四川省雅安市天全中学2017届高三9月月考数学(理)试题 含答案

2016—2017学年度上期天全中学9月考
高三数学试卷(理科）
考试时间:120分钟； 命题人:高文斌 审题人：高 构
第I 卷（选择题)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}{}2
0,1,2,3,4,5,1,2,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B =（
）
A ．{}0,1,2,3
B ．{}5
C ．{}1,2,4
D ．{}0,4,5
2。

已知复数z
满足(
)
1z +=(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的
点位于（ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3。

下列命题中正确的是（ ）
A ．若αβ>，则sin sin αβ>；
B ．命题：“2
1,1x x
∀>>"的否定是“21,1x x ∃≤≤”
C ．直线20ax y ++=与40ax y -+=垂直的充要条件为1a =±；
D ．“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题为“若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠" 4。

已知a R ∈，则“2a >”是“2
2a a >"的（ ）
A ．充分非必条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非
充分也非必要条件 5。

设函数
()()21
1log 21
21x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩
则()()22log 12f f -+等于( ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6。

函数()y f x =在[]0,2上单调递增，且函数()2f x +是偶函数，则下列结论成立的是（ ）
A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
D ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
7.已知函数()1
2
3,1
log ,1x x f x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩，则()2y f x =-的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知2,3,19a b a b ==+=，则a b -等于（ ）
A 13
B 15
C 17
D 79。

要得到函数sin 43y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图像，
只需要将函数sin 4y x =的图像（ ） A ．向左平移12
π个单位 B ．向右平移12
π个单位 C ．向左平移3
π个单
位 D ．向右平移3
π个单位
10.设{}n
a 是首项为1
a ，公差为—1的等差数列，n
S 为前n 项和，若1
2
4
,,S S S
成等比数列,则1
a =（ ）
A ．2
B ．—2
C ．12
D ．12
-
11。

设曲线1cos sin x y x
+=在点,12
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线与直线10x ay -+=平行,则实数a
等于( )
A ．—1
B ．12
C ．-2
D ．2
12.设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间,若存在0
x
D ∈，使()00f x x =-，
则称0
x 是()f x 的一个“次不动点”,也称()f x 在区间D 上存在“次不动
点”，若函数()2
5
32
f x ax
x a =--+
在区间[]1,4上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),0-∞
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13。

函数()()2
ln 23f x x
x =-++的单调减区间为____________．
14。

下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是___________． ①:2p m <-或2
6;:3m q y x
mx m >=+++有两个不同的零点；
②()()
():1,:f x p q y f x f x -==是偶函数；③:cos cos ;:tan tan p q αβαβ==; ④:;:U U p A
B A q
C B C A =⊆;
15。

设,x y 满足约束条件1
101
x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨
⎪-≤⎩
,则目标函数2y
z x =-的取值范围为___________．
16。

已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x
f x =-,函数
()22g x x x m =-+，如果对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =,则实数m 的
取值范围是__________．
三、解答题 (本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17。

(本小题满分10分) 已知函数()()1
2,22
x
x f x g x ==
+． （1）求函数()g x 的值域；
（2)求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．
18。

（本小题满分12分） 已知:p 函数()2
1lg 16f x ax
x a ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
的定义域为;:1R q a ≥．
如果命题“p q ∨为真，p q ∧为假"，求实数a 的取值范围．
19.（本小题满分12分)
已知向量()2,sin a θ=与()1,cos b θ=互相平行，其中0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
．
(1）求sin θ和cos θ的值；（2）若()sin 102
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值．
20。

（本小题满分12分） 数列{}n
a 满足()()*1
11,11,n n a
na n a n n n N +==+++∈．
(1）证明：数列n
a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
(2）设
3n
b
={}n
b 的前n 项和n
S ．
21。

（本小题满分12分） 已知函数()()2
2
11ln 2
2f x x a
a x x a ⎛
⎫=---≤ ⎪⎝
⎭．
（1）
若函数()f x 在2x =处取得极值，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
（2） 讨论函数()f x 的单调性； （3） 设()2
2ln g x a
x x =-，
若()()f x g x >对1x ∀>恒成立，求实数a 的取值范围．
22. （本小题满分12分） 已知函数2
2()2ln 2f x x x x
ax a =-+-+，其中0a >.
(Ⅰ）设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解。

2016—2017学年度上期天全中学9月考
高三数学试卷（理科）参考答案
一、选择题 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 D A C A C D A D B[来源：学科网］
D A D
二、填空题
13．(1,3) 14．①④ 15．22[,]33
- 16．[5,2]--
三、解答题
17. 解：（1）g(x)=+2=(）|x ｜+2， 因为|x ｜≥0， 所以0〈（)｜x ｜≤1,
即2〈g （x ）≤3，故g （x)的值域是（2，3］。

