最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()2
1f x ax =-的图像在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平
行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2013S 的值（ ）
A ．
20102013
B ．
1005
2013
C ．
4026
4027
D ．
2013
4027
2．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0
B ．x -y -1=0
C ．x -y +1=0
D ．x +y -1=0
3．函数()2sin f x k x =+在()0,2处的切线l 也是函数3231y x x x =---图象的一条切线，则k =（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
4．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11
a
b
+的最小值是
( ) A ．2
B
．C ．4
D
．5．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；
②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；
③若'
0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'
0()f x 必存在.
则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()
000
21x f x x f x lim x
∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）
A ．2
B ．1
C ．
12
D ．0
7．已知函数()ln ln x
x
f x e x e a x =-+的图象在点()()
1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ） A ．e -
B ．e
C ．1e e ---
D ．1e -
8．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
9．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则
||AB 的最小值为
A ．1
B ．2
C ．
455
D ．
255
10．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
11．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <
12．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记
()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin 2cos 4f x x x π'
⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，则6f π⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
______. 14．不等式()()2
2
2
2ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
对任意0,b a >∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是_________.
15．对于曲线4
()1
x
f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线2
21()ln 2
g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.
16．已知直线2y x c =+与曲线()2
e 1x
f x x x =+++相切,则实数c 的值是_________.
17．设()()()sin 2',''32f x x xf f x f x f ππ⎛⎫
⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
是的导函数，则___________. 18．关于x 的方程2x
x a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.
19．函数2(0)y x x =>的图象在点2
(,)n n a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1,n a n +为正
整数，若116a =，则135+a a a +=________.
20．已知函数3()2f x x x =-，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆
22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________． 三、解答题
21．已知函数f (x )＝
13
x 3
－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
22．已知()()()()()()2
ln 1,,1,f x a x g x x bx F x f x g x =-=+=+- 其中,a b R ∈ ．
（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，求,a b 的值；
（2）若2x = 是函数()F x 的一个极值点，0x 和1是()F x 的两个零点，且
()0,1,x n n n N ∈+∈，求n .
23．已知函数，
，曲线
在
处
的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对，
恒有
成立，求的取值范围．
24．设函数f （x ）=
++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程
为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求a ，b ；
（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围． 25．已知．
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a 的值；
（2）当
时，求
的单调区间．
26．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线1
12
y x =-
+垂直.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据导数的几何意义求出4a =，然后
()()()211111141212122121f n n n n n n ⎛⎫
===- ⎪-+--+⎝⎭
，然后算出11122121
n n S n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭即可. 【详解】
由()2
1f x ax =-可得()2f x ax '=
因为函数()2
1f x ax =-的图像在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，
所以()128f a '==，即4a =
所以()()()211111141212122121f n n n n n n ⎛⎫
===- ⎪-+--+⎝⎭
所以11111111112335
212122121
n n
S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+
+
-=-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭ 所以20132013
4027
S = 故选：D 【点睛】
常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.
2．C
解析：C 【分析】 求出()'
f
x ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.
【详解】
()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-，
()'12111f ∴=⨯-=.
∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，
即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.
3．C
解析：C 【分析】
利用导数的几何意义得出()f x 在()0,2的切线l 的方程，设切线l 在函数
3231y x x x =---上的切点为00,x y ，结合导数的几何意义得出在点00,x y 的切线方
程，并将点()0,2代入切线方程和函数3231y x x x =---，求出01x =-，00y =，再代入2y kx =+，即可得出k 的值. 【详解】
∵()cos f x k x '=，∴()0f k '=，所以在()0,2的切线l 的方程为直线2y kx =+ 设切线l 在函数3231y x x x =---上的切点为00,x y 由2323y x x '=--，得出02
00323x x y x x ='=-- 故切线方程为(
)()2
0000
323
y y x x x x -=---
由()()2
000032
00002323031y x x x y x x x ⎧-=---⎪⎨=---⎪⎩整理得3200230x x -+=，即32200022330x x x +-+=
所以()()002
012330x x x +-+=，所以()2
0031512048x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
4．C
解析：C 【分析】
求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】
解：()y ln x b =+的导数为1
y x b
'=
+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，
a 、
b 为正实数，
则
111()()22241b a b a a b a b a b a b a b
+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11
a b
+取得最小值4． 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
5．B
解析：B 【分析】
根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】
对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线
22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的
公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线
sin y x =有无数多个公共点，所以不正确； 对于②中，根据导数的定义： （1）导数：'
()()
()lim
x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，
（2）左导数：'
()()
()lim x f x x f x f x x -
-∆→+∆-=∆，
（3）右导数：'
()()
()lim x f x x f x f x x
+
+∆→+∆-=∆，
函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确； 对于③中，切线与导数的关系：
（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为
'000()()()y f x f x x x -=-
（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；
对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则
'0()f x 必存在，所以是正确的.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查
了分析问题和解答问题的能力.
