湘教版数学选修2-24.1.3知能演练轻松闯关.docx

1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率
B ．在x 0处的变化率
C ．在x 1处的变化量
D ．在区间[x 0，x 1]上的导数
答案：A
2.(2012·永川调研)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，d ＝0.1时，f (x ＋d )－f (x )的值为(
) A ．0.40 B ．0.41
C ．0.43
D ．0.44
解析：选B.f (x ＋d )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.
3.已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
解析：选B.f （32＋d ）－f （32）d ＝－d －3，
当d 趋于0时，－d －3趋于－3，故选B.
4.(2012·江北检测)已知f ′(1)＝1，则当d →0时，f （1＋d ）－f （1）d →________．
解析：当d →0时，f （1＋d ）－f （1）d →f ′(1)＝1.
答案：1
一、选择题
1.已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋d ，f (1＋d ))，则f （1＋d ）－f （1）d
等于( )
A ．4
B ．4x
C ．4＋2d
D ．4＋2d 2
解析：选C.f （1＋d ）－f （1）d ＝2（1＋d ）2－4＋2d ＝2d 2＋4d d
＝2d ＋4. 2.(2012·大渡口调研)正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )
A ．8
B ．7
C.72 D ．1
解析：选B.V ＝V （2）－V （1）2－1
＝23－13＝7. 3.球的半径从a 增加到a ＋h 时，球表面积的平均变化率为( )
A ．π(2a ＋h )
B ．π(a ＋h )
C ．4π(2a ＋h )
D ．4π(a ＋h )
解析：选C.S ＝S （a ＋h ）－S （a ）h ＝4π（a ＋h ）2－4πa 2h
＝4π(2a ＋h )．
4.一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )
A ．7 m/s
B ．6 m/s
C ．5 m/s
D ．8 m/s
解析：选C.s （3＋d ）－s （3）d
＝1－（3＋d ）＋（3＋d ）2－（1－3＋32）d
＝5＋d ， 当d 趋于0时，5＋d 趋于5.
5.球的半径r ＝a 时，球表面积相对于r 的瞬时变化率为( )
A ．2a π
B ．a π
C ．8a π
D ．4a π
解析：选C.4π（a ＋d ）2－4πa 2d
＝4π(2a ＋d )， 当半径的改变量d 趋于0时，4π(2a ＋d )趋于8a π.
即球表面积相对于r 的瞬时变化率为8a π.
6.(2012·南开检测)若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋d ](d >0)上的平均变化率不大于－1，则d 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选A.f （2＋d ）－f （2）d
＝－（2＋d ）2＋（2＋d ）－（－4＋2）d
＝－3－d . ∴由－3－d ≤－1得d ≥－2.
又∵d >0，∴d 的取值范围是(0，＋∞)．
二、填空题
7.函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为______．
解析：当自变量从－2变化到－2＋d 时，函数平均变化率
（－2＋d ）2－2（－2＋d ）＋1－（4＋4＋1）d
＝d －6. 答案：d －6
8.质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 解析：s （2＋d ）－s （2）d ＝1（2＋d ）2－1
22d ＝－4－d 4（2＋d ）2
， 当d 趋于0时，－4－d 4（2＋d ）2趋于－14， 所以质点在t ＝2时的速度为－14
. 答案：－14
9.(2012·渝北检测)函数f (x )＝23x 2－2，则f ′(－12
)＝________． 解析：f （－12＋d ）－f （－12）d
＝23×（－12＋d ）2－2－[23×（－12）2－2]d
＝－23＋23
d ， 当d 趋于0时，－23＋23d 趋于－23，∴f ′(－12)＝－23
. 答案：－23
三、解答题
10.球半径r ＝a 时，计算球体积相对于r 的瞬时变化率．
解：半径r 从a 增加到a ＋d 时，球体积的平均变化率为：
43π（a ＋d ）3－43πa 3d
＝43π（3a 2d ＋3ad 2＋d 3）d
＝4πa 2＋4πad ＋43
πd 2， 当d 趋于0时，
4πa 2＋4πad ＋43
πd 2趋于4πa 2. 即球半径r ＝a 时，球体积相对于r 的瞬时变化率为4πa 2.
11.(2012·沙坪坝检测)求曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积．
解：∵y ′＝lim
d →0 （x ＋d ）3－x 3d ＝3x 2， ∴切线斜率为3，切线方程为y －1＝3(x －1)，
即y ＝3x －2，
切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0，与直线x ＝2的交点为(2，4)，所以所围成的三角形的面积为12
⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83
. 12.(创新题)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？
解：在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，
但s 1(t 0－d )>s 2(t 0－d )，故
s 1（t 0）－s 1（t 0－d ）d <s 2（t 0）－s 2（t 0－d ）d
， 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．。