2013年中学考试数学试卷分类总汇编-等边三角形

标准
等边三角形
1、（ 2013 凉山州）如图，菱形ABCD中，∠ B=60°， AB=4，则以 AC为边长的正方形ACEF的周长为（）
A． 14B． 15C． 16D． 17
考点：菱形的性质；等边三角形的判断与性质；正方形的性质．
剖析：依据菱形得出 AB=BC，得出等边三角形 ABC，求出 AC，长，依据正方形的性质得出
AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴A B=BC，
∵∠ B=60°，
∴△ ABC是等边三角形，
∴A C=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4× 4=16，
应选 C．
评论：本题考察了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判断的应用，重点是求出
AC的长．
2、（ 2013? 自贡）如图，将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰巧围成一个底面是
正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）
A B 9 C D
．．．．
考剪纸问题；睁开图折叠成几何体；等边三角形的性质．3718684
点：
专操作型．
题：
分这个棱柱的侧面睁开正好是一个长方形，长为3，宽为 3 减去两个三角形的高，再析：用长方形的面积公式计算即可解答．
解解：∵将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰巧围成一个底面是正三角形
答：的棱柱，
∴这个正三角形的底面边长为1，高为= ，
∴侧面积为长为 3，宽为 3﹣的长方形，面积为9﹣3 ．
标准
应选 A．
点本题主要考察了剪纸问题的实质应用，着手操作拼出图形，并能正确进行计算是解评：答本题的重点．
3、（ 2013? 雅安）如图，正方形连结 AC交 EF 于 G，以下结论：①
⑤S△CEF=2S△ABE．此中正确结论有（ABCD中，点 E、F 分别在 BC、CD上，△ AEF是等边三角形，BE=DF，②∠ DAF=15°，③ AC垂直均分 EF，④ BE+DF=EF，）个．
A 2
B 3
C 4
D 5
．．．．
考正方形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质．
点：
分经过条件能够得出△ ABE≌△ ADF而得出∠ BAE=∠ DAF，BE=DF，由正方形的性质便可析：以得出 EC=FC，就能够得出AC垂直均分 EF，设 EC=x，BE=y，由勾股定理就能够得出 x 与 y 的关系，表示出BE与 EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和 2S△ABE再经过比较大小就能够得出结论
解解：∵四边形ABCD是正方形，
答：∴ AB=BC=CD=AD，∠ B=∠ BCD=∠ D=∠BAD=90°．
∵△ AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠
EAF=60°．∴∠ BAE+∠
DAF=30°．
在 Rt △ABE和 Rt △ ADF中，
，
Rt △ ABE≌ Rt △ ADF（ HL），
∴BE=DF，①正
确．∠
BAE=∠DAF，
∴∠ DAF+∠ DAF=30°，
即∠ DAF=15°②正确，
∵BC=CD，
∴BC﹣ BE=CD﹣
DF，及 CE=CF，
∵ AE=AF，
∴AC垂直均分 EF．③正
确．设 EC=x，由勾股定理，
得
文案
∴AC=，
∴AB=，
∴ BE=﹣x=，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，④错误，
∵ S△CEF= ，
S△ABE==，
∴2S△ABE= =S△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有 4 个，应选 C．
点本题考察了正方形的性质的运用，全等三角形的判断及性质的运用，勾股定理的运
评：用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定
理的性质解题时重点．
4、（ 2013? 十堰）如图，梯形ABCD中， AD∥ BC， AB=DC=3， AD=5，∠ C=60°，则下底BC的长为（）
A 8
B 9
C 10
D 11
．．．．
考等腰梯形的性质；等边三角形的判断与性质．3718684
点：
分第一结构直角三角形，从而依据等腰梯形的性质得出∠B=60°， BF=EC， AD=EF=5，
析：求出 BF即可．
解解：过点 A 作 AF⊥ BC于点 F，过点 D 作 DE⊥ BC于点 E，
答：∵梯形 ABCD中， AD∥ BC，AB=DC=3，AD=5，∠ C=60°，
∴∠ B=60°， BF=EC， AD=EF=5，
∴cos60 ° = = = ，
解得： BF=1.5，
故 EC=1.5，
∴BC=1.5+1.5+5=8 ．
应选： A．
