2020年四川省德阳市广汉市中考数学一诊试卷(附答案详解)

2020年四川省德阳市广汉市中考数学一诊试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. (2021·山东省枣庄市·历年真题)−2的倒数是( )
A. 2
B. −2
C. 1
2
D. −1
2
2. (2021·河南省·月考试卷)下列各式变形中，正确的是( )
A. x 2⋅x 3=x 6
B. √x 2=|x|
C. (x 2−1
x )÷x =x −1
D. x 2−x +1=(x −1
2)2+1
4
3. (2020·四川省德阳市·模拟题)下列二次根式中是最简二次根式的是)
A. √15
B. √18
C. √27
D. √12
4. (2020·四川省德阳市·模拟题)国家能源局发布的《2019年全国光伏发电统计信息》
数据显示，截至2019年底，全国光伏发电装机较上年新增4426万千瓦.请将数据4426万用科学记数法表示为)
A. 4.426×107
B. 4.426×106
C. 44.26×106
D. 0.4426×107
5. (2020·四川省德阳市·模拟题)如图，已知直线a//b ，直角三
角形顶点C 在直线b 上，且∠A =55°，若∠1=58°，则∠2的度数是( )
A. 35°
B. 32°
C. 38°
D. 42°
6. (2020·四川省德阳市·模拟题)二元一次方程组{x +y =52x −y =4
的解为( )
A. {x =1
y =4
B. {x =2
y =3
C. {x =3
y =2
D. {x =4
y =1
7. (2021·江苏省淮安市·模拟题)某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所
示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是( ) 动时间(小时) 3 3.5
4 4.5
人数
1
1
2
1
A. 中位数是4，平均数是3.75
B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8
D. 众数是2，平均数是3.8
8.(2020·四川省德阳市·模拟题)四张完全相同的卡片上，分别画有线段、平行四边形、
等边三角形和圆，现从中随机抽取两张，卡片上画的恰好都是轴对称图形的概率为()
A. 1
B. 3
4C. 1
2
D. 1
4
9.(2020·四川省德阳市·模拟题)把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，再向右平移1
个单位，得到的抛物线是()
A. y=−2(x+1)2+1
B. y=−2(x−1)2+1
C. y=−2(x−1)2−1
D. y=−2(x+1)2−1
10.(2020·四川省德阳市·模拟题)关于x的方程2x2+ax+b=0的两个根是1和−2，则
b a的值为()
A. −8
B. 8
C. 16
D. −16
11.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=
90°，∠BAC=30°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺
时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对
应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为
()
A. 6
B. 4√3
C. 3√3
D. 3
12.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，是二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，
a≠0)图象的一部分，与x轴的交点在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线x=1.对于下列说法：①ab<0；②3a+c>0；③2a+b=0；④a+b≥m(am+b)(m 为实数)；⑤当−1<x<3时，y>0，其中正确结论为()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
13.(2020·四川省德阳市·模拟题)因式分解：x2y−4y3=______．
14.(2020·四川省德阳市·模拟题)关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有实数根，则
实数m的取值范围是______ ．
15.(2020·四川省德阳市·模拟题)肖东同学从−2，−1，0，1，2，3这六个数中任选一个
数，满足不等式x+1<2的概率是______ ．
16.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪
开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=1cm，
扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线l的长为______ cm．
17.(2020·四川省德阳市·模拟题)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴一个交点为
(−2,0)对称轴为直线x=1，当y<0时x的取值范围是______ ．
18.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AD平分∠CAB，且DE⊥AB，如果BE=√3cm，DE=1cm，
则BC等于______ ．
19.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，在平面直角坐标系内，
以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=√3x−
2√3上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA
的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共74.0分）
20.(2020·四川省德阳市·模拟题)计算：(2020−√2)0−2−1+|1−√3|+cos245°−
√12．
21.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，已知矩形ABCD中，E
是AD上一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC．
(1)求证：△AEF≌△DCE．
(2)若DE=5cm，矩形ABCD的周长为38cm，求AE的长．
22.(2020·四川省德阳市·模拟题)某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生
中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？
(2)求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
(3)若该中学八年级共有800名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果
为D等级的学生有多少名？
(4)若从体能为A等级的2名女生和2名男生中随机的抽取2名学生，所抽取的两
人恰好都是女生做为该校培养运动员的重点对象的概率.请用列表或画树状图的方法求出．
23.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=
1 2x的图象与反比例函数y=k
x
的图象交于A点和B(a,2)点．
(1)求反比例函数的解析式和点A的坐标；
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点
C，连接PO.若△POC的面积为2，求点P的坐标．
24.(2020·四川省德阳市·模拟题)2020年我国人们生活水平全面进入小康社会，为此对
饮水品质的需求也越来越高，红星商场购进甲、乙两种型号的净水器，已知每台乙型净水器比每台甲型净水器进价少200元，已知用4.5万元购进乙型净水器的数量与用5万元购进甲型净水器的数量相等．
(1)求每台甲型、乙型净水器的进价各是多少元？
(2)该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净
