九年级圆的基本性质讲义

圆的基本性质
知识串讲
【知识点一】圆的有关概念
（1）在一个平面内，线段0A 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点入所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径：
（2）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；
（3）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；以A 、B 为端点的弧记做»AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条狐，每一条弧都叫做半圆；其中大于半圆的弧叫做“优弧”，小于半圆的弧叫做“劣弧”。

优弧一般用三个字母表示。

（4）同圆或等圆的半径相等；
基础知识检测（一）
1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．
E
A
E
A
【解答】解：连接OD ， ∵AB ＝2DE ＝2OD ， ∴OD ＝DE ，又∠E ＝18°， ∴∠DOE ＝∠E ＝18°， ∴∠ODC ＝36°， 同理∠C ＝∠ODC ＝36° ∴∠AOC ＝∠E ＋∠OCE ＝54°．
2．已知P 是e O 内部一点，经过点P 作圆的直径，则可作直径的数量为（ ）
A .1条
B .2条
C .3条
D .1条或无数条
【答案】D
3．在平面直角坐标系中，以O 为圆心，5为半径作圆，下列各点，一定在圆上的是（ ）
A .A （2，3）
B .B （4，3）
C .C （1，4）
D .D （2，－4）
【答案】B
4．如图，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为多少？
N
M O
P D C
B
A A B
C
D P O
M N
【解答】解：∵ABCD 是正方形，∴∠DCO ＝90°， ∵∠POM ＝45°，∴∠CDO ＝45°，∴CD ＝CO ， ∴BO ＝BC ＋CO ＝BC ＋CD ，∴BO ＝2AB ，连接AO ， ∵MN ＝10，∴AO ＝5，在Rt △ABO 中，AB 2
＋BO 2
＝AO 2
， AB 2
＋（2AB ）2
＝52
，解得：AB
，则AB
．
5.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ D ）
A .2
B .
2
5
C .
4
5
D .
16
17
5
6.如图，P 为⊙O 外一点，直线PO 交⊙O 于点C 、D ，割线PB 交⊙O 于A 。

求证：（1）PC ＜P A ；（2）PD ＞P B .
证明：(1)连接AC ，∵∠PCA ＞∠P AC ，∴PC ＜P A ; (2) 连接BD ，∵∠PBD ＞∠PDB ，∴PD ＞PB
【练1】Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，CD ⊥AB 于D ，以D 为圆心，4为半径作⊙D ，则C 点与⊙D 的位置关系是（ C ）
A .C 在圆内
B .
C 在圆上 C .C 在圆外
D .C 无法确定
2.如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，E 为OD 延长线上一点，若2CD ＝AB ，则∠CDE 是∠DAC
的（ D ）
A .1倍
B .2倍
C .3倍
D .4倍
E
【知识点二】垂径定理及其推论：
（1）对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两弧。

（3）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

E
O
C
B
A
垂径定理基本图形结合垂径定理和勾股定理易得
由圆的对称性可得垂径定理半径r、弦a、弦心距d的关系式：
2
2
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
a
d
r
基础知识检测（二）
1.已知：⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，求AC的长。

解：根据题意，可画出两个图形，分两种情况讨论：
（1）如图1，连接OA，因为直径等于10cm，所以半径OA＝5cm，
因为AB⊥CD，且CD是直径，根据垂径定理知：AM＝BM＝4cm，
根据勾股定理求得：OM＝3cm，所以CM＝5＋3＝8cm，
在△ACM中，由勾股定理得：AC＝5
4cm；
（2）如图2，仿图1，可知CM＝OC－CM＝5－3＝2cm，
在△ACM中，由勾股定理得：AC＝5
2cm.
2.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，若C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，
则AP＝
3
3。

C
B
A
3.如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，P 、Q 分别为AB 、AC 的中点，过P 、Q 两点作弦DE 。

求证：DP ＝EQ 。

O
Q
P
E
D
C B
A
证明：连接OP ，OQ ，OE ，OD
∵∠DOP ＝∠EOQ ，∠D ＝∠E ，OE ＝OD ，∴△OPD ≌△OQE ，∴DP ＝EQ
4.已知弧AB ＝弧AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆半径为7cm ，求AB 。

解：如图一，假若∠A 是锐角，△ABC 是锐角三角形， 连接OA ，OB ，
∵OD ＝3cm ，OB ＝7cm ，∴AD ＝10cm ，∴BD ＝102cm ， ∵OD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，
∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，∴AD ＝352cm ； 如图二，若∠A 是钝角，则△ABC 是钝角三角形， 和图一解法一样，只是AD ＝7－3＝4cm ， ∴AB ＝142cm ，
综上可得腰长AB ＝352cm 或2 cm 【练2】
1.如图，设AB ⊥CD 于E ，且E 在线段OA ，设CD ＝8，AE ＝d ，则⊙O 的半径R 与d 之间的函数关系式为（ C ）
A R ＝d ＋4
B 4
2
+=d R
C d
d R 216
2+=
D d
d R 264
2+=
O
E D
C
A
2.如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，求BC 的长。