6．C
解析：C 【分析】 根据条件得到()()
000
21
22
x f x x f x lim x
∆→+∆-=
∆，计算得到答案. 【详解】
()()
()()
00000
221122
x x f x x f x f x x f x lim
lim
x
x ∆→∆→+∆-+∆-=∴=
∆∆ 即()()()
0000
21'22
x f x x f x f x lim x
∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】
本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.
7．A
解析：A 【分析】
利用导数求出函数()y f x =在点()()
1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值. 【详解】
()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，
()ln x x
x e a
f x e x e x x
'=+-+，()1f a '=，
所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，
则a e -=，解得a e =-，故选A. 【点睛】
本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
8．C
解析：C 【分析】
先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】
当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．
2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y π
ππ=∴=-=-'
则2sin cos y x x =+在点
(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
9．B
解析：B 【分析】
利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】
1y x '=
,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，此时2AB =.故选B. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.
10．C
解析：C 【分析】
设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；
()
()2
2
a c
b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为
求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】
设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；
()
()2
2
a c
b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求
导得1
y x
'=
，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l
的距离为 因此，()()22a c b d -+-
的最小值为2
2＝． 故选C ．
【点睛】
本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．
11．B
解析：B 【分析】 令()()x
f x
g x e
=
，x ∈R ．()()
()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()
()x
f x
g x e =，x ∈R ． ()()
()x
f x f x
g x e '-'=
， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，
(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，
可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【详解】
因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0>g x ，排除D. 故选:A
二、填空题
13．【分析】先求导得然后将代入解出再代入求解的值【详解】由题意可得则即所以故故答案为：【点睛】本题考查导数的求解问题解答时注意在原函数解析式中为常数得到是前提解出是关键
【分析】
先求导得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，然后将4x π=代入，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，再代入
()'f x 求解6f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值.
【详解】
由题意可得()cos sin 4f x x x π'
'⎛
⎫
= ⎪⎝⎭
，
则cos sin 4444f ππππ''⎛
⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
即4f π'⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
， 所以1
()cos sin 2
f x x x '
=-，
故1cos sin 6626f πππ'⎛⎫=-=
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查导数的求解问题，解答时注意在原函数解析式()sin cos 4f x x x π'⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
中，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭为常数，得到()cos sin 4f x x x π''⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是前提，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭是关键.