水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器
的利润中按每台m元(70<m<80)捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金.设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最终利润为W元，求W的最大值(用m的代数式表示)．
25.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图，在⊙O中，AB为直
径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长
线上有一点E，且EF=ED．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tanA=1
，试探究线段AB和BE之间的数量关系，
2
并证明．
26.(2020·四川省德阳市·模拟题)如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两
点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，问当点P在抛物线什么位置时PG取得最大值并求出此时PG的长度；
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【知识点】倒数 【解析】 【分析】
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】
解：∵−2×(−1
2)=1， ∴−2的倒数是−12． 故选D ．
2.【答案】B
【知识点】多项式乘多项式、同底数幂的乘法、二次根式的性质、分式的混合运算 【解析】解：A 、x 2⋅x 3=x 5，故此选项错误； B 、√x 2=|x|，正确；
C 、(x 2−1
x )÷x =x −1
x 2，故此选项错误； D 、x 2−x +1=(x −1
2)2+3
4，故此选项错误； 故选：B ．
直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】解：A 、√15是最简二次根式，符合题意； B 、√18=3√2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、√27=3√3，不是最简二次根式，不符合题意；
D、√12=2√3，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
4.【答案】A
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：4426万=44260000=4.426×107．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】解：∵直线a//b，
∴∠3=∠1=58°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠2=32°，
故选：B．
依据直线a//b，即可得到∠3=∠1=57°，再根据∠ACB=90°，即可得到∠2=33°．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】C
【知识点】灵活选择解法解二元一次方程(组)、方程组的解、二元一次方程组的解
【解析】解：{x+y=5 ①2x−y=4 ②
①+②，得3x=9，解得x=3，
把x =3代入①， 得3+y =5， y =2，
所以原方程组的解为{x =3
y =2．
故选：C ．
根据加减消元法，可得方程组的解．
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．本题还可以根据二元一次方程组的解的定义，将四个选项中每一组未知数的值代入原方程组进行检验．
7.【答案】C
【知识点】加权平均数、中位数、众数
【解析】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4， ∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数， 故中位数为：4， 平均数为：
3+3.5+2×4+4.5
5
=3.8．
故选：C ．
根据众数、平均数和中位数的概念求解．
本题考查了众数、中位数及加权平均数的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．
8.【答案】C
【知识点】轴对称图形、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：把线段、平行四边形、等边三角形和圆分别记为：A 、B 、C 、D ， 画树状图如图：
共有12个等可能的结果数，其中卡片上画的恰好都是轴对称图形的结果数为6个， ∴卡片上画的恰好都是轴对称图形的概率为6
12=1
2， 故选：C ．
画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中卡片上画的恰好都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
9.【答案】B
【知识点】二次函数图象与几何变换
【解析】
【分析】
易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项系数利用顶点式可得抛物线解析式．
考查二次函数的平移情况，二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
【解答】
解：∵函数y=−2x2的顶点为(0,0)，
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为(1,1)，
∴将函数y=−2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+1，
故选：B．
10.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系*
【解析】解：∵关于x的方程2x2+ax+b=0的两个根是1和−2，
∴−a
2=−1，b
2
=−2，
∴a=2，b=−4，
∴b a=(−4)2=16．
故选：C．
由方程的两根结合根与系数的关系可求出a、b的值，将其代b a中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出a、b的值是解题的关键．
11.【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形、旋转的基本性质
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×2=4，∠B=60°，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，
∴A′B′=AB=4，CA=CA′，CB′=BC=2，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴∠A′AC=∠A′=30°，
∵∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA=∠B′AC=30°，
∴B′C=B′A=2，
∴AA′=A′B′+B′A=4+2=6．
故选：A．
先计算出AB=4，再根据旋转的性质得到A′B′=AB=4，CA=CA′，CB′=BC=2，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，接着计算出∠B′CA=∠B′AC=30°，则B′C= B′A=2，然后计算A′B′+B′A即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
12.【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象与系数的关系
【解析】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab<0，故正确；
=1，
②∵对称轴x=−b
2a
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=−2a，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，