点本题主要考察了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，依据已知得出BF=EC的评：长是解题重点．
5、（ 2013? 牡丹江）如图，在△ABC中∠ A=60°， BM⊥ AC于点 M， CN⊥ AB于点 N， P 为 BC 边的中点，连结PM，PN，则以下结论：① PM=PN；②；③△ PMN为等边三角形；④当
∠ABC=45°时， BN= PC．此中正确的个数是（）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
．．．．
考相像三角形的判断与性质；等边三角形的判断；直角三角形斜边上的中线．3718684 点：
分依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
析：先证明△ ABM∽△ ACN，再依据相像三角形的对应边成比率可判断②正确；
先依据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ ACN=30°，再依据三角形的内角
和定理求出∠BCN+∠ CBM=60°，而后依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和求出∠BPN+∠ CPM=120°，从而获得∠ MPN=60°，又由①得PM=PN，依占有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ ABC=45°时，∠ BCN=45°，由 P为 BC边的中点，得出BN= PB=PC，判断
④正确．
解解：①∵ BM⊥ AC于点 M， CN⊥ AB于点 N， P 为 BC边的中点，
答：
∴ PM= BC，PN= BC，
∴ PM=PN，正确；
②在△ ABM与△ ACN中，
∵∠ A=∠A，∠ AMB=∠ ANC=90°，
∴△ ABM∽△ ACN，
∴，正确；
③∵∠ A=60°， BM⊥ AC于点 M， CN⊥AB 于点 N，
∴∠ ABM=∠ ACN=30°，
在△ ABC中，∠ BCN+∠ CBM═ 180°﹣ 60°﹣ 30°× 2=60°，
∵点 P 是 BC的中点， BM⊥AC， CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠ BPN=2∠ BCN，∠ CPM=2∠ CBM，
∴∠ BPN+∠ CPM=2（∠ BCN+∠ CBM） =2× 60° =120°，
∴∠ MPN=60°，
∴△ PMN是等边三角形，正确；
④当∠ ABC=45°时，∵ CN⊥AB于点 N，
∴∠ BNC=90°，∠ BCN=45°，
∴BN=CN，
∵ P 为 BC边的中点，
∴PN⊥ BC，△ BPN为等腰直角三角形
∴BN= PB= PC，正确．
应选 D．
点本题主要考察了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相像三角评：形、等边三角形、等腰直角三角形的判断与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细剖析图形并娴熟掌握性质是解题的重点．
6、 (2013 ? 遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC沿直线 l 向右翻动（不滑动），点
B 从开始到结束，所经过路径的长度为（）
A cm B
（ 2+ π） cm C cm D 3cm
．．．．
考弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．3718684
点：
分经过察看图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点 B 两次划过的弧长，即可
析：得出所经过路径的长度．
解解：∵△ ABC是等边三角形，
答：∴∠ ACB=60°，
∴∠ AC（A） =120°，
点 B 两次翻动划过的弧长相等，
则点 B 经过的路径长 =2×= π．
应选 C．
点本题考察了弧长的计算，解答本题的重点是认真察看图形，获得点 B 运动的路径，评：注意娴熟掌握弧长的计算公式．
7、（ 2013 台湾、 23）附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情况，此中D、 E 两点分别
在 AB、 BC上，且 BD=BE．若 AC=18， GF=6，则 F 点到 AC的距离为什么？（）
A．2B．3C． 12﹣4D．6﹣6
考点：正方形的性质；等边三角形的性质．
剖析：过点 B 作 BH⊥ AC于 H，交 GF于 K，依据等边三角形的性质求出∠A=∠ ABC=60°，然后判断△ BDE是等边三角形，再依据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，而后依据同位角相等，两直线平行求出AC∥ DE，再依据正方形的对边平行获得DE∥ GF，从而求出AC∥ DE∥ GF，再依据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，而后依据平行线间的距离相等即可得解．