14．【分析】设可得又分别在曲线及直线：上计算可得在点处的切线与直线平行求出点到直线的距离即最小值为进而解不等式即可【详解】由题意设则即又分别在曲线及直线：上且令解得且所以在点处的切线与直线平行又点到直线 解析：[]1,2-
【分析】
设(),ln P b b ，()2,1Q a a --，可得2
2
PQ m m ≥-，又P ，Q 分别在曲线()ln f x x
=及直线l ：1y x =+上，计算可得()f x 在点1,0P 处的切线与直线l 平行，求出点P 到直线l 的距离d ，即PQ 最小值为d ，进而解不等式22m m -≤即可. 【详解】
由题意，设(),ln P b b ，()2,1Q a a --，则()()2
2
2
2ln 1PQ b a b a =--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即
2
2PQ m m ≥-，
又P ，Q 分别在曲线()ln f x x =及直线l ：1y x =+上，且()1
f x x
'=， 令
1
1x
=，解得1x =，且()10f =，所以()f x 在点1,0P 处的切线与直线l 平行，
又点P 到直线l
的距离为d =
=，所以PQ
所以22m m -≤，解得12m -≤≤. 故答案为：[]1,2-. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
15．【解析】分析：分别求出两个函数导数函数的值域进而将已知转化为两个值域存在包含关系进而可得答案详解：∵∴∵故∵∴g′′（x ）=2（lnx+1）当x ∈（0）时g′′（x ）＜0g′（x ）为减函数；当x ∈（
解析：2,1e ⎛⎤-∞-
⎥⎝
⎦. 【解析】
分析：分别求出两个函数导数函数的值域，进而将已知转化为两个值域存在包含关系，进而可得答案．
详解：∵()41
x f x e =+，∴()244
1(1)2x x x x
e f x e e e --==
+'++
∵11224x x
x x
e e e
+
+≥+=,故()[)'10f x ∈﹣， ∵()2
21ln 2
g x ax x x x =-
+,∴()'2g x a xlnx =+， g′′（x ）=2（lnx+1）， 当x ∈（0，1
e
）时，g′′（x ）＜0，g′（x ）为减函数； 当x ∈（1
e
，+∞）时，g′′（x ）＞0，g′（x ）为增函数； 故当x=
1e 时，g′（x ）取最小值a ﹣2e ，即g′（x ）∈[a ﹣2
e
，0） 若对于曲线()4
1
x
f x e =
+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线l 1， 总存在在曲线()2
21ln 2
g x ax x x x =-+上一点处的切线l 2，使得l 1∥l 2， 则[﹣1，0）⊆[a ﹣2e ，0）,即a ﹣2
e
≤﹣1． 解得：a ∈2,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 故答案为：2,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
.
点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．
16．2【解析】设切点坐标为∵∴又∵直线与曲线相切∴解得∴将切点代入到直线可得故答案为2点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的
解析：2 【解析】
设切点坐标为()00,x y ，∵()2
1x
f x e x x =+++，∴()21x
f x e x ='++，又∵直线
2y x c =+与曲线相切，∴()000212x f x e x =++='，解得00x =，∴02y =，将切点
代入到直线可得2c =，故答案为2.
点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，属于基础题；在处理该类问题中需注意切点的重要性，主要利用：1、切点处的导数即为斜率；2、切点坐标满足曲线方程；3、切点坐标满足切线方程.
17．-1【解析】∵令可得：解得则
解析：-1 【解析】
∵()2(),()2()33
f x sinx xf f x cosx f ππ=+'∴'=+'，令3
x π
=
,可得：
()2()333f cos f πππ'=+' ,解得1()32
f π'=- ， 则1
()2()12
22
f cos
ππ
'=+⨯-=- 18．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞
【解析】
由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，
'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，
则此时1ln 2a =-，
所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点， 所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。

点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题，画出图象，我们可以知道在x a <-处有一个交点，则在x a >-处必须有两个交点，所以我们先求出临界情况相切的位置，解得
1ln 2a =-，所以求出答案()1ln2,-+∞。

19．21【解析】则斜率为切线方程为令得是以16为首项以为公比的等比数列【点睛】求曲线在某点处的切线问题可利用导数的几何意义去处理利用导数求出斜率利用直线方程的点斜式写出切线方程求出直线与x 轴的交点的横坐
解析：21 【解析】
2y x '=，则斜率为2n k a =，切线方程为22()n n n y a a x a -=-，令0y =，得
111,22n n n n a a a a ++=
=，{}n a 是以16为首项，以12
为公比的等比数列，13511
16161621416
a a a ++=+⨯+⨯=.
【点睛】求曲线在某点处的切线问题，可利用导数的几何意义去处理，利用导数求出斜率，利用直线方程的点斜式写出切线方程，求出直线与x 轴的交点的横坐标，得出1n a +与
n a 的关系，借助数列的知识判断数列为等比数列，写出等比数列的首项与公比，求出所要
求的和.