∴a−(−2a)+c=3a+c<0，故错误；
④根据图示知，当x=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c<a+b+c，
所以a+b≥m(am+b)(m为实数)．
故正确．
⑤如图，当−1<x<3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b= 0；当x=−1时，y=a−b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>0．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c 决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)．
13.【答案】y(x−2y)(x+2y)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】解：原式=y(x2−4y2)=y(x−2y)(x+2y)．
故答案为：y(x−2y)(x+2y)．
首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14.【答案】m≤2
【知识点】根的判别式
【解析】解：根据题意得△=(−4)2−4×2m≥0，
解得m≤2，
故答案为m≤2．
根据判别式的意义得到△=(−4)2−4×2m≥0，然后解关于m不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
15.【答案】1
2
【知识点】一元一次不等式的解法、概率公式
【解析】解：在−2，−1，0，1，2，3这六个数中，满足不等式x+1<2的有−2，−1、0这，3个，
所以满足不等式x+1<2的概率是3
6=1
2
，
故答案为：1
2
．
找到满足不等式x+1<2的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
．
16.【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】解：根据题意得2π×1=120π⋅l
180
，
解得，l=3，
即该圆锥母线l的长为3cm．
故答案为3．
利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等
于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×1=120π⋅l
180
，然后解关于l的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】−2<x<4
【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数的性质
【解析】解：抛物线与x轴一个交点为(−2,0)对称轴为直线x=1，
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为(4,0)，
∵a>0，
故抛物线开口向上，
则当y<0时x的取值范围是−2<x<4，
故答案为−2<x<4．
抛物线与x轴一个交点为(−2,0)对称轴为直线x=1，则根据函数的对称性，抛物线和x 轴的另外一个交点的坐标为(4,0)，进而求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．18.【答案】3cm
【知识点】角平分线的性质
【解析】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE=1，
在Rt△BDE中，BD=√BE2−DE2=√(√3)2+12=2，
∴BC=BD+DC=2+1=3(cm)．
故答案为3．
先根据角平分线的性质得到DC=DE=1，再利用勾股定理计算出BD，然后计算BD+ DC即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19.【答案】√2
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、垂线段最短、切线的性质
【解析】解：如图，
设直线y=√3x−2√3与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=√3x−2√3=2√3，则D(0,−2√3)，
当y=0时，√3x+2√3=0，解得x=−2，则C(2,0)，
∴CD=√22+(2√3)2=4，
∵1
2OH⋅CD=1
2
OC⋅OD，
∴OH=2×2√3
4
=√3，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA=√PA2−OA2=√PA2−12，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值=√(√3)2−1=√2，
故答案为：√2．
直线y=√3x−2√3与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D(0,−2√3)，C(2,0)，再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=√3，连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=√OP2−1，然后利用垂线段最短求PA的最小值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
20.【答案】解：原式=1−1
2+√3−1+(√2
2
)2−2√3 =−
1
2
+√3+
1
2
−2√3
=−√3．
【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．
∴△AEF≌△DCE(AAS)．
(2)解：∵由(1)可得△AEF≌△DCE．
∴AE=CD．
∴AD=AE+5．
又∵矩形ABCD的周长为38cm，
∴2(AE+AE+5)=38．
∴AE=7(cm)．
答：AE的长为7cm．
【知识点】等腰直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质
【解析】(1)根据矩形的每一个角都是直角求出∠A=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出AEF=∠ECD，然后利用“角角边”证明即可；
(2)根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，再根据矩形ABCD的周长为38cm，即可求得AE的长．
此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．
22.【答案】解：(1)10÷20%=50(名)，
即本次抽样调查共抽取了50名学生；
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
(2)测试结果为C等级的学生数为：50−10−20−4=16(人)；
补全条形图如图1所示：
(3)800×4
=64(名)，
50
即估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有64名；
(4)画树状图为：
共有12个等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为2个，
∴抽取的两人恰好都是女生的概率=2
12=1
6
．
【知识点】扇形统计图、全面调查与抽样调查、用样本估计总体、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】(1)由A等级的人数和所占百分比求解即可；
(2)由抽样总人数减去A、B、D的人数求出C等级的学生数，补全条形图即可；
(3)八年级共有学生800名乘以D等级的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23.【答案】解：(1)把B(a,2)代入y=1
2
x，得a=4，
∴B(4,2)．
把B(4,2)代入y=k
x
，得k=8．
∴y=8
x
，
∵点A与点B关于原点对称，
∴A(−4,−2)；
(2)延长PC交x轴于点E，
设P(m,8
m
)(m>0)，
∴C(m,1
2
m)．
∵S△POC=1
2⋅m⋅|8
m
−1
2
m|=2，
∴m2
2−8=4或8−1
2
m2=4，
解得m=2√6或m=2√2，
∴P(2√6,2√6
3
)或(2√2,2√2).