解答：解：如图，过点 B 作 BH⊥ AC于 H，交 GF于 K，
∵△ ABC是等边三角形，
∴∠ A=∠ ABC=60°，
∵B D=BE，
∴△ BDE是等边三角形，
∴∠ BDE=60°，
∴∠ A=∠ BDE，
∴AC∥ DE，
∵四边形DEFG是正方形， GF=6，
∴DE∥ GF，
∴AC∥ DE∥GF，
∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，
∴F 点到 AC的距离为6﹣6．
应选 D．
评论：本题考察了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判断与性质，等
边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的重点．
8、（ 2013 菏泽）我们规定：将一个平面图形分红面积相等的两部分的直线叫做该平面图形
的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（比如圆的直径就是它的“面径” ）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长能够是，（或介于和之间的随意两个实数）（写出1个即可）．
考点：等边三角形的性质．
专题：新定义；开放型．
剖析：依据等边三角形的性质，
（1）最长的面径是等边三角形的高线；
（2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，而后依据相像三角形
面积的比等于相像比的平方求出最短面径．
解答：解：如图，
（1）等边三角形的高 AD是最长的面径，
AD= ×2=；
（2）当 EF∥ BC时， EF 为最短面
径，此时，（）2=，
即=，
解得 EF=．
因此，它的面径长能够是，（或介于和之间的随意两个实数）．
故答案为：，（或介于和之间的随意两个实数）．
评论：本题考察了等边三角形的性质，读懂题意，弄理解面径的定义，并正确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的重点．
9、（ 2013? 铁岭）如图，在△ ABC中， AB=2， BC=3.6，∠ B=60°，将△ ABC绕点 A 按顺时针旋转必定角度获得△ ADE，当点 B 的对应点 D 恰巧落在 BC边上时，则 CD的长为 1.6 ．
考旋转的性质．3718684
点：
分由将△ ABC绕点 A 按顺时针旋转必定角度获得△ADE，当点 B 的对应点 D 恰巧落在析：BC边上，可得 AD=AB，又由∠ B=60°，可证得△ ABD是等边三角形，既而可得 BD=AB=2，则可求得答案．
解解：由旋转的性质可得：AD=AB，
答：∵∠ B=60°，
∴△ ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=2，BC=3.6，
∴CD=BC﹣ BD=3.6﹣ 2=1.6 ．
故答案为： 1.6 ．
点本题考察了旋转的性质以及等边三角形的判断与性质．本题比较简单，注意掌握旋评：转前后图形的对应关系，注意数形联合思想的应用．
10、（ 2013? 宜昌）如图，点E，F 分别是锐角∠ A 两边上的点， AE=AF，分别以点E，F 为圆心，以 AE的长为半径画弧，两弧订交于点D，连结 DE， DF．
（1）请你判断所画四边形的性状，并说明原因；
（2）连结 EF，若 AE=8厘米，∠ A=60°，求线段 EF 的长．
考菱形的判断与性质；等边三角形的判断与性质．
点：
分（ 1）由 AE=AF=ED=DF，依据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF 析：是菱形；
（ 2）第一连结 EF，由 AE=AF，∠ A=60°，可证得△ EAF是等边三角形，则可求得
线段 EF 的长．
解解：（1）菱形．
答：原因：∵依据题意得：AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（ 2）连结 EF，
∵AE=AF，∠ A=60°，
∴△ EAF是等边三角
形，∴ EF=AE=8厘米．
点本题考察了菱形的判断与性质以及等边三角形的判断与性质．本题比较简单，注意
评：掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．
11、（ 2013? 天津）如图，在边长为 9 的正三角形ABC中， BD=3，∠ ADE=60°，则 AE的长为7．
考相像三角形的判断与性质；等边三角形的性质．3718684
点：
分先依据边长为 9，BD=3，求出 CD的长度，而后依据∠ ADE=60°和等边三角形的性质，
析：证明△ ABD∽△ DCE，从而依据相像三角形的对应边成比率，求得CE的长度，即可
求出 AE的长度．
解解：∵△ ABC是等边三角形，答：∴∠ B=∠C=60°， AB=BC；
∴ CD=BC﹣ BD=9﹣3=6；
∴∠ BAD+∠ ADB=120°
∵∠ ADE=60°，
∴∠ ADB+∠ EDC=120°，
∴∠ DAB=∠ EDC，
又∵∠ B=∠ C=60°，
∴△ ABD∽△ DCE，
则= ，
即 = ，
解得： CE=2，