20．【解析】结合函数的解析式可得：对函数求导可得：故切线的斜率为则切线方程为：即圆：的圆心为则： 解析：2-
【解析】
结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
三、解答题
21．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2
∪(1,3)∪[2
∞). 【解析】
试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意
一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣
1
k
的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k
≥-⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩
解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)
22．（1）1
{22
a b =-
=- （2）n=3
【解析】
试题分析：（1）若()y f x = 与()y g x = 的图像在交点（2，k ）处的切线互相垂直，则可知()()
()()22{
221
f g f g ''=⋅=-，于是可以求出,a b 的值；（2）()()()1F x f x g x =+-=
2ln a x x bx --，则()20F '=，又()01F =，于是可以求出,a b 的值，然后根据函数
()F x 的单调性及函数零点存在性定理来确定函数()F x 零点所在的区间，从而确定n 的
取值． 试题 （1）
，
由题知，即 解得
（2）=，
由题知，即 解得=6，=－1
∴=6－（－），=
∵＞0，由
＞0，解得0＜＜2；由
＜0，解得＞2
∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减， 故
至多有两个零点，其中
∈（0,2），
∈（2, +∞）=
又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0
∴
∈（3,4），故=3
点睛：函数零点问题是考查频率较高的问题，尤其是零点存在性定理：如果函数
()y f x =在区间(),a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么
函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程0f x
的根．
23．（Ⅰ）；（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出
，即可求
的解
析式； （Ⅱ）对，
恒有
成立，等价于
，即可求的取值范围．
试题 （Ⅰ）∵，∴
，∴
． 令，代入切线方程得切点坐标为
，代入函数
，得
．
∴． （Ⅱ）∵，令，得或
（舍）．
列表得：
极大值
∵，，∴
，
，
∴对
恒成立， ∴恒成立，，
∴恒成立， 记，
，
∴． ∵，令，则
，
列表得：
极小值
∴，
∴．
点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，考查恒成立问题，属于中档题；常见的恒成立有：对于涉及到一个变量恒成立时，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为
或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；对于含有两个变量时，成立，等价于
.
24．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）k的范围是（﹣∞，]．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a，b；
（Ⅱ）由题意可得x＞0时，﹣﹣1＞kx，即e x﹣1﹣x＞kx2，由h（x）=e x﹣1﹣x，求出
导数，可得e x≥1+x，由m（x）=e x﹣1﹣x﹣kx2，求得导数，讨论2k与1的关系，即可求得k的范围．
解：（Ⅰ）f（x）=++b的导数为f′（x）=﹣，
在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣a，切点为（1，e+a+b），
由切线方程为x﹣y+e﹣3=0，可得﹣a=1，e+a+b=e﹣2，
解得a=b=﹣1；
（Ⅱ）x＞0时，f（x）＞g（x），
即为x＞0时，﹣﹣1＞kx，
即e x﹣1﹣x＞kx2，
由h（x）=e x﹣1﹣x的导数为h′（x）=e x﹣1，
当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得h（x）在x=0处取得最小值0，即有h（x）≥0成立，
即e x≥1+x，
e x﹣1﹣x﹣kx2＞0在x＞0恒成立，
由m（x）=e x﹣1﹣x﹣kx2，m′（x）=e x﹣1﹣2kx，
当2k≤1时，由e x ≥1+x ，可得e x ﹣1﹣2kx≥e x ﹣1﹣x ＞0， 则m （x ）在x ＞0时递增，即有m （x ）＞m （0）=0， 即有e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立；
当2k ＞1时，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0不恒成立． 综上可得，k 的范围是（﹣∞，]．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 25．（1）
；（2）
单调递增区间为
，
；单调递减区间为
【解析】试题分析：（1）先求导数，由条件知f'（-1）=2，然后求解．（2）求函数的导数，利用导数不等式求函数的单调区间 试题 （1）由题意得 ∴∴
（2） ∵，∴
∴，令
，得
令，得
∴
单调递增区间为，
单调递减区间为
极大值为
，极小值为
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 26．证明见解析. 【分析】
求出曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率k ，若112k ⎛⎫
⨯-
=- ⎪⎝⎭
，即可证明切线与直线1
12
y x =-+垂直.
【详解】 证明：
3'2,31y x x y x =-∴=-.
∴曲线3y x x =-在x =1处的切线的斜率23112k =⨯-=，
121,2⎛⎫
⨯-=-∴ ⎪⎝⎭
曲线3y x x =-在x =1处的切线与直线112y x =-+垂直.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查两直线的位置关系，属于基础题.。