解：延长AO 交BC 于D ，作OE ⊥BC 于E ； ∵∠A ＝∠B ＝60°，∴∠ADB ＝60°；
综合、提高、创新
【例1】在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ ． （1）如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；
（2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．
图1Q P
O
C B
A
图2Q
P
A
B
C O
A B
C
O
P
Q
图1O
C B
A
P
(Q )
图2
答案：解：（1）连OQ ，∵
PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ， ∴ OP ⊥
AB ，OA ＝OB ＝3 ∵∠ABC ＝30°，∴ OP ∴ PQ .
（2）∵当OP 最小时则PQ 最大，∴ OP
⊥BC 时PQ 最大 ∵∠ABC ＝30°，OB ＝3，∴ OP ＝32， ∴ PQ
【例2】如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C 、D 与点A 、B 不重合)，M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，CD ＝6，AB ＝
10，则PM 的最大值是（ ）
A ．3
B ． 4
C ．
5 D ． 6
B
A
A B
答案：连OM 、OC ，则OM ⊥CD ，∵ CP ⊥AB ，∴ C 、P 、O 、M 四点共圆. ∴ PM ＝OC ＝5时最大. 故选C
【练1】
1．如图，P为⊙O内一定点，A为⊙O上一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点，若⊙O的
半径为3
，OP BC的最大值是（）
A．
B． 3 C．
D．
C A
M
A
B
C
P
O
答案：过O作OM⊥AB于M，连接OP，则BC＝2OM
∵OM≤OP，∴OM
＝OP
BC＝故选A
2．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一动点（不与点A、B重合）OD ⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（2）当BC＝1时，求线段OD的长和△DOE的面积；
A
A
F
O
E
D
C
B
A
答案：解：（1）DE长度不变.如图，连AB，则AB＝2DE.
∵AB＝∴
DE.
（2）∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝1
2
，∴
OD.
过D点作DF⊥OE于F，易证∠DOE＝45°，∴DF＝OF
∵
DE
EF.
∴OE
S△
DOE
【例3】小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM＝ON，则AB＝CD；
（1）请你帮小雅证明这个结论；
（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是△ABC三条内角平分线的交点，以O 为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G，若AD＝9，CF＝2，求△ABC的周长．
C
A
A
B D
C
M N
O
H
N
M
A
B C
D
G
F
E
O
答案：（1）证明：连AO、CO，则△AOM≌△CON（HL）∴AM＝CN.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AB＝2AM，CD＝2CN. ∴AB＝C D.
（2）如图，过O作OM⊥AB，ON⊥BC，OH⊥AC，连OA、OB、OC，则OM＝ON＝OH，
∴四边形BMON为正方形，∴BD＝BE＝GF，DM＝GH＝EN＝FH.
易证△AOM≌△AOH，△CON≌△COH.
∴AD＝AG＝9，CF＝CE＝2.
设BE＝x，则(x＋2)2＋(x＋9)2＝(x＋11)2，
∴x＝6. ∴C△ABC＝40.
【例4】
1．如图，⊙O的半径为2，动弦CD⊥直径AB于E，CF⊥OD于F．探索：当弦CD运动时，OE2＋EF2的值是否发生变化，若不变，求出其值，若变化说明理由．
B
B
答案：不变，解：连OC，则△OCE≌△ODE，∴∠COB＝∠DOB
∵CE⊥OB，CF⊥OD，∴OCEF四点共圆. ∴CE＝EF
∴OE2＋EF2＝OE2＋CE2＝OC2＝4.
2．如图，AB是⊙O的直径，过AB上任意一点Q作AB相交成45°的弦PR，若⊙O的半径为r，求证：PQ2＋QR2为定值．
Q
R
P
O
D
B
A A B
D
O
P
R
Q
答案：证明：连OR，∵∠RQO＝45°，∴OD＝DQ，DR＝DP.
设OD＝a，DR＝b，∴PQ2＋QR2＝(b－a)2＋(b＋a)2＝2(b2＋a2)＝2OR2＝2r2.
【例5】有一圆弧形拱桥的水面宽度AB＝9.6m，拱高3.2m
(1)求该拱桥所在圆半径
(2)有一艘装有货箱的货船，货船甲板离水面0.5m，货箱宽4m，高2.5m，(其正面横截面如图所示)，请问这艘货船能否安全从拱桥通过?
(1)根据勾股定理，设半径为r，
∴OA＝r，OC＝r－3.2，AC＝4.8
在直角三角形ACO中，r2＝4.82＋(r－3.2)2，r＝5.2m.
(2)∵船高一共是3m，令CG＝3，
∴在Rt△OFG中，22
FG OF OG
=-
∴FG≈2.01，∴EF≈4.02
∵4.02＞4，可以通过
