待定系数法求自然数幂和

待定系数法求自然数幂和
李卫高
【摘要】利用待定系数法求n∑k-lkm,通过建立一个组合公式,得到了一个确定各级自然数幂和公式系数的方法,并结合Matlab软件加以实现.
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2014(030)001
【总页数】3页(P114-116)
【关键词】待定系数法;自然数幂和;组合公式
【作者】李卫高
【作者单位】漯河医学高等专科学校,河南漯河462002
【正文语种】中文
【中图分类】O17
自然数幂和是一个很古老的问题，人们很早就熟悉了低次幂求和公式，也提供了低次幂求和的宝贵经验.直到现在，任意次自然数幂求和仍是人们关心的话题，其中所用的方法各种各样，结果也不尽相同.笔者通过利用二项式定理展开一个和式，并加以整理，得到了一个含有任意次自然数幂和的式子.经过赋值合并，给出了隔次自然数幂和组合公式，由此公式，用待定系数法，最终得到了和伯努利公式类似的幂和公式.
由
+…
(这里上式中令x=1，得
(1)
令x=-1，得
(2)
(2)-(1)，得
(3)
(3)式是一个关于隔次自然数幂和组合公式，以下为方便起见，在书写与m有关的有限项连加式的时候，因最后一项与m的奇偶性有关，只写前面的项，后面略去. 利用(3)式可逐次求得例如
m=1时，有
m=2时，有
m=3时，有解得
m=4时，有解得
如此，根据(3)式，只要低次自然数幂和已知，便可算出高次自然数幂和.通过计算不难发现，以上所得幂和公式都是n的多项式，并且次数比幂和的次数大1，没有常数项.根据公式(3)不难推断，任意次数的幂和公式都符合这一点.所以不妨先设出的一般表达式，用待定系数法，对不同次幂和系数间的关系作一探讨.
设代入(3)式右端，
(3)式左端，
比较左右两端的系数，得
所以
其中λk由如下式子确定：
例如
k=2时，有解得
k=4时，有解得
用以上数据，表示出
由得
进一步计算可算出
λk是固定的数值，它的计算可以通过设定计算机程序，将计算的结果做成表格，供我们计算的表达式或具体值.在Matlab中，通过以下程序，给出了前20个λk 的数值：
n=input(′n=′)
A(1,1)=factorial(2);b(1)=1/2-1/3;
for k=2:1:n
for j=1:k
A(k,j)=factorial(2*k)/[factorial(2*(k-j)+1)*factorial(2*j-1)];
end
b(k)=1/2-1/(2*k+1);
end
x(1)=1/12;
for k=2:1:n
for j=1:k-1
b(k)= b(k)-A(k,j)*x(j);
end
x(k)=b(k)/A(k,k);
end
x
输入n=20：
根据λk的数值，就可把的幂和公式表示为
查阅资料可以发现，上述结果和历史上伯努利的幂和公式是类似的.
雅谷·伯努利(1654-1705)在《猜度术》(1713)中得到任意次幂的求和公式，根据他的原著，此式表示为
式中A=1/6, B=-1/30, C=1/42, D=-1/30, …是著名的伯努利数.
[参考文献]
【相关文献】
[1] 罗见今.自然数幂和公式的发展[J].高等数学研究，2004，7(4)：56-61.
[2] Heath T L. 阿基米德全集. 朱恩宽，李文铭,等译[M].西安：陕西科学技术出版社, 1998.。