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】(1)把B(a,2)代入y=1
2x，可得B(4,2)，把B(4,2)代入y=k
x
，可得反比例函数
的表达式为y=8
x
，再根据点A与点B关于原点对称，即可得到A的坐标；
(2)过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P(m,8
m )，则C(m,1
2
m)，根据△POC的面积
为2，可得方程1
2m×|1
2
m−8
m
|=2，求得m的值，即可得到点P的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
24.【答案】解：(1)设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是(x+ 200)元．
根据题意，得50000
x+200=45000
x
，
解得x=1800，
经检验，x=1 800是原分式方程的解，且符合题意．
∴x+200=2000，
答：每台甲型净水器的进价是2 000元，每台乙型净水器的进价是1 800元；
(2)设购进甲型净水器a台，则购进乙型净水器(50−a)台．
根据题意，得2000a+1800(50−a)≤98000，
解得a≤40．
W=(2500−2000−m)a+(2200−1800)(50−a)=(100−m)a+20000．
∵100−m>0，
∴W随a的增大而增大．
∴当a=40时，W取得最大值，最大值为(25000−40m)元．
【知识点】列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用【解析】(1)设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是(x+200)元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进甲型净水器a台，则购进乙型净水器(50−a)台，根据总价=单价×数量结合
总价不超过9.8万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由总利润=每台利润×购进数量，即可得出W关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】(1)证明：连接OD，如图所示：
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∵OC⊥AB，
∴∠OCF+∠OFC=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠FDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
又∵点D在⊙O上，
∴DE与⊙O的切线；
(2)解：AB=3BE，证明如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ODE=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
∵∠E=∠E，
∴△EBD∽△EDA，
∴DE
AE =BE
DE
=BD
AD
，
在Rt△ABD中，tanA=BD
AD =1
2
，
∴DE
AE =BE
DE
=1
2
，
∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，
∴AB =3BE ．
【知识点】解直角三角形、切线的判定与性质、圆周角定理
【解析】(1)连接OD ，由等腰三角形的性质得得出∠FDE =∠DFB ，∠OCF =∠ODF ，证出∠ODC +∠FDE =∠ODE =90°，进而可得出DE 是⊙O 的切线；
(2)先由圆周角定理得∠ADB =90°，则∠ADO =∠BDE ，再证△EBD∽△EDA ，得DE AE =BE DE =BD AD =12，即可解决问题． 本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定与性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵矩形OBDC 的边CD =1，
∴OB =1，
∵AB =4，
∴OA =3，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
把A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx +2可得{a +b +2=09a −3b +2=0，解得{a =−23b =−43
， ∴抛物线解析式为y =−23x 2−43x +2；
(2)在y =−23x 2−43x +2中，图象与y 轴交于点C ，
∴2=−23x 2−43x +2， 解得x =0或x =−2，
∴E(−2,2)，
∴直线OE 为y =−x ，
设点P(m,−23m 2−43m +2)，
∵PG//y 轴，
∴G(m,−m)，
∵P 在直线OE 的上方，
∴PG =−23m 2−43m +2−(−m)=−23m 2−13m +2=−23(m +14)2+4924，
∴当m =−14时，PG 有最大值，最大值为49
24；
(3)存在，理由：
①当AC 为平行四边形的边时，
则有MN//AC ，且MN =AC ，
如图，过M 作对称轴的垂线，垂足为F ，设AC 交对称轴于点L ，
则∠ALF =∠ACO =∠FNM ，
在△MFN 和△AOC 中，
{∠MFN =∠AOC ∠FNM =∠ACO MN =AC
，
∴△MFN≌△AOC(AAS)，
∴MF =AO =3，
即点M 到对称轴的距离为3，
又y =−23x 2−43x +2，
∴抛物线对称轴为x =−1，
设M 点坐标为(x,y)，则|x +1|=3，解得x =2或x =−4，
当x =2时，y =−103，当x =−4时，y =
103， ∴M 点坐标为(2,−103)或(−4,−103)；
②当AC 为对角线时，
设AC 的中点为K ，
∵A(−3,0)，C(0,2)，
∴K(−32,1)，
∵点N 在对称轴上，
∴点N的横坐标为−1，
设M点横坐标为x，
∴x+(−1)=2×(−3
2
)=−3，解得x=−2，此时y=2，∴M(−2,2)；
综上可知点M(2,−10
3)或(−4,−10
3
)或(−2,2)．
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)求出A(−3,0)，B(1,0)，再用待定系数法即可求解；
(2)设点P(m,−2
3m2−4
3
m+2)，则G(m,−m)，求出PG=−2
3
m2−4
3
m+2−(−m)=
−2
3m2−1
3
m+2=−2
3
(m+1
4
)2+49
24
，即可求解；
(3)分AC为边、AC为对角线两种情况，利用相似和中点公式，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等、矩形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。