )＞H (0)＝0.
因此要使t 2
＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．
[能 力 提 升]
1．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2－x
－1，x ≤0，f x －1，x ＞0，
若方程f (x )＝x ＋a
有两个不同实根，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，1]
C ．(0,1)
D ．(－∞，＋∞)
解析：x ≤0时，f (x )＝2－x
－1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，
f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.
当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，f (x )是周期函数，且周期为1. 如图所示．
若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，
故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：A
2．(xx 届河北衡水中学三模)函数f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )
解析：由于f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x 1＋e x ·cos x ，而g (x )＝1－e x
1＋e x 是奇函数，h (x )＝cos x 是偶函数，所以f (x )是奇函数，图象应关于原点对称，据此排除选项A 、C ；又因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，1－e x
1＋e x ＜0，cos x ＞0，从而必有f (x )＜0，即在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上，函数图象应该位于x 轴下方，据此排除选项D ，故选B.
答案：B
3．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
4．(xx 届山东泰安模拟)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2
x ，若f (x )与g (x )的图象有且
只有3个交点，则a 的取值范围是________．
解析：由对数函数以及三角函数的图象，如图，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，f 9＞1，
f 5＜1或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，f 7＜－1，f 3＞－1，
解得5＜a ＜9或17＜a ＜13
. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫17，13∪(5,9)。