（2）由f(x ）-g （x)=0，得2x -—2=0，
当x ≤0时,显然不满足方程，即只有x 〉0时满足2x --2=0，整理得（2x )2—2·2x —1=0，
（2x —1)2=2，故2x =1±,因为2x >0，所以2x =1+，即x=log 2（1+). 18. 解：若p 真q
假，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=∆>1
0161410
a a a a ，解得∅∈a ， 若p 假q 真时1≤a ≤2．
综上，实数a 的取值范围是1≤a ≤2．
19。

解：（1）因为向量a=(2，sin θ）与b=（1,cos θ)互相平行， 所以sin θ=2cos θ，又sin 2θ+cos 2θ=1，由θ∈(0， ）, 则sin θ=，cos θ=。

则cos （θ—ϕ）===，
则有cos ϕ=cos ［θ—（θ—ϕ）］
=cos θcos(θ—ϕ）+sin θsin(θ—ϕ）=×+×=。

20. 解：（1）由1
(1)(1)n n na
n a n n +=+++得
111n n a a n n +=++,所以n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为公差的等差数列 (2)由(1）得1(1)11
n a a n n n =+-⨯=，所以2n a n =
33n n n b a n ==•
所以231323333n n
S
n =⨯+⨯+⨯+
+⨯——————---—①
234
13132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯-—--—②
①-②得：2
3
4
1
13(13)2333333
313
n n n n n
S n n ++⨯--=++++-⨯=-⨯-
所以113(13)3(21)33
4244
n n n n n n S ++⨯-⨯-⨯=
+=+ 21.解:
(1)由()()11a a f x x x
-='--，()20f '=，得1a =-或2a =（舍去)
经检验，当1a =-时，函数()f x 在2x =处取得极值。

1a =-时，()2
12ln 2
f x x x x =
--，()21f x x x =--'
则()112
f =-，()12f '=-
所以所求的切线方式为()1212
y x +=--,整理得4230x y +-=
（2)()f x 定义域为()0,+∞
()21a a
f x x x -='--()
22x x a a x
---=
()()1=x a x a x -+-， 令()0f x '=，得x a =或1x a =- ∵12
a ≤，则1a a ≤-,且10a ->
①当12
a =时，1102
a a =-=>，()0f x '≥，此时()f x 在()0,+∞上单调递增;
②当102
a <<时,()f x 在()0,a 和()1,a -+∞上单调递增,在(),1a a -上单调递减；
③当0a ≤时，()f x 在()0,1a -上单调递减，()1,a -+∞上单调递增。

(3）由题意，()
2
2
221ln ln 2
x a
a x x a x x --->-,
即()
2222
1ln ln 2x a a x a x -->，即2232ln x a a x
-<对任意1x >恒成立，
令()2
2ln x h x x
=，则()()22ln 12ln x x h x x -'=，
令()0h x '=，得e x =即()h x 在(e
上单调递减，)e,+∞
上单调递增，
当e x =()h x 取得最小值e e h
=
∴2
3e a
a -<1112e 1112e
a -+++<<
又∵1
2a ≤，所以a 的取值范围为1112e 12⎤-+⎥⎝
⎦
22。

本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的
零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。

（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞,
()()2(1ln )g x f x x x a '==---，所以22(1)
()2x g x x
x
-'=-=
当(0,1)x ∈时,()0,()g x g x '<单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增
(Ⅱ）由()2(1ln )0f x x x a '=---=，解得1ln a x x =--
令2
2
2
()2ln 2(1ln )(1ln )(1ln )2ln x x x x x x x x x x x x ϕ=-+---+--=+-， 则(1)10,()2(2)0e e ϕϕ=>=-<于是,存在0
(1,)x e ∈，使得0
()0x ϕ= 令0
1ln ()a x x u x =--=，其中()1ln (1)u x x x x =--≥
由1()10u x x
'=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增
故0
0(1)()()21u a u x u e e =<=<=-< 即0
(0,1)a ∈ 当0
a a =时，有0
()0,()()0f x f x x ϕ'===
再由(Ⅰ）知,()f x '在区间(1,)+∞上单调递增， 当0
(1,)x x ∈时，()0f x '<，从而0
()()0f x f x >=; 当0
(,)x x ∈+∞时,()0f x '>,从而0
()()0f x f x >=； 又挡(0,1]x ∈时,2
()()2ln 0f x x a x x =--> 故(0,)x ∈+∞时，()0f x ≥ 综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解。