故 AE=AC﹣ CE=9﹣2=7．
故答案为： 7．
点本题主要考察了相像三角形的判断和性质以及等边三角形的性质，依据等边三角形评：的性质证得△ABD∽△ DCE是解答本题的重点．
12、（ 2013 聊城）如图，在等边△ABC中， AB=6，D 是 BC的中点，将△ABD绕点 A 旋转后得到△ ACE，那么线段DE的长度为．
考点：旋转的性质；等边三角形的判断与性质．
剖析：第一，利用等边三角形的性质求得 AD=3 ；而后依据旋转的性质、等边三角形的性质推
知△ ADE为等边三角形，则 DE=AD．
解答：解：如图，∵在等边△ABC中，∠ B=60°， AB=6，D 是 BC的中点，
∴AD⊥ BD，∠ BAD=∠CAD=30°，
∴A D=ABcos30° =6× =3 ．
依据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°， AD=AE，
∴∠ DAE=∠EAC+∠ BAD=60°，
∴△ ADE的等边三角形，
∴D E=AD=3 ，即线段 DE的长度为 3 ．
故答案是： 3 ．
评论：本题考察了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
13、（ 2013? 德州）如图，在正方形 ABCD中，边长为 2 的等边三角形 AEF的极点 E、F 分别在BC和 CD上，以下结论：
①CE=CF；②∠ AEB=75°；③ BE+DF=EF；④ S 正方形ABCD=2+．
此中正确的序号是①②④（把你以为正确的都填上）．
考点：正方形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质．
剖析：依据三角形的全等的知识能够判断①的正误；依据角角之间的数目关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；依据线段垂直均分线的知识能够判断③的正确，利用
解三角形求正方形的面积等知识能够判断④的正误．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△ AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∵在 Rt△ ABE和 Rt △ ADF中，
，
∴Rt △ABE≌ Rt △ADF（ HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣ DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ ECF是等腰直角三角形，
∴∠ CEF=45°，
∵∠ AEF=60°，
∴∠ AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连结AC，交 EF 于 G点，
∴AC⊥EF，且 AC均分 EF，
∵∠ CAD≠∠ DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠ EF，
∴③说法错误；
∵ EF=2，
∴CE=CF= ，
设正方形的边长为 a，
在 Rt △ADF中，
a2+（ a﹣）2=4，
解得 a=，
则 a2=2+ ，
S 正方形ABCD=2+，
④说法正确，
故答案为①②④．
评论：本题主要考察正方形的性质的知识点，解答本题的重点是娴熟掌握全等三角形的证明以及协助线的正确作法，本题难度不大，可是有一点麻烦．
14、（ 2013? 黄冈）已知△ ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至 E，使 CE=CD=1，连结DE，则 DE=．
考等边三角形的性质；等腰三角形的判断与性质．3481324
点：
分依据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出 BC，在 Rt△△ BDC中，由勾股析：定理求出 BD即可．
解解：∵△ ABC为等边三角形，
答：∴∠ ABC=∠ ACB=60°， AB=BC，
∵ BD为中线，
∴∠ DBC= ∠ ABC=30°，
∵ CD=CE，
∴∠ E=∠CDE，
∵∠ E+∠CDE=∠ ACB，
∴∠ E=30° =∠ DBC，
∴ BD=DE，
∵ BD是 AC中线， CD=1，
∴ AD=DC=1，
∵△ ABC是等边三角形，
∴ BC=AC=1+1=2，BD⊥ AC，
在 Rt △△ BDC中，由勾股定理得： BD= = ，
即 DE=BD= ，
故答案为：．
点本题考察了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知
评：识点的应用，重点是求出 DE=BD和求出 BD的长．
15、（ 2013? 黔西南州）如图，已知△ ABC是等边三角形，点 B、 C、D、E 在同向来线上，且CG=CD， DF=DE，则∠ E= 15 度．
考等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
点：
分依据等边三角形三个角相等，可知∠ ACB=60°，依据等腰三角形底角相等即可得出
析：∠ E 的度数．
解解：∵△ ABC是等边三角形，