〖练3〗如图，过江圆弧形隧道底部AB宽14m，为了行车安全，两边各留2m的禁行驶带(左边到C点)，此时C处内空高CD为4m，求此圆弧形所在圆的半径;
【分析】:如图，将圆弧所在圆⊙O还原，得弦AB⊥DE，
过O作OF⊥DE于F，OG⊥AB于G，
可得:CE＝6m，EF＝5m，FO＝5m，
∴OE＝52m
四、反馈练习:
(一)填空:
1.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O 内
2.如图，在⊙O中，半径OA⊥OC，B是OC延长线上一点，AB与⊙O交于点D，»»
2
AD DC
=，则∠B的度数是30°
因为»»
2
AD DC
，所以∠AOD＝2∠COD
因为AO⊥OC，所以∠AOC＝90°，
所以∠AOD＝60°，∠DOC＝30°
因为OA＝OD，所以△OAD是等边三角形，所以∠ADO＝60°
因为△BOD中，∠ADO＝∠B＋∠DOB，所以∠B＋30°＝60°，解得∠B＝30°
3.如图，一宽为2m的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm)，则该圆的半径为5cm.
根据题意得上图．已知弦长和弓形高，求半径．运用垂径定理和勾股定理求解．
解：根据题意得右图，设OC＝r，则OB＝r－2．
因为DC＝8－2＝6cm，根据垂径定理，CB＝6×1
2
＝3cm．
根据勾股定理：r2＝(r－2)2＋32，解得r＝13
4
cm．
4.如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB＝2CD，AB到圆心的距离OM＝1
2 CD，
则大圆与小圆的半径之比为5:2.
5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中»CD，点O是»CD的圆心，其中CD＝600m，E为»CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，则这段弯路的半径为545 m.
6.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2＋CD2的值为28.
7.如图，已知C为⊙O的弦AB上一点，CD⊥OC交⊙O于D，∠OCA＝45°，AC＝8，BC＝4，则CD的长是42.
8.如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，DE⊥AB于
点E，DF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF长度的最小值为(3 ).
(二)解答
1.如图，AB是⊙O的直径，点C是AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO
求证:»»
3
BE AD
=
证明：连接DO，并延长交»BE于点F，连接OE
∵CD＝CO∴设∠CDO＝∠COD＝x，∴∠BOF＝x(对顶角相等)，∠EOF＝2x∴∠BOE＝3x ∴∠BOE＝3∠DOA∴»»
3
BE AD
=
2.已知如图，点O在∠MAN的平分线上，AM交⊙O于B、C，AN交⊙OA于D、E.
求证:∠OCB＝∠ODE.
解：过点O作OF⊥AC，垂足为F，作OG⊥AE，垂足为G，点O在∠MAN的平分线上，OF⊥AC，OG⊥AE，∴OF＝OG∵O为圆心，∴OC＝OD
在Rt△OFC与Rt△OGD中，
OC OD OF OG ì=
ïï
íï
=
ïî
∴Rt△ OFC≌ Rt△OGD(HL)，∴∠OCF＝∠ODG即∠OCB＝∠ODE
3.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P所截的弦AB的长为23，求a的值;
解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接P A．
∵PE⊥AB，AB＝23，半径为2，∴AE＝1
2
AB＝3，P A＝2，
根据勾股定理得：PE＝1，∵点A在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝2
∵⊙P的圆心是（2，a），∴a＝PD＋DC＝2＋2．
4. 一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB 为16m （如图所示），桥拱最高处离水面4m ．
（1）求桥拱半径；
（
2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m ，问水面涨高了多少？
解：（1）设点O 为AB 的圆心，点C 为弧AB 的中点，
连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，由题意得AB ＝16m ，CD ＝4m ，
由垂径定理得OC ⊥AB ，AD ＝
21AB ＝2
1×16＝8（m ）， 设⊙O 半径为xm ，则在Rt △AOD 中， OA 2＝AD 2＋OD 2，即x 2＝82＋（x －4）2，
解得x ＝10，所以桥拱的半径为10m ；
（2）设河水上涨到EF 位置（如上图所示），
这时EF ＝12m ，EF ∥AB ，有OC ⊥EF （垂足为M ），
∴EM ＝
2
1EF ＝6m ， 连接OE ，则有OE ＝10m ， OM ＝8（m ）
OD ＝OC －CD ＝10－4＝6（m ），
DM ＝OM －OD ＝8－6＝2（m ）．
5. 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．
（1）B 处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？。