答：∴∠ ACB=60°，∠ ACD=120°，
∵ CG=CD，
∴∠ CDG=30°，∠ FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠ E=15°．故
答案为： 15．
点本题考察了等边三角形的性质，互补两角和为 180°以及等腰三角形的性质，难度评：适
中．
16、 (2013 年广东湛江 ) 如图，全部正三角形的一边平行于x 轴，一极点在y轴上．从内到外，它们的边长挨次为 2,4,6,8, ,，极点挨次用
A1、 A2、A3、A4、表示，此中 A1 A2与 x 轴、底边 A1A2 与
A4A5、A4A5与 A7A8、均相距一个单位，则极点 A3的坐
标是，
A92 的坐标是．
分析：考察正三角形的有关知识及找规律的能力。

由图知，
A3的纵坐标为：
A2 A3 sin600 1 2 3 1 3 1，A3 0, 3 1 ，而A2 的
2
横坐标为：0 1
，由题意知， A 的纵坐标为1， A 1, 1 ，简单发现 A 、
AA23 sin30 2 2 1 2 2 2 A5、A7、、A92、这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数，A2、 A5、A7 、、A92、的下标2、5、7、、92、有规律： 92 2 30 3 2 311 3，A92是
第 31 个正三角形（从里往外）的右端点，A
92 31, 31
17、（ 2013 福省福州 19）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为（﹣ 2， 0），等边三角形 AOC经过平移或轴对称或旋转都能够获得△OBD．
（1）△AOC沿 x 轴向右平移获得△ OBD，则平移的距离是个单位长度；△ AOC与△
BOD
对于直线对称，则对称轴是；△ AOC绕原点 O顺时针旋转获得△ DOB，则旋转角度能够是度；
（2）连结 AD，交 OC于点 E，求∠ AEO的度数．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．
专题：计算题．
剖析：（ 1）由点 A 的坐标为（﹣ 2， 0），依据平移的性质获得△AOC沿 x 轴向右平移 2 个单
位获得△ OBD，则△ AOC与△ BOD对于 y 轴对称；依据等边三角形的性质得∠ AOC=∠
BOD=60°，则∠ AOD=120°，依据旋转的定义得△ AOC绕原点 O顺时针旋转 120°获得△
DOB；
（2）依据旋转的性质获得OA=OD，而∠ AOC=∠ BOD=60°，获得∠ DOC=60°，因此OE为等腰△AOD的顶角的均分线，依据等腰三角形的性质获得OE垂直均分AD，则∠ AEO=90°．
解答：解：（ 1）∵点 A 的坐标为（﹣2， 0），
∴△ AOC沿 x 轴向右平移 2 个单位获得△ OBD；
∴△ AOC与△ BOD对于 y 轴对称；
∵△ AOC为等边三角形，
∴∠ AOC=∠BOD=60°，
∴∠ AOD=120°，
∴△ AOC绕原点 O顺时针旋转120°获得△ DOB．
（2）如图，∵等边△ AOC绕原点 O顺时针旋转 120°获得△ DOB，
∴OA=OD，
∵∠ AOC=∠BOD=60°，
∴∠ DOC=60°，
即 OE为等腰△ AOD的顶角的均分
线，∴OE垂直均分 AD，
∴∠ AEO=90°．
故答案为 2； y 轴； 120．
评论：本题考察了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应
点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考察了等边三角形的性质、轴对称的性质以及
平移的性质．
18、（ 2013? 湖州）如图，已知P 是⊙ O外一点， PO交圆 O于点 C，OC=CP=2，弦 AB⊥ OC，劣弧 AB的度数为 120°，连结
PB．（1）求 BC的长；
（2）求证： PB是⊙ O的切线．
考切线的判断；等边三角形的判断与性质；垂径定理．
点：
分（ 1）第一连结 OB，由弦 AB⊥ OC，劣弧 AB的度数为 120°，易证得△ OBC是等边三析：角形，则可求得 BC的长；
（2）由 OC=CP=2，△ OBC是等边三角形，可求得 BC=CP，即可得∠ P=∠ CBP，又由等边
三角形的性质，∠ OBC=60°，∠ CBP=30°，则可证得 OB⊥ BP，既而证得 PB是⊙ O
的切线．
解（ 1）解：连结OB，
答：∵弦 AB⊥ OC，劣弧 AB的度数为120°，
∴弧 BC与弧 AC的度数为： 60°，
∴∠ BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△ OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；
（2）证明：∵ OC=CP，
BC=OC，∴ BC=CP，
∴∠ CBP=∠ CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠ CBP=30°，
∴∠ OBP=∠ CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥ BP，
∵点 B 在⊙ O上，
∴PB 是⊙ O的切线．
点本题考察了切线的判断、等边三角形的判断与性质以及等腰三角形的性质．本题难评：度适中，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．
19、（ 2013? 莱芜）如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°，以 AC为一边向外作等边三角形ACD，点 E 为 AB的中点，连结
DE．（1）证明 DE∥ CB；
（2）研究 AC与 AB知足如何的数目关系时，四边形DCBE是平行四边形．
考平行四边形的判断；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质．
点：
分（ 1）第一连结 CE，依据直角三角形的性质可得 CE=AB=AE，再依据等边三角形的性析：
质可得 AD=CD，而后证明△ ADE≌△ CDE，从而获得∠ ADE=∠ CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥ CB；
（ 2）当 AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行
四边形，则DC∥ BE，∠ DCB+∠ B=180°从而获得∠B=30°，再依据三角函数可推出
AC=或 AB=2AC．
解（ 1）证明：连结CE．
答：∵点 E 为 Rt △ ACB的斜边 AB的中点，
∴CE=AB=AE．
∵△ ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ ADE与△ CDE中，，
∴△ ADE≌△ CDE（SSS），
∴∠ ADE=∠ CDE=30°．
∵∠ DCB=150°，
∴∠ EDC+∠ DCB=180°．
∴DE∥ CB．
（ 2）解：∵∠ DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥ BE，∠ DCB+∠
B=180°．
∴∠ B=30°．
在 Rt △ACB中， sinB=，sin30° =，AC=或AB=2AC．
∴当 AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
点本题主要考察了平行线的判断、全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断，
评：重点是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
20、（ 2013? 衢州）【提出问题】
（1）如图 1，在等边△ ABC中，点 M是 BC上的随意一点（不含端点B、 C），连结 AM，以 AM
为边作等边△ AMN，连结 CN．求证：∠ ABC=∠ ACN．
【类比研究】
（2）如图 2，在等边△ ABC中，点 M是 BC延长线上的随意一点（不含端点C），其余条件不
变，（ 1）中结论∠ ABC=∠ ACN还建立吗？请说明原因．
【拓展延长】
（3）如图 3，在等腰△ ABC中， BA=BC，点 M是 BC上的随意一点（不含端点 B、C），连结
AM，以 AM为边作等腰△ AMN，使顶角∠ AMN=∠ABC．连结 CN．尝试究∠ ABC与∠ ACN的数
目关系，并说明原因．
考相像三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质．
点：
分（ 1）利用 SAS可证明△ BAM≌△ CAN，既而得出结论；
析：（ 2）也能够经过证明△BAM≌△ CAN，得出结论，和（1）的思路完整同样．
（ 3）第一得出∠ BAC=∠ MAN，从而判断△ABC∽△ AMN，获得=，依据∠ BAM=
∠ BAC﹣∠ MAC，∠ CAN=∠ MAN﹣∠ MAC，获得∠ BAM=∠ CAN，从而判断△ BAM∽△ CAN，
得出结论．
解（1）证明：∵△ ABC、△ AMN是等边三角形，
答：
∴AB=AC， AM=AN，∠
BAC=∠MAN=60°，∴∠ BAM=∠ CAN，
∵在△ BAM和△ CAN中，
∴△ BAM≌△ CAN（SAS），
∴∠ ABC=∠ ACN．
（2）解：结论∠ ABC=∠ ACN仍建立．
原因以下：∵△ ABC、△ AMN是等边三角
形，∴ AB=AC， AM=AN，∠
BAC=∠MAN=60°，∴∠ BAM=∠ CAN，
∵在△ BAM和△ CAN中，
∴△ BAM≌△ CAN（SAS），
∴∠ ABC=∠ ACN．
（3）解：∠ ABC=∠ ACN．
原因以下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ ABC=∠ AMN，
∴底角∠ BAC=∠ MAN，
∴△ ABC∽△ AMN，
∴= ，
又∵∠ BAM=∠ BAC﹣∠ MAC，∠ CAN=∠MAN﹣∠ MAC，
∴∠ BAM=∠ CAN，
∴△ BAM∽△ CAN，
∴∠ ABC=∠ ACN．
点本题考察了相像三角形的判断与性质、全等三角形的判断与性质，解答本题的重评论：是认真察看图形，找到全等（相像）的条件，利用全等（相像）的性质证